专题03 对数函数重难点题型专训（19大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第一册）

专题03 对数函数重难点题型专训（19大题型+20道拓展培优） 题型一 对数函数的概念 题型二 对数函数的概念判断与求值 题型三 求对数函数的解析式 题型四 对数函数的定义域 题型五 求对数函数的定义域 题型六 求反函数 题型七 反函数的性质应用 题型八 对数函数y=log2x的图像和性质 题型九 对数函数的图象 题型十 判断对数型函数的图象形状 题型十一 根据对数型函数图象判断参数的范围 题型十二 对数型函数图象过定点问题 题型十三 对数函数图象的应用 题型十四 对数函数的单调性 题型十五 对数型复合函数的单调性 题型十六 对数函数单调性的应用 题型十七 对数函数的最值 题型十八 根据对数函数的最值求参数或范围 题型十九 对数函数最值与不等式的综合问题 知识点1　对数函数 1.对数函数的概念 一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作对数函数,其中a称为底数,由定义可知,对数函数具有以下基本性质:①定义域是　　(0,+∞) ;②图象过定点　　(1,0)　　.  2.两种特殊的对数函数 特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作y=lg x;称以无理数e为底的对数函数为自然对数函数,记作y=ln x.  3.反函数 指数函数y=2x和对数函数x=log2y刻画的是同一对变量x,y之间的关系,所不同的是:在指数函数y=2x中,x是自变量,y是x的函数,其定义域是R;而在对数函数x=log2y中,y是自变量,x是y的函数,其定义域是(0,+∞).我们称对数函数x=log2y是指数函数y=2x的反函数,同时,也称指数函数y=2x是对数函数x=log2y的反函数. 知识点2　对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质 图象和性质 a>1 0<a<1 图象     性质 (1)定义域:(0,+∞) (2)值域:R (3)过定点(1,0),即x=1时,y=0 (4)当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0 (4)当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0 (5)在定义域(0,+∞)上是增函数 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大; 当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大 (5)在定义域(0,+∞)上是减函数 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大; 当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大 【经典例题一 对数函数的概念】 【例1】（24-25高三上·北京·开学考试）函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．2 C． D． 1．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 3．（2023高一上·上海·专题练习）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2) (3)； (4)； (5)． 【经典例题二 对数函数的概念判断与求值】 【例2】（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知，则等于（   ） A． B． C．1 D．2 1．（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）已知，（    ） A．－2024 B． C． D．－1 2．（24-25高一上·全国·课后作业）函数为对数函数，则 ． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）将化为对数式得到什么结果？根据这一结果，对于区间内的每一个的值，是否都有唯一的实数与之对应？能否看作是关于的函数？ 【经典例题三 求对数函数的解析式】 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·山西大同·期末）设函数的定义域为，若，，则实数（    ） A．-2 B． C． D．2 2．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数是对数函数，且，则 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知对数函数（且）的图象经过点，若点为此函数图象上的点，求实数b的值． 【经典例题四 对数函数的定义域】 【例4】（2024高二下·湖南·学业考试）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·广东汕尾·期末）集合，，是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·上海·高考真题）的定义域为 . 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题五 求对数函数的定义域】 【例5】（24-25高一上·全国·课后作业）函数中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·浙江绍兴·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数的定义域是 . 3．（21-22高一上·四川遂宁·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)求证：函数为偶函数； (3)求的值. 【经典例题六 求反函数】 【例6】（23-24高二下·天津·期末）下列各对函数中，互为反函数的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知函数与是互为反函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课前预习）反函数的定义 对于函数，，记其值域为．如果对中的任意给定的一个值，在中满足的值只有一个，那么由此得到的关于的函数叫做，的反函数，记作 ．由于自变量习惯上常用表示，而函数值常用表示，因此通常把该函数改写为 ． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）求证：的反函数是． （2）若的定义域为，，，，求证：为奇函数． 【经典例题七 反函数的性质应用】 【例7】（24-25高一上·全国·课前预习）函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）下列命题组真命题的个数为（     ） ①存在反函数的函数一定是单调函数 ②偶函数存在反函数 ③奇函数必存在反函数 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一上·上海·课后作业）若点既在函数的图像上，又在的反函数的图像上，则的值为 ． 3．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数（，且）． (1)若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且点在函数的图象上，求实数的值； (2)若，求函数，的值域． 【经典例题八 对数函数y=log2x的图像和性质】 【例8】（21-22高三上·山西太原·阶段练习）下列函数中，图象关于y轴对称的是（    ） A． B． C． D． 1．（21-22高一上·江西九江·期末）下列函数中是奇函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（21-22高一上·山西·阶段练习）写出一个同时具有下列性质①②③的对数型函数 ． ①在上单调递增；②的值域为；③为偶函数． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）请同学们利用列表、描点、连线的画图方法，先完成下列表格，再在同一坐标系下画出对数函数和的函数图象． … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 … … … … … 【经典例题九 对数函数的图象】 【例9】（22-23高二下·江苏宿迁·期末）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数（其中e为自然对数的底数），则函数的大致图象为（    ） A．