第9课 等腰三角形的性质定理-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第9课 等腰三角形的性质定理 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握等腰三角形性质定理 2.会利用等腰三角形的性质定理进行简单的推理判断、计算和作图. 4..探索等边三角形的性质:等边三角形的各个内角都等于60. ( 知识精讲 ) 知识点01 等腰三角形的性质1. 等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等. 也可以说成：在同一个三角形中，等边对等角. 知识点02 等腰三角形的性质2 等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合.简称等腰三角形三线合一. 知识点03 等边三角形的性质 　　等边三角形的性质：等边三角形的各个角都等于60° ( 能力拓展 )考点01 等腰三角形的性质1 【典例1】已知：在△ABC中，AB＝AC，AD是外角∠CAE的平分线．求证：AD∥BC． 【即学即练1】如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若∠A＝30°，求∠BCD的度数． 考点02 等腰三角形的性质2 【典例2】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝72°，点D是BC的中点． （1）求∠C的度数； （2）求∠CAD的度数； （3）若EA＝ED，试说明：ED∥AB． 【即学即练2】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的中线，∠BAC＝50°，AE＝CE，EF∥AB，求∠FEC的度数． 考点03 等边三角形的性质 【典例3】如图，△ABC、△ADE是等边三角形，B、C、D在同一直线上． 求证：（1）CE＝AC+DC；（2）∠ECD＝60°． 【即学即练3】如图，等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD＝AE，AD、BE相交于点P，试求∠BPD的度数． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，则∠A等于（　　） A．25° B．50° C．65° D．115° 2．已知：△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的高，下面结论不一定成立的是（　　） A．BD＝CD B．BD＝AD C．AD平分∠BAC D．∠B＝∠C 3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD⊥BC于点D，且BD＝2，则△ABC的周长为（　　） A．10 B． C．12 D．14 4．如图，直线l1∥l2，AB＝BC，CD⊥AB于点D，若∠1＝65°，则∠DCA的度数为（　　） A．65°． B．25° C．15° D．35° 5．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一” 6．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝25°，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是（　　） A．72° B．65° C．50° D．36° 7．如果等腰三角形的一个内角为100°，则它的一个底角度数为（　　） A．100° B．40° C．50° D．60° 8．下列说法中，正确的个数是（　　） ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角为60°的三角形是等边三角形； ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，等边△ABC的边长为6，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　） A．3 B．6 C．3 D．3 10．已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 11．一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，则顶角的大小是 　　． 12．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为 　　． 13.如图：已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC．求证：∠C＝2∠D． 14.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AB上，BE＝BD，∠BAC＝80°． （1）求∠BDE的度数； （2）求∠ADE的度数． 15.在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE．求证：AD＝CE． 题组B 能力提升练 16．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40° 17．已知等腰△ABC的周长为16，其中一边长为6，AD为底边BC上的高，则BD的长为（　　） A．2 B．3 C．4或6 D．2或3 18．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，连接AD．若∠B＝40°，BA＝BD，则∠DAC为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 19．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则顶角的度数是（　　） A．50° B．40°或130° C．50°或130° D．40°或140° 20．如图，等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DB'、EB'分别交边AC于点F、G．如果测得∠GEC＝36°，那么∠ADF＝　 　． 21．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上（不与端点重合），连接BE，CD． （1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：　 　，使得CD＝BE，并说明理由； （2）如图2，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，若∠BAC＝40°，BE平分∠ABC，求∠F的度数． 22．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点F，AE＝AB． （1）若∠C＝40°，求∠BAE的度数； （2）若CD＝5，CF＝4，求△ABC的周长． 