13.1三角形中的边角关系（9知识点+9题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪科版）

13.1 三角形中的边角关系 课程标准 学习目标 1.会证明三角形的任意两边之和大于第三边。 2.探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 3.理解三角形及其内角、外角，中线、高线，角平分线等概念，了解三角形的稳定性。 1.了解三角形的概念，掌握分类思想； 2.理解三角形的三边关系，经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵；会判断三条线段能否组成一个三角形，能运用它解决有关问题。 3.经历探索三角形内角和定理的过程，理解三角形内角和定理及其证明方法； 4.了解三角形的高、中线和角平分线的概念及性质，会画任意三角形的高、中线、角平分线。 知识点01 三角形的概念与表示 ·由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 【即学即练1】三角形是指(　　) A．由三条线段所组成的封闭图形 B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形 C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形 【答案】C 【分析】根据三角形的定义解答即可． 【详解】因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的定义．解题的关键是熟记三角形的定义． ·三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边.如图，线段AB，BC，AC是三角形ABC的三条边.（有时也用a，b，c表示） ·三角形的顶点:相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.如图，点A，B，C是三角形ABC的三个顶点. ·三角形的角:相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.如图，∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个角. ·三角形的符号表示：用符号“△”表示，以A，B，C为顶点的三角形，记作“△ABC”（△BAC、△BCA、△CAB），读作“三角形ABC”。 【即学即练2】在中，边的对角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题主要考查三角形的定义，掌握三角形是由不在同一条直线上的首尾顺次相连的三条线段组成的图形是解题的关键．由对角、对边的关系可求得答案． 【详解】解：如图， 在中，边的对角是， 故选：A． 【即学即练3】如图，图中三角形的个数为 ；以为边的三角形是 ，以为一个内角的三角形是 ；在中，的对边是 ． 【答案】 ，， ，， 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关概念． 根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形可得图中三角形的个数；根据组成三角形的线段叫做三角形的边；根据相邻两边组成的角叫做三角形的内角进行分析． 【详解】图中的三角形有、、、、、，共个；以为边的三角形有、、，以为一个内角的三角形是、、；中的对边是 故答案为：；；；． 知识点02 三角形按边分类 ·按边的相等关系分类： ·等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角. ·等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形，即底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形。 说明：等边三角形是特殊的等腰三角形. 【即学即练4】一个三角形中有两条边相等，则这个三角形是（　　） A．不等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查等腰三角形，根据至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形，即可判断． 【详解】解：至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形． 故选：D． 知识点03 三角形的三边关系 ·三角形中任何两边的和大于第三边，三角形中任何两边的差小于第三边. 说明：这里说的两边，是指任意的两边。三角形的三边关系反映了任意三角形边的限制关系，一般会与不等式联系起来考虑。 图形 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边的和大于第三边 a+b>c,b+c>a,a+c>b 两点之间，线段最短 三角形两边的差小于第三边 a-b<c,b-c<a,a-c<b(a>b>c) 【即学即练5】（2024·北京大兴·二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定，面积与半径；（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（      ） A．4，6，10 B．3，6，7 C．5，6，11 D．2，3，6 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据任意两边之和大于第三边逐项判断即可得出答案，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】解：A、，故4，6，10不能组成三角形，不符合题意； B、，故3，6，7能组成三角形，符合题意； C、，故5，6，11不能组成三角形，不符合题意； D、，故2，3，6不能组成三角形，不符合题意； 故选：B． 【即学即练6】（23-24八年级上·福建福州·期中）以下列三条线段为边，不能构成三角形的是（      ） A．13，7，6 B．12，8，9 C．11，9，6 D．9，8，7 【答案】A 【知识点】构成三角形的条件 【分析】此题考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可． 【详解】解：A．∵，∴13，7，6不能构成三角形；     B．∵，∴12，8，9能构成三角形；     C．∵，∴11，9，6能构成三角形；     D．∵，∴9，8，7能构成三角形； 故选A． 知识点04 三角形按内角分类 ·按内角的大小分类： 说明：在一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个直角，最多有一个钝角。 【即学即练7】已知中，，，那么三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的分类，根据题意，可得，由此即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∴是锐角三角形， 故选：A ． 【即学即练8】若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 【答案】A 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类．根据三角形的内角和是，列式即可求得最大内角的度数，然后判断三角形的形状． 【详解】解：∵一个三角形三个内角度数的比为， ∴最大内角， 这个三角形是直角三角形， 故选：A． 知识点05 三角形的内角和与证明 ·三角形三个内角的和等于180° ·符号表示：在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. ·定理的证明：利用“平行线的性质”证明三角形的内角和定理 证明思路 运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处，合并成一个平角 方法1. 方法2. 方法3. 过点 A 作l∥BC， 则∠B =∠1，∠C =∠2 (两直线平行，内错角相等). ∵∠1+∠2+∠BAC= 180°， ∴∠B +∠C +∠BAC = 180°. 延长BC到 D，过点 C 作 CE∥BA， 则∠A =∠1(两直线平行，内错角相等)， ∠B =∠2(两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B +∠ACB = 180°. 过 D 作 DE∥AC，DF∥AB， ∴∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC (两直线平行，同位角相等)， ∠A +∠AED = 180°， ∠EDF +∠AED = 180° (两直线平行，同旁内角相补). ∴∠A = ∠EDF. ∵∠EDB +∠EDF +∠FDC = 180°， ∴∠C +∠A +∠B = 180°. 知识点06 三角形的内角平分线 1.三角形的角平分线的概念 在三角形中，一个内角的平分线和它所对的边相交于一点，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 2.三角形的角平分线的几何语言表达形式 如图所示，AD是△ABC的角平分线，或∠BAD=∠CAD=∠BAC且点D在边BC上. 3.三角形的角平分线的位置 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点. 【即学即练9】如图，DC平分∠ACB，DE∥BC，∠ACB=80°，求∠ECD的度数. 【详解】∵DC平分∠ACB， ∴∠ECD=∠BCD=∠ACB. 又DE∥BC， ∴∠ACB=∠AED=80°. ∴∠ECD=40°. 知识点07 三角形的中线 ·三角形的中线的概念：在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线。 ·三角形中线的几何语言表达形式：如图，AD是△ABC的边 BC 上的中线，或AD是△ABC 的中线。 ·任何三角形都有三条中线，三条中线都在三角形内部，并且三条中线相交于一点，这点在三角形的内部. 【即学即练10】三角形的重心是（　　） A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点 C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平分线的交点 【答案】A 【知识点】重心的概念 【详解】三角形的重心是三条中线的交点， 故选A． 【即学即练11】（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，和是的中线，则以下结论：①；②是的重心；③与面积相等；④过的直线平分线段；⑤；⑥，其中正确的结论有（    ）    A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③⑥ D．①②⑤⑥ 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积、重心的概念 【分析】根据三角形中线的定义与性质及重心的定义可判定①，②，③，④，而根据已知条件无法判定⑤⑥，据此可求解． 