B．C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（且）恒过定点 ． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象恒过定点，且点在函数 的图象上. (1)求实数的值； (2)若图象上每一点的纵坐标不变、横坐标变为原来的3倍，再将所得图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数的图象，请写出函数的表达式. 【经典例题十 判断对数型函数的图象形状】 【例10】（2022·安徽马鞍山·模拟预测）函数的部分图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   1．（23-24高二下·天津滨海新·期末）如图所对应的函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若，则函数的图像不经过第 象限. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）在同一平面直角坐标系中作出及的大致图象． 【经典例题十一 根据对数型函数图象判断参数的范围】 【例11】（23-24高二下·河北沧州·期末）设平行于轴的直线与函数和的图象分别交于点，若在的图象上存在，使得为等腰直角三角形，且，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024高三下·全国·专题练习）已知直线的图象恒在曲线的图象上方，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知函数，设是四个互不相同的实数，满足，则的取值范围是 . 3．（24-25高一上·上海·课前预习）设且，函数与函数的图像可能存在3个公共点吗？ 【经典例题十二 对数型函数图象过定点问题】 【例12】（2023高三上·广西·学业考试）对数函数的图象经过点（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·海南海口·期末）函数（，且）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·福建莆田·期中）函数的图象恒过定点 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知常数且，假设无论a取何值，函数的图象恒经过一个定点，求此点的坐标． 【经典例题十三 对数函数图象的应用】 【例13】（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数的定义域为，且，若函数的图象与函数的图象有交点，且交点个数为奇数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 2．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知，，记集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，其中，函数，其中．两个函数的图象如图所示．    (1)试根据函数的增长差异指出，分别对应的函数； (2)以两图象交点为分界点，对，的大小进行比较． 【经典例题十四 对数函数的单调性】 【例14】（2025·江苏南通·一模）若函数，在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）设实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024高一上·江苏·专题练习）函数的单调递增区间为 . 3．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，函数 (1)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (2)若不等式对恒成立，求实数a的取值范围． 【经典例题十五 对数型复合函数的单调性】 【例15】（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．（22-23高二下·浙江温州·期末）已知，若在上单调，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·四川成都·开学考试）函数的单调递增区间为 . 3．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间： (2)若的值域为，求实数a的取值范围． 【经典例题十六 对数函数单调性的应用】 【例16】（22-23高一上·河北保定·期末）若函数的定义域为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数满足以下两个条件：（1）在上单调递增；（2），则函数的解析式可以为 ．（写出一个符合题意的即可） 3．（23-24高一·上海·课堂例题）利用对数函数的单调性来估算对数的第一位小数的值． 【经典例题十七 对数函数的最值】 【例17】（2024·宁夏银川·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．R 1．（23-24高一上·上海·期中）已知实数满足，则函数在上的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的最小值是 ． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）设且，函数的图像过点． (1)求的值及函数的定义域； (2)求函数在区间上的最大值． 【经典例题十八 根据对数函数的最值求参数或范围】 【例18】（2023高一·全国·竞赛）若函数在上的最大值是2，则的值为（    ）． A． B． C． D． 1．（23-24高一上·江西抚州·期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 2．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求的值； (2)若，求函数的最小值． 【经典例题十九 对数函数最值与不等式的综合问题】 【例19】（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知，，，，则在，，，，，这6个数中最小的是（    ） A． B． C． D． 1．（21-22高三上·上海虹口·阶段练习）设函数在区间上的最大值为，若，则实数的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（2024·四川成都·二模）已知函数．给出下列四个结论： ①； ②存在，使得； ③对于任意的，都有； ④对于任意的，都有． 其中所有正确结论的序号是 ． 3．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时， (1)求实数a的值以及函数的解析式； (2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 2．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高一上·上海·期末）函数的大致图像是（　　） A． B． C． D． 4．（2024·上海·三模）已知函数恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数（）的值域是，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（2022·山东淄博·三模）已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于对称 B． C．若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增 D．若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为 7．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）下列函数是奇函数的有（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·四川乐山·阶段练习）已知且则函数与函数的图像不可能是（    ） A．   B．   C．   D．   9．（24-25高三上·四川达州·开学考试）已知命题“”为真命题，则实数的值可以是（   ） A．2 B．0 C． D． 10．（2024高三·全国·专题练习）下列关于函数的说法中，不正确的是（    ） A．