第8课 等腰三角形-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第8课 等腰三角形 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解等腰三角形的概念. 2.掌握等腰三角形的轴对称性:等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴. 3.会运用等腰三角形的概念和轴对称性解决简单几何问题 4.了解等边三角形的概念 ( 知识精讲 ) 知识点01 等腰三角形的概念 等腰三角形：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另-边叫做底，两腰所夹的角 叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角 如图，在△ABC中，AB=AC,则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠ B、∠C是底角. 知识点02 等边三角形的概念 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 知识点03 等腰三角形的对称性 　　1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴 2.等边三角形是轴对称图形，每个角的平分线所在的直线都是它的对称轴 ( 能力拓展 )考点01 等腰三角形的概念 【典例1】计算： （1）一个等腰三角形的一边长为8cm，周长为20cm，求其它两边的长． （2）已知等腰三角形的一边长等于6cm，一边长等于7cm，求它的周长． （3）已知等腰三角形的一边长等于5cm，一边长等于12cm，求它的周长． 【即学即练1】已知等腰三角形两边之差为7cm，这两边之和为17cm，求等腰三角形的周长． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．等腰三角形的一边长为3cm，另一边长为7cm，则它的周长为（　　） A．13cm B．17cm C．22cm D．13cm或17cm 2已知等腰三角形周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰为（　　） A．7cm B．3cm C．5cm或3cm D．5cm 3．已知a，b是等腰三角形的两边长，且满足，则此三角形的周长为（　　） A．9 B．12 C．15 D．12或15 4．若实数m，n满足|m﹣7|+|3﹣n|2＝0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 　　． 5．若等腰三角形一边长为12cm，且腰长是底边长的，则这个三角形的周长为（　　） A．30cm B．40cm C．30cm或40cm D．30cm或31cm 6．一个等腰三角形的周长为28cm． （1）已知腰长是底边长的3倍，求各边的长； （2）已知其中一边的长为6cm，求其他两边的长． 7．已知，△ABC的三边长分别为4，9，x． （1）求x的取值范围； （2）若它是一个等腰三角形，求它的周长． 8．等腰三角形的一边长为24cm，腰长是底边长的2倍，求此三角形的周长． 题组B 能力提升练 9．已知等腰△ABC的周长为16厘米，边AB＝6cm，则边BC的长是（　　） A．4cm或10cm B．4cm或6cm C．4cm或5cm D．4cm或5cm或6cm 10．已知一个等腰三角形的两边长度之比为1：4，且周长是18cm，那么第三边的长度为（　　） A．2cm B．3cm C．3cm或8cm D．8cm 11．等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成6cm和15cm两部分，这个等腰三角形各边长为 　10cm，10cm，1cm．　． 12．若方程组的解恰为等腰△ABC的两边长，则△ABC的周长为 　　． 13．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为4，则底边BC的长为 　　． 14．等腰三角形周长为32，则腰长x的取值范围为 　　，底边y的取值范围为 　　． 15.定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的两边长分别是3和9，则它的“优美比”k为 　　． 16.用一条24cm的细绳雕成一个等腰三角形，若其中有一边的长为6cm，则该等腰三角形的腰长为 　　． 17.已知等腰三角形的两边a，b，满足|a﹣b﹣2|+（2a﹣3b﹣1）2＝0，求此等腰三角形的周长． 18.用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）若腰长比底边长短2cm，求它的三边长； （2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？若能，请求出它的另两边；若不能，请说明理由． 19.使用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ 20.已知等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形的周长分成长度分别为9和12的两部分，求这个等腰三角形的腰长． 题组C 培优拔尖练 21．△ABC为等腰三角形，周长为7cm，且各边长为整数，则该三角形最长边的长为 　 cm． 22．已知一等腰三角形的三边长分别为3x﹣2，2x﹣1，x+3，试求这个等腰三角的周长． 18．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画　　条． 19．已知等腰三角形的三边长a＝5x﹣1，b＝6﹣x，c＝4，求x的值． 