专题01旋转在解几何题中的常见类型（七种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

专题01旋转在解几何题中的常见类型（七种技巧精讲精练+过关检测） 题型01利用旋转的性质求角度 【典例分析】 【例1-1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨）如图，在中，，将绕点O逆时针旋转100°得到（A、B分别与、对应），则的度数为（    ） A．30° B．70° C．90° D．130° 【例1-2】（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）如图P是等边内一点，，把旋转到的位置，则∠ ． 【例1-3】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【变式演练】 【变式1-1】（22-23九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）如图，将绕着点A顺时针方向旋转到，若，则 ． 【变式1-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知中，，．将绕点A按逆时针方向旋转得到，与交于点F． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数． 题型02利用旋转的性质求线段长 【典例分析】 【例2-1】（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，中，，．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接．则长为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是 ． 【例2-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，以为边向右侧作等边，把绕点按顺时针方向旋转后得到，若． (1)求的度数； (2)求的长． 【变式演练】 【变式2-1】．（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）如图，已知正方形的边长为3，如果将线段绕着点B旋转后，点D落在的延长线上的处，则的长为（    ）    A．6 B． C．18 D． 【变式2-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，，，，可以由绕点顺时针方向旋转得到，其中点与点A、点与点是对应点，连接，且A，，在同一条直线上，则的长为 ，的长为 ． 【变式2-3】（23-24九年级上·天津宁河·期中）已知，以为边向外作等边，经过旋转后到达的位置，且点A，C，E恰好在一条直线上， (1)旋转中心是点 ，旋转角的大小为 （度）； (2)求 的度数和的长． 题型03利用旋转证明线段相等 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·河南新乡·期中）是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上，则下列判断错误的是（　　）    A．旋转中心是点C B． C． D．点D是中点 【例3-2】（22-23九年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，，是由绕点按顺时针方向旋转得到的，连接、相交于点．求证：． 【例3-3】（22-23九年级上·广东东莞·期末）如图，在边长为的正方形中，点为对角线上任意一点（可与，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·江西南昌·期中）如图，将绕点D顺时针旋转，旋转角为，得到，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23九年级上·福建福州·期末）如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H，求证：． 【变式3-3】（22-23九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在正方形中，E、F是对角线上两点，且，将绕点A顺时针旋转90°后，得到，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型04利用旋转的性质求图形面积 【典例分析】 【例4-1】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，直角梯形中，，将腰绕点D逆时针方向旋转至，连接，则的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【例4-2】（23-24九年级上·重庆大足·期末）如图，正方形中，点F在边上，E在边的延长线上，按顺时针方向旋转后恰好与重合，若，，则的面积是 ． 【例4-3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接． (1)若，则_______°； (2)若，，求的面积与周长． 【变式演练】 【变式4-1】（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图，边长为的正方形绕点A逆时针旋转后得到正方形，边与交于点O，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，点为等边内一点，，，，将绕点A顺时针方向旋转，使与重合，点O旋转至点处，连接，则的面积是 ．    【变式4-3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，把一个含有30°角的直角三角尺绕角的顶点B顺时针旋转，使得点A与延长线上的点E重合，其中点C的对应点为点D． (1)三角尺旋转了　　　　度； (2)是　　　　三角形； (3)若，求的面积． 题型05结合旋转的性质求坐标 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，已知点，点在轴正半轴上，将线段绕点顺时针旋转到线段，若点的坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【例5-2】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，将放置在平面直角坐标系中，，，点B的坐标为，将绕原点O逆时针旋转得到，则点的坐标为 ． 【例5-3】（21-22九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A的坐标为，点B的坐标为，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)如图①，当点D落在边上时，求点D的坐标； (2)如图②，当点D落在线段上时，连接．求证：． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·河南焦作·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在y轴上，对角线轴，，．将绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2023秒结束时，点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（22-23九年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图，将绕点旋转得到，点A的坐标为，则点的坐标为 ． 