有最大值，在上为增函数 B．有最大值，在上为减函数 C．有最小值，在上为增函数 D．有最小值，在上为减函数 11．（22-23高一·全国·课堂例题）如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为 （用“＞”号连接）．    12．（23-24高二下·北京石景山·期末）函数的定义域为 . 13．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则当时， ． 14．（23-24高一上·河北保定·期末）已知且，当时，，则的取值范围为 . 15．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数对任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围为 . 16．（23-24高三上·安徽合肥·期中）设函数的定义域为集合，函数，的值域为集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数是严格增函数，其反函数是． (1)若，求，并写出定义域； (2)对于（1）的和，设任意，，，求证：． 18．（22-23高三上·安徽淮北·阶段练习）已知函数f(x)＝lg(x＋1)． (1)若0<f(1－2x)－f(x)<1，求实数x的取值范围； (2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g(x)＝f(x)，当x∈[1,2]时，求函数y＝g(x)的解析式． 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）画出下列函数的图像： (1)； (2)； (3)． 20．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知函数. (1)求函数的最大值，并求出取得最大值时的值； (2)若关于的不等式对于能成立，求正实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 对数函数重难点题型专训（19大题型+20道拓展培优） 题型一 对数函数的概念 题型二 对数函数的概念判断与求值 题型三 求对数函数的解析式 题型四 对数函数的定义域 题型五 求对数函数的定义域 题型六 求反函数 题型七 反函数的性质应用 题型八 对数函数y=log2x的图像和性质 题型九 对数函数的图象 题型十 判断对数型函数的图象形状 题型十一 根据对数型函数图象判断参数的范围 题型十二 对数型函数图象过定点问题 题型十三 对数函数图象的应用 题型十四 对数函数的单调性 题型十五 对数型复合函数的单调性 题型十六 对数函数单调性的应用 题型十七 对数函数的最值 题型十八 根据对数函数的最值求参数或范围 题型十九 对数函数最值与不等式的综合问题 知识点1　对数函数 1.对数函数的概念 一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作对数函数,其中a称为底数,由定义可知,对数函数具有以下基本性质:①定义域是　　(0,+∞) ;②图象过定点　　(1,0)　　.  2.两种特殊的对数函数 特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作y=lg x;称以无理数e为底的对数函数为自然对数函数,记作y=ln x.  3.反函数 指数函数y=2x和对数函数x=log2y刻画的是同一对变量x,y之间的关系,所不同的是:在指数函数y=2x中,x是自变量,y是x的函数,其定义域是R;而在对数函数x=log2y中,y是自变量,x是y的函数,其定义域是(0,+∞).我们称对数函数x=log2y是指数函数y=2x的反函数,同时,也称指数函数y=2x是对数函数x=log2y的反函数. 知识点2　对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质 图象和性质 a>1 0<a<1 图象     性质 (1)定义域:(0,+∞) (2)值域:R (3)过定点(1,0),即x=1时,y=0 (4)当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0 (4)当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0 (5)在定义域(0,+∞)上是增函数 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大; 当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大 (5)在定义域(0,+∞)上是减函数 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大; 当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大 【经典例题一 对数函数的概念】 【例1】（24-25高三上·北京·开学考试）函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】解：因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以. 故选：D. 1．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】 由偶函数性质以及对数运算即可求解. 【详解】已知是定义在上的偶函数，当时，，则. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 【答案】② 【分析】根据对数函数的定义进行判断即可． 【详解】由对数函数的定义：形如（且）的形式，则函数为对数函数，只有②符合. 故答案为：②. 3．（2023高一上·上海·专题练习）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2) (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不是对数函数 (2)不是对数函数 (3)不是对数函数 (4)不是对数函数 (5)是对数函数 【分析】利用对数函数的定义判断. 【详解】（1）该函数解析式中真数不是自变量，不是对数函数． （2）该函数解析式中对数式后加2，所以不是对数函数． （3）该函数解析式中真数为，不是，系数不为1，故不是对数函数． （4）该函数解析式中底数是自变量，并非常数，所以不是对数函数． （5）该函数解析式中底数是6，真数为，符合对数函数的定义，故是对数函数． 【经典例题二 对数函数的概念判断与求值】 【例2】（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知，则等于（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，逐次判断代入计算即得. 【详解】函数，则， 所以. 故选：B 1．（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）已知，（    ） A．－2024 B． C． D．－1 【答案】D 【分析】根据分段函数的解析式计算得解. 【详解】由题意得：，则， ． 故选：D 2．（24-25高一上·全国·课后作业）函数为对数函数，则 ． 【答案】3 【分析】利用对数函数的定义，列式计算即得. 【详解】函数为对数函数， 则，且，所以. 故答案为：3 3．（24-25高一上·全国·课前预习）将化为对数式得到什么结果？根据这一结果，对于区间内的每一个的值，是否都有唯一的实数与之对应？能否看作是关于的函数？ 【答案】答案见解析 【分析】根据指数函数与对数函数的互化即可判断. 【详解】函数的对数式为， 对于任意，都有唯一的实数与之对应， 且是关于的函数． 【经典例题三 求对数函数的解析式】 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对数函数解析式求参即可. 【详解】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 1．（23-24高三上·山西大同·期末）设函数的定义域为，若，，则实数（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】A 【分析】设，由此可得关于的表示，再根据得到关于的表示，两式联立可求的值. 【详解】对任意，设，则，整理可得①， 由得，可得②， 由①②可知：，化简可得， 显然不恒为，所以，所以， 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是，通过反解以及代入求解出之间的关系式，然后构建方程求解出结果. 2．