20．已知，在等边三角形ABC中，AD为BC边上的高． 操作发现 （1）如图1，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．请直接写出DE+DF和AD的数量关系； （2）如图2，若点P为AD上任意一点（不与A，D重合），过点P作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F．判断PD+PE+PF和AD的数量关系，并说明理由； 拓广探索 （3）如图3，点P为等边三角形ABC内任意一点，过点P作PH⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为H，E，F，探究PH+PE+PF和AD的数量关系，并说明理由． 21.在△ABC中，AB＝AC，周长为20cm，D是AC上一点，△ABD与△BCD面积相等且周长差为3cm，求△ABC各边的长． ( 14 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8课 等腰三角形 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解等腰三角形的概念. 2.掌握等腰三角形的轴对称性:等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴. 3.会运用等腰三角形的概念和轴对称性解决简单几何问题 4.了解等边三角形的概念 ( 知识精讲 ) 知识点01 等腰三角形的概念 等腰三角形：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另-边叫做底，两腰所夹的角 叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角 如图，在△ABC中，AB=AC,则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠ B、∠C是底角. 知识点02 等边三角形的概念 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 知识点03 等腰三角形的对称性 　　1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴 2.等边三角形是轴对称图形，每个角的平分线所在的直线都是它的对称轴 ( 能力拓展 )考点01 等腰三角形的概念 【典例1】计算： （1）一个等腰三角形的一边长为8cm，周长为20cm，求其它两边的长． （2）已知等腰三角形的一边长等于6cm，一边长等于7cm，求它的周长． （3）已知等腰三角形的一边长等于5cm，一边长等于12cm，求它的周长． 【思路点拨】（1）已知条件中，本题没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形； （2）分6是等腰三角形的腰长与底边两种情况讨论求解； （3）题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和12cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解析】解：（1）①底边长为8，则腰长为：（20﹣8）÷2＝6，所以另两边的长为6cm，6cm，能构成三角形； ②腰长为8，则底边长为：20﹣8×2＝4，能构成三角形． 因此另两边长为8cm、4cm或6cm、6cm； （2）①6是腰长时，周长＝6+6+7＝19； ②6是底边时，7是腰，周长＝6+7+7＝20； 综上，它的周长为19或20； （3）分两种情况： 当腰为5cm时，5+5＜12，所以不能构成三角形； 当腰为12cm时，12+12＞5，12﹣12＜5，所以能构成三角形，周长是：12+12+5＝29cm． 【点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 【即学即练1】已知等腰三角形两边之差为7cm，这两边之和为17cm，求等腰三角形的周长． 【思路点拨】已知等腰三角形的两边之差为7cm，这两边之和为17cm，但没有明确腰和底的大小关系，因此应分两种情况，进行分类讨论． 【解析】解：设等腰三角形的两边长分别为xcm和（7+x）cm， 则x+（x+7）＝17， 解得x＝5， ∴等腰三角形的两边长分别为5cm或12cm， ∵5+5＜12， ∴等腰三角形的三边长为5cm、12cm、12cm， 周长为5+12+12＝29cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．等腰三角形的一边长为3cm，另一边长为7cm，则它的周长为（　　） A．13cm B．17cm C．22cm D．13cm或17cm 【思路点拨】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和7cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解析】解：分两种情况： 当腰为3cm时，3+3＝6＜7，所以不能构成三角形； 当腰为7cm时，3+7＞7，所以能构成三角形，周长是：3+7+7＝17（cm）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形的三边关系进行验证． 2已知等腰三角形周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰为（　　） A．7cm B．3cm C．5cm或3cm D．5cm 【思路点拨】分腰长为3cm或底为3cm两种情况，再利用三角形三边关系进行验证即可得到答案． 