题组C 培优拔尖练 23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AN，BC＝BM，则∠MCN＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．55° 24．如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，连接FH．给出下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AGB＝60°；③BF＝AH；④△CFH是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 25. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，现将一含30°角的三角板（∠DAE＝90°，∠E＝30°） 的直角顶点与点A重合，并绕着点A在平面内顺时针转动，当DE∥BC时，∠BAE的度数为 　 　． 26．在△ABC中，∠C为钝角，∠A＝48°，如果经过△ABC其中一个顶点作一条直线能把△ABC分成两个等腰三角形，那么∠C的度数为 　 　． 27. 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°），现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上．如图所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2＝AA1． （1）若已经摆放了3根小棒，则θ1＝　 　，θ2＝　 　，θ3＝　 、　（用含θ的式子表示）； （2）若只能摆放4根小棒，求θ的范围． 28．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数． 29. 在△ABC中，AB＝AC． （1）如图①，如果∠BAD＝30°，AD是△ABC中BC边上的高，并且AD＝AE，则∠EDC＝　 °； （2）如图②，如果∠BAD＝40°，AD是△ABC中BC边上的高，并且AD＝AE，则∠EDC＝　 　°； （3）由（1），（2）猜想：∠BAD与∠EDC之间有什么数量关系？请用式子表示：　 　； （4）如图③，如果AD不是△ABC中BC边上的高，但仍有AD＝AE，请判断∠BAD与∠EDC之间是否仍然存在（3）中的数量关系？请说明理由． 30．在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED． （1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE； （2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9课 等腰三角形的性质定理 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握等腰三角形性质定理 2.会利用等腰三角形的性质定理进行简单的推理判断、计算和作图. 4..探索等边三角形的性质:等边三角形的各个内角都等于60. ( 知识精讲 ) 知识点01 等腰三角形的性质1. 等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等. 也可以说成：在同一个三角形中，等边对等角. 知识点02 等腰三角形的性质2 等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合.简称等腰三角形三线合一. 知识点03 等边三角形的性质 　　等边三角形的性质：等边三角形的各个角都等于60° ( 能力拓展 )考点01 等腰三角形的性质1 【典例1】已知：在△ABC中，AB＝AC，AD是外角∠CAE的平分线．求证：AD∥BC． 【思路点拨】由△ABC中，AB＝AC可知，∠B＝∠C，由三角形内角与外角的关系可知∠CAE＝∠B+∠C，因为AD平分△ABC的外角∠CAE．故同位角∠B＝∠1，由此得出结论． 【解析】证明：∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝∠CAE； ∵AD是外角∠CAE的平分线， ∴∠1＝∠2＝∠CAE； ∴∠B＝∠1， ∴AD∥BC． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，解答此类题目一般是利用角相等得出结论． 【即学即练1】如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若∠A＝30°，求∠BCD的度数． 【思路点拨】由垂直平分线的性质可得DA＝DC，从而可求得∠DCA；由AB＝AC，可得∠B＝∠ACB；利用三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，根据∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA，可求得答案． 【解析】解：∵DE垂直平分AC， ∴DA＝DC， ∴∠DCA＝∠A＝30°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝（180°﹣30°）÷2 ＝150°÷2 ＝75°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA ＝75°﹣30° ＝45°． ∴∠BCD的度数为45°． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与线段垂直平分线的性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 考点02 等腰三角形的性质2 【典例2】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝72°，点D是BC的中点． （1）求∠C的度数； （2）求∠CAD的度数； （3）若EA＝ED，试说明：ED∥AB． 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到结论； （2）根据等腰三角形的性质即可得到结论； （3）根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，∠ADE＝∠DAE＝36°，求得∠EDC＝90°﹣36°＝54°，根据平行线的判定定理即可得到结论． 【解析】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝72°， ∴∠B＝∠C＝×（180°﹣72°）＝54°， 故∠C的度数为54°； （2）∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴∠CAD＝∠BAC＝×72°＝36°； （3）∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵AE＝DE， ∴∠ADE＝∠DAE＝36°， ∴∠EDC＝90°﹣36°＝54°， ∵∠B＝54°， ∴∠B＝∠CDE， ∴DE∥AB． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【即学即练2】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的中线，∠BAC＝50°，AE＝CE，EF∥AB，求∠FEC的度数． 【思路点拨】先证明∠BAD＝∠DAC＝25°，∠EAC＝∠ECA＝25°，再结合平行线的性质与三角形的外角的性质可得答案． 【解析】解：∵AB＝AC，AD为△ABC的中线， ∴AD平分∠BAC． ∵∠BAC＝50°， ∴∠BAD＝∠DAC＝25°． ∵AE＝CE， ∴∠EAC＝∠ECA＝25°， ∴∠DEC＝180°﹣∠AEC＝180°﹣（180°﹣25°﹣25°）＝50°． ∵EF∥AB， ∴∠FED＝∠BAD＝25°， ∴∠FEC＝75°． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，等边对等角，正确记忆相关知识点是解题关键 考点03 等边三角形的性质 【典例3】如图，△ABC、△ADE是等边三角形，B、C、D在同一直线上． 求证：（1）CE＝AC+DC；（2）∠ECD＝60°． 【思路点拨】（1）根据△ABC、△ADE都是等边三角形，得到AE＝AD，BC＝AC＝AB，∠BAC＝∠DAE＝60°，推出∠BAD＝∠CAE，得到△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到BD＝EC，即可推出答案； （2）由（1）知：△BAD≌△CAE，根据平角的意义即可求出∠ECD的度数． 【解析】证明：（1）∵△ABC、△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD，BC＝AC＝AB，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， 即：∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴BD＝EC， ∵BD＝BC+CD＝AC+CD， ∴CE＝BD＝AC+CD； （2）由（1）知：△BAD≌△CAE， ∴∠ACE＝∠ABD＝60°， ∴∠ECD＝180°﹣∠ACB﹣∠ACE＝60°， ∴∠ECD＝60°． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，平角的定义等知识点，解此题的关键是根据等边三角形的性质证出△BAD≌△CAE和∠ACE＝∠ABD． 【即学即练3】如图，等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD＝AE，AD、BE相交于点P，试求∠BPD的度数． 【思路点拨】易证△ABD≌△BCE，可得∠BAD＝∠CBE，根据∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠ABE+∠CBE＝60°即可求得∠APE＝∠ABC，即可解题． 【解析】解：∵等边△ABC中，CD＝AE， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠C＝60°， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE， ∴∠BAD＝∠CBE， ∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠ABE+∠CBE＝60°，∠BPD＝∠APE， ∴∠BPD＝∠ABC＝60°． 【点睛】本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，全等三角形的证明，全等三角形对应角相等的性质，本题中求证∠APE＝∠ABC是解题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，则∠A等于（　　） A．25° B．50° C．65° D．115° 【思路点拨】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 【解析】解：∵AB＝AC，∠B＝65°， ∴∠B＝∠C＝65°， ∴∠A＝180°﹣65°×2＝50°， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌据等腰三角形的性质是解题的关键． 2．已知：△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的高，下面结论不一定成立的是（　　） A．BD＝CD B．BD＝AD C．AD平分∠BAC D．∠B＝∠C 【思路点拨】利用等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线相互重合进行判断即可． 【解析】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AD是底边BC上的高， ∴BD＝CD，AD平分∠BAC， ∴A、C、D都是正确的，一定成立，不符合题意， B不一定成立，符合题意， 故选：B． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线相互重合是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD⊥BC于点D，且BD＝2，则△ABC的周长为（　　） A．10 B． C．12 D．14 【思路点拨】先利用等腰三角形的性质得出BC＝4，最后用三角形的周长公式即可求出答案． 【解析】解：∵AB＝AC＝5，AD⊥BC于点D， ∴BD＝CD， ∴BC＝2BD， ∵BD＝2， ∴BC＝4， ∵AB＝AC＝5， ∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝14． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，解本题的关键是根据等腰三角形的性质求出BC＝4． 4．如图，直线l1∥l2，AB＝BC，CD⊥AB于点D，若∠1＝65°，则∠DCA的度数为（　　） A．65°． B．25° C．15° D．35° 【思路点拨】根据l1∥l2可得∠ACB＝65°，再结合AB＝BC和三角形内角和即可求解． 【解析】解：∵∠1＝65°，l1∥l2， ∴∠ACB＝65°， ∵AB＝BC， ∴∠BAC＝65°， ∵CD⊥AB， ∴∠DCA＝90°﹣∠BAC＝25°． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质和等腰三角形的性质，掌握平行线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 5．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一” 【思路点拨】根据等腰三角形的性质解答即可． 【解析】解：∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答的关键． 