【详解】解：∵和是的中线， ∴，分别为，的中点， ∴，，故①正确； ∵和是的中线， ∴点是的重心，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵点是的重心， ∴过的直线平分线段，故④正确； 根据已知条件无法判定，，故⑤，⑥错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形的中线的性质，熟练掌握三角形重心的定义是解题的关键． 知识点08 三角形的高线 ·三角形的高的概念 从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 ·三角形的高的几何语言表达形式：如图所示，AD 是△ ABC 的边 BC 上的高，或AD 是△ ABC 的高，或AD⊥BC于点D，或∠BDA=∠CDA=90°. 说明：三角形的高与垂线的区别：三角形的高是一条垂线段，垂线是一条直线。 ·作三角形高的步骤（过直线外一点作该直线的垂线段的步骤）： 一靠：三角尺的一条直角边靠 在要作高的边上； 二移：移动三角尺使另一条直 角边通过要作高的顶点， 三画：画垂线段. 【即学即练12】（22-23八年级上·福建莆田·期中）下面四个图形中，线段是的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高． 【详解】解：由图可得，线段是的高的图是D选项． 故选：D ·三角形三条高的位置 三角形 高及高的交点的位置 图示 锐角三角形 三条高都在三角形的内部，三条高的交点在三角形的内部 直角三角形 直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点 钝角三角形 钝角三角形有两条高落在三角形的外部，另一条高在三角形内部，三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点 【即学即练13】如图，在中，，为的中点，延长交于点，为上的一点，于点．下列判断错误的有（   ） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，是的角平分线，正确； B．∵，为边上的高，正确； C．∵为的中点，是边上的中线，故原说法不正确； D．∵，为的高线，正确； 故选C． *知识点09 三角形的外角 ·三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角。 ·外角的性质(三角形内角和定理的推论) （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 符号表示： ∵∠ACD 是△ABC 的一个外角， ∴∠ACD =∠A +∠B. (2)三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. ·三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和.三角形的外角和为360°. 【即学即练14】如图①，试比较∠2 、∠1的大小；如图②，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小. 图① 图② 【详解】图①:解：∵∠2=∠1+∠B，∴∠2＞∠1. 图②:解：∵∠2 =∠1 + ∠B，∠3 =∠2 +∠D，∴∠3＞∠2＞∠1. 【即学即练15】将一副三角板如图所示放置，则图中的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：如图，由题意，， 由外角的性质可得：， 故选：． ·三角形三边关系的应用 (1)判断三条线段能否构成三角形， (2)确定第三边长(或周长)的取值范围 (3)解决线段的不等关系问题(如证明几何不等式). ·三角形的三条高的位置比较 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 例题:如图，已知△． (1)画角平分线； (2)画中线； (3)画高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】三角形的识别与有关概念、画三角形的高、三角形角平分线的定义 【分析】此题主要考查了基本作图，关键是掌握三角形中的三条重要线段的定义．根据三角形的中线、高线、角平分线的定义分别画出图形即可． 【详解】（1）解：如图所示：线段即为所求． （2）解：如图所示：线段即为所求． （3）解：如图所示：线段即为所求． ·三角形内角和应用模型 由三角形的内角和定理 易得∠1 +∠2 =∠3 +∠4. 由三角形的内角和定理 易得∠A +∠B =∠C +∠D ·三角形的中线分成的两个三角形的面积及周长的关系 (1)面积关系：如图所示，AD是△ABC 的中线，AE是△ ABC的高， 则 ， 因为BD=CD,所以=， 所以=. （等面积法） 例题：如图，已知的面积为48，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（   ）    A．12 B．10 C．6 D．8 【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了求三角形的高，连接，利用等面积法推出，解之即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴ ， ∵的面积为48，，， ∴， ∴， 故选A．    (2)周长关系：因为△ABD的周长=AB+BD+AD, △ACD 的周长= AC+CD+AD, 所以△ABD 的周长- △ACD 的周长=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC.（等式的性质） 例题：如图，已知为的中线，，，的周长为，的周长为 ．    【答案】18 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】此题考查了三角形的周长和中线，根据线段的和可得出，根据中线的定义得出，从而得出，最后再根据线段的和即可得出答案． 【详解】的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为， 故本题答案为：． 【题型一：根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围】 例1．（2024·安徽淮北·二模）已知三角形的两边长分别为，第三边长为，若为整数，则的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】无理数的大小估算、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查无理数的估算，三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，再估算出第三边的范围，结合整数直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，设第三边为，即， ∵，即 ∴， ∵第三条边长为整数， ∴可能为：2，3，4， 则第三边长不可能为1， 故选：A 变式1-1．在中，，若其周长为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用一元一次不等式解决几何问题、确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形的三边关系、等腰三角形的性质；设，由三角形的三边关系定理得出，再由边长为正数得出，即可得出结果．掌握三角形的三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设， ∵在中，，若其周长为， ∴， ∵，即， 解得：， 又∵， 解得：， ∴， 即． 故选：B． 变式1-2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】此题考查了三角形的三边关系，由三角形的三边关系定理可得到的取值范围，而是整数，可求的最小值，周长最小值也可求，熟练掌握三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：设第三边长是， ∵三角形的两边长分别为和， ∴，即， ∵是整数， ∴，，，，， ∴当时，三角形的周长最小值是， 故选：． 变式1-3．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）已知三角形两边长分别为6和3，第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是 . 【答案】13 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系，正确得出第三边的取值范围是解答的关键．根据三角形三边关系求出第三边的取值，即可求解 【详解】解：设第三边长为， ∴， ∵第三边为整数， ∴最小整数为， ∴ 周长最小为， 故答案为：． 变式1-4．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知，的三边长分别为，，． (1)求的取值范围； (2)若它是一个等腰三角形，求它的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理（三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边），三角形周长的求解，先确定为等腰三角形时，再用三角形周长公式即可求解，能熟练运用三角形的三边关系定理是解题的关键. 【详解】（1）解：∵三角形的三边关系是：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，   ∴， ∴． （2）解：若为等腰三角形，或， 当时，不符合三角形的三边关系，应舍去， ∴， ∴等腰的周长为． 例2．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，一个四边形木框，四边长分别为，，，．它的形状是不稳定的，但任意三点不能共线，求和的取值范围． 【答案】， 【知识点】一元一次不等式组应用、三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出不等式求解即可． 【详解】解：如图，在中，，即， 在中，，即， ∴； 在中，，即， 在中，，即， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，涉及到了一元一次不等式组的应用，解题关键是掌握三角形的三边关系，能列出不等式（组）求解． 【技巧方法与总结】运用任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边来确定第三边的范围时： ①可用较小的两边之和大于最长边来列不等式，注意根据边长的长短进行分类讨论； ②没有三角形时，可辅助线构造出三角形。 ·三角形三边关系的应用 (1)判断三条线段能否构成三角形， (2)确定第三边长(或周长)的取值范围 (3)解决线段的不等关系问题(如证明几何不等式). 【题型二：根据三角形的三边关系化简绝对值】 例3．（23-24八年级上·广东珠海·期中）已知的三边长分别为3、5、，化简 【答案】 【知识点】化简绝对值、确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，化简绝对值，根据三角形三边的关系得到，则，据此化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：∵的三边长分别为3、5、， ∴，即， ∴， ∴ ． 变式3-1．（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）若，，为的三边长，且，满足． (1)求的取值范围； (2)若第三边长是整数，求的值． 