【解析】解：当腰长为3cm时，则三角形的另两边分别为3cm，7cm，此时3+3＜7，不满足三角形的三边关系； 当底为3cm时，则可知腰长为5cm，5cm，满足三角形三边关系，此时腰长为5cm， 故选：D． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形的三边关系进行验证． 3．已知a，b是等腰三角形的两边长，且满足，则此三角形的周长为（　　） A．9 B．12 C．15 D．12或15 【思路点拨】先根据偶次方与算术平方根的非负性可得a﹣3＝0，6﹣b＝0，从而可得：a＝3，b＝6，然后分两种情况：当腰为3，底边长为6时；当腰为6，底边长为3时；分别进行计算即可解答． 【解析】解：∵， ∴a﹣3＝0，6﹣b＝0， 解得：a＝3，b＝6， 分两种情况： 当腰为3，底边长为6时， ∵3+3＝6， ∴不能组成三角形； 当腰为6，底边长为3时， ∴这个三角形的周长＝6+6+3＝15； 综上所述：此三角形的周长为15， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，偶次方与算术平方根的非负性，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 4．若实数m，n满足|m﹣7|+|3﹣n|2＝0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 　17　． 【思路点拨】根据偶次方，算术平方根的非负性可得：m﹣7＝0，3﹣n＝0，从而可得：m＝7，n＝3，然后分两种情况：当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时；当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时；从而进行计算即可解答． 【解析】解：∵|m﹣7|+|3﹣n|2＝0， ∴m﹣7＝0，3﹣n＝0， 解得：m＝7，n＝3， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时， ∴△ABC的周长＝7+7+3＝17； 当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时， ∵3+3＝6＜7， ∴不能组成三角形； 综上所述：△ABC的周长是17， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，偶次方，算术平方根的非负性，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 5．若等腰三角形一边长为12cm，且腰长是底边长的，则这个三角形的周长为（　　） A．30cm B．40cm C．30cm或40cm D．30cm或31cm 【思路点拨】因为等腰三角形的一边长为12cm，但没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论，还要利用三边关系验证能否组成三角形． 【解析】解：∵等腰三角形一边长为12cm，且腰长是底边长的， ①如果腰长为12cm，则底边为16cm， 等腰三角形的三边为12、12、16，能构成三角形， ∴C△＝12+12+16＝40cm， ②如果底长为12cm，则腰长为9cm， 等腰三角形的三边为12、9、9，能构成三角形， ∴C△＝9+9+12＝30（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错． 6．一个等腰三角形的周长为28cm． （1）已知腰长是底边长的3倍，求各边的长； （2）已知其中一边的长为6cm，求其他两边的长． 【思路点拨】（1）底为x，则腰为3x，根据周长28，构建方程求解； （2）分两种情形：当6为腰时，当6为底时，分别求解． 【解析】解：（1）设底为x cm，则腰为3x cm， 则有3x+3x+x＝28， 解得，x＝4， ∴三角形三边长分别为：12cm，12cm，4cm； （2）当6cm为腰时，其他两边分别为6cm，16cm； 当6cm为底时，腰为11cm． ∴其他两边的长为6cm，16cm或6cm，11cm． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 7．已知，△ABC的三边长分别为4，9，x． （1）求x的取值范围； （2）若它是一个等腰三角形，求它的周长． 【思路点拨】（1）根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列不等式求解即可； （2）根据等腰三角的性质和三角形的三边关系确定x的值，即可求解． 【解析】解：（1）根据三角形三边关系， 得9﹣4＜x＜9+4，即5＜x＜13； ∴x的取值范围是5＜x＜13． （2）当x＝4时，4+4＝8，不满足三角形三边关系，舍去； 当x＝9时，4+9＞9，满足三角形三边关系， ∴当△ABC为等腰三角形时，其周长为4+9+9＝22． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，熟练掌握三角形的三边关系是解决问题的关键. 8．等腰三角形的一边长为24cm，腰长是底边长的2倍，求此三角形的周长． 【思路点拨】因为等腰三角形的一边长为24，但没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论，还要利用三边关系验证能否组成三角形． 【解析】解：∵等腰三角形一边长为24cm，且腰长是底边长的2， ①如果腰长为24cm，则底边为12cm， 等腰三角形的三边为24、24、12，能构成三角形， ∴C△＝24+24+12＝60cm； ②如果底长为24cm，则腰长为48cm， 等腰三角形的三边为24、48、48，能构成三角形， ∴C△＝24+48+48＝120cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错． 