【变式5-3】（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点A的坐标为．    (1)该抛物线的表达式为　　； (2)点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接．当时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，将线段绕点Q顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 题型06旋转在证明图形全等中的应用 【典例分析】 【例6-1】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 【例6-2】（23-24九年级上·山东菏泽·期末）四边形正方形，点是平面上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)如图①，当点在正方形的边上时，求证：； (2)如图②，当点在正方形内时，与之间有怎样的关系？请说明理由． 【例6-3】（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在等边中，点是边上一点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转后得到，连接．求证： (1)； (2)． 【变式演练】 【变式6-1】（23-24九年级上·北京房山·期中）如图，在等边中，点是边上一点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，连接．求证：． 【变式6-2】（23-24九年级上·甘肃陇南·期末）如图，中，，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【变式6-3】（23-24九年级上·天津·期末）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)填空：如图①，当点D落在边上时，则点D的坐标为_______； (2)如图②，当点D落在线段上时，与交于点H． ①求证； ②求点H的坐标． (3)记K为矩形对角线的交点，S为的面积，求S的最大值（直接写出结果即可）． 题型07旋转在判断特殊图形中的应用 【典例分析】 【例7-1】（2023九年级上·全国·专题练习）如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点．连接、．    (1)四边形是怎样的特殊四边形？证明你的结论； (2)若长为2，则的长为 　 　时，四边形为菱形． 【例7-2】（21-22九年级上·河南许昌·期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α后得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E． （1）如图1，若点D恰好落在边BC的延长线上，连接CE，求∠DEC的度数． （2）如图2，若α＝60°，F为BD的中点，连接CD，CF，EF，请判断四边形CDEF是什么特殊的四边形，并说明理由． 【例7-3】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转后得到，与相交于点F．    (1)试判断与的位置关系并证明； (2)试探究四边形是什么特殊的四边形，并证明你的结论； 【变式演练】 【变式7-1】（20-21九年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由． 【变式7-2】（22-23九年级上·江西赣州·期末）已知在中，，，，将绕点逆时针旋转得到（），交直线于． (1)如图1，当_____（）时，的一边与平行． (2)如图2，当时，设与相交于点， 是什么特殊三角形？请说明理由； 若交于，求的长． 【变式7-3】（21-22九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）已知四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（点P、点G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD＝PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF． （1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时， ①求证：DF＝PG； ②请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想； （2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，四边形PEFD的形状是否发生了变化？请写出你的结论． 一、单选题 1．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山西大同·期末）如图，在等边三角形中，点B，C的坐标分别为，．将绕标原点顺时针旋转，则点A的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则四边形的面积为 ． 4．（22-23九年级上·福建厦门·期中）已知点，O是坐标原点，将线段绕点O逆时针旋转，点A旋转后的对应点是，则点的坐标是 ． 三、解答题 5．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）如图，在，，，将点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求度数． 6．（23-24九年级上·广东潮州·期末）如图，在中，，D是边上一点（点D与A，B不重合），连接，将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 7．（23-24九年级上·天津西青·期中）如图1，在中，，，D为上一点，连接，将绕点C顺时针旋转至，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，求的长． 8．（21-22九年级上·江西赣州·期中）在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（2，- 4），B（4，-2）．C是第四象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形． （1）填空：C点的坐标是　　　，△ABC的面积是 （2）将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，连接AB1、BA1， 则四边形AB1A1B的形状是何特殊四边形？___________________． （3）请探究：在坐标轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01旋转在解几何题中的常见类型（七种技巧精讲精练+过关检测） 题型01利用旋转的性质求角度 【典例分析】 【例1-1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨）如图，在中，，将绕点O逆时针旋转100°得到（A、B分别与、对应），则的度数为（    ） A．30° B．70° C．90° D．130° 【答案】B 【分析】本题主要考查的是旋转的性质．