专题02 直线与圆的方程（5种经典基础练+3种优选提升练，104道）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（新高考通用）

专题02 直线与圆的方程（5种经典基础练+3种优选提升练） 直线的倾斜角与斜率 一．选择题（共10小题） 1．（2023秋•顺义区校级期中）直线的倾斜角是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•乐平市校级期中）直线与直线平行，则　　 A．2 B．2或 C． D．4或2 3．（2023秋•阿克苏市校级期中）已知点，点在直线上，若直线垂直于直线，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•沭阳县期中）若直线经过两点，且的倾斜角为，则的值为　　 A． B．2 C．1 D． 5．（2023秋•天府新区校级期中）已知直线过点，且与向量平行，则直线在轴上的截距为　　 A． B．1 C． D．3 6．（2023秋•海珠区校级期中）“”是“直线与直线平行”的　　 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2023秋•儋州校级期中）已知直线与轴所成角为，直线的斜率为　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•兰州期中）已知直线的方程是，的方程是，则下列各图形中，正确的是　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•滨海新区校级期中）已知直线，与平行，则的值是　　 A．0或1 B．1或 C．0或 D． 10．（2023秋•西城区校级期中）已知两点，，若直线上至少存在三个点，使得是直角三角形，则实数的取值范围是　　 A．，， B．，， C．， D．， 二．多选题（共1小题） 11．（2023秋•南山区校级期中）直线，，下列图象中正确的是　　 A． B． C． D． 三．填空题（共2小题） 12．（2023秋•都匀市校级期中）已知两点，所在直线的斜率为1，则　　． 13．（2023秋•沈阳期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，且与垂直，直线与直线平行，等于　　． 直线的方程 一．选择题（共11小题） 1．（2023秋•深圳期中）直线过点，且方向向量为，则　　 A．直线的点斜式方程为 B．直线的斜截式方程为 C．直线的截距式方程为 D．直线的一般式方程为 2．（2023秋•江华县校级期中）倾斜角为，在轴上的截距是的直线方程为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•南岗区校级期中）过点，的直线的斜率为，则　　 A．10 B．180 C． D． 4．（2023秋•怀柔区校级期中）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为　　 A． B． C．或 D．或 5．（2023秋•临朐县校级期中）已知直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•盐田区校级期中）“”是“直线和直线平行”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 7．（2023秋•苏州期中）直线分别交轴和轴于、两点，若是线段的中点，则直线的方程为　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•新华区校级期中）不论为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点，其中，是正实数，则的最小值是　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•东山县期中）直线与直线相交于点，对任意实数，直线，分别恒过定点，，则的最大值为　　 A．4 B．8 C． D． 10．（2023秋•怀宁县校级期中）过定点的直线与过定点的直线交于点，则的值为　　 A． B．10 C． D．20 11．（2023秋•辽宁期中）已知，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是　　 A． B．6 C． D． 二．多选题（共3小题） 12．（2023秋•辽宁期中）的三个顶点坐标为，，，下列说法中正确的是　　 A．边与直线平行 B．边上的高所在的直线的方程为 C．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．过点且平分面积的直线与边相交于点 13．（2023秋•濮阳期中）已知直线，则下列说法正确的有　　 A．的一个方向向量为 B．的截距式方程为 C．若与直线互相垂直，则 D．点到的距离为1 14．（2023秋•天河区校级期中）对于直线和直线．以下说法正确的有　　 A．直线一定过定点， B．若，则 C．的充要条件是 D．点到直线的距离的最大值为5 三．填空题（共2小题） 15．（2023秋•罗湖区校级期中）过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为 　 　． 16．（2023秋•内蒙古期中）已知直线，，若，则的值是 　　． 四．解答题（共8小题） 17．（2023秋•市中区校级期中）已知△的三个顶点分别为，，． （1）求边所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程． 18．（2023秋•揭东区期中）在中，已知，，． （1）求边所在的直线方程； （2）求的面积． 19．（2023秋•浦东新区校级期中）已知中，，． （1）若，求边上的高所在直线的一般式方程； （2）若点为边的中点，求边所在直线的一般式方程． 20．（2023秋•濠江区校级期中）直线经过两直线和的交点． （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若点到直线的距离为5，求直线的方程． 21．（2023秋•顺德区校级期中）已知直线经过点． （1）若与直线垂直，求的方程； （2）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程． 