专题04 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较重难点题型专训（4大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第一册）

专题04 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较重难点题型专训（4大题型+20道拓展培优） 题型一 列出对数函数模型的解析式 题型二 利用对数函数的性质综合解题 题型三 简单的指数方程 题型四 简单的对数方程 知识点1　三种函数的增长趋势 y＝ax y＝logax y＝xα 在上的增减性 增函数 图象的变 化趋势 随x增大，近似与y轴平行． 随x增大，近似与x轴平行． α值较小(α<1)，增长较慢；α值较大(α>1)时，增长较快． 增长速度 1 随x增大，y＝ax增长速度越来越快，并且当a越大时，y＝ax增长的速度越快． 2 随x增大，y＝logax增长速度越来越慢，并且当a越大时，y＝logax增长速度越慢． ③当x足够大时，一定有ax>xα>logax. 【经典例题一 列出对数函数模型的解析式】 【例1】（23-24高二上·贵州遵义·期末）年一位丹麦生物化学家提出溶液值，亦称氢离子浓度指数、酸碱值，是溶液中氢离子活度的一种标度，其中源自德语，意思是浓度，代表氢离子.的定义式为：，指的是溶液中氢离子活度.若溶液甲中氢离子活度为，溶液乙中氢离子活度为.则溶液甲的值与溶液乙的值的差约为（    ） A． B． C． D． 1．（2023·广东·二模）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（21-22高一上·四川成都·期中）人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏级地震，则后者释放的能量大约为前者的 倍．(参考数据：) 3．（21-22高一·全国·课后作业）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1. （1）求出V关于Q的函数解析式； （2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数． 【经典例题二 利用对数函数的性质综合解题】 【例2】（23-24高三上·广东广州·期中）已知命题，，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 1．（23-24高三上·河南·阶段练习）下列函数中，满足的为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一上·山东·阶段练习）已知函数，则 ． 3．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数，其中. (1)若恒成立，求； (2)若，试比较与的大小，并证明. 【经典例题三 简单的指数方程】 【例3】（2022高一·全国·专题练习）方程的解为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1 1．（21-22高三上·山东聊城·期末）若集合，实数a满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三·全国·对口高考）方程的解为 ． 3．（23-24高一上·福建福州·期中）（1）解方程： （2）计算： 【经典例题四 简单的对数方程】 【例4】（21-22高一上·贵州毕节·阶段练习）方程的解集为M，方程的解集为N，那么M与N的关系是（    ） A．M＝N B．MN C．M  N D． 1．（21-22高一上·全国·课后作业）方程的根为（    ） A．1 B．－2 C．0 D．0，1或－2． 2．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知，则x＝ ． 3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）（1）计算：； （2）解方程：. 1．（22-23高一上·江西南昌·期中）某工厂2015年生产某产品2万件，计划从2016年开始每年比上一年增产，从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件（已知，）（    ） A．2019年 B．2020年 C．2021年 D．2022年 2．（22-23高一上·江西·阶段练习）“为方程的解”是“为方程的解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（20-21高一上·江西赣州·阶段练习）设均为正数，且，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·上海·课后作业）方程的解集为A，方程的解集为B，那么（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·湖北·阶段练习）已知函数，则方程的解为（    ） A． B．或 C．或 D．或 6．（21-22高一上·浙江杭州·阶段练习）声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：）．