先依据旋转角的定义得到，再依据求解即可． 【详解】解：∵将绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∴． 故选：B． 【例1-2】（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）如图P是等边内一点，，把旋转到的位置，则∠ ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理的逆定理，连接，由旋转的性质得到，，，则可证明是等边三角形，得到，，再利用勾股定理的逆定理得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵是由旋转得到的， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 故答案为： 【例1-3】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理： （1）先根据旋转的性质得到，，，则可计算出，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算出，然后计算即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，所以，然后在中利用勾股定理可计算出BD的长 【详解】（1）解：∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴； （2）解：在中， ∵， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴，，， ∴， 在中， 【变式演练】 【变式1-1】（22-23九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．先利用平行线的性质得，再由旋转性质得，，然后利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理求得即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转性质得，， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【变式1-2】（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）如图，将绕着点A顺时针方向旋转到，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得到，再由角之间的关系即可得到答案． 【详解】解：∵将绕着点A顺时针方向旋转到， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知中，，．将绕点A按逆时针方向旋转得到，与交于点F． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由旋转的性质可得，即可求解； （2）由三角形内角和定理可求的度数，由角平分线的性质和外角性质可求解． 本题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理和外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ， ， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 题型02利用旋转的性质求线段长 【典例分析】 【例2-1】（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，中，，．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接．则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理，根据旋转前后对应边相等、对应角相等，可得，，，再用勾股定理解和即可． 【详解】解：由旋转知，，， ， ， ， 故选B． 【例2-2】（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形旋转、等边三角形的判定、正方形的性质及勾股定理等知识．连接、，根据图形旋转前后长度不变且旋转角为，可得是等边三角形，根据勾股定理，求出正方形的对角边长度即可． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵四边形是四边形逆时针旋转， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【例2-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，以为边向右侧作等边，把绕点按顺时针方向旋转后得到，若． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由旋转的性质即可得出答案； （2）由旋转的性质可得：，求出在同一直线上，结合等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：把绕点按顺时针方向旋转后得到， ； （2）解：为等边三角形， ， ， ， ， 由旋转的性质可得：， ，为等边三角形， 在同一直线上， ， ． 【变式演练】 【变式2-1】．（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）如图，已知正方形的边长为3，如果将线段绕着点B旋转后，点D落在的延长线上的处，则的长为（    ）    A．6 B． C．18 D． 【答案】B 【分析】 本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质； 根据正方形的性质和勾股定理求出，可得，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， 故选：B． 【变式2-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，，，，可以由绕点顺时针方向旋转得到，其中点与点A、点与点是对应点，连接，且A，，在同一条直线上，则的长为 ，的长为 ． 【答案】 4 6 【分析】本题考查了旋转的性质、直角三角形性质及应用，掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键． 先计算出，再根据旋转的性质得到，，，，，即可计算出，则，从而计算即可． 【详解】解：，， ， ， 可以由绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， ， ， ， ． 故答案为：4；6． 【变式2-3】（23-24九年级上·天津宁河·期中）已知，以为边向外作等边，经过旋转后到达的位置，且点A，C，E恰好在一条直线上， (1)旋转中心是点 ，旋转角的大小为 （度）； (2)求 的度数和的长． 【答案】(1)D，60 (2)． 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质， （1）根据旋转的概念可得旋转中心；由旋转的性质可得进而得出可得旋转角度； （2）证是等边三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵经过旋转后到达的位置， ∴旋转中心是点D； 由旋转得 ∵是等边三角形， ∴, ∴ 即旋转角度数为：； 故答案为：，； （2）解：由旋转得， ∵ 由（1）知 ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴． 