题组B 能力提升练 9．已知等腰△ABC的周长为16厘米，边AB＝6cm，则边BC的长是（　　） A．4cm或10cm B．4cm或6cm C．4cm或5cm D．4cm或5cm或6cm 【思路点拨】当边AB为腰时，则AC为腰，BC为底，根据等腰△ABC的周长计算即可；当边AB为底边时，则腰为AC和BC，根据等腰△ABC的周长计算即可． 【解析】解：当边AB为腰时，则AC为腰，BC为底或BC为腰，AC为底， 当AB、AC为腰，BC为底时AC＝AB＝6cm， ∵等腰△ABC的周长为16厘米， ∴底边BC的长为：16﹣6﹣6＝4cm， 而6+6＞4，能构成三角形，适合题意； 当AB、BC为腰，AC为底时，BC＝AB＝6cm， ∵等腰△ABC的周长为16厘米， ∴底边AC的长为：16﹣6﹣6＝4cm， 而6+6＞4，能构成三角形，适合题意； 当边AB为底边时，则腰为AC和BC， ∵等腰△ABC的周长为16厘米，AB＝6cm， ∴BC的长为：＝5cm， 而5+5＞6，能构成三角形，适合题意； 综上，BC的长为4cm或5cm或6cm， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，注意分类讨论思想的应用是解题的关键． 10．已知一个等腰三角形的两边长度之比为1：4，且周长是18cm，那么第三边的长度为（　　） A．2cm B．3cm C．3cm或8cm D．8cm 【思路点拨】由等腰三角形有两条边的长度之比为1：4，根据三角形的三边关系，可得腰长与底边长的比为4：1，又由等腰三角形的周长是18cm，即可求得这个等腰三角形的腰长即第三边的长度． 【解析】解：∵等腰三角形有两条边的长度之比为1：4， ∴腰长与底边长的比为4：1， ∵等腰三角形的周长是18cm， ∴第三边的长度为：18×＝8（cm）． 故选：D． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题难度不大，注意得到可得腰长与底边长的比为4：1是解此题的关键． 11．等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成6cm和15cm两部分，这个等腰三角形各边长为 　10cm，10cm，1cm．　． 【思路点拨】根据题意，分两种情况进行分析，从而得到腰和底边的长，注意运用三角形的三边关系对其进行检验． 【解析】解：①如图， AB+AD＝6cm，BC+CD＝15cm， ∵AD＝DC，AB＝AC， ∴2AD+AD＝6cm， ∴AD＝2cm， ∴AB＝4cm，BC＝13cm， ∵AB+AC＜BC， ∴不能构成三角形，故舍去， ②如图，AB+AD＝15cm，BC+CD＝6cm， 同理得：AB＝10cm，BC＝1cm， ∵AB+AC＞BC，AB﹣AC＜BC， ∴能构成三角形， ∴腰长为10cm，底边为1cm， 故这个等腰三角形各边的长为10cm，10cm，1cm． 故答案为：10cm，10cm，1cm． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这是解题的关键． 12．若方程组的解恰为等腰△ABC的两边长，则△ABC的周长为 　12　． 【思路点拨】先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案． 【解析】解：解方程组， 得：， ∴等腰三角形的两边长为2，5． 若腰长为2，底边长为5． ∵2+2＜5， ∴不能构成三角形． 若腰长为5，底边长为2，则三角形的周长为5+5+2＝12． 所以这个等腰三角形的周长为12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及解二元一次方程组，三角形三边关系，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题． 13．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为4，则底边BC的长为 　2　． 【思路点拨】分两种情况：当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时，当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时，然后分别进行计算即可解答． 【解析】解：分两种情况： 当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时， ∵腰长AB＝AC＝4， ∵底边BC的长为8， ∵4+4＝8， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时， ∵腰长AB＝AC＝4， ∴底边BC的长为2； 综上所述：底边BC的长为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，以及三角形三边的关系，分两种情况讨论是解题的关键． 14．等腰三角形周长为32，则腰长x的取值范围为 　8＜x＜16　，底边y的取值范围为 　0＜y＜16　． 【思路点拨】根据题意有2x＞y，2x+y＝32，2x＜32，y＞0，据此问题得解． 【解析】解：根据题意有：2x＞y，2x+y＝32，2x＜32，y＞0， ∴2x＝32﹣y，y＝32﹣2x，x＜16， ∵2x＞y， ∴2x＞32﹣2x，即x＞8， ∵2x＞y， ∴32﹣y＞y，即y＜16， 综上：8＜x＜16，0＜y＜16， 故答案为：8＜x＜16，0＜y＜16． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 15.定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的两边长分别是3和9，则它的“优美比”k为 　　． 