【答案】(1) (2)的值为，， 【知识点】绝对值非负性、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系，解题的关键是利用非负性求出，的值． （1）利用非负性求出，的值，再利用三角形三边关系，即可求解； （2）根据第三边长是整数，求的值即可． 【详解】（1）解：∵， ，， 解得，， ，， ∴． （2）解：∵是整数， 的值为，，． 变式3-2．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知三角形的三边长分别为，化简：． 【答案】 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查整式的加减，三角形的三边关系，绝对值化简，根据三角形三边关系得到的不等式，再去绝对值后计算即可． 【详解】∵三角形的三边长分别为， ∴，， ∴，， ∴． 【方法技巧与总结】灵活使用绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系进行解题，必要时需要分类讨论。 【题型三：根据三角形的高线和角平分线进行角度计算】 例4．如图，分别是的高和角平分线，已知，，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及垂线，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由，可得出，结合三角形外角性质，可求出的度数，即可求出度数． 【详解】解：在中，， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 变式4．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）如图，是的边上的高，是的平分线．    （1）若，，则的度数为 ； （2）若，，用含、的代数式表示的度数为 ． 【答案】 /77度 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，再根据角平分定义求出，然后根据三角形内角和定理得出答案； （2）先表示出，即可得出，再根据三角形内角和定理表示，最后根据得出答案． 【详解】（1）∵，， ∴. ∵是的平分线， ∴， ∴. 故答案为：； （2）∵，， ∴. ∵平分， ∴. 在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，高线，三角形内角和定理，理解各角之间的数量关系是解题的关键． 例5．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为　　　　； (2)若，是高，求的度数； (3)若是角平分线，求的度数． 【答案】(1)1 (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义及三角形高的定义和中线的性质． （1）由是中线，可得，再分别求出与的周长，再求差即可； （2）根据是高，可得，再根据角平分线的定义求出，再根据三角形外角的性质即可求解； （3）先利用三角形内角和定义求得，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：1； （2）解：∵是的高， ∴， ∵，是的角平分线， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 变式5-1．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，为角平分线，为边上一点（不与点，重合），连接交于点．    (1)若，为高，求的度数； (2)若，为角平分线，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）本题考查了三角形角平分线的性质、以及三角形的外角定理，根据题意得出的值，知道为高，再结合三角形的外角定理，即可解题． （2）本题考查了三角形角平分线的定义和三角形的内角和定理，由三角形内角和得出，再根据三角形角平分线的定义得出，最后根据三角形内角和，即可得到的度数． 【详解】（1）解：为角平分线，， ， 为的高， ， ． （2）解：， ， 为角平分线，为角平分线， ，， ， ． 变式5-2．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）如图所示，为的角平分线，为的高，若，，求的度数． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义 【分析】首先根据三角形高的定义可知，再结合三角形内角和定理解得的值，结合为的角平分线，可得，然后根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，由求解即可． 【详解】解：∵为的高， ∴， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、三角形的角平分线和三角形的高等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 例6．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，、分别是和的角平分线．当时，求的度数．    【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据三角形的内角和定理求得，推得，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵、分别是和的角平分线， ∴，， ∵，， ∴， 则， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【方法技巧与总结】根据角平分线、直角三角形两锐角互余、三角形内角和表示出各角之间的数量关系 【题型四：根据三角形的中线求长度】 例7．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（      ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，解二元一次方程组和三角形三边关系的综合运用，设等腰三角形的腰长、底边长分别为，，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具体是哪部分的长为，故应该列两个方程组求，解题的关键是分两种情况分析，求得解之后注意用三角形三边关系进行检验． 【详解】设等腰三角形的腰长、底边长分别为，， 由题意得或， 解得或， ∵， ∴不能构成三角形， 故等腰三角形的底边长为， 故选：． 变式7-1．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成55和45两部分，求和的长．    【答案】， 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的三边关系，中线的含义，一元一次方程应用，先根据是边上的中线得出，设，，则，根据题意得出方程组，求出方程组的解，再根据三角形的三边关系定理判断即可． 【详解】解：设，，则， 边上的中线把的周长分成55和45两部分，， ，， 即， 解得：， 当，，时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形， ∴，． 变式7-2．（23-24八年级上·安徽六安·期末）在中，，是中线，若周长与的周长相差，求． 【答案】或 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线的定义，求出两三角形的周长的差是解题关键． 根据三角形的中线的定义可得，然后依据周长与的周长相差，代入数据计算即可得解． 【详解】解：如图， 是中线， ， 周长的周长， 周长与的周长相差， ， ∵ 或． 【方法技巧与总结】△ABD和△ ACD的周长之差实质上就是AB与AC的长度之差 【题型五：根据三角形的中线求面积】 例8．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，点是边的中点，连接，点是的中点，连接．若的面积为12，则的面积为（　　） A．2 B．3 C．2.5 D．4 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可． 【详解】解：点是边的中点，的面积为12， ， 点是的中点， ， 故选：B． 变式8-1．（23-24八年级上·山西大同·期末）如图，点是中边上的点，连接，点是的中点，连接，若的面积为8，则阴影部分的面积为（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵点是中边上的点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故选C． 变式8-2．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，、都是的中线，连接，的面积是，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了利用三角形的中线求三角形的面积．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，两次利用该定理即可求得结果． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴为的中线， 即， 故答案为：． 变式8-3．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则阴影部分的面积等于 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了中线的性质．熟练掌握中线将大三角形分成两个面积相等的小三角形是解题的关键． 由中线的性质可得，，则，进而可求阴影面积． 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴，， ∴， ∴（）， 故答案为：． 【方法技巧与总结】三角形的中线可将三角形分成面识相等的两部分 【题型六：根据三角形的外角与内角和计算角度】 例9．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知点在内，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角的和差等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键． 如图：根据三角形外角的性质可得，根据三角形内角和的性质可得，然后根据并代入计算化简即可． 【详解】解：如图：∵、，， ∴， ∵， ∴ ， 故选C． 变式9-1．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，是边上一点，若为直角三角形，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查角的和与差，三角形的内角和定理，三角形外角的性质． 根据为直角三角形可得或，分两种情况讨论：①若，根据三角形的内角和即可求得，进而可求解；②若，根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】∵为直角三角形， ∴或， ①若， ∵，， ∴， ∴． ②若， ∵， ∴． 综合所述，或． 