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数是对数函数，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据，求得对数函数解析式，再将代入计算即可. 【详解】设，且， 因为， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知对数函数（且）的图象经过点，若点为此函数图象上的点，求实数b的值． 【答案】9 【分析】根据点在图象上可求出，进而可求解． 【详解】将代入得，，则，解得或（不合题意舍去）， 所以，又点为此函数图象上， 所以，则． 【经典例题四 对数函数的定义域】 【例4】（2024高二下·湖南·学业考试）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不为0即可判断A；根据偶次方根被开方数大于等于0即可判断B；根据对数函数真数大于0即可判断C；根据幂函数定义域即可判断D. 【详解】对A，其定义域为，故A错误； 对B，其定义域为，故B错误； 对C，由题意得，解得，则其定义域为，故C错误； 对D，显然其定义域为，故D正确. 故选：D. 1．（23-24高二下·广东汕尾·期末）集合，，是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先根据对数函数的性质化简集合，根据幂函数的性质化简集合，再判断两集合的关系，即可判断. 【详解】因为， ， 所以真包含于，所以是的充分不必要条件. 故选：A 2．（2024·上海·高考真题）的定义域为 . 【答案】 【分析】由对数函数性质即可得. 【详解】由题意可得，即的定义域为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先由对数式中的真数大于零，然后分母不能为零，即可得到答案. （2）先由根式内部的代数式大于等于零，然后对数式中的真数大于零，即可得到答案； （3）根据对数式中的真数大于零，即可得到答案； （4）根据对数真数大于零底数大于零且不等于，即可得到答案； 【详解】（1）要使函数式有意义，需满足，解得且， ∴函数的定义域是； （2）要使函数式有意义，需满足，即，解得， ∴所求函数的定义域是； （3）要使函数式有意义，需满足，解得， ∴所求函数的定义域是； （4）要使函数式有意义，需满足，解得且， ∴所求函数的定义域是． 【经典例题五 求对数函数的定义域】 【例5】（24-25高一上·全国·课后作业）函数中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义列式求解即可. 【详解】因为，则，解得，且， 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 1．（23-24高二下·浙江绍兴·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义域即可求解. 【详解】， 所以函数的定义域为， 故选：D 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据函数有意义列不等式组求解即可. 【详解】函数的定义域为 ，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 3．（21-22高一上·四川遂宁·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)求证：函数为偶函数； (3)求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由真数大于零计算即可得； （2）由偶函数的定义，计算与的关系即可得； （3）将代入后计算即可得. 【详解】（1）由，则有， 解得， 所以的定义域为； （2）因为的定义域为， 又， 故函数为偶函数； （3）. 【经典例题六 求反函数】 【例6】（23-24高二下·天津·期末）下列各对函数中，互为反函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据互为反函数的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于A，的反函数为，所以A正确， 对于B，的反函数为，所以B错误， 对于C，的反函数为，所以C错误， 对于D，的反函数为，所以D错误， 故选：A 1．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知函数与是互为反函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到的解析式，再代入计算可得. 【详解】因为函数与是互为反函数， 所以，则，， ，，即正确的只有D. 故选：D 2．（24-25高一上·上海·课前预习）反函数的定义 对于函数，，记其值域为．如果对中的任意给定的一个值，在中满足的值只有一个，那么由此得到的关于的函数叫做，的反函数，记作 ．由于自变量习惯上常用表示，而函数值常用表示，因此通常把该函数改写为 ． 【答案】 ， ， 【分析】由反函数的定义填空即可. 【详解】第一空：，； 第二空：， 故答案为，；， 3．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）求证：的反函数是． （2）若的定义域为，，，，求证：为奇函数． 【答案】（1）证明见解析 ；（2）证明见解析 ． 【分析】（1）根据反函数的定义即可求解， （2）根据反函数的性质，结合奇偶性的定义即可求解. 【详解】（1）由得，， 所以的反函数是． （2）因为，所以， 又，， 所以， 又的定义域为，所以为奇函数． 【经典例题七 反函数的性质应用】 【例7】（24-25高一上·全国·课前预习）函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算函数的值域，可求出原函数的反函数的定义域. 【详解】由对数函数的性质可得：函数的值域为， 则反函数的定义域为. 故选：D. 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）下列命题组真命题的个数为（     ） ①存在反函数的函数一定是单调函数 ②偶函数存在反函数 ③奇函数必存在反函数 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】取特例结合反函数定义和性质判断即可. 【详解】对①，取函数，显然存在反函数，但不单调，①错误； 对②，取偶函数函数，则，显然函数不存在反函数，②错误； 对③，取奇函数函数，当时有和与之对应， 即从到的映射不满足函数定义，故奇函数没有反函数，③错误. 故选：A 2．（24-25高一上·上海·课后作业）若点既在函数的图像上，又在的反函数的图像上，则的值为 ． 【答案】 【分析】由在的反函数的图象上，可得点在原函数的图象上，把点与点分别代入函数中，可得关于，的方程组，从而可得结果. 【详解】因为既在函数的图象上，又在的反函数的图象上， 所以点在函数的图象上， 所以， 即， 解得， 所以． 故答案为：． 3．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数（，且）． (1)若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且点在函数的图象上，求实数的值； (2)若，求函数，的值域． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）由题意得，然后将坐标代入函数中可求出实数的值； （2）将函数化简得，令，则，然后利用二次函数的性质可求出其值域. 【详解】（1）由题意可知， 代入点，有，注意到，解得， 故实数的值为4； （2）． 令． 由，有， 二次函数的对称轴为， ，， 故的值域为． 【经典例题八 对数函数y=log2x的图像和性质】 【例8】（21-22高三上·山西太原·阶段练习）下列函数中，图象关于y轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A B是一个非奇非偶函数，故该选项不符合题意； C.函数是奇函数，故故该选项不符合题意； D.函数是偶函数，故该选项符合题意. 【详解】A. ，是一个非奇非偶函数，故该选项不符合题意； B. ，是一个非奇非偶函数，故该选项不符合题意； C. 设，是奇函数，故故该选项不符合题意； D. 设，，是偶函数，其图象关于轴对称，故该选项符合题意. 故选：D 1．（21-22高一上·江西九江·期末）下列函数中是奇函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据奇偶性的定义判断． 【详解】解：A．函数定义域是，非奇非偶函数； B．定义域是，，，是偶函数； C．函数定义域是，，，是奇函数； D．