专题01 指数幂的拓展重难点题型专训（2大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第一册）

专题01 指数幂的拓展重难点题型专训（2大题型+20道拓展培优） 题型一 根式的化简求值 题型二 分数指数幂与根式的互化 知识点1　指数幂的拓展 1.正分数指数幂 互素指的是两个数之间除了1之外没有更多的公约数 给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn=am,则称b为a的次幂,记作b=.这就是正分数指数幂. 有时,也把写成的形式. 2.负分数指数幂 给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),定义 3.无理数指数幂 一般地,给定正数a,对于任意的正无理数α,自然地,规定a-α=. 这样,指数幂中指数的范围就拓展到了全体实数. 【经典例题一 根式的化简求值】 【例1】（23-24高一上·北京大兴·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·北京延庆·期末）的值为（    ） A． B． C．2 D．4 2．（23-24高一上·北京顺义·开学考试）设，，则化简为 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求的5次方根． 【经典例题二 分数指数幂与根式的互化】 【例2】（21-22高一上·北京大兴·期末）已知，则 （    ） A． B． C． D． 1．（21-22高一上·北京房山·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海长宁·期末）根式的指数幂形式为 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）用根式的形式表示下列各式（其中）： (1)； (2)； (3)； (4)． . 1．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．2 4．（2023高三上·广西·学业考试）（    ） A．0 B． C．1 D．2 5．（23-24高一上·湖南岳阳·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．3 D． 6．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．16的4次方根是 B． C． D． 7．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（2022高一上·全国·专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·江西新余·期中）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·甘肃白银·期末）下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·上海·课前预习）在实数范围内，一个正实数a的平方根有 个，是 ；0的平方根是 ；一个负实数 平方根.一个实数b的立方根有 个，是 . 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）用有理数指数幂的形式表示： ． 13．（25-26高一上·全国·课前预习）根式：式子 （，）叫作根式，n叫作 ，a叫作 14．（23-24高二下·山东菏泽·期末）定义区间，其中，则满足的m的最大值为 . 15．（24-25高一上·上海·随堂练习） ． 16．（24-25高一·全国·课堂例题）如何理解次方根的概念？ 17．（23-24高一·上海·课堂例题）当时，求的值． . 18．（23-24高一上·广东·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. 19．（2023高一·江苏·专题练习）把下列根式化成分数指数幂的形式，其中． (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（2023高一·江苏·专题练习）用根式的形式表示下列各式（）． (1) (2) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 指数幂的拓展重难点题型专训（2大题型+20道拓展培优） 题型一 根式的化简求值 题型二 分数指数幂与根式的互化 知识点1　指数幂的拓展 1.正分数指数幂 互素指的是两个数之间除了1之外没有更多的公约数 给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn=am,则称b为a的次幂,记作b=.这就是正分数指数幂. 有时,也把写成的形式. 2.负分数指数幂 给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),定义 3.无理数指数幂 一般地,给定正数a,对于任意的正无理数α,自然地,规定a-α=. 这样,指数幂中指数的范围就拓展到了全体实数. 【经典例题一 根式的化简求值】 【例1】（23-24高一上·北京大兴·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用根式和指数幂的运算求解, 【详解】解：， 故选：A 1．（22-23高一上·北京延庆·期末）的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据根式的运算求得正确答案. 【详解】. 故选：C 2．（23-24高一上·北京顺义·开学考试）设，，则化简为 . 【答案】 【分析】根据根式的性质即可求解. 【详解】由于，，所以 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求的5次方根． 【答案】 【分析】利用5次方根的定义求解即可. 【详解】的5次方根为 . 【经典例题二 分数指数幂与根式的互化】 【例2】（21-22高一上·北京大兴·期末）已知，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将根式转化为分数指数幂，然后根据幂的运算性质即可求解. 【详解】解：因为，所以， 故选：B. 1．（21-22高一上·北京房山·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂与根式的互化可得结果. 【详解】利用分数指数幂与根式的互化可得. 