6．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝25°，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是（　　） A．72° B．65° C．50° D．36° 【思路点拨】根据等腰三角形的性质和垂直的定义即可得到结论． 【解析】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝25°， ∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．如果等腰三角形的一个内角为100°，则它的一个底角度数为（　　） A．100° B．40° C．50° D．60° 【思路点拨】根据等腰三角形的性质分两种情况：当顶角为100°时，当底角为100°时进行计算，再根据三角形内角和定理进行判断即可． 【解析】解：当顶角为100°时，底角为， 当底角为100°时，两底角的和为100°+100°＝200°＞180°，不满足三角形内角和定理， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 8．下列说法中，正确的个数是（　　） ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角为60°的三角形是等边三角形； ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断； 【解析】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确． ②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；正确． ③有两个角为60°的三角形是等边三角形；正确． ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确． 故选：D． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9．如图，等边△ABC的边长为6，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　） A．3 B．6 C．3 D．3 【思路点拨】根据等边三角形的性质可知D是BC的中点，再根据勾股定理，即可求出AD的长． 【解析】解：在等边△ABC中， ∵AD⊥BC， ∴D为BC的中点， ∵等边三角形的边长为6， ∴AB＝6，BD＝3， 根据勾股定理，得AD＝＝3， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 10．已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【思路点拨】三角形为等边三角形，等边三角形三边相等，三个角也相等． 【解析】解：已知三角形为等边三角形，所以∠A＝∠B＝∠C＝＝60°故答案为C． 【点睛】等边三角形性质： 1三边相等 2三个角都相等 3三个角都等于60° 4高线、腰、底边中线三线合一． 11．一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，则顶角的大小是 　36°　． 【思路点拨】设等腰三角形的顶角度数为x，则底角度数为2x，根据三角形内角和定理列出方程，解方程即可． 【解析】解：设等腰三角形的顶角度数为x， ∵等腰三角形的底角是顶角的2倍， ∴底角度数为2x， 根据三角形内角和定理得：x+2x+2x＝180°， 解得x＝36°， 则顶角的度数为36°． 故答案为：36°． 【点睛】本题考查了等腰三角形“等边对等角”的性质及三角形的内角定理；根据三角形的内角和定理列方程是解答本题的关键． 12．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为 　　． 【思路点拨】设AC与直线a交于D，AB与直线a交于E，根据平行线性质得∠ADE＝∠1＝40°，再根据等边三角形性质得∠A＝60°，据此可得∠2的度数． 【解析】解：设AC与直线a交于D，AB与直线a交于E，如图所示： ∵直线a∥b，∠1＝40°， ∴∠ADE＝∠1＝40°， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴∠2＝180°﹣（∠A+∠ADE）＝180°﹣（60°+40°）＝80°． 故选：80°． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，准确识图，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键． 13.如图：已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC．求证：∠C＝2∠D． 【思路点拨】根据平行线的性质得到∠D＝∠DBC，根据等腰三角形的性质、等量代换证明． 【解析】证明：∵AD∥BC， ∴∠D＝∠DBC， ∵AB＝AD， ∴∠D＝∠ABD， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠ABC＝2∠D， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠C＝2∠D． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、平行线的性质，掌握等边对等角是解题的关键． 14.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AB上，BE＝BD，∠BAC＝80°． （1）求∠BDE的度数； （2）求∠ADE的度数． 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝50°，即可求解； （2）根据题意证明∠ADB＝90°，通过角度和差计算即可． 【解析】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝80°， ∴， ∵BD＝BE， ∴； （2）∵点D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝25°． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的“三线合一”是解决问题的关键． 15.在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE．求证：AD＝CE． 【思路点拨】在等边△ABC中，AC＝BA，∠EAC＝∠DBA，且BD＝AE则可得出△CAE≌△ABD从而得出AD＝CE． 【解析】证明：在△ABC中CA＝AB，∠CAE＝∠ABD， 又∵AE＝BD， 在△CAE和△ABD中，， ∴△CAE≌△ABD（SAS）． ∴AD＝CE． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质；三角形全等的证明是正确解答本题的关键． 