定义域是，，，是偶函数， 故选：C. 2．（21-22高一上·山西·阶段练习）写出一个同时具有下列性质①②③的对数型函数 ． ①在上单调递增；②的值域为；③为偶函数． 【答案】（答案不唯一） 【分析】对数函数的定义域一般为，在上单调递增，需要底数大于1，若满足为偶函数，可加绝对值，即满足条件. 【详解】解：取，则为偶函数，在上单调递增，且值域为，满足题中条件． 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）请同学们利用列表、描点、连线的画图方法，先完成下列表格，再在同一坐标系下画出对数函数和的函数图象． … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 … … … … … 【答案】答案见解析 【分析】填写表格中数据，通过描点、连线画出对数函数图象即可. 【详解】： ： 描点、连线，画出图象，如图所示．    【经典例题九 对数函数的图象】 【例9】（22-23高二下·江苏宿迁·期末）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对比选项中的图象，再分别计算和时，的取值情况，即可作出选择． 【详解】当时，，，则，排除选项B和C； 当时，，排除选项A，选项D符合题意. 故选：D 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数（其中e为自然对数的底数），则函数的大致图象为（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】先结合对数运算律化简函数，先得出分段函数，再应用平移选择即可. 【详解】由题意 则 数形结合可知，的大致图象为选项A中的图象． 故选:A． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（且）恒过定点 ． 【答案】 【分析】根据对数函数恒过定点，运算即可. 【详解】令，得，此时， 所以函数（且）恒过定点. 故答案为：. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象恒过定点，且点在函数 的图象上. (1)求实数的值； (2)若图象上每一点的纵坐标不变、横坐标变为原来的3倍，再将所得图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数的图象，请写出函数的表达式. 【答案】(1)1 (2) 【分析】(1)根据所过的定点即可求出，再代入即可求出. (2)根据图象的伸缩平移变换即可求解. 【详解】（1）令，则， 的图象恒过定点，且点在函数的图象上， 即， 即， 解得：，满足题意. （2）由（1）知， 图象上每一点的纵坐标不变、横坐标变为原来的3倍，得 的图象， 再将所得图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数的图象， 则. 【经典例题十 判断对数型函数的图象形状】 【例10】（2022·安徽马鞍山·模拟预测）函数的部分图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先求的定义域，再判断奇偶性，最后取特殊值判断即可. 【详解】的定义域为，定义域关于原点对称， 因为, 所以是奇函数，排除C选项； 取，则； 取，则，排除B、D选项； 故选：A. 1．（23-24高二下·天津滨海新·期末）如图所对应的函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例说明A错误，利用奇偶性并综合排除法判断BCD即可得解. 【详解】对于A，当趋于0时，趋于，对比题图可知，A不符合题意； 对于B，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于轴对称，与题图不符，B不符合题意； 对于D，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于轴对称，与题图不符，D不符合题意； 对于C，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于原点对称，与题图相符，经检验，C符合题意. 故选：C. 2．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若，则函数的图像不经过第 象限. 【答案】四 【分析】根据对数型函数的图像变换、单调性等知识求得正确答案. 【详解】函数的定义域为， 由于，所以函数在区间上单调递增， 函数的图像过点，且在上单调递增， 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像， 所以函数的图像不经过第四象限. 故答案为：四 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）在同一平面直角坐标系中作出及的大致图象． 【答案】答案见解析 【分析】根据对数函数、指数函数性质即可得解. 【详解】由对数函数、指数函数性质即可作出图形，如图所示： 【经典例题十一 根据对数型函数图象判断参数的范围】 【例11】（23-24高二下·河北沧州·期末）设平行于轴的直线与函数和的图象分别交于点，若在的图象上存在，使得为等腰直角三角形，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设平行于轴的直线，根据题意，求得和，且，取的中点为，由为等腰直角三角形，得到，根据在函数的图象上，求得，进而得到的值. 【详解】设平行于轴的直线，其中， 由，可得，所以，同理可得，且， 取的中点为，连接，如图所示， 因为为等腰直角三角形，所以，且，所以， 又因为点在函数的图象上，可得， 所以，解得，所以. 故选：A. 1．（2024高三下·全国·专题练习）已知直线的图象恒在曲线的图象上方，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合直线的图象与曲线的图象与轴的交点的位置关系即可求解. 【详解】如图所示，易知为凸函数，零点为，故，当时， 由图象，要使直线的图像恒在曲线的图像上方，可知， 故，所以. 故选：B． 2．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知函数，设是四个互不相同的实数，满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据对数函数的图象变换作出时，函数的图象，再根据图象设，从而得到，且，，即可求解 【详解】当时，，作出函数图象，如图所示：    当时，， 设，且， 则由图象得：， 则由题意知，，且，， 所以，即， 则， 所以的取值范围是， 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课前预习）设且，函数与函数的图像可能存在3个公共点吗？ 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，结合指数函数与对数函数的关系，以及指数式与对数式的互化，即可求解. 【详解】解：当时，与函数有公共点，， 因为与直线有一个交点，设为，所以， 又因为，因而也在的图像上， 所以与函数的图像可能存在3个公共点． 【经典例题十二 对数型函数图象过定点问题】 【例12】（2023高三上·广西·学业考试）对数函数的图象经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令即可. 【详解】令，解得， 则其过点. 故选：A. 1．（23-24高二下·海南海口·期末）函数（，且）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的性质，令即可求解. 【详解】因为且， 所以在函数中， 令，则，， 所以函数的图象一定经过点. 故选：D. 2．（22-23高一上·福建莆田·期中）函数的图象恒过定点 . 【答案】 【分析】根据对数的性质即可令求解. 【详解】令，解得，所以， 故函数的图象恒过定点， 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知常数且，假设无论a取何值，函数的图象恒经过一个定点，求此点的坐标． 【答案】 【分析】利用（且）恒成立，求函数过定点. 【详解】当时，（且）， 所以函数的图象过定点： 【经典例题十三 对数函数图象的应用】 【例13】（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数的定义域为，且，若函数的图象与函数的图象有交点，且交点个数为奇数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】易证明为偶函数，根据题意，两个函数的交点必定是原点，据此求解. 