故选：A. 2．（23-24高一上·上海长宁·期末）根式的指数幂形式为 . 【答案】 【分析】根据有理数指数幂的运算性质求解． 【详解】，． 故答案为：． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）用根式的形式表示下列各式（其中）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据分数指数幂与根式的互化公式求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 1．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由得，对于A，由和即可判断；对于BD，由时无意义即可判断；对于C，由得得解. 【详解】由可知， 对于A，，，故A错误； 对于B，时，，而无意义，故B错误； 对于C，，，且，故C正确； 对于D，时，，而无意义，故D错误； 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分数指数幂的运算法则求解. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 3．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用分数指数幂的性质即可得解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B. 4．（2023高三上·广西·学业考试）（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据指数幂运算计算即可. 【详解】. 故选：D. 5．（23-24高一上·湖南岳阳·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式的求法和根式的运算求解. 【详解】，所以， 所以3， 故选:C. 6．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．16的4次方根是 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用根式的定义即可求解. 【详解】对于A，令，解得，即16的4次方根是，故A正确； 对于B，负数的立方根是负数，所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，是非负数，所以，故D正确. 故选：ACD. 7．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【分析】根据得到，结合，得到且或，得到答案. 【详解】因为，又， 所以， 故， 又， 所以或， 故选：BD 8．（2022高一上·全国·专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案. 【详解】对A：，错； 对B：，错； 对C：，对； 对D：，对. 故选：CD 9．（23-24高一上·江西新余·期中）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据指数幂的运算法则依次计算即可. 【详解】对选项A：，错误； 对选项B：，正确； 对选项C：，正确； 对选项D：，错误； 故选：BC 10．（23-24高一上·甘肃白银·期末）下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】运用根式的化简方法直接求解即可. 【详解】 A项错误； B项正确； C项正确； D项正确． 故选：BCD 11．（24-25高一上·上海·课前预习）在实数范围内，一个正实数a的平方根有 个，是 ；0的平方根是 ；一个负实数 平方根.一个实数b的立方根有 个，是 . 【答案】 2 和 0 没有 1 【分析】略 【详解】略 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）用有理数指数幂的形式表示： ． 【答案】 【分析】根据根式与分数指数幂转化，后用指数幂性质即可. 【详解】原式 故答案为：． 13．（25-26高一上·全国·课前预习）根式：式子 （，）叫作根式，n叫作 ，a叫作 【答案】 根指数 被开方数 【分析】略 【详解】略 14．（23-24高二下·山东菏泽·期末）定义区间，其中，则满足的m的最大值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，依次求出，即可求出m的最大值. 【详解】依题意，，，则， ，而，，则， ，由，得，因此， ，而，于是， 即，，所以. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用根式的性质比较大小. 15．（24-25高一上·上海·随堂练习） ． 【答案】 【分析】由根式的运算求解即可. 【详解】由根式的运算可知，. 故答案为： 16．（24-25高一·全国·课堂例题）如何理解次方根的概念？ 【答案】答案见解析 【详解】（1）在次方根的概念中，关键是数的次方根满足，因此求一个数的次方根就是求哪个数的次方等于． （2）次方根，实际上就是平方根与立方根的推广． （3）次方根的概念表明，乘方与开方是互逆运算． 17．（23-24高一·上海·课堂例题）当时，求的值． 【答案】0 【分析】利用根式的运算性质化简即可. 【详解】因为， 所以. 18．（23-24高一上·广东·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）18，（2）答案见解析 【分析】（1）由指数幂的运算公式可得答案： （2）对已知两边平方再解方程求出代入可得答案. 【详解】（1）由指数幂的运算公式，可得： ； （2）由，平方可得， 整理得，解得或， 当时，可得； 当时，可得. 19．（2023高一·江苏·专题练习）把下列根式化成分数指数幂的形式，其中． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）由根式与指数幂的关系，将各根式化为指数幂形式. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 20．（2023高一·江苏·专题练习）用根式的形式表示下列各式（）． (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）（2）由有理数指数幂与根式的关系化幂式为根式. 【详解】（1）； （2）. 学科网（北京）股份有限公司 $$