下列选项中正确的是（    ） A．闻阈的声强级为 B．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：） C．如果声强变为原来的倍，对应声强级也变为原来的倍 D．声强级增加，则声强变为原来的倍． 7．（2021·江苏南通·模拟预测）已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，.给出下列命题，其中正确的命题的为（    ） A． B．函数在定义域上是周期为2的周期函数 C．直线与函数的图像有1个交点 D．函数的值域为 8．（22-23高二下·湖北恩施·阶段练习）已知函数，若，则实数a的值可以是（    ） A．1 B． C．5 D． 9．（23-24高一上·全国·课后作业）（多选）已知函数，则方程的解可能为（　　） A． B． C． D． 10．（20-21高二上·江苏苏州·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象与轴有两个交点 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为4 D．函数的图象关于直线对称 11．（20-21高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是 ． 12．（2022高三·上海·专题练习）对于函数定义域中的任意，，有如下结论：（1）；（2）；（3）；（4）．当时，上述结论中正确结论的序号是 ． 13．（22-23高三上·上海虹口·期中）关于x的方程的解集为 ． 14．（2022·辽宁沈阳·二模）已知函数若，则实数的值为 . 15．（2024·内蒙古·三模）若，则 . 16．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数f(x)=lg ，f(1)=0，当x>0时，恒有f(x)=lgx. (1)若不等式f(x)≤lgt的解集为A，且A(0,4]，求实数t的取值范围； (2)若方程f(x)=lg(8x+m)的解集为，求实数m的取值范围. 17．（23-24高一上·江西赣州·阶段练习）已知函数：，. (1)若过定点，求的单调递增区间； (2)若值域为，求的取值范围. 18．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 19．（22-23高一·全国·课堂例题）解方程：． 20．（22-23高三·全国·对口高考）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较重难点题型专训（4大题型+20道拓展培优） 题型一 列出对数函数模型的解析式 题型二 利用对数函数的性质综合解题 题型三 简单的指数方程 题型四 简单的对数方程 知识点1　三种函数的增长趋势 y＝ax y＝logax y＝xα 在上的增减性 增函数 图象的变 化趋势 随x增大，近似与y轴平行． 随x增大，近似与x轴平行． α值较小(α<1)，增长较慢；α值较大(α>1)时，增长较快． 增长速度 1 随x增大，y＝ax增长速度越来越快，并且当a越大时，y＝ax增长的速度越快． 2 随x增大，y＝logax增长速度越来越慢，并且当a越大时，y＝logax增长速度越慢． ③当x足够大时，一定有ax>xα>logax. 【经典例题一 列出对数函数模型的解析式】 【例1】（23-24高二上·贵州遵义·期末）年一位丹麦生物化学家提出溶液值，亦称氢离子浓度指数、酸碱值，是溶液中氢离子活度的一种标度，其中源自德语，意思是浓度，代表氢离子.的定义式为：，指的是溶液中氢离子活度.若溶液甲中氢离子活度为，溶液乙中氢离子活度为.则溶液甲的值与溶液乙的值的差约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算性质可求得溶液甲的值与溶液乙的值的差. 【详解】由题意可知，溶液甲的值与溶液乙的值的差为 . 故选：C. 1．（2023·广东·二模）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由结合对数运算可求得的值，由于，可得出、，结合对数函数的单调性可出结论. 【详解】由题意，得， 则，因此， ，则， ，则. 故选：A. 2．（21-22高一上·四川成都·期中）人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏级地震，则后者释放的能量大约为前者的 倍．(参考数据：) 【答案】500 【分析】设前者、后者的里氏震级分别为，前者、后者释放出的能量分别为、，根据已知关系式列式相减，利用对数运算法则可得． 【详解】设前者、后者的里氏震级分别为，前者、后者释放出的能量分别为、，则其满足关系和， 两式作差可以得到， 即，所以. 3．（21-22高一·全国·课后作业）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1. （1）求出V关于Q的函数解析式； （2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数． 【答案】（1）；（2）2700个单位． 