【详解】令，其定义域为， 因为，所以为偶函数， 由题易知也为偶函数， 因为两个函数图象的交点个数为奇数， 所以两个函数的交点，必有一个是原点， 故. 故选：C. 1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据题意可以转化为有一个解，进而解等式即可. 【详解】依题意有一个解 即有一个根 即 所以有一个根 所以有一个根 所以 解得 当时，的定义域为 与的定义域没有交集 此时与的图象没有交点 所以不符合题意 故选：D 2．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知，，记集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出函数的简图，求出，即得，即，要使，结合图象知，需使，消元后求解不等式即得. 【详解】   如图，作出函数的简图. 由可得，因，解得，即， 由可得，即, 因，结合图象，可得：，消去可得，， 因，即得，，解得. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，其中，函数，其中．两个函数的图象如图所示．    (1)试根据函数的增长差异指出，分别对应的函数； (2)以两图象交点为分界点，对，的大小进行比较． 【答案】(1)对应的函数为；对应的函数为． (2)答案见解析 【分析】（1）根据函数的增长速度即可判断； （2）根据图象即可分析函数的大小. 【详解】（1）根据函数的增长差异性，在一定范围内一次函数增长速度快于对数函数的增长速度， 故对应的函数为；对应的函数为． （2）由图象可知， 当时，； 当时，； 当时，； 当或时，． 【经典例题十四 对数函数的单调性】 【例14】（2025·江苏南通·一模）若函数，在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数性质判断上的单调性和值域，结合其区间单调性及分式型函数的性质，讨论参数确定参数范围. 【详解】当时，单调递增且值域为，而在上单调递增， 则在上单调递增，且， 当时，在上单调递增，满足题设； 当时，在上单调递增，此时只需，即； 综上，. 故选：A 1．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）设实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】结合对数函数的性质与充分条件及必要条件定义计算即可得. 【详解】若，则有或， 即有或， 若，则， 故当时，可得， 当时，不一定成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（2024高一上·江苏·专题练习）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】求出原函数的定义域，求出内函数的增区间，结合复合函数的单调性得答案. 【详解】解：由，得或. 内层函数在上为增函数， 外层函数为增函数， 函数的单调递增区间为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，函数 (1)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (2)若不等式对恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用函数的单调性的定义以及对数函数的性质进行证明； （2）遇到恒成立的问题，经常转化为求最值的问题，从而得出关于a的不等式组，求解即可. 【详解】（1） 在其定义域上单调递增. 证明如下：设任意，则有： ， ， ，，， ，， 在上单调递增，，即 . 函数在上单调递增. （2）由（1）知：当时，， 由不等式对恒成立， 得， 为单调递增函数， ， ， 解得 . 实数a的取值范围 【经典例题十五 对数型复合函数的单调性】 【例15】（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据指数函数图象性质可得，再由对数函数图象性质可判断出结论. 【详解】当时，函数单调递增，图象经过第一象限，不合题意； 当时，函数单调递减，图象不经过第一象限，合题意； 显然此时，则函数为单调递增，又恒过点， 因此函数的图象不过第四象限. 故选：D 1．（22-23高二下·浙江温州·期末）已知，若在上单调，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数和二次函数复合的函数的单调性求解即可. 【详解】令函数， 该函数在上单调递减，在上单调递增. 当时，要使在上单调，则在上单调， 且时，，故，解得或. 故选：D 2．（24-25高三上·四川成都·开学考试）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】根据对数型函数的定义域，结合对数型函数的单调性的性质进行求解即可. 【详解】由，或， 二次函数的对称轴为， 因为函数是正实数集上的增函数， 所以当函数单调递增时，则有， 所以函数的单调递增区间为， 故答案为： 3．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间： (2)若的值域为，求实数a的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为. (2). 【分析】（1）先求出对数型函数的定义域，然后由复合函数的单调性原理求解即可； （2）对进行分类讨论，结合一元二次函数的开口方向与判别式求解的取值范围即可. 【详解】（1）当时，， 由，由于，所以， 所以的定义域为：， 的对称轴为：， 所以在上单调递减，在上单调递增； 在整个定义域上单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）若的值域为，则对能取到全部正实数， ①当时，即， 若，不符合题意； 若，，符合题意； ②当时，由题意得：， 解得， 综上： 【经典例题十六 对数函数单调性的应用】 【例16】（22-23高一上·河北保定·期末）若函数的定义域为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的定义域，结合对数函数、二次函数的性质，采用换元法求解即可. 【详解】解：因为， 由，可得， 所以的定义域为， 所以， 又， 设， 将原问题转化为求的值域， 由二次函数性质可知在上单调递增， 所以. 故选：A. 1．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数，的单调性，判断的大小关系. 【详解】设，易知在上单调递增. 且，，所以； 设，易知在上单调递增. 且，，所以. 综上：. 故选：B 2．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数满足以下两个条件：（1）在上单调递增；（2），则函数的解析式可以为 ．（写出一个符合题意的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数满足的条件，可知当时，函数都满足条件. 【详解】在上单调递增，，，所以，即符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）利用对数函数的单调性来估算对数的第一位小数的值． 【答案】3 【分析】利用对数函数的单调性进行估算. 【详解】因为函数在 上单调递增， 所以，所以. 下面比较与的大小： 因为，，所以. 接下来比较与的大小： 就是比较与的大小，因为，所以问题转化为比较与的大小， 因为，，所以； 接下来比较与的大小： 就是比较与的大小，因为，所以问题转化为比较与的大小， 因为，，所以 综上可知：. 所以对数的第一位小数的值为3. 【经典例题十七 对数函数的最值】 【例17】（2024·宁夏银川·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．R 【答案】C 【分析】分别找出集合A和B中的满足的元素即可确定. 【详解】．所以 故选：C. 1．（23-24高一上·上海·期中）已知实数满足，则函数在上的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在上的单调性可求其最大值. 【详解】因为，则函数在上为减函数，则. 故选：A. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的最小值是 ． 【答案】2 【分析】利用整体换元，将复合函数的最值转化为对数函数的最值求解即可. 【详解】令，则，. 又在上单调递增， 所以，此时. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）设且，函数的图像过点． (1)求的值及函数的定义域； (2)求函数在区间上的最大值． 