题型03利用旋转证明线段相等 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·河南新乡·期中）是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上，则下列判断错误的是（　　）    A．旋转中心是点C B． C． D．点D是中点 【答案】D 【分析】此题主要考查了旋转的性质．根据旋转的性质即可求解． 【详解】解：∵是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上， ∴旋转中心是点C，，，点D不一定的中点， ∴A、B、C结论正确． 故选：D． 【例3-2】（22-23九年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，，是由绕点按顺时针方向旋转得到的，连接、相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用旋转性质得，再证明和全等，进而得到结论． 【详解】证明是由绕点按顺时针方向旋转得到的， ，， ，即， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，掌握旋转的性质是解题的关键 【例3-3】（22-23九年级上·广东东莞·期末）如图，在边长为的正方形中，点为对角线上任意一点（可与，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，由全等三角形的性质即可到结论； （2）由（1）的结论并结合正方形的性质可得：，，推导出是直角三角形，利用勾股定理求得的长度． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， 由旋转的性质知：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． （2）解：∵是正方形的对角线，且边长为，， ∴，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴，， ∴， 在中， ． ∴的长为． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．理解和掌握旋转的性质，正方形的性质是解题的关键 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·江西南昌·期中）如图，将绕点D顺时针旋转，旋转角为，得到，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质即可解答． 【详解】解：∵绕点D顺时针旋转，旋转角为，得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∴和不平行． 故A不正确，符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应角相等，对应边相等． 【变式3-2】（22-23九年级上·福建福州·期末）如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】由平行线的性质可得，再根据“”可得 进而可得结论． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转得，， 在和中， ， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，根据“”得到是解题关键 【变式3-3】（22-23九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在正方形中，E、F是对角线上两点，且，将绕点A顺时针旋转90°后，得到，连接．      (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质得由可得然后根据SAS证明，即可得出. （2）由可得，在Rt中根据勾股定理求出的长，即可知的长. 【详解】（1）证明：∵将绕点A顺时针旋转90°后，得到， ， 在和中， ， (SAS）， （2）解:由（1）得，， ， ∵四边形是正方形，      在Rt中，      又 【点睛】本题主要考查了旋转的性质和勾股定理，旋转前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等这是解题的关键. 题型04利用旋转的性质求图形面积 【典例分析】 【例4-1】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，直角梯形中，，将腰绕点D逆时针方向旋转至，连接，则的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求的面积，已知底，过E作垂直于交的延长线于F，就是高，然后再找和高相等的等量关系，三角形全等于三角形，，则的面积就能求出来． 本题需要把旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式结合求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点D作垂直于BC于G，过E作EF垂直于AD交AD的延长线于F，如图： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C 【例4-2】（23-24九年级上·重庆大足·期末）如图，正方形中，点F在边上，E在边的延长线上，按顺时针方向旋转后恰好与重合，若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】 本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质，由旋转的性质得，从而得，为等腰直角三角形，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵按顺时针方向旋转后恰好与重合， ． ，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为： 【例4-3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接． (1)若，则_______°； (2)若，，求的面积与周长． 【答案】(1) (2)的面积为3，周长为； 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理． （1）根据旋转的性质可得，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，即可求出，即可得结果； （2）利用旋转的性质结合勾股定理求得、和的长，再利用三角形的面积公式和周长公式即可求解． 【详解】（1）解：∵绕直角顶点C顺时针旋转，得到， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵绕直角顶点C顺时针旋转，得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∴的面积； 的周长． 【变式演练】 【变式4-1】（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图，边长为的正方形绕点A逆时针旋转后得到正方形，边与交于点O，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，连接，利用正方形的性质得，，再根据旋转的性质得点在上，，，则可判断为等腰直角三角形，则，然后利用四边形的面积进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形为边长为的正方形， ，， 正方形绕点A逆时针旋转后得到正方形， 点在上，，， 为等腰直角三角形， ， 四边形的面积 ， 故选：C． 