故选：C 变式9-2．（22-23七年级下·广东梅州·期中）中，，和的平分线相交于点，则 ． 【答案】/120度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和等于是解答本题的关键． 根据三角形的内角和等于求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和等于列式计算，由此得到答案． 【详解】解：， ， 与的角平分线相交于， ， 在中，． 故答案为：． 变式9-3．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，平分．求，的度数．    【答案】， 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查了三角形的内角和定理和外角的性质，根据角平分线的定义求出，再用三角形内角和定理求出，再用外角的性质求出的度数即可． 【详解】解：平分， ， ， ， 是的外角， ． 例10．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图是一个不规则的“五角星”，已知，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，解题的关键是“数形结合”，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和．根据三角形外角的性质得到，，再根据三角形的内角和，即可求解． 【详解】解：如图所示，   ，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 变式10．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，这是一个五角星，则 ． 【答案】180 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，设、交于点，、交于点，由三角形外角的定义及性质可得，，结合三角形内角和定理即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，设、交于点，、交于点， ，， ， 故答案为：． 【方法技巧与总结】应用三角形的外角的定义及性质、三角形内角和表示出相关角度之间的数量关系。 例11．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，将纸片沿折叠使点落在点处，且平分，平分，若，则的大小为（　　） A．66° B．48° C．96° D．132° 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】此题主要考查角平分线的性质和三角形的内角和定理，连接，首先求出，再证明即可解决问题． 【详解】解： 连接， ∵ ∴ ∵平分，平分 ∴ ∴ 由题意得： ∴ ∴， ∴. 故选：C. 变式11．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）在中，，点是边上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，（）．    (1)求的度数； (2)若中有两个角相等，求的值． 【答案】(1) (2)30 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可求得，结合题意即可求解； （2）根据三角形的外角性质可得，求得，根据折叠的性质可得，，求得，根据三角形内角和定理求得，分、、三种情况，列方程解答即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴，即， 又∵， 故，解得：． （2）∵，， 则， ∴， 根据折叠可得：，， ∴． ， ∴， ①当时，即，解得：， ②当时，即，解得，， ∵， ∴不合题意，故舍去， ③当，即，解得，， ∵， ∴不合题意舍去． 综上所述，， 【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质是解题的关键． 【方法技巧与总结】①应用三角形的外角的定义及性质、三角形内角和表示出相关角度之间的数量关系；②翻折前后角度不变；③结合方程思想。 【题型七：三角形的个数问题】 例12．如图在的边上取三个点，，，连接，，，则边上有 条线段，以 为顶点的角有 个，图中共有 个三角形．      【答案】 【知识点】直线、线段、射线的数量问题、三角形的个数问题 【分析】本题主要考查线段数量、角度的数量和三角形的个数，利用固定点可得到线段，上述线段都与点组成角，即以 为顶点的角有10个；以 为顶点的角即组成对应的三角形． 【详解】解：根据题意得，线段有共10条线段； 以 为顶点的角 三角形有 上述线段都与点组成交，即以 为顶点的角有10个； 以 为顶点的角即组成对应的三角形． 故答案为：10，10，10． 变式12．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）数一数图中共有（   ）个三角形． 【答案】44 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题主要考查分类讨论的思想，根据三角形中包含的小三角形的个数进行分类求解，再求总数即可． 【详解】解：由一个小三角形组成的三角形数量为16个； 由二个小三角形组成的三角形数量为16个； 由四个小三角形组成的三角形数量为8个； 由八个小三角形组成的三角形数量为4个； 则共有个， 故答案为：44． 【题型八：等面积法的应用】 例13.如图，直线经过原点，点在轴上，于，若，，，则 ． 【答案】32 【知识点】坐标与图形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了坐标与图形性质，关键是根据点的坐标表示出对应线段的长，面积法在几何问题中经常运用，要熟练掌握；本题根据面积法求出线段的积是解题关键．作三角形的高线，根据坐标求出、、的长，利用面积法可以得出． 【详解】解：过作轴于，过作轴于， ， ． ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， 故答案为：． 【方法技巧与总结】等面积法的应用： 若涉及两条高求长度，一般需结合面积（但不求出面积），利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解. 【题型九：三角形的角综合问题】 例14.（21-22八年级上·安徽六安·期中）中，是的角平分线，是的高． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，，由的计算结果，你能发现与的数量关系吗？写出这个关系式，并加以证明； (3)如图3，，延长到点，和的角平分线交于点、请直接写出的度数______． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得，由角平分线的定义可得的度数，利用三角形的高线可求得度数，进而求解即可得出结论； （2）根据（1）的推理方法可求解、、的数量关系； （3）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1），，， ， 是的角平分线， ， 是的高， ， ， ， ； （2）， ， 是的角平分线， ， 是的高， ， ， ， 即； （3）∵， ∴ ∴ ∵是的角平分线， ∴ ∴ 是的角平分线， ∴ ∵是的角平分线 ∴ 中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，角平分线等知识的综合运用，掌握以上基础知识是解本题的关键． 变式14．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）在中，，平分，为射线上一点（不与点重合），且于点． (1)如图1，若点与点重合，且，，求的度数； (2)如图2，若点在线段上（不与点重合），求证：； (3)如图3，若点在外部，探究此时，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，，由角平分线的性质易得的度数，可得； （2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出，外角的性质得出，在中，由三角形内角和定理可得； （3）由平分，可得．由为的外角可得．得出，最后可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵平分， ∴． ∵为的外角， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． （3）解：． 理由：∵平分， ∴． ∵为的外角， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 一、选择题 1．下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查三角形定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，逐项验证即可得到答案，熟记三角形定义是解决问题的关键 【详解】解：由三角形定义可知A，B，C均不是三根木棒拼成的三角形，只有D是三根木棒拼成的三角形， 故选：D． 2．（22-23八年级上·广西柳州·开学考试）在中， ，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是根据角与角之间的关系设出未知数列出方程． 设度，则度．根据三角形的内角和是得出，求解即可． 【详解】解：设度，则度． 由，得： ， 所以， 故， ∴是直角三角形． 故选：B． 3．（24-25八年级上·四川遂宁·开学考试）下列说法中，正确的是（    ） A．三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点 B．三角形的一个外角大于任何一个内角 C．任意三角形的外角和都是 D．中，当，时，这个三角形是直角三角形． 【答案】C 【知识点】画三角形的高、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形高的画法，外角和定义，直角三角形判定等．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵钝角三角形的高有两条在三角形外部， ∴A选项不对， ∵当三角形内角大于等于时，三角形的一个外角就不大于任何一个内角， ∴B选项不对， ∵任意三角形的外角和都是， ∴C选项正确， ∵，，， ∴，即， ∴这个三角形不是直角三角形， ∴D选项不对， 故选：C． 4.（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，在直角三角形中，，为所在直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．5 B．4.8 C．4.5 D．4 【答案】B 【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，得到时，线段的值最小，再利用等积法求出最小值即可． 【详解】解：∵为所在直线上一动点， ∴当时，线段的值最小， ∵，， ∴当时，，即：， ∴，即：线段的最小值是4.8； 故选B． 5．