第四章 对数运算与对数函数重难点检测卷-2024-2025学年高一年级数学重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第一册）

第四章 对数运算与对数函数重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2023·北京丰台·一模）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（23-24高二下·北京昌平·期末）把液体放在冷空气中冷却，如果液体原来的温度是，空气的温度是，则min后液体的温度可由公式求得．把温度是的液体放在的空气中冷却，液体的温度冷却到和所用时间分别为min，min，则的值约为（    ） （参考数据） A．2.7 B．3.7 C．4.7 D．5.7 3．（23-24高一上·北京·阶段练习）若，则下列等式中正确是的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·北京·开学考试）函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．2 C． D． 5．（21-22高二下·北京东城·期末）若函数的图象过点，则（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-3 6．（21-22高一上·北京房山·期末）已知函数的反函数是，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（20-21高三上·北京·期中）设x，y是实数，则“，且”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（21-22高一上·北京·期中）下列指数式与对数式互化正确的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．（20-21高一上·北京·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二下·湖南·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．为偶函数 C．的值域为 D．在上单调递减 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（23-24高三下·北京·开学考试）已知，，则的值为 ． 13．（23-24高一上·上海·期末）已知，，则可以用a、b表示为 . 14．（22-23高一上·北京海淀·阶段练习）若一个对数函数的反函数图象经过点，则此反函数解析式 . 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（22-23高一上·江苏镇江·期中）计算． (1)； (2)． 17．（22-23高一上·甘肃酒泉·期末）对于问题：已知，求的值，有同学给出如下解答： 由，可得，所以， 即，解得，或，所以或． 由于或均满足，故的值为1或4． 该同学的解答过程是否正确？若不正确，分析错因，试举例说明，并予以更正（写出正确的解答过程及结果）． 18．（24-25高一上·上海·课后作业）求函数的反函数． 19．（24-25高一上·上海·单元测试）解方程： (1)； (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 对数运算与对数函数重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2023·北京丰台·一模）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质及所给函数解析式计算可得. 【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以. 故选：A 2．（23-24高二下·北京昌平·期末）把液体放在冷空气中冷却，如果液体原来的温度是，空气的温度是，则min后液体的温度可由公式求得．把温度是的液体放在的空气中冷却，液体的温度冷却到和所用时间分别为min，min，则的值约为（    ） （参考数据） A．2.7 B．3.7 C．4.7 D．5.7 【答案】B 【分析】根据题目给的温度公式，代入计算即可. 【详解】由已知，， 所以，， 所以. 故选：. 3．（23-24高一上·北京·阶段练习）若，则下列等式中正确是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算法则、换底公式判断． 【详解】当时，ABC均不成立， 由换底公式知D正确． 故选：D． 4．（24-25高三上·北京·开学考试）函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】解：因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以. 故选：D. 5．（21-22高二下·北京东城·期末）若函数的图象过点，则（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-3 【答案】A 【分析】因为函数图象过一点，代入该点的坐标解方程即得解. 【详解】解：由已知得，所以，解得：， 故选：A． 6．（21-22高一上·北京房山·期末）已知函数的反函数是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知函数解析式求得，再把与互换可得原函数的反函数，取得答案． 【详解】解：由，得， 原函数的反函数为， 则． 故选：D． 7．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，即的图象在图象的上方，画出图象，即可得出答案. 【详解】因为的定义域为， 因为，， 由可得，即的图象在图象的上方， 画出的图象，如下图，    由图可知：不等式的解集是. 故选：D. 8．（20-21高三上·北京·期中）设x，y是实数，则“，且”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】首先判断“，且”能否推出 “；再判断 能否推出“，且”，利用充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】若“，且”,则，， 所以“，且”是“充分条件； 若，则，可得，但得不出“，且”，如，可得，所以 得不出“，且”， 所以“，且”是“充分不必要条件； 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是要熟悉充分条件和必要条件的定义，能正确判断条件能否推出结论，结论能否推出条件. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（21-22高一上·北京·期中）下列指数式与对数式互化正确的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BD 【分析】根据指数式与对数式的互化公式，依次验证每个选项即可得解. 【详解】对于A，可化为：，故不正确； 对于B，可化为：，故正确； 对于C，可化为：，故不正确； 对于D，可化为：，故正确. 故选：BD 10．（20-21高一上·北京·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】根据对数的运算法则，逐一分析选项即可得答案. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：BCD 11．（22-23高二下·湖南·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．为偶函数 C．的值域为 D．在上单调递减 【答案】BD 【分析】利用函数奇偶性以及单调性的定义，结合对数的运算法则以及对数函数的定义域，可得答案. 【详解】由函数， 则可得，解得，即该函数的定义域为， 由，则函数为偶函数，A错，B对； 因为，所以，的值域为，C错； 取任意，令，则， ，，且，则，即， 可得，故函数在上单调递减，D对； 故选：BD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（23-24高三下·北京·开学考试）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据指数式和对数式的互化及对数的运算性质计算即可. 【详解】因为, 所以, 所以. 故答案为：2. 13．（23-24高一上·上海·期末）已知，，则可以用a、b表示为 . 【答案】 【分析】利用指数、对数互化关系及对数换底公式求解即得. 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 14．（22-23高一上·北京海淀·阶段练习）若一个对数函数的反函数图象经过点，则此反函数解析式 . 【答案】 【分析】设出所求反函数的解析式，结合已知条件，求解即可. 【详解】根据题意，所求反函数为指数函数，故可设， 又其图象过点，则，解得（舍）或，故. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)1000. 【分析】根据指数式和对数式的互化解答（1）（2）；根据对数的性质解答（3）（4）. 【详解】（1）∵，∴，即，∴，解得． （2）∵，∴，∴． （3）∵，∴，∴． （4）∵，∴，∴． 16．（22-23高一上·江苏镇江·期中）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂的运算性质及根式的运算性质化简求值； （2）根据对数的运算性质求解即可. 【详解】（1） （2） 17．（22-23高一上·甘肃酒泉·期末）对于问题：已知，求的值，有同学给出如下解答： 由，可得，所以， 即，解得，或，所以或． 由于或均满足，故的值为1或4． 该同学的解答过程是否正确？若不正确，分析错因，试举例说明，并予以更正（写出正确的解答过程及结果）． 【答案】解答过程不正确，的值为4，详解见解析． 【分析】根据对数函数的性质，列不等式组得出，利用对数的性质化简原方程，结合已知范围，可得的值． 【详解】不正确，理由如下： 由已知可得，，即，则可化简为， 等价于，即，解得，或， 所以（舍）或．故的值为4． 18．（24-25高一上·上海·课后作业）求函数的反函数． 【答案】 【分析】得出可得反函数的定义域，再由解出即可得解. 【详解】，由，得， 所以的反函数为． 19．（24-25高一上·上海·单元测试）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用对数的运算性质，真数大于求出的范围，将，从而建立等式求解； （2）利用换元的思想将等式转化成一元二次方程求解，注意参数的取值范围，得到即可求解． 【详解】（1）解：由题意，根据对数的运算性质，可得， 可得 解得． ∴原方程的解为． （2）解：令，则方程变为：， 即， ∴， 解得，（舍去）． ∴，． ∴原方程的解为． 学科网（北京）股份有限公司 $$