【思路点拨】根据三角形三边关系求出当3为腰，9为底时，三角形不存在；根据等腰三角形9为腰，3为底即可得到它的优美比k． 【解析】解：当3为腰，9为底时， ∵3+3＜9， ∴三角形不存在； 当9为腰，3为底时， 此时，优美比k＝＝； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 16.用一条24cm的细绳雕成一个等腰三角形，若其中有一边的长为6cm，则该等腰三角形的腰长为 　9cm　． 【思路点拨】分别以6cm作为腰长，求出底边长和以6cm作为底边长，求出腰长，根据构成三角形的条件判断哪组边的长度可以构成三角形即可． 【解析】解：若腰长为6cm，那么底边长为24﹣6×2＝12（cm），则这个三角形的三条边长度分别为6cm，6cm，12cm， ∵6+6＝12， ∴这三条边不能构成三角形； 若底边长为6cm，那么腰长为（24﹣6）÷2＝9（cm），则这个三角形的三条边长度分别为9cm，9cm，6cm， ∵9+9＞6，9﹣9＜6， ∴这三条边可以构成三角形． 综上，该等腰三角形的腰长为9cm． 故答案为：9cm． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，掌握并运用构成三角形的条件是本题的关键． 17.已知等腰三角形的两边a，b，满足|a﹣b﹣2|+（2a﹣3b﹣1）2＝0，求此等腰三角形的周长． 【思路点拨】根据绝对值、平方数等非负数的性质列二元一次方程求出a、b的值，再根据a是腰长和底边长两种情况讨论． 【解析】解：根据题意，， 解得， （1）当5为腰长时，三角形三边长为5、5、3，能组成三角形， 周长为：5+5+3＝13； （2）当5为底边时，三角形三边长为5、3、3，能组成三角形， 周长为：5+3+3＝11． 故等腰三角形的周长是13或11． 【点睛】本题主要考查非负数的性质，等腰三角形的性质，解二元一次方程组，三角形三边关系等知识，要注意分情况讨论是正确解答本题的关键． 18.用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）若腰长比底边长短2cm，求它的三边长； （2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？若能，请求出它的另两边；若不能，请说明理由． 【思路点拨】（1）设底长为x cm，则腰边长为 （x﹣2 ）cm，根据周长列方程得到x+（x﹣2）+（x﹣2）＝20，然后解方程求出x，从而得到三角形的底边与腰长； （2）当腰为4cm时，底边长为12cm，不符合三角形三边的关系，故舍去；当底边长为4cm，腰长为8cm． 【解析】解：（1）设底长为x cm，则腰边长为 （x﹣2 ）cm， 根据题意得x+（x﹣2）+（x﹣2）＝20， 解得x＝8， 当x＝8时，x﹣2＝6， 所以三角形的腰长为6cm、6cm，底边长为8cm； （2）能． 当腰为4cm时，底边长为20﹣4﹣4＝12（cm）， 而4+4＝8＜12，不符合三角形三边的关系，故舍去； 当底边长为4cm，腰长为×（20﹣4）＝8（cm）， 综上所述，能围成有底边长是4cm，腰长为8cm的等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边的关系，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 19.使用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ 【思路点拨】设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长． 【解析】解：设底边长为xcm， ∵腰长是底边的2倍， ∴腰长为2xcm， ∴2x+2x+x＝18， 解得x＝3.6， ∴2x＝2×3.6＝7.2． 故各边长为：7.2cm，7.2cm，3.6cm． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等 20.已知等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形的周长分成长度分别为9和12的两部分，求这个等腰三角形的腰长． 【思路点拨】由题意得，腰上的中线把等腰三角形分成9和12两部分，则要分一腰的一半与另一腰的和为9或12两种情况进行分析即可求得这个等腰三角形的腰长． 【解析】解：①当AD+AC＝9时， ∵CD是AB边的中线，AB＝AC， ∴AD＝AB＝AC， ∴AC＝9，AC＝6； ②当AD+AC＝12时， 则AC＝12，AC＝8； 综上所述：腰长为6或8， 经检验，都符合三角形的三边关系， 因此三角形的底边长为9或5，等腰三角形的腰长为6或8． 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质的运用能力，做题时注意分类讨论思想的运用是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 21．△ABC为等腰三角形，周长为7cm，且各边长为整数，则该三角形最长边的长为 　3　cm． 【思路点拨】写出各种可能情况，利用三角形的三边关系进行判断即可． 【解析】解：∵△ABC为等腰三角形，周长为7cm，且各边长为整数， ∴可能有以下几种情况：1，1，5；1，3，3；2，2，3， ∵1+1＜5， ∴只有1，3，3；2，2，3，两种情况， 最长边为3cm， 故答案为：3． 【点睛】考查了三角形的三边关系，解题的关键是列举出各种可能并用三角形的三边关系进行验证，难度不大． 22．已知一等腰三角形的三边长分别为3x﹣2，2x﹣1，x+3，试求这个等腰三角的周长． 【思路点拨】首先根据等腰三角形有两边相等，分别讨论如果3x﹣2＝2x﹣1，2x﹣1＝x+3，3x﹣2＝x+3时的情况，注意检验是否能组成三角形． 