【变式4-2】（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，点为等边内一点，，，，将绕点A顺时针方向旋转，使与重合，点O旋转至点处，连接，则的面积是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理逆定理；根据旋转得出，，，得出为等边三角形，得出，根据，得出为直角三角形，即可求出其面积． 【详解】解：∵将绕点顺时针方向旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ， ， ∴为直角三角形，， 如图所示，过点作于点，连接，则，    ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，把一个含有30°角的直角三角尺绕角的顶点B顺时针旋转，使得点A与延长线上的点E重合，其中点C的对应点为点D． (1)三角尺旋转了　　　　度； (2)是　　　　三角形； (3)若，求的面积． 【答案】(1) (2)等腰 (3)的面积为3． 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质． （1）根据旋转的性质，进行求解即可； （2）旋转，得到，即可得到是等腰三角形； （3）求得中边上的高，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴三角尺旋转了； 故答案为：； （2）解：∵旋转， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：等腰； （3）解：作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积 题型05结合旋转的性质求坐标 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，已知点，点在轴正半轴上，将线段绕点顺时针旋转到线段，若点的坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，旋转的性质，一元二次方程的解法，先证明，设，再建立方程组解题即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 设， ∴， 由①得：③， 把③代入②得：， ∴， ∴， 解得：，（经检验负根舍去）； 故选A 【例5-2】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，将放置在平面直角坐标系中，，，点B的坐标为，将绕原点O逆时针旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的性质旋转，作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的判定和性质求解是解题的关键，过作轴于，由旋转的性质得，，可得，证明，根据全等三角形的性质得，，即可求解． 【详解】解：过作轴于， ， ，， ， ， ， 由旋转的性质得，， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为． 故答案为：． 【例5-3】（21-22九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A的坐标为，点B的坐标为，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)如图①，当点D落在边上时，求点D的坐标； (2)如图②，当点D落在线段上时，连接．求证：． 【答案】(1)； (2)见解析； 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，将四边形问题转化为等腰三角形问题是解题的关键． （1）根据点A、B的坐标可得的长度，再利用勾股定理可得的长，从而得出点D的坐标； （2）利用证明即可； 【详解】（1）解：∵点，点． ，， ∵四边形是矩形， ，，， ∵顺时针旋转矩形，得到矩形， ， 在中，， ， ； （2）证明：∵四边形是矩形， ， ∵点D在线段上， ， 由（1）可知：， 又，， ） 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·河南焦作·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在y轴上，对角线轴，，．将绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2023秒结束时，点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转的性质、平行四边形的性质，点坐标的规律探究，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键．先根据平行四边形的性质求出点B的坐标，再作出旋转后的图形，然后找到B点的坐标规律，并按照规律解答即可． 【详解】解：中，，，轴， ，，， ， 如图：将绕点O逆时针旋转，每秒旋转， 1秒时，由旋转角的性质得：与x轴重合，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ∴四边形是平行四边形， ， 轴， ， 同理可得：， 则：每旋转4秒则回到原位置， ∵， ∴第2023秒时，完成了505次循环，又旋转了3次， ∴当第2023秒旋转结束时，点B的对应点是． 故选：B． 【变式5-2】（22-23九年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图，将绕点旋转得到，点A的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、中点坐标公式等知识点，是理解题意、灵活运用所学知识成为解题的关键． 设，利用中点坐标公式求解即可． 【详解】解：设， ∵将绕点旋转得到，点A的坐标为， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∴, ∴． 故答案为：． 【变式5-3】（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点A的坐标为．    (1)该抛物线的表达式为　　； (2)点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接．当时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，将线段绕点Q顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由对称轴为直线，点的坐标为，得出，通过交点式得出函数关系式； （2）设抛物线对称轴交x轴于点F，交于点D，连接并延长交于，则可得，，且得点D的坐标，证明，得D为中点，由中点公式求出的坐标，由待定系数法求出直线的关系式，与抛物线联立即可求出交点P的坐标； （3）分在上方和下方两种情况，当在上方时，构造出，得代入抛物线即可，当在上方时，得出． 