题组B 能力提升练 16．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40° 【思路点拨】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立． 【解析】解：当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）×＝65°； 当50°是底角时亦可． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 17．已知等腰△ABC的周长为16，其中一边长为6，AD为底边BC上的高，则BD的长为（　　） A．2 B．3 C．4或6 D．2或3 【思路点拨】分BC＝6，和AB＝AC＝6，两种情况进行讨论，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求解， 【解析】解：当BC＝6时， ∵AD⊥BC，AB＝AC， ∴， 当AB＝AC＝6时，BC＝16﹣6﹣6＝4， ∵AD⊥BC， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是学会分情况讨论． 18．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，连接AD．若∠B＝40°，BA＝BD，则∠DAC为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【思路点拨】首先利用等腰三角形的性质求得∠BDA的度数，然后利用三角形的外角的性质求得答案即可． 【解析】解：∵∠B＝40°，BA＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA＝＝＝70°， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴∠DAC＝∠C＝∠BDA＝35°， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，解题的关键是了解线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 19．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则顶角的度数是（　　） A．50° B．40°或130° C．50°或130° D．40°或140° 【思路点拨】首先根据题意画出图形，一种情况是等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°；另一种情况是等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为130°． 【解析】：如图1，等腰三角形为锐角三角形， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝40°， ∴∠A＝180°﹣90°﹣40°＝50°； 如图2，等腰三角形为钝角三角形， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝40°， ∴∠BAD＝50°， ∴∠BAC＝∠ADB+∠ABD＝130°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的画出图形，结合图形利用数形结合的思想求解是解题的关键． 20．如图，等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DB'、EB'分别交边AC于点F、G．如果测得∠GEC＝36°，那么∠ADF＝　84°　． 【思路点拨】首先根据等边三角形的性质得∠B＝60°，再根据∠GEC＝36°得∠BEG＝144°，由翻折的性质得∠BED＝∠GED＝∠BEG＝72°，∠BDE＝∠FDE，然后根据三角形的内角和定理可得∠BDE＝∠FDE＝48°，则∠BDF＝96°，最后根据邻补角的定义可得∠ADF的度数． 【解析】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝60°， ∵∠GEC＝36°， ∴∠BEG＝180°﹣∠GEC＝180°﹣36°＝144°， 由翻折的性质得：∠BED＝∠GED，∠BDE＝∠FDE， ∴∠BED＝∠BEG＝×144°＝72°， ∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180°﹣60°﹣72°＝48°， ∴∠BDE＝∠FDE＝48°， ∴∠BDF＝∠BDE+∠FDE＝96°， ∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝180°﹣96°＝84°． 故答案为：84°． 【点睛】此题主要考查了图形的翻折及其性质，等边三角形的性质，熟练掌握图形的翻折及其性质，理解等边三角形的三个内角都等于60°是解决问题的关键． 21．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上（不与端点重合），连接BE，CD． （1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：　AD＝AE　，使得CD＝BE，并说明理由； （2）如图2，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，若∠BAC＝40°，BE平分∠ABC，求∠F的度数． 【思路点拨】（1）证△ABE≌△ACD（SAS），再由全等三角形的性质即可得出结论； （2）利用三角形内角和对了求得∠ABC＝∠ACB＝70°，由BE平分∠ABC，得出∠ABF＝∠CBF＝35°，利用平行线的性质即可证得∠F＝∠CBF＝35°． 【解析】解：（1）添加条件AD＝AE， 证明如下：∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴CD＝BE； 故答案为：AD＝AE； （2）在△ABC中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BAC＝40°， ∴∠ABC＝∠ACB＝70°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF＝35°， ∵AF∥BC， ∴∠F＝∠CBF＝35°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键． 22．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点F，AE＝AB． （1）若∠C＝40°，求∠BAE的度数； （2）若CD＝5，CF＝4，求△ABC的周长． 