【分析】（1）根据成正比的性质，结合代入法进行求解即可； （2）利用代入法，结合对数与指数式互化公式进行求解即可. 【详解】解：（1）设V＝k·log3， ∵当Q＝900时，V＝1，∴1＝k·log3， ∴k＝，∴V关于Q的函数解析式为; （2）令V＝1.5，则，∴Q＝2 700， 即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2700个单位． 【经典例题二 利用对数函数的性质综合解题】 【例2】（23-24高三上·广东广州·期中）已知命题，，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据对数性质解出集合的范围，集合充分必要条件的定义判断即可． 【详解】由题意知，则可得， 所以， 由可以推出， 由不能够推出， 所以是必要不充分条件. 故选：C 1．（23-24高三上·河南·阶段练习）下列函数中，满足的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法1：令，证明，找到满足此条件的函数； 方法2：令，得，找到满足条件的选项． 【详解】（方法1）令，则，． 由于，即， 所以． 而满足的函数有对数函数（，）， 所以，只有B选项符合题意，其它选项均不符合． （方法2）令，则，得．在四个选项中，只有B选项满足，其它选项均不符合． 故选：B 2．（21-22高一上·山东·阶段练习）已知函数，则 ． 【答案】2 【分析】先根据题意求的值，然后再求的值 【详解】因为（）， 所以 ， 所以， 故答案为：2 3．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数，其中. (1)若恒成立，求； (2)若，试比较与的大小，并证明. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，函数带入式子，计算即可； （2）利用，求出对应的，用表示出、的值，再根据对数的降幂功能，得到与，从而得到其大小关系. 【详解】（1）因为恒成立， 得 所以， 即. （2）因为，所以， ，得 得 因为； 所以. 【经典例题三 简单的指数方程】 【例3】（2022高一·全国·专题练习）方程的解为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1 【答案】C 【分析】由，再利用指数函数的单调性求解    . 【详解】解：∵， ∴x﹣1＝﹣2， ∴x＝﹣1． 故选：C． 1．（21-22高三上·山东聊城·期末）若集合，实数a满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得，再根据元素与集合，集合与集合关系求解即可. 【详解】解：因为，所以，解得， 因为， 所以.所以，，均为错误表述. 故选：D 2．（22-23高三·全国·对口高考）方程的解为 ． 【答案】或 【分析】根据指数幂的运算性质和指数函数的图像和性质求解即可. 【详解】由题意可得， 所以，即， 解得或， 故答案为：或 3．（23-24高一上·福建福州·期中）（1）解方程： （2）计算： 【答案】（1）或；（2）1 ． 【分析】应用指对数运算律结合指对数转化计算求解即可. 【详解】（1）方程：即， 因式分解为，∴或，解得或． （2）原式 ． 【经典例题四 简单的对数方程】 【例4】（21-22高一上·贵州毕节·阶段练习）方程的解集为M，方程的解集为N，那么M与N的关系是（    ） A．M＝N B．MN C．M  N D． 【答案】B 【分析】分别求得集合M与N，即可判断出M与N的关系 【详解】方程等价于，解之得，即 则或，即或.故 则MN 故选：B 1．（21-22高一上·全国·课后作业）方程的根为（    ） A．1 B．－2 C．0 D．0，1或－2． 【答案】C 【分析】由已知可得，得，求出的值，从而可求出的值 【详解】由，得， 所以， ， 解得或（舍去）， 得，即方程的根为， 故选：C 2．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知，则x＝ ． 【答案】100 【分析】直接根据对数的运算即可得结果. 【详解】因为，所以， 即，所以， 故答案为：100. 3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）（1）计算：； （2）解方程：. 【答案】（1）,（2）或 【分析】（1）根据指数幂的运算以及对数的性质即可计算， （2）根据换底公式，结合一元二次方程的求解即可. 【详解】（1） , （2）由得且，故， 故或，解得或 1．（22-23高一上·江西南昌·期中）某工厂2015年生产某产品2万件，计划从2016年开始每年比上一年增产，从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件（已知，）（    ） A．2019年 B．2020年 C．2021年 D．2022年 【答案】D 【分析】根据2016年开始每年比上一年增产，由求解即可. 【详解】2015年为初始值，再过1年，即2016年，产品的年产量为， 再过n年（），这家工厂生产这种产品的年产量为， 由得，， 两边取对数得，， 即， 而，故，即2022年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件. 