【详解】（1）解：对称轴为直线，点的坐标为， ， ； （2）解：设抛物线对称轴交x轴于点F，交于点D，连接并延长交于，如图， ∵对称轴为直线， ∴， ，， ∴；    在中，令，得， ∴， ， ， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴，， ，， ∴， ∴， 由中点坐标公式得：， 设直线的关系式为：， 把C、E两点坐标分别代入得：，解得：， 直线的关系式为：， 联立二次函数与一次函数解析式并消去y得：， 解得：（舍，， 当时，， ； （3）解：存在； 点旋转后的对应点为，作对称轴于，对称轴于， 当在上方时，    则，设， 将线段绕点顺时针旋转得线段， ∴，则， 又， ∴， 又，， ， ，，， ， 恰好落在抛物线上， ， 解得，（舍）， ∴点Q的纵坐标为； ， 当在上方时，作对称轴于，    可知：为等腰直角三角形， ∴， ∴点Q的纵坐标为， ， 综上：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式，旋转的性质，等腰直角三角形的性质以及运算能力等知识，用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系 题型06旋转在证明图形全等中的应用 【典例分析】 【例6-1】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题考查了全等三角形中的旋转模型，掌握旋转的相关性质是解题关键． （1）推出，即可求证； （2）旋转角为旋转前后对应线段形成的角度，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， ，， ； （2）解：由题意可得：旋转中心是点， 旋转角为或， ∴旋转角的度数为． 故答案为：， 【例6-2】（23-24九年级上·山东菏泽·期末）四边形正方形，点是平面上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)如图①，当点在正方形的边上时，求证：； (2)如图②，当点在正方形内时，与之间有怎样的关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据证明三角形全等即可． （2）证明，推出，，可得结论． 【详解】（1）解：证明：如图①中， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ． （2）结论：，． 理由： 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 【例6-3】（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在等边中，点是边上一点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转后得到，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的判定是解此题的关键． （1）由旋转可知，，由等边三角形的性质可得，进而可得，根据全等三角形的判定可得结论； （2）由可得，进而可得，结合平行线的判定可得． 【详解】（1）证明：由旋转可知，， 是等边三角形， ， ， ，即， ； （2）证明：由（1）知，， ， ， ， ． 【变式演练】 【变式6-1】（23-24九年级上·北京房山·期中）如图，在等边中，点是边上一点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定．明确全等三角形的判定条件是解题的关键． 由是等边三角形，可得，，由旋转的性质可知，，，则，，证明即可． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 【变式6-2】（23-24九年级上·甘肃陇南·期末）如图，中，，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定． （1）旋转的性质，得到，证明即可； （2）等边对等角，推出，得到，同理，得到四边形是平行四边形，再根据，即可得出结论． 掌握旋转的性质，是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵旋转， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴，      ∵，     ∴，      ∴，      同理，     ∴四边形是平行四边形         ∵， ∴平行四边形是菱形 【变式6-3】（23-24九年级上·天津·期末）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)填空：如图①，当点D落在边上时，则点D的坐标为_______； (2)如图②，当点D落在线段上时，与交于点H． ①求证； ②求点H的坐标． (3)记K为矩形对角线的交点，S为的面积，求S的最大值（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①见解析；②点 (3)S的最大值为 【分析】（1）根据点的坐标及旋转的性质得，在直角三角形中运用勾股定理可求出的长，从而可确定答案； （2）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可，②根据①知，故，在中，运用勾股定理可求得的长，得出坐标； （3）在矩形旋转的过程中，根据当矩形顶点D在的延长线上时，点K到直线距离最大，最大值为线段的长，求解即可． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴，． ∵四边形是矩形， ∴，，. ∵矩形是由矩形旋转得到的， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴点D的坐标是； （2）解：①证明：由四边形是矩形，知． ∵点D在线段上，得. 由（1）知，， 又，， ∴≌； ②由≌，得． 在矩形中，， ∴， ∴， ∴． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点H的坐标是； （3）解：如图，当矩形顶点D在的延长线上时，点K到直线距离最大，最大值为线段的长， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴S的最大值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的旋转问题，全等三角形的性质和判定，勾股定理等，弄清线段的运动路径是解题的关键． 题型07旋转在判断特殊图形中的应用 【典例分析】 【例7-1】（2023九年级上·全国·专题练习）如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点．连接、．    (1)四边形是怎样的特殊四边形？证明你的结论； (2)若长为2，则的长为 　 　时，四边形为菱形． 【答案】(1)四边形是平行四边形，证明见解析 (2) 【分析】（1）依据题意可得到，，，利用平行线的性质可证明，然后依据证明，由全等三角形的性质可知，由旋转的性质可得到，从而可证明，最后依据平行四边形的判定定理进行证明即可； （2）连接．可证明为等边三角形，则，利用直角三角形的性质可得到答案． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形． 证明：四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，， 在和中， ， ， ， 矩形由矩形旋转得到， ，， 四边形为平行四边形； （2）当时，四边形是菱形， 连接．    四边形为菱形， ． 由旋转的性质可知． ． 为等边三角形． ． ． ． 又， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定、平行四边形的判定、矩形的性质、菱形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质和判定定理是解题的关键． 