【解析】解：∵等腰三角形三边的长分别是3x﹣2，2x﹣1，x+3， ∴①如果3x﹣2＝2x﹣1，则x＝1，三边为：1，1，4； 1+1＜4，不能组成三角形，舍去； ②如果2x﹣1＝x+3，则x＝4，三边为：7，7，10， ∴周长为24； ③如果3x﹣2＝x+3，则x＝，三边为：，，4； ∴周长为15 ∴它的周长是 24或15． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系．解此题注意分类讨论思想的应用． 18．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画　4　条． 【思路点拨】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边长，得出符合题意的图形即可． 【解析】解：如图所示： 当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）． 故这样的直线最多可画4条． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键． 19．已知等腰三角形的三边长a＝5x﹣1，b＝6﹣x，c＝4，求x的值． 【思路点拨】分三种情况求解后利用三角形的三边关系验证． 【解析】解：若a＝b，则5x﹣1＝6﹣x， 得x＝， 三边长分别为，，4，符合三角形三边关系； 若a＝c，则5x﹣1＝4， 得x＝1， 三角形的三边长为4，5，4，符合三角形三边关系； 若b＝c，则6﹣x＝4， 得x＝2， 三角形的三边长为9，4，4，不构成三角形； 综上所述，符合要求的x值为或1； 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解题的关键是分类讨论． 20．已知，在等边三角形ABC中，AD为BC边上的高． 操作发现 （1）如图1，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．请直接写出DE+DF和AD的数量关系； （2）如图2，若点P为AD上任意一点（不与A，D重合），过点P作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F．判断PD+PE+PF和AD的数量关系，并说明理由； 拓广探索 （3）如图3，点P为等边三角形ABC内任意一点，过点P作PH⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为H，E，F，探究PH+PE+PF和AD的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】（1）根据等边三角形的性质、三角形的面积公式计算； （2）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝30°，根据含30°的直角三角形的性质解答； （2）连接PA，PB，PC，根据三角形的面积公式计算． 【解析】解：（1）∵△BAC为等边三角形， ∴AB＝AC＝BC， S△ABC＝×BC×AD＝×AB×DE+×AC×DF， ∴DE+DF＝AD； （2）PD+PE+PF＝AD 理由如下：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AD为BC边上的高， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴PE＝AP，PF＝AP， ∴PD+PE+PF＝PD+AP＝AD； （3）PH+PE+PF＝AD 理由如下：连接PA，PB，PC， ∵△ABC为等边三角形， ∴BC＝AB＝AC， ∵AD为BC边上的高， ∴S△ABC＝×BC×AD， ∵PH⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为H，E，F， ∴S△ABC＝S△BCP+S△ABP+S△APC＝×AB×PE+×AC×PF+×BC×PH＝×BC×（PE+PF+PH）， ∴×BC×AD＝×BC×（PE+PF+PH）， ∴PH+PE+PF＝AD． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的面积计算，掌握等边三角形的三边相等、三角形的面积公式是解题的关键． 21.在△ABC中，AB＝AC，周长为20cm，D是AC上一点，△ABD与△BCD面积相等且周长差为3cm，求△ABC各边的长． 【思路点拨】由于△ABD与△BCD面积相等，根据等高的三角形的面积比等于底边比，可得AD＝DC；然后再根据题中的已知条件△ABC的周长为20cm，△ABD与△BCD面积相等且周长差为3cm，可求出结果． 【解析】解：本题分两种情况： （1）当△ABC为锐角三角形时， 过P点作BE⊥AC， ∵S△ABD＝S△ABD＝AD•BE＝CD•BE， ∴CD＝AD， 又∵△ABD与△BCD周长差为3cm， ∴（AB+BD+AD）﹣（BD+BC+CD）＝3cm， ∴AB﹣BC＝3cm…①， 又△ABC的周长为20cm，且AB＝AC， ∴2AB+BC＝20cm…②， 由①②可得： AB＝AC＝cm，BC＝cm； （2）当△ABC为钝角三角形时， 同上可知BC﹣AB＝3cm…③， 2AB+BC＝20cm…④， 由③④可得：BC＝cm，AB＝AC＝cm． 由（1）（2）可知： △ABC三边长分别为cm，cm，cm或cm，cm，cm． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等高的三角形的面积比等于底边的比，三角形的周长公式．分类讨论及辅助线的作出是正确解答本题的关键． ( 14 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$