【答案】(1)2； (2)2 【分析】（1）代入点的坐标求出的值，再根据对数函数的定义求出函数的定义域； （2）依题意可得，结合二次函数的性质及对数函数的性质计算可得. 【详解】（1）由函数的图像过点， 得，即，所以，解得或（舍）， 所以， 由，解得， 所以，函数的定义域为． （2）由（1）知， 又，所以当时取得最大值4，且函数在定义域上单调递增， 故函数在区间上的最大值． 【经典例题十八 根据对数函数的最值求参数或范围】 【例18】（2023高一·全国·竞赛）若函数在上的最大值是2，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则在上取得最小值为，根据题意有且，求解即可. 【详解】令，则， 故当时，在上取得最小值为， 又因为函数在上的最大值是2， 所以且，即，解得． 故选：C. 1．（23-24高一上·江西抚州·期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 【答案】A 【分析】对参数的取值分类讨论，根据对数函数单调性，求得最值，结合题意，即可求得参数值. 【详解】由题意解得或（舍去）， ①当时，函数在定义域内为增函数， 则由题意得， 所以即，解得或（舍去）； ②当时，函数在定义域内为减函数， 则由题意得， 所以即，解得； 综上可得：或． 故选：A. 2．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 【答案】6 【分析】根据二次函数与对数函数的性质计算可得. 【详解】因为函数由与复合而成， 而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值， 由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得． 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求的值； (2)若，求函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，则在定义域内为减函数，再根据已知条件列方程可求出的值； （2）由得，对函数化简后换元得，然后利用二次函数的性质可求出其最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以在上为严格减函数， 因为函数在区间上的最大值与最小值之差为1， 所以，即，解得． （2）因为，所以， 所以， 令，则，， 所以当，即时，取最小值为． 【经典例题十九 对数函数最值与不等式的综合问题】 【例19】（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知，，，，则在，，，，，这6个数中最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题意得出，进行下一步转化得出最小值是即可. 【详解】因为，， ，，则，故， 又，，，，，故最小值是， 故选：C． 1．（21-22高三上·上海虹口·阶段练习）设函数在区间上的最大值为，若，则实数的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据在上的单调性得到或，根据，得到关于的不等式或的解集为，根据，得到关于的不等式或的解集为，由，可求出结果. 【详解】因为为上的单调递增函数， 所以，， 又已知在区间上的最大值为， 所以或， 因为，所以关于的不等式或的解集为， 所以关于的不等式或的解集为， 所以关于的不等式或或或的解集为， 由于，所以， 所以，， 所以关于的不等式或的解集为， 所以， 所以，所以，所以，又，所以， 所以实数的最大值为. 故选：C 2．（2024·四川成都·二模）已知函数．给出下列四个结论： ①； ②存在，使得； ③对于任意的，都有； ④对于任意的，都有． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】对于①，借助中间值，计算即可判断；对于②，构造函数，由零点存在性定理判段即可；对于③，构造函数，，根据函数单调性判断即可；对于④，分段讨论当，，当，，再将函数，两边同时取对数化简可得，提公因式构造不等式判断可得，根据绝对值的意义判断即可. 【详解】因为，所以，， 因为，， 所以，故①错误； 若，则，即， ，即， 令，因为， 所以存在，使得，即， 所以存在，使得，故②正确， 因为， 因为在上单调递减，所以也单调递减， 所以， ， 因为在上单调递增，所以也单调递增， 所以， 即，即对于任意的，都有，故③正确； 由②可知，存在，使得， 结合③可知当，，，即， 可知当，，，即， 因为，，得， 即， 当，有， 因为，所以，所以， 所以，即， 当，有， 因为，所以，所以， 即，所以对于任意的，都有，故④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】方法点睛：解决本题②，在于构造函数，利用零点存在性定理判段；本题③，关键在于构造函数，，根据复合函数单调性判断；本题④，关键在于根据②的结论分段讨论，将函数两边同时取对数可得，结合③计算有关结论，提公因式构造不等式得，然后判断即可. 3．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时， (1)求实数a的值以及函数的解析式； (2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，得到，求得，再结合函数的奇偶性性，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，结合函数在为单调递减函数，求得其最小值，即可求解. 【详解】（1）解：因为当时，，可得， 又因为函数是上的奇函数，所以，即，解得， 即当，且时，， 由时，则，因为函数是上的奇函数， 可得， 所以函数的解析式为. （2）不等式在上恒成立， 等价于不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 因为和在为单调递减函数， 所以函数在为单调递减函数， 当时，的最小值为， 所以实数的取值范围为. 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【答案】B 【分析】利用对数函数的定义求解． 【详解】根据对数函数的定义且, 分析A,B,C,D函数形式， 函数为对数函数. 故选：B. 2．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域即可求解. 【详解】∵， ∴函数的定义域为， 故选：A. 3．（20-21高一上·上海·期末）函数的大致图像是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据特值，以及函数单调性即可容易判断. 【详解】取，得到，即函数过点，排除C和D， 因为为单调增函数，故在和上单调递减，排除B. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 4．（2024·上海·三模）已知函数恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】令，即可求解恒过定点，进而求解. 【详解】令，解得，此时， 所以恒过定点，则， 所以. 故选：C 5．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数（）的值域是，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】首先由函数的性质，结合函数的值域，画出函数的图象，并结合端点的取值，结合函数的图象，以及最值，即可判断的取值. 【详解】设 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值， 单调递增， 所以的图象如图所示， 令，得或， 当时，的值域为，所以，故①正确； 当时， ，， 的值域为，所以,故②正确； ③当时，，而， 所以，故③正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的图象，以及最值问题，本题的关键是结合最值，画出函数的图象，并根据最值，分析端点值的取值范围. 6．（2022·山东淄博·三模）已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于对称 B． C．若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增 D．