【例7-2】（21-22九年级上·河南许昌·期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α后得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E． （1）如图1，若点D恰好落在边BC的延长线上，连接CE，求∠DEC的度数． （2）如图2，若α＝60°，F为BD的中点，连接CD，CF，EF，请判断四边形CDEF是什么特殊的四边形，并说明理由． 【答案】（1）15°；（2）四边形CDEF是菱形，理由见解析． 【分析】（1）由题意易得∠A＝60°，由旋转的性质可得∠D＝∠A＝60°，BE＝BC，∠DBE＝∠ABC＝30°，然后可得∠BCE＝∠BEC＝75°，进而问题可求解； （2）由旋转的性质可得∠CBE＝α＝60°，∠DBE＝∠ABC＝30°，∠DEB＝∠ACB＝90°，则有∠DBE＝∠DBC，然后可得△DBE≌△DBC，则有∠BED＝∠BCD＝90°，进而可得CD＝ED＝CF＝EF，最后问题可求解． 【详解】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠A＝60°， 由旋转得∠D＝∠A＝60°，BE＝BC，∠DBE＝∠ABC＝30°， ∴∠BCE＝∠BEC＝（180°﹣30°）＝75°， ∴∠DEC＝∠BCE﹣∠D＝75°﹣60°＝15°． （2）四边形CDEF是菱形， 理由如下： 如图2，∵△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α得到△DBE， ∴∠CBE＝α＝60°，∠DBE＝∠ABC＝30°，∠DEB＝∠ACB＝90°， ∴∠DBC＝30°， ∴∠DBE＝∠DBC， ∵BD＝BD，BE＝BC， ∴△DBE≌△DBC（SAS）， ∴∠BED＝∠BCD＝90°， ∴CD＝BD，ED＝BD， ∵F为BD的中点， ∴CF＝BD，EF＝BD， ∴CD＝ED＝CF＝EF， ∴四边形CDEF是菱形． 【点睛】本题主要考查菱形的判定、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的判定、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【例7-3】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转后得到，与相交于点F．    (1)试判断与的位置关系并证明； (2)试探究四边形是什么特殊的四边形，并证明你的结论； 【答案】(1)，证明见解析 (2)四边形是菱形，证明见解析 【分析】（1）由旋转可得，再利用全等三角形的性质，可得，再利用等腰三角形的性质求出，即可得到，即可解答； （2）由，可得，故可证明四边形是平行四边形，再利用证明平行四边形是菱形． 【详解】（1）， 证明：在中，， ， 根据旋转的性质，可得，， ， ； （2）平行四边形是菱形， 证明：根据（1）中同理，可得， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的判断，菱形的判定，正确运用上述性质是解题的关键． 【变式演练】 【变式7-1】（20-21九年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由． 【答案】平行四边形，理由见解析 【分析】由四边形ABCD是矩形，可得ABCD，AB＝CD，由旋转的性质知AE′＝CE＝CG，所以BE′＝DG，从而证得四边形E′BGD为平行四边形． 【详解】解：四边形E′BGD是平行四边形． 理由如下： ∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′， ∴CE=AE′， ∵CE=CG， ∴CG=AE′， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BE′DG，AB=CD， ∴AB﹣AE′=CD﹣CG，即BE′=DG， ∴四边形E′BGD是平行四边形． 【点睛】此题考查了旋转的性质、正方形的性质以及平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用． 【变式7-2】（22-23九年级上·江西赣州·期末）已知在中，，，，将绕点逆时针旋转得到（），交直线于． (1)如图1，当_____（）时，的一边与平行． (2)如图2，当时，设与相交于点， 是什么特殊三角形？请说明理由； 若交于，求的长． 【答案】(1)或 (2)等边三角形，见解析； 【分析】（1）分两种情况：当的时；当的时，根据平行的性质，分别求出的度数即可； （2）由得到，从而得到，又因为，从而得到，即可得到答案；根据勾股定理和旋转的性质，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，如图所示， ， ， ， ， 当时，如图所示， ， ， 故答案为：或； （2）解：是等边三角形， 理由如下：， ， ， 又， ， 是等边三角形； ， ， ， ， 在中，，， ，， 将绕点逆时针旋转（）得到， ， 由知， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式7-3】（21-22九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）已知四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（点P、点G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD＝PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF． （1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时， ①求证：DF＝PG； ②请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想； （2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，四边形PEFD的形状是否发生了变化？请写出你的结论． 【答案】（1）①见解析；②四边形PEFD是菱形，理由见解析；（2）四边形PEFD的形状没有发生变化，仍然是菱形，理由见解析 【分析】（1）①根据四边形ABCD为正方形得AD=CD ，然后证明△ADF≌△CDP，则DF=DP，得到DF=PG； ②由四边形PMDC是矩形得CD＝PM，由△ADF≌△MPG，推出PG＝PF，进而可得DP＝PF，再证明DF∥PE，推出四边形PEFD是平行四边形，再结合PD＝PE即可证明四边形PEFD是菱形； （2）如图2中，作PM⊥AD于M．则四边形CDMP是矩形，CD＝PM，由△ADF≌△MPG，推出DP＝PG＝PE＝PF，再证明DF∥PE，推出四边形PEFD是平行四边形，由PD＝PE，即可证明四边形PEFD是菱形． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD ，∠A= ∠C=∠ADC=90°， ∵DF⊥PG， ∴∠DHG=90°，   ∴∠HGD+∠ADF=90°，∠CDP+∠PDG=90°， ∵ PD=PG ， ∴∠PGD=∠PDG， ∴∠ADF=∠CDP， ∴△ADF≌△CDP（ASA）， ∴DF=DP， ∵ PD=PG， ∴DF=PG；                      ②如图所示，作PM⊥AD于M，由旋转的性质得PE=PG，∠EPG=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝∠CDM＝∠DMP＝90°，AD＝CD， ∴四边形DCPM是矩形， ∴CD＝PM， ∵AD＝CD， ∴AD＝PM， ∵DF⊥PG， ∴∠DAF＝∠PMG＝∠GHD＝90°， ∴∠ADF+∠AFD＝90°，∠ADF +∠PGM＝90°， ∴∠AFD＝∠PGM， 在△ADF和△MPG中， ， ∴△ADF≌△GMP（AAS）， ∴DF＝PG， ∵PG＝PE＝PD， ∵∠FHG＝∠EPG＝90°， ∴DF∥PE， ∴四边形PEFD是平行四边形， ∵PD＝PE， ∴四边形PEFD是菱形． （2）四边形PEFD的形状没有发生变化，仍然是菱形， 理由：如图2中，作PM⊥AD于M．则四边形CDMP是矩形，CD＝PM， ∵∠DAF＝∠PMG＝∠DHG＝90°， ∴∠ADF+∠AFD＝90°，∠G+∠GDH＝90°， ∵∠ADF＝∠GDH， ∴∠AFD＝∠G， ∵AD＝CD，CD＝PM， ∴AD＝PM， 在△ADF和△MPG中， ， ∴△ADF≌△MPG（AAS）， ∴DP＝PG＝PE＝PD， ∵∠FHG＝∠EPG＝90°， ∴DF∥PE， ∴四边形PEFD是平行四边形， ∵PD＝PE， ∴四边形PEFD是菱形． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 一、单选题 1．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可知，然后利用等边对等角得，最后由三角形内角和即可求解，即可． 【详解】解：由旋转性质可知：， ∵点D恰好落在的延长线上， ∴， ∴， 即旋转角的度数是， 故选：B． 2．（23-24九年级上·山西大同·期末）如图，在等边三角形中，点B，C的坐标分别为，．将绕标原点顺时针旋转，则点A的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，旋转变换，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．过点A作于H，y轴于D，过点作x轴于E．先求出，通过证明求出． 【详解】解：如图，过点A作于H，y轴于D，过点作x轴于E．    由题意可得，， ， ， ， ， 又， ， ， ． 故选：B 二、填空题 3．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质得到，再由可知为等腰直角三角形，进而可求出的长，再利用面积的转化即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， ． 故答案为：． 4．（22-23九年级上·福建厦门·期中）已知点，O是坐标原点，将线段绕点O逆时针旋转，点A旋转后的对应点是，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化−旋转，把点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，如图，作作轴于点B，则，把绕原点按逆时针方向旋转得到，根据旋转的性质得到即可解答． 【详解】解：过点A作轴于点B，点作轴于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题 5．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）如图，在，，，将点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据旋转得到和，即可证得结论； （2）根据等腰三角形性质得，结合四边形内角和求得，即可求得答案． 【详解】（1）证明：由旋转得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴． （2）由旋转得，，， 则， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和四边形内角和，解题关键是熟悉旋转性质． 6．（23-24九年级上·广东潮州·期末）如图，在中，，D是边上一点（点D与A，B不重合），连接，将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质可得，， 则，证明，则； （2）由，可得，由，可得，即，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可得，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理等知识．熟练掌握旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理是解题的关键． 7．（23-24九年级上·天津西青·期中）如图1，在中，，，D为上一点，连接，将绕点C顺时针旋转至，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质得到，，求得，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）由（1）可知，，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：由旋转可得，， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了几何变换综合题，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 8．（21-22九年级上·江西赣州·期中）在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（2，- 4），B（4，-2）．C是第四象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形． （1）填空：C点的坐标是　　　，△ABC的面积是 （2）将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，连接AB1、BA1， 则四边形AB1A1B的形状是何特殊四边形？___________________． （3）请探究：在坐标轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（1，-1）；4；（2）矩形；（3）存在，点P的坐标为（-1，0），（0，-2）． 【分析】（1）根据题意点在线段的垂直平分线上，且腰长为无理数，所以，利用分割法求出的面积即可； （2）如图2，根据旋转的性质得到，，在同一直线上，，，在同一直线上，，，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （3）由（1）知，则．同（1）中的方法得；当在轴负半轴时，当在轴负半轴时，而当在轴正半轴及轴正半轴时均不能形成四边形；于是得到结论． 【详解】解：（1）根据题意点坐标为，如图1． ． 故答案为：，4 （2）如图2， 将绕点旋转得到△， ，，在同一直线上，，，在同一直线上，，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形， 故答案为：矩形； （3）存在． 由（1）知，则．同（1）中的方法得； 当在轴负半轴时，，高为4，那么底边长为1，所以； 当在轴负半轴时，，高为2，所以底边长为2，此时； 而当在轴正半轴及轴正半轴时均不能形成四边形； 故点的坐标为，． 【点睛】本题考查了中心对称，三角形的面积的计算，矩形的判定，解题的关键是正确的画出图形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$