（23-24八年级上·安徽宣城·期末）如图，沿直线折叠，使点与边上的点重合，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、折叠、三角形的外角性质，先根据直角三角形的两个锐角互余可得，再根据折叠的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：， ， 由折叠的性质得：， ， 故选：D． 6．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在中，，是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（    ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，这样就很容易判断出C选项的错误；由于，结合“从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高”即可判断出是否是的高，这样也能得出D选项的正误． 【详解】A、由图可知：是的中线，正确，不符合题意； B、由图可知：是的角平分线，正确，不符合题意； C、是的角平分线， ， 是中线， ， 不正确，符合题意． D、由图可知∶ 是的高，正确，不符合题意； 故选C． 7．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，为的中点，延长交于．于，交于．下列说法中错误的是（　　） A．是的中线 B． C．线段是的角平分线 D．与的面积相等 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、直角三角形的两个锐角互余、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．根据三角形的角平分线、中线和高的概念、三角形的面积公式判断即可． 【详解】解：A、∵为的中点， ∴是的中线，故本选项说法正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故本选项说法正确，不符合题意； C、∵， ∴线段是的角平分线，故本选项说法错误，符合题意； D、∵为的中点， ∴与的面积相等，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 8．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，为三边中线，，的交点，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】此题考查三角形的中线．根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知的面积即为阴影部分的面积的3倍． 【详解】解：∵为三边中线，，的交点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 9．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）三角形的三边长分别是，，，已知是奇数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边之间关系，首先根据三角形的三边之间的关系得：，由此解得，然后再根据为奇数即可求出的值．解题的关键是掌握：三角形的第三边大于两边之差且小于两边之和． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是，，， ∴， ∴， ∵是奇数， ∴． 故答案为：． 10．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，是上的高，平分交于点，则的度数为 ，的度数为 ．    【答案】 /20度 /123度 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】先根据三角形内角和求出，再结合三角形的高求出，再根据角平分线的定义得到，最后利用外角的性质计算即可．理清角直角的关系是解答本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是上的高， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：， 11．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）下列四种说法中正确的是 （请填写正确的说法序号）． ①同位角相等 ②三角形的中线、高线、角平分线都是线段 ③三角形的外角大于它的任何一个内角 ④一个三角形中至少有两个角为锐角 【答案】②④/④② 【知识点】两直线平行同位角相等、根据三角形中线求长度、三角形的外角的定义及性质、三角形角平分线的定义 【分析】利用平行线的性质，三角形的中线、高线、角平分线的定义，三角形的内角、外角间的关系分析即可． 【详解】解：①两直线平行，同位角相等，故原说法错误； ②三角形的中线、高线、角平分线都是线段，故正确； ③三角形的外角大于和它不相邻的内角，故原说法错误； ④一个三角形中至少有两个角为锐角，故正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的中线、高线、角平分线的定义，平行线的性质，掌握相关定义以及性质是解题的关键． 12．（18-19八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，是的中线，点、分别为的中点，若的面积为，则的面积是 ．    【答案】12 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等． 【详解】是的中点，， ， 是的中点， ，， ， ∴的面积． 故答案为：12． 13．（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，已知为的中线，为的中线．过点作于．若的面积为40，，则的长为 ．    【答案】4 【知识点】根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积 【分析】由，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 14．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）将两个三角尺如图放置，，，，且点在上，点在上，，则的度数为 ． 【答案】/165度 【知识点】利用邻补角互补求角度、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练的利用平行线的性质，三角形的外角的性质建立角与角之间的数量关系是解本题的关键． 先求解，再证明，再利用三角形的外角的性质求解，再利用邻补角的定义可得答案． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，是一条角平分线，是边上的高线，相交于点，若，则 ． 【答案】/40度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是掌握以上知识点． 先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵是边上的高线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．（23-24八年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，与的平分线交于点，设的度数为度，的度数为度，则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【知识点】函数解析式、三角形的外角的定义及性质、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查的是列函数关系式，三角形的外角的性质，先利用三角形的外角的性质与角平分线的性质可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵与的平分线交于点，设的度数为度，的度数为度， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已如三角形的三条边长为3、5和. (1)若3是该三角形的最短边长，求的取值范围； (2)若为整数，求三角形周长的最大值. 【答案】(1)； (2)15． 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系． （1）由三角形三边关系解答； （2）利用（1）中求得的的取值范围，确定整数的值；然后由三角形的周长公式解答． 【详解】（1）由题意得：，即． ∵3是最短边长， ∴． ∴的取值范围是； （2）由（1）可知，， ∵为整数， ∴的最大值为7． ∴三角形周长的最大值为． 18．（21-22七年级下·陕西西安·期末）已知△的三边长分别为1，4，，化简：． 【答案】 【知识点】化简绝对值、确定第三边的取值范围 【分析】直接利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：因为△的三边长分别为1，4，． 所以4-1<<4+1． 解得3<<5． ∴，，， ∴ ． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质，正确得出的取值范围是解题关键． 19．（23-24八年级上·安徽池州·期中）如图，在中，，点在的延长线上．求证：． 【答案】见解析 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查的是线段的和差关系，三角形的三边关系的应用，本题先证明，结合，从而可得答案． 【详解】证明， ， ， ． 20．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，中，，是的两条高，，．    (1)请画出，； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了三角形的高、三角形的面积，三角形面积等于的底乘以高． （1）过点作交延长线于点，过点作交的延长线于点即可； （2）根据三角形面积公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求，    （2）解：∵， ∴， ∴． 21．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，，于，平分，求的度数． 【答案】18° 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】先根据三角形的内角和求出的度数，然后根据角平分线求出的度数，最后根据互余可求出的度数． 本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义和互余的定义．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：在中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴． 22．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．    (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)将向右平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、平移(作图) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的高，中线的定义，平移等知识． （1）根据三角形的高的定义画出图形； （2）根据三角形的中线的定义画出图形； （3）根据平移的性质得到的位置，顺次连接即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求．   ． 23．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点，． (1)若，求的度数； (2)与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)10° (2)相等，理由见解析 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形角平分线、中线和高的有关知识． （1）根据直角三角形的性质得出∠，进而利用角平分线的定义和三角形内角和定理解答即可， （2）题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）如下图： ∵， ∴， ∵， ∴, 又∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 1．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点得；和的平分线交于点，……则等于度.（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形类规律探索、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的定义与三角形外角性质；根据角平分线的性质可得，，再根据外角的性质可得，找出规律即可求出． 【详解】解：平分，平分， ，， ＝﹣， 同理可得，……， ∴． 故选：B ． 2．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是一个三角形的三边 (1)化简：； (2)若，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2)这个三角形的周长为18． 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三元一次方程组的应用、三角形三边关系的应用 【分析】（1）根据三角形三边关系定理可得，，，再去绝对值符号即可； （2）利用非负数的性质得到三元一次方程组，即可求得． 【详解】（1）解：∵、、是三角形的三边长， ∴，，， ∴ ； （2）解：∵， ∴①，②，③， 得， ∴， ∴， ∴这个三角形的周长为18． 【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，化简绝对值，解三元一次方程组，熟练掌握三角形三边关系定理以及加减消元法是解题的关键． 3．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）（1）如图1，在中，，的角平分线交于点，则．如图2，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，求证：． （2）如图3，当、被等分时，内部有个点，则与的关系为：__________（用含的代数式表示）    【答案】（1）证明见解析；（2） 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形内角和定理，把握“三角形内角和等于”是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理用含的式子表示，在中再次利用三角形内角和定理即可证明； （2）仿照（1）中的思路求解即可． 【详解】（1）证明：∵，的两条三等分角线分别对应交于，， ∴，， ∴ ∴； （2）解：当、被等分时，内部有个点， 则，， ∴ ∴； 故答案为：． 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，是上一点，且．    (1)求证：； 证明：在中，∵（已知），∴（____________________）． 又∵（已知），∴（____________________）． 在中，（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质），∴（垂直的定义）． (2)如图②，若的平分线分别交，于点，，求证：； (3)如图③，若为上一点，交于点，，，，连接，求的面积． 【答案】(1)直角三角形两锐角互余；等量代换 (2)证明见解析 (3)9 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余以及三角形内角和定理填空即可； （2）利用等角的余角相等求出，然后根据对顶角相等可得，等量代换即可证明； （3）利用等高的两个三角形面积的比等于底的比，求得，，可得，连接，设，利用上述的结论和方法，列出方程，即可求解． 【详解】（1）证明：在中， ∵（已知）， ∴（直角三角形两锐角互余）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． 在中，（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质）， ∴（垂直的定义）． 故答案为：直角三角形两锐角互余；等量代换； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 连接，    设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形内角和定理，等高的两个三角形面积的比等于底的比，灵活运用“等高的两个三角形面积的比等于底的比”是解题的关键． 2．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）在一节数学习题课后，同学们知道了：三角形的三条中线把三角形的面积分成个面积相等的小三角形，如下图1所示，随后宋老师对其进行变式：在中，，是上的动点，点是的中点，、相交于点．    ①若为的中点，如图2所示，则四边形的面积是 ； ②若，如图3所示，则四边形的面积是 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的性质，利用面积的转化即可求解； ①根据三角形的三条中线把三角形的面积分成个面积相等的小三角形，可得四边形的面积是其中2个三角形的面积，即可求解； ②连接，过点，分别作的垂线，垂足分别为，根据题意设，则，进而表示出，根据得出，即可求解． 【详解】解：①如图2所示，连接交于点，    则是边上的中线， ∵三角形的三条中线把三角形的面积分成个面积相等的小三角形， ∴四边形的面积是； 故答案为：4； ②如图所示，连接，过点，分别作的垂线，垂足分别为，    ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵是中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴四边形的面积是， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.1 三角形中的边角关系 课程标准 学习目标 1.会证明三角形的任意两边之和大于第三边。 2.探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 3.理解三角形及其内角、外角，中线、高线，角平分线等概念，了解三角形的稳定性。 1.了解三角形的概念，掌握分类思想； 2.理解三角形的三边关系，经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵；会判断三条线段能否组成一个三角形，能运用它解决有关问题。 3.经历探索三角形内角和定理的过程，理解三角形内角和定理及其证明方法； 4.了解三角形的高、中线和角平分线的概念及性质，会画任意三角形的高、中线、角平分线。 知识点01 三角形的概念与表示 ·由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 【即学即练1】三角形是指(　　) A．由三条线段所组成的封闭图形 B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形 C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形 ·三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边.如图，线段AB，BC，AC是三角形ABC的三条边.（有时也用a，b，c表示） ·三角形的顶点:相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.如图，点A，B，C是三角形ABC的三个顶点. ·三角形的角:相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.如图，∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个角. ·三角形的符号表示：用符号“△”表示，以A，B，C为顶点的三角形，记作“△ABC”（△BAC、△BCA、△CAB），读作“三角形ABC”。 【即学即练2】在中，边的对角是（　　） A． B． C． D． 【即学即练3】如图，图中三角形的个数为 ；以为边的三角形是 ，以为一个内角的三角形是 ；在中，的对边是 ． 知识点02 三角形按边分类 ·按边的相等关系分类： ·等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角. ·等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形，即底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形。 说明：等边三角形是特殊的等腰三角形. 【即学即练4】一个三角形中有两条边相等，则这个三角形是（　　） A．不等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 知识点03 三角形的三边关系 ·三角形中任何两边的和大于第三边，三角形中任何两边的差小于第三边. 说明：这里说的两边，是指任意的两边。三角形的三边关系反映了任意三角形边的限制关系，一般会与不等式联系起来考虑。 图形 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边的和大于第三边 a+b>c,b+c>a,a+c>b 两点之间，线段最短 三角形两边的差小于第三边 a-b<c,b-c<a,a-c<b(a>b>c) 【即学即练5】（2024·北京大兴·二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定，面积与半径；（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（      ） A．4，6，10 B．3，6，7 C．5，6，11 D．2，3，6 【即学即练6】（23-24八年级上·福建福州·期中）以下列三条线段为边，不能构成三角形的是（      ） A．13，7，6 B．12，8，9 C．11，9，6 D．9，8，7 知识点04 三角形按内角分类 ·按内角的大小分类： 说明：在一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个直角，最多有一个钝角。 