若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为 【答案】BC 【分析】利用函数的对称性可判断A选项；利用已知条件结合偶函数的性质可判断B选项；利用函数周期性可判断C选项；设，利用 【详解】对于A选项，因为，则函数的图象关于点对称，A错； 对于B选项，因为且函数为偶函数， 所以，可得，所以，， 所以，对任意的，，B对； 对于C选项，因为， 若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增，C对； 对于D选项，当时，，， 所以，，D错. 故选：BC. 7．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）下列函数是奇函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数定义域为， 可得，所以函数为奇函数，符合题意； 对于B中，由函数定义域为，且， 所以函数是偶函数，不符合题意； 对于C中，由函数定义域为， 且，所以为奇函数，符合题意； 对于D中，由函数，可得，不是奇函数，不符合题意. 故选：AC. 8．（23-24高一上·四川乐山·阶段练习）已知且则函数与函数的图像不可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】ACD 【分析】先根据题干讨论的取值范围，然后根指对函数图像的性质判断即可. 【详解】且，分类讨论有： 情况一：时： 先讨论，当单减， 此时C选项满足，此时D选项不满足； 现在讨论，当单减， 此时C选项不满足，此时D选项满足； 综上所述：CD选项不可能； 情况二：时：这种情况直接舍去，因对且； 情况三：时： 先讨论，当单增，此时AB选项满足， 现在讨论，当单增，此时B选项满足， 综上所述：B选项是有可能正确的； 对于A选项的对数图像显然不在定义域内，故也是不可能的. 综上所述：图像不可能是ACD选项. 故选：ACD. 9．（24-25高三上·四川达州·开学考试）已知命题“”为真命题，则实数的值可以是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】CD 【分析】进行参变分离，设，判断函数的单调性，求出最值即可求出的取值范围，即可求解． 【详解】因为命题“”为真命题， 所以． 令， 根据增函数减去减函数知：为增函数， 当时，有最小值， 故实数的取值范围为． 故选：CD． 10．（2024高三·全国·专题练习）下列关于函数的说法中，不正确的是（    ） A．有最大值，在上为增函数 B．有最大值，在上为减函数 C．有最小值，在上为增函数 D．有最小值，在上为减函数 【答案】BCD 【分析】利用换元法，令，则，然后求出的值域，再利用对数函数的单调性可求出的最值，求出的单调区间，再利用复合函数单调性的求法可求出的单调区间. 【详解】令，则， 所以， 所以有最大值，所以CD错误， 因为在上递减，在上递增，而在定义域内递减， 所以在上递增，在上递减， 所以A正确，B错误， 故选：BCD 11．（22-23高一·全国·课堂例题）如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为 （用“＞”号连接）．    【答案】 【分析】由对数函数的图象与性质判断 【详解】由题图可知，，，． 直线与四个函数图象交点的横坐标从左向右依次为，，，， 故答案为： 12．（23-24高二下·北京石景山·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据定义域的求解方法即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： . 13．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则当时， ． 【答案】 【分析】先根据已知得出，再代入运算即可得解. 【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，、 所以，即， 当时，. 故答案为：. 14．（23-24高一上·河北保定·期末）已知且，当时，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】按和分类讨论可得． 【详解】当时，. 当时，成立. 当时，若成立，是减函数，是增函数，则，解得，所以. 综上，的取值范围为. 故答案为：． 15．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数对任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可知在上单调递减，令，则由复合函数单调性可知二次函数在上单调递减，由此列不等式组即可求解. 【详解】由题意可知，在上单调递减， 令，则在上单调递减，且在上恒成立， 所以，解得， 故答案为： 16．（23-24高三上·安徽合肥·期中）设函数的定义域为集合，函数，的值域为集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合，当时，利用函数的单调性求出集合，再利用并集的定义可求得集合； （2）分析可知，，利用函数的单调性求出集合，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：对于函数，有，得， 解得，得， 当时，因为函数在上递减，则，即， 所以，所以. （2）解：因为“”是“”的必要不充分条件，则， 函数在上递减，所以，且， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数是严格增函数，其反函数是． (1)若，求，并写出定义域； (2)对于（1）的和，设任意，，，求证：． 【答案】(1)，； (2)证明见详解． 【分析】（1）求出原函数值域，即为反函数的定义域，再根据反函数的求解过程，即可求得； （2）根据（1）中所求，用分析法将不等式进行不断转换，即可证明. 【详解】（1）因为在单调递增， 所以， 即的值域为， 由，可得， 又因为， 所以， 即，其定义域为， 故，定义域； （2）由（1）可知，， 要证， 即证， 也就是证 ， 因为， 所以， 则， 同理可得， 故成立， 则原不等式成立，即证． 18．（22-23高三上·安徽淮北·阶段练习）已知函数f(x)＝lg(x＋1)． (1)若0<f(1－2x)－f(x)<1，求实数x的取值范围； (2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g(x)＝f(x)，当x∈[1,2]时，求函数y＝g(x)的解析式． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先求出对数函数的定义域，由对数的运算性质有，则，再根据对数函数的图象分析可得，从而可得的取值范围；（2）根据题意，由函数的奇偶性与周期性分析可得，代入函数的解析式即可得答案. 【详解】(1)由得－1<x<1. 由0<lg(2－2x)－lg(x＋1)＝lg<1， 得1<<10.因为x＋1>0，所以x＋1<2－2x<10x＋10，解得－<x<. 由得－<x<. (2)当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，因此y＝g(x)＝g(x－2)＝g(2－x)＝f(2－x)＝lg(3－x)． 【点睛】本题考查对数函数的图象以及对数不等式的解法，以及根据函数周期性与奇偶性求函数的解析式.已知当时，函数，则当时，求函数的解析式，有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若函数为奇函数，则函数的解析式为 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）画出下列函数的图像： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）利用描点法作出函数图象. （2）（3）利用变换法作出函数图象. 【详解】（1）函数的定义域为，列表如下： x 1 3 y 0 1 描点、连线，作出图象：    （2）作出函数的图象，把函数的图象向右平移1个单位长度得的图象，如图：    （3）作出函数的图象，把函数的图象在x轴下方部分沿x轴向上翻折得的图象，如图：    20．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知函数. (1)求函数的最大值，并求出取得最大值时的值； (2)若关于的不等式对于能成立，求正实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数取到最大值为1 (2) 【分析】（1）根据对数运算公式化简得，再利用换元法求函数得最值即可； （2）由关于的不等式对于能成立，知，所以，解不等式即可. 【详解】（1）因为， 令， 可得， 所以当且仅当，即时，函数取到最大值1. （2）由（1）可得：当且仅当，即时，函数取到最大值1， 所以，即，且，解得，即， 故实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$