故选：D. 【点睛】关键点点睛： 本题的解题关键在于读懂函数模型，熟练掌握对数的运算，才能根据实际情况突破难点. 2．（22-23高一上·江西·阶段练习）“为方程的解”是“为方程的解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】当时，对两边同时取以2为底的对数可变形为；当时，有解，而定义域为，显然无解，由此可作出判断. 【详解】定义域为. 当时，等价于，即； 当时，单调递减，，知存在满足方程，但不满足， 所以“为方程的解”能推出“为方程的解”，反之不可. 故选：B． 3．（20-21高一上·江西赣州·阶段练习）设均为正数，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过化简利用中间量1即可比较大小． 【详解】因为 所以,可得 ； 因为 所以,可得 ； 因为 所以,可得,所以， 故选：A． 【点睛】方法点睛：解答比较大小问题：当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小． 4．（22-23高一下·上海·课后作业）方程的解集为A，方程的解集为B，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解对数方程得到，解指数方程得到，求并集得到答案. 【详解】，则，解得或（舍去），故； ，即，解得或（舍去）， 即，，故. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数方程，对数方程，并集，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 5．（22-23高一上·湖北·阶段练习）已知函数，则方程的解为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】换底公式化简可得出关于的等式，求出的值，再利用对数式与指数式的互化可得出的值. 【详解】因为， 由可得， 得或， 当时，；当时，. 综上所述，原方程的解为或. 故选：C. 6．（21-22高一上·浙江杭州·阶段练习）声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：）．下列选项中正确的是（    ） A．闻阈的声强级为 B．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：） C．如果声强变为原来的倍，对应声强级也变为原来的倍 D．声强级增加，则声强变为原来的倍． 【答案】ABD 【分析】根据已知条件先计算出，然后再根据的变化确定的变化确定正确选项． 【详解】因为，时，，带入公式得， A：时，，故A正确； B：由题意，即，因此，解得，故B正确； C：当变为时，代入有，故C错误； D：设声强变为原来的倍，则，解得，故D正确； 故选：ABD． 7．（2021·江苏南通·模拟预测）已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，.给出下列命题，其中正确的命题的为（    ） A． B．函数在定义域上是周期为2的周期函数 C．直线与函数的图像有1个交点 D．函数的值域为 【答案】ACD 【分析】根据已知条件中函数是偶函数且时，有以及时，，画出函数图象，逐一分析四个结论的真假，可得答案． 【详解】根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线和函数的图象如图所示， 根据图象可知选项A中，正确； 对于选项B，函数在定义域上不是周期函数，所以B不正确； 对于选项C，根据函数图象可知与的图象有个交点，所以C正确； 对于选项D，根据图象，函数的值域是，所以D正确. 故选：ACD. 8．（22-23高二下·湖北恩施·阶段练习）已知函数，若，则实数a的值可以是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】BC 【分析】根据分段函数解析式进行分类讨论，通过解方程求得的值. 【详解】当时，，解得； 当时，，解得，又，所以舍去． 综上所述，或． 故选：BC 9．（23-24高一上·全国·课后作业）（多选）已知函数，则方程的解可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据对数的运算性质可得，利用换元法，即可求解. 【详解】由已知得， ∴， 即， 令，则方程可化为，解得或， 故，或者 ∴或， 故选：BD. 10．（20-21高二上·江苏苏州·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象与轴有两个交点 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为4 D．函数的图象关于直线对称 【答案】AB 【分析】解对数方程判断A,由二次函数的最值判断BC,利用特殊值判断D． 【详解】令，即，解得或，即或，即选项正确； 由，即函数的最小值为，无最大值，即选项正确，选项错误； ,函数的图象不关于直线对称，选项D错误， 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的最值的求法，考查了函数的对称性以及简单的对数方程，属中档题． 