【即学即练7】已知中，，，那么三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【即学即练8】若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 知识点05 三角形的内角和与证明 ·三角形三个内角的和等于180° ·符号表示：在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. ·定理的证明：利用“平行线的性质”证明三角形的内角和定理 证明思路 运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处，合并成一个平角 方法1. 方法2. 方法3. 过点 A 作l∥BC， 则∠B =∠1，∠C =∠2 (两直线平行，内错角相等). ∵ ， ∴∠B +∠C +∠BAC = 180°. 延长BC到 D，过点 C 作 CE∥BA， 则∠A =∠1( )， (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B +∠ACB = 180°. 过 D 作 DE∥AC，DF∥AB， ∴ (两直线平行，同位角相等)， ∠A +∠AED = 180°， (两直线平行，同旁内角相补). ∴∠A = ∠EDF. ∵ ， ∴∠C +∠A +∠B = 180°. 知识点06 三角形的内角平分线 1.三角形的角平分线的概念 在三角形中，一个内角的平分线和它所对的边相交于一点，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 2.三角形的角平分线的几何语言表达形式 如图所示，AD是△ABC的角平分线，或∠BAD=∠CAD=∠BAC且点D在边BC上. 3.三角形的角平分线的位置 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点. 【即学即练9】如图，DC平分∠ACB，DE∥BC，∠ACB=80°，求∠ECD的度数. 知识点07 三角形的中线 ·三角形的中线的概念：在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线。 ·三角形中线的几何语言表达形式：如图，AD是△ABC的边 BC 上的中线，或AD是△ABC 的中线。 ·任何三角形都有三条中线，三条中线都在三角形内部，并且三条中线相交于一点，这点在三角形的内部. 【即学即练10】三角形的重心是（　　） A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点 C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平分线的交点 【即学即练11】（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，和是的中线，则以下结论：①；②是的重心；③与面积相等；④过的直线平分线段；⑤；⑥，其中正确的结论有（    ）    A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③⑥ D．①②⑤⑥ 知识点08 三角形的高线 ·三角形的高的概念 从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 ·三角形的高的几何语言表达形式：如图所示，AD 是△ ABC 的边 BC 上的高，或AD 是△ ABC 的高，或AD⊥BC于点D，或∠BDA=∠CDA=90°. 说明：三角形的高与垂线的区别：三角形的高是一条垂线段，垂线是一条直线。 ·作三角形高的步骤（过直线外一点作该直线的垂线段的步骤）： 一靠：三角尺的一条直角边靠 在要作高的边上； 二移：移动三角尺使另一条直 角边通过要作高的顶点， 三画：画垂线段. 【即学即练12】（22-23八年级上·福建莆田·期中）下面四个图形中，线段是的高的是（　　） A． B． C． D． ·三角形三条高的位置 三角形 高及高的交点的位置 图示 锐角三角形 三条高都在三角形的内部，三条高的交点在三角形的内部 直角三角形 直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点 钝角三角形 钝角三角形有两条高落在三角形的外部，另一条高在三角形内部，三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点 【即学即练13】如图，在中，，为的中点，延长交于点，为上的一点，于点．下列判断错误的有（   ） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 *知识点09 三角形的外角 ·三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角。 ·外角的性质(三角形内角和定理的推论) （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 符号表示： ∵∠ACD 是△ABC 的一个外角， ∴∠ACD =∠A +∠B. (2)三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. ·三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和.三角形的外角和为360°. 【即学即练14】如图①，试比较∠2 、∠1的大小；如图②，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小. 图① 图② 【即学即练15】将一副三角板如图所示放置，则图中的度数是　　 A． B． C． D． ·三角形三边关系的应用 (1)判断三条线段能否构成三角形， (2)确定第三边长(或周长)的取值范围 (3)解决线段的不等关系问题(如证明几何不等式). ·三角形的三条高的位置比较 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 例题:如图，已知△． (1)画角平分线； (2)画中线； (3)画高． ·三角形内角和应用模型 由三角形的内角和定理 易得∠1 +∠2 =∠3 +∠4. 由三角形的内角和定理 易得∠A +∠B =∠C +∠D ·三角形的中线分成的两个三角形的面积及周长的关系 (1)面积关系：如图所示，AD是△ABC 的中线，AE是△ ABC的高， 则 ， 因为BD=CD,所以=， 所以=. （等面积法）例题：如图，已知的面积为48，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（   ）    A．12 B．10 C．6 D．8 (2)周长关系：因为△ABD的周长=AB+BD+AD, △ACD 的周长= AC+CD+AD, 所以△ABD 的周长- △ACD 的周长=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC.（等式的性质） 例题：如图，已知为的中线，，，的周长为，的周长为 ．    【题型一：根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围】 例1．（2024·安徽淮北·二模）已知三角形的两边长分别为，第三边长为，若为整数，则的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1-1．在中，，若其周长为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（　　） A． B． C． D． 变式1-3．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）已知三角形两边长分别为6和3，第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是 . 变式1-4．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知，的三边长分别为，，． (1)求的取值范围； (2)若它是一个等腰三角形，求它的周长． 例2．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，一个四边形木框，四边长分别为，，，．它的形状是不稳定的，但任意三点不能共线，求和的取值范围． 【技巧方法与总结】运用任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边来确定第三边的范围时： ①可用较小的两边之和大于最长边来列不等式，注意根据边长的长短进行分类讨论； ②没有三角形时，可辅助线构造出三角形。 ·三角形三边关系的应用 (1)判断三条线段能否构成三角形， (2)确定第三边长(或周长)的取值范围 (3)解决线段的不等关系问题(如证明几何不等式). 【题型二：根据三角形的三边关系化简绝对值】 例3．（23-24八年级上·广东珠海·期中）已知的三边长分别为3、5、，化简 变式3-1．（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）若，，为的三边长，且，满足． (1)求的取值范围； (2)若第三边长是整数，求的值． 变式3-2．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知三角形的三边长分别为，化简：． 【方法技巧与总结】灵活使用绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系进行解题，必要时需要分类讨论。 【题型三：根据三角形的高线和角平分线进行角度计算】 例4．如图，分别是的高和角平分线，已知，，则的度数为（） A． B． C． D． 变式4．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）如图，是的边上的高，是的平分线．    （1）若，，则的度数为 ； （2）若，，用含、的代数式表示的度数为 ． 例5．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为　　　　； (2)若，是高，求的度数； (3)若是角平分线，求的度数． 变式5-1．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，为角平分线，为边上一点（不与点，重合），连接交于点．    (1)若，为高，求的度数； (2)若，为角平分线，求的度数． 变式5-2．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）如图所示，为的角平分线，为的高，若，，求的度数． 例6．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，、分别是和的角平分线．当时，求的度数．    【方法技巧与总结】根据角平分线、直角三角形两锐角互余、三角形内角和表示出各角之间的数量关系 【题型四：根据三角形的中线求长度】 例7．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（      ） A．或 B． C． D．或 变式7-1．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成55和45两部分，求和的长．    变式7-2．（23-24八年级上·安徽六安·期末）在中，，是中线，若周长与的周长相差，求． 【方法技巧与总结】△ABD和△ ACD的周长之差实质上就是AB与AC的长度之差 【题型五：根据三角形的中线求面积】 例8．