【思路点拨】（1）先利用线段垂直平分线的性质可得EA＝EC，从而可得∠C＝∠CAE＝40°，然后利用三角形的外角性质可得∠AEB＝80°，从而利用等腰三角形的性质可得∠AEB＝∠B＝80°，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答； （2）先利用线段垂直平分线的性质可得AC＝2CF＝8，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得DE＝BD，再利用等量代换可得CE＝AB，最后利用线段的和差关系以及三角形的周长公式进行计算，即可解答． 【解析】解：（1）∵EF是AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴∠C＝∠CAE＝40°， ∵∠AEB是△ACE的一个外角， ∴∠AEB＝∠C+∠CAE＝80°， ∵AE＝AB， ∴∠AEB＝∠B＝80°， ∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝20°， ∴∠BAE的度数为20°； （2）∵EF是AC的垂直平分线， ∴AC＝2CF＝8， ∵AE＝AB，AD⊥BE， ∴DE＝BD， ∵AE＝CE， ∴CE＝AB， ∵CD＝5， ∴CE+DE＝5， ∴AB+BD＝5， ∴△ABC的周长＝AC+AB+BC ＝8+AB+BD+DE+CE ＝8+5+5 ＝18， 即△ABC的周长为18． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AN，BC＝BM，则∠MCN＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．55° 【思路点拨】设∠BMC＝x，∠ANC＝y．由BC＝BM，根据等边对等角得出∠BCM＝∠BMC＝x，利用三角形内角和定理得出∠B＝180°﹣2x．同理得到∠ACN＝∠ANC＝y，∠A＝180°﹣2y．根据直角三角形两锐角互余得出∠A+∠B＝90°，那么x+y＝135°，即∠BCM+∠ACN＝135°，进而求出∠MCN＝∠BCM+∠ACN﹣∠ACB＝45°． 【解析】解：设∠BMC＝x，∠ANC＝y． ∵BC＝BM， ∴∠BCM＝∠BMC＝x，∠B＝180°﹣2x． ∵AC＝AN， ∴∠ACN＝∠ANC＝y，∠A＝180°﹣2y． ∵△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴180°﹣2y+180°﹣2x＝90°， ∴x+y＝135°， ∴∠BCM+∠ACN＝135°， ∴∠MCN＝∠BCM+∠ACN﹣∠ACB＝135°﹣90°＝45°． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，设∠BMC＝x，∠ANC＝y，得出x+y＝135°是解题的关键． 24．如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，连接FH．给出下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AGB＝60°；③BF＝AH；④△CFH是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD，可判断①正确； 利用△BCE≌△ACD得出∠CBF＝∠CAH，利用8字形可得∠AGB＝∠ACB＝60°，可判断②正确； 证明△BCF≌△ACH，得BF＝AH，可判断③正确； 由CF＝CH和∠ACH＝60°，根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形，可判断④正确． 【解析】解：∵△ABC和△DCE是等边三角形， ∴∠BCA＝∠DCE＝60°，AC＝BC，CE＝CD， ∴∠BCE＝∠ACD， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS），故①正确； ∵△BCE≌△ACD， ∴∠CBF＝∠CAH． ∵∠BFC＝∠AFG， ∴∠AGB＝∠ACB＝60°，故②正确； 在△BCF和△ACH中， ， ∴△BCF≌△ACH（ASA）， ∴CF＝CH，BF＝AH；故③正确； ∵CF＝CH，∠ACH＝60°， ∴△CFH是等边三角形；故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键． 25. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，现将一含30°角的三角板（∠DAE＝90°，∠E＝30°） 的直角顶点与点A重合，并绕着点A在平面内顺时针转动，当DE∥BC时，∠BAE的度数为 　40°或140°　． 【思路点拨】先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠B＝∠C＝70°，然后分两种情况：当DE在点A下方时；当DE在点A上方时；最后分别进行计算即可解答． 【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°， ∴∠B＝∠C＝＝70°， 分两种情况： 当DE在点A下方时，设DE交AB于点F，如图： ∵DE∥BC， ∴∠AFD＝∠B＝70°， ∵∠AFD是△AEF的一个外角， ∴∠BAE＝∠AFD﹣∠E＝70°﹣30°＝40°； 当DE在点A上方时，延长CA交DE于点F，如图： ∵DE∥BC， ∴∠EFC＝∠C＝70°， ∵∠EAC是△AEF的一个外角， ∴∠EAC＝∠E+∠EFC＝70°+30°＝100°， ∴∠BAE＝∠BAC+∠EAC＝100°+40°＝140°； 综上所述，∠BAE的度数为40°或140°， 故答案为：40°或140°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，分两种情况讨论是解题的关键． 26．在△ABC中，∠C为钝角，∠A＝48°，如果经过△ABC其中一个顶点作一条直线能把△ABC分成两个等腰三角形，那么∠C的度数为 　108°或99°或116°　． 【思路点拨】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分多钟情况解答即可． 【解析】解：当三角形是直角三角形时，肯定可以分割成两个等腰三角形，此时最大角为90°； 当一个角是另一个三倍时，也肯定可以分割成两个等腰三角形，此时最大角为99°； 如图3，此时最大角为108°． 当最大内角为88°或116°时，如图， 综上所述：最大角为108°或90°或99°或88°或116°， ∵∠C为钝角， 故答案为：108°或99°或116°． 【点睛】考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 27. 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°），现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上．如图所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2＝AA1． （1）若已经摆放了3根小棒，则θ1＝　2θ　，θ2＝　3θ　，θ3＝　4θ　（用含θ的式子表示）； （2）若只能摆放4根小棒，求θ的范围． 