11．（20-21高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出的图象，结合二次函数、对数函数的性质，求得的取值范围. 【详解】函数有四个不同的零点等价于函数的图象与直线有四个不同的交点．画出的大致图象，如图所示．由图可知．不妨设，则，且，．因为，所以，则，故． 故答案为： 12．（2022高三·上海·专题练习）对于函数定义域中的任意，，有如下结论：（1）；（2）；（3）；（4）．当时，上述结论中正确结论的序号是 ． 【答案】(2)(3)(4) 【分析】对(1)(2)结合对数的运算性质判断即可；对(3)结合函数的单调性直接判断即可；对(4)作差比较即可. 【详解】当时， 对(1),，而，故，故(1)错误； 对(2),，故(2)正确； 对(3)，因为函数是上的增函数，所以，故(3)正确； 对(4)，， 因为，所以， 所以，所以，所以， 所以，故(4)正确. 故答案为：(2)(3)(4) 【点睛】本题主要考查对数函数的性质，掌握对数函数的性质和对数的运算法则是解题的关键，属于中档题. 13．（22-23高三上·上海虹口·期中）关于x的方程的解集为 ． 【答案】/ 【分析】令，求得，再求即可. 【详解】令，则，原方程可转化为，即， 解得（舍）或，故，解得，即. 故方程的解集为. 故答案为：. 14．（2022·辽宁沈阳·二模）已知函数若，则实数的值为 . 【答案】1或 【分析】对参数的取值范围进行分类讨论，结合函数解析式和函数值，即可求得结果. 【详解】当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，满足题意； 综上所述：的值为或. 故答案为：1或 15．（2024·内蒙古·三模）若，则 . 【答案】/0.25 【分析】根据对数式与指数式的互化可得，利用指数幂的运算可得结果. 【详解】由，可得，则. 故答案为：. 16．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数f(x)=lg ，f(1)=0，当x>0时，恒有f(x)=lgx. (1)若不等式f(x)≤lgt的解集为A，且A(0,4]，求实数t的取值范围； (2)若方程f(x)=lg(8x+m)的解集为，求实数m的取值范围. 【答案】（1）（2）0≤m<18 【分析】(1)求出函数的表达式，转化为一个方程，分离参数,根据的定义域即可求出；(2)根据对数的运算性质，可将方程，转化为一个关于的分式方程组，进而根据方程的解集为，则从方程组有解求出的范围，再求其补集即可. 【详解】(1) 当时，恒有成立. ， 即恒成立， ，且由可得， 故，， 得且>0，由于A(0, 4]， 故，得 又因为，所以实数t的取值范围是 (2)先当方程有解，则得在或内有解 令，则 所以，从而 所以时方程的解集为. 【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，及对数函数单调性的综合应用，考查学生的分析问题解决问题的能力. 17．（23-24高一上·江西赣州·阶段练习）已知函数：，. (1)若过定点，求的单调递增区间； (2)若值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由过定点求出，再由真数大于零求出定义域，根据复合函数的单调性可得答案； （2）由题意可知可以取到的任何数，令，然后分、、讨论可得答案. 【详解】（1）由过定点，则， 即，解得，所以， 由得函数的定义域是：， 因为在上单调递增，在上单调递减， 可得在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间是； （2）若值域为，则可以取到的任何数， 令， 当时，，显然可以取到的任何数，故成立； 当时，开口向上，只需要其， 即，即，解得，又，故； 当时，开口向下，不可以取到的所有值，故不符合； 综上可知，的取值范围是. 18．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4)9 (5) 【分析】利用指对数的转化公式，即可求解方程. 【详解】（1）， ， ，. （2），， . （3），， ，∴. （4），， . （5）， ， . 19．（22-23高一·全国·课堂例题）解方程：． 【答案】 【分析】将转化为求解. 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 20．（22-23高三·全国·对口高考）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)或； (3)或； (4). 【分析】（1）（2）根据指数幂的运算法则结合指数函数的性质即得； （3）（4）根据对数的运算律结合对数函数的性质即得. 【详解】（1）由，可得， 所以， 所以，即， 所以； （2）由，可得， 所以， 所以或， 由，可得，故， 由，可得，即，所以，即， 所以或； （3）因为， 所以原方程可化为，即， 两边取对数可得，即， 所以或， 经检验或是原方程的解， 所以或； （4）由，可得， 所以， 即，经检验满足题意， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$