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，点是边的中点，连接，点是的中点，连接．若的面积为12，则的面积为（　　） A．2 B．3 C．2.5 D．4 变式8-1．（23-24八年级上·山西大同·期末）如图，点是中边上的点，连接，点是的中点，连接，若的面积为8，则阴影部分的面积为（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 变式8-2．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，、都是的中线，连接，的面积是，则的面积是 ． 变式8-3．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则阴影部分的面积等于 ． 【方法技巧与总结】三角形的中线可将三角形分成面识相等的两部分 【题型六：根据三角形的外角与内角和计算角度】 例9．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知点在内，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 变式9-1．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，是边上一点，若为直角三角形，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 变式9-2．（22-23七年级下·广东梅州·期中）中，，和的平分线相交于点，则 ． 变式9-3．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，平分．求，的度数．    例10．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图是一个不规则的“五角星”，已知，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 变式10．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，这是一个五角星，则 ． 【方法技巧与总结】应用三角形的外角的定义及性质、三角形内角和表示出相关角度之间的数量关系。 例11．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，将纸片沿折叠使点落在点处，且平分，平分，若，则的大小为（　　） A．66° B．48° C．96° D．132° 变式11．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）在中，，点是边上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，（）．    (1)求的度数； (2)若中有两个角相等，求的值． 【方法技巧与总结】①应用三角形的外角的定义及性质、三角形内角和表示出相关角度之间的数量关系；②翻折前后角度不变；③结合方程思想。 【题型七：三角形的个数问题】 例12．如图在的边上取三个点，，，连接，，，则边上有 条线段，以 为顶点的角有 个，图中共有 个三角形．      变式12．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）数一数图中共有（   ）个三角形． 【题型八：等面积法的应用】 例13.如图，直线经过原点，点在轴上，于，若，，，则 ． 【方法技巧与总结】等面积法的应用： 若涉及两条高求长度，一般需结合面积（但不求出面积），利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解. 【题型九：三角形的角综合问题】 例14.（21-22八年级上·安徽六安·期中）中，是的角平分线，是的高． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，，由的计算结果，你能发现与的数量关系吗？写出这个关系式，并加以证明； (3)如图3，，延长到点，和的角平分线交于点、请直接写出的度数______． 变式14．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）在中，，平分，为射线上一点（不与点重合），且于点． (1)如图1，若点与点重合，且，，求的度数； (2)如图2，若点在线段上（不与点重合），求证：； (3)如图3，若点在外部，探究此时，，之间的数量关系，并说明理由． 一、选择题 1．下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·广西柳州·开学考试）在中， ，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 3．（24-25八年级上·四川遂宁·开学考试）下列说法中，正确的是（    ） A．三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点 B．三角形的一个外角大于任何一个内角 C．任意三角形的外角和都是 D．中，当，时，这个三角形是直角三角形． 4.（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，在直角三角形中，，为所在直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．5 B．4.8 C．4.5 D．4 5．（23-24八年级上·安徽宣城·期末）如图，沿直线折叠，使点与边上的点重合，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在中，，是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（    ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 7．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，为的中点，延长交于．于，交于．下列说法中错误的是（　　） A．是的中线 B． C．线段是的角平分线 D．与的面积相等 8．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，为三边中线，，的交点，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）三角形的三边长分别是，，，已知是奇数，则的值为 ． 10．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，是上的高，平分交于点，则的度数为 ，的度数为 ．    11．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）下列四种说法中正确的是 （请填写正确的说法序号）． ①同位角相等 ②三角形的中线、高线、角平分线都是线段 ③三角形的外角大于它的任何一个内角 ④一个三角形中至少有两个角为锐角 12．（18-19八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，是的中线，点、分别为的中点，若的面积为，则的面积是 ．    13．（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，已知为的中线，为的中线．过点作于．若的面积为40，，则的长为 ．    14．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）将两个三角尺如图放置，，，，且点在上，点在上，，则的度数为 ． 15．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，是一条角平分线，是边上的高线，相交于点，若，则 ． 16．（23-24八年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，与的平分线交于点，设的度数为度，的度数为度，则与之间的函数关系式为 ． 三、解答题 17．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已如三角形的三条边长为3、5和. (1)若3是该三角形的最短边长，求的取值范围； (2)若为整数，求三角形周长的最大值. 18．（21-22七年级下·陕西西安·期末）已知△的三边长分别为1，4，，化简：． 19．（23-24八年级上·安徽池州·期中）如图，在中，，点在的延长线上．求证：． 20．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，中，，是的两条高，，．    (1)请画出，； (2)若，求的长． 21．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，，于，平分，求的度数． 22．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．    (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)将向右平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出． 23．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点，． (1)若，求的度数； (2)与相等吗？请说明理由． 1．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点得；和的平分线交于点，……则等于度.（　　）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是一个三角形的三边 (1)化简：； (2)若，求这个三角形的周长． 3．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）（1）如图1，在中，，的角平分线交于点，则．如图2，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，求证：． （2）如图3，当、被等分时，内部有个点，则与的关系为：__________（用含的代数式表示）    1．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，是上一点，且．    (1)求证：； 证明：在中，∵（已知），∴（____________________）． 又∵（已知），∴（____________________）． 在中，（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质），∴（垂直的定义）． (2)如图②，若的平分线分别交，于点，，求证：； (3)如图③，若为上一点，交于点，，，，连接，求的面积． 2．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）在一节数学习题课后，同学们知道了：三角形的三条中线把三角形的面积分成个面积相等的小三角形，如下图1所示，随后宋老师对其进行变式：在中，，是上的动点，点是的中点，、相交于点．    ①若为的中点，如图2所示，则四边形的面积是 ； ②若，如图3所示，则四边形的面积是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$