【思路点拨】（1）本题需先根据A1A2＝AA1，得出∠A1AA2和∠AA2A1相等，即可得出θ1的值，同样道理得出θ2、θ3的值； （2）根据（1）的结论，和三角形外角的性质，即可推出不等式，解不等式即可． 【解析】解：（1）∵A1A2＝AA1 ∴θ1＝∠A2A1A3＝2θ， ∴θ2＝∠A2A4A3＝θ+2θ＝3θ， ∴θ3＝∠A2A4A3+θ＝4θ， 故答案为2θ，3θ，4θ； （2）由题意得： ， ∴18°≤θ＜22.5°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键． 28．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数． 【思路点拨】设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数． 【解析】解：设∠A＝x． ∵AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝x； ∵BD＝BC， ∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x； ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠BCD＝2x， ∴∠DBC＝x； ∵x+2x+2x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质；利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过列方程求解是正确解答本题的关键． 29. 在△ABC中，AB＝AC． （1）如图①，如果∠BAD＝30°，AD是△ABC中BC边上的高，并且AD＝AE，则∠EDC＝　15　°； （2）如图②，如果∠BAD＝40°，AD是△ABC中BC边上的高，并且AD＝AE，则∠EDC＝　20　°； （3）由（1），（2）猜想：∠BAD与∠EDC之间有什么数量关系？请用式子表示：　∠BAD＝2∠EDC　； （4）如图③，如果AD不是△ABC中BC边上的高，但仍有AD＝AE，请判断∠BAD与∠EDC之间是否仍然存在（3）中的数量关系？请说明理由． 【思路点拨】（1）利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD＝∠DAC＝30°，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ADE＝∠AED＝75°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （2）利用（1）的解题思路，进行计算即可解答； （3）根据（1）和（2）的结论，即可解答； （4）利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，∠AED＝∠ADE，然后利用三角形的外角性质，以及角的和差关系可得∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADE＝∠ADC﹣∠EDC，从而可得∠EDC+∠C＝∠ADC﹣∠EDC．进而可得2∠EDC＝∠ADC﹣∠C，再根据三角形的外角性质可得∠BAD＝∠ADC﹣∠B，从而可得∠BAD＝2∠EDC，即可解答． 【解析】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC＝30°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝＝75°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝15°， 故答案为：15； （2）∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC＝40°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝＝70°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝20°， 故答案为：20； （3）由（1）和（2）可得：∠BAD＝2∠EDC， 故答案为：∠BAD＝2∠EDC； （4）∠BAD与∠EDC之间仍然存在（3）中的数量关系：∠BAD＝2∠EDC， 理由：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE， ∵∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADE＝∠ADC﹣∠EDC， ∴∠EDC+∠C＝∠ADC﹣∠EDC． ∴2∠EDC＝∠ADC﹣∠C， ∵∠BAD＝∠ADC﹣∠B， ∴∠BAD＝2∠EDC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 30．在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED． （1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE； （2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明． 【思路点拨】（1）由等边三角形的性质得出AE＝BE，∠BCE＝30°，再根据ED＝EC，得出∠D＝∠BCE＝30°，再证出∠D＝∠DEB，得出DB＝BE，从而证出AE＝DB； （2）作辅助线得出等边三角形AEF，得出AE＝EF，再证明三角形全等，得出DB＝EF，证出AE＝DB． 【解析】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵点E是AB的中点， ∴CE平分∠ACB，AE＝BE， ∴∠BCE＝30°， ∵ED＝EC， ∴∠D＝∠BCE＝30°． ∵∠ABC＝∠D+∠BED， ∴∠BED＝30°， ∴∠D＝∠BED， ∴BD＝BE． ∴AE＝DB． （2）解：AE＝DB； 理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示： ∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC， ∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°， 即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°， ∴△AEF是等边三角形． ∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°， ∵DE＝EC， ∴∠D＝∠ECD， ∴∠BED＝∠ECF． 在△DEB和△ECF中， ， ∴△DEB≌△ECF（AAS）， ∴DB＝EF， ∴AE＝BD． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形的外角以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$