22．（2023秋•韩城市期中）（1）求经过点且在轴上截距等于轴上截距的直线方程； （2）求过直线与的交点，且与直线垂直的直线方程． 23．（2023秋•湖北期中）已知的三个顶点是，，． （1）求边的高所在直线的方程； （2）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程． 24．（2023秋•四平期中）在平面直角坐标系中，已知直线经过点和点． （1）求直线的方程； （2）若直线与平行，且与间的距离为，求直线的方程． 直线的交点坐标与距离公式 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•英吉沙县期中）以、、为顶点的三角形是　　 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 2．（2023秋•东莞市校级期中）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D．，， 3．（2023秋•利通区校级期中）已知点，点在直线上，则的最小值为　　 A． B． C． D．4 4．（2023秋•顺德区校级期中）点到直线的距离是　　 A．3 B． C．1 D． 5．（2023秋•浦北县期中）若点到直线的距离不大于3，则的取值范围是　　 A． B．， C．， D． 6．（2023秋•罗湖区校级期中）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是　　 A．1 B． C．3 D．4 7．（2023秋•江北区校级期中）已知点在线段上，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D． 8．（2023秋•肥东县校级期中）已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是　　 A．1 B． C． D．2 二．填空题（共2小题） 9．（2023秋•金台区校级期中）若三条直线，，相交于同一点，则的值为　　． 10．（2023秋•濮阳期中）两平行直线和的距离为 　　． 三．解答题（共1小题） 11．（2023秋•海沧区校级期中）已知直线． （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程． 圆的方程 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•东兴区校级期中）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•西城区校级期中）圆的半径为　　 A．1 B． C．2 D．4 3．（2023秋•荔湾区校级期中）过点，且圆心在直线上的圆的方程是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•射洪市校级期中）若点在圆的外部，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•江津区校级期中）圆关于直线对称后的圆的方程为　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•河北期中）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 7．（2023秋•白银期中）已知圆的圆心在轴的正半轴上，圆与圆外切，写出圆的一个标准方程：　 　． 8．（2023秋•青山湖区校级期中）以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 　 　． 9．（2023秋•江津区校级期中）在平面直角坐标系中，经过三点，，的圆的方程为 　 ． 10．（2023秋•台州期中）若点在圆的内部，则实数的取值范围是　 　． 11．（2023秋•鄠邑区期中）圆关于直线对称的圆的标准方程为 　 ． 直线与圆、圆与圆的位置关系 一．选择题（共9小题） 1．（2023秋•长安区校级期中）直线与圆的位置关系为　　 A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 2．（2023秋•澄城县期中）圆与直线的位置关系是　　 A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 3．（2023秋•回民区期中）已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•佳木斯期中）圆上的点到直线距离的取值范围是　　 A．， B． C．， D． 5．（2023秋•金牛区校级期中）圆与圆的公共弦长为　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•永宁县期中）圆与圆的公切线有　　 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 7．（2023秋•鼓楼区校级期中）方程有唯一解，则实数的取值范围是　　 A． B． C．或 D．或或 8．（2023秋•广陵区校级期中）已知点，若过点的直线交圆于于，两点，则的最大值为　　 A．12 B． C．10 D． 二．多选题（共2小题） （多选）10．（2023秋•高港区校级期中）已知点P（x0，y0）和圆O：x2+y2＝8，则下列选项正确的有（　　） A．若点P在圆O内，则直线x0x+y0y＝8与圆O相交 B．若点P在圆O上，则直线x0x+y0y＝8与圆O相切 C．若点P在圆O外，则直线x0x+y0y＝8与圆O相离 D．若直线AP与圆O相切，A为切点，则 11．（2023秋•威远县校级期中）已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是　　 A．直线恒过点 B．， C．直线被圆截得的最短弦长为 D．若点是圆上一动点，的最小值为 三．填空题（共7小题） 12．（2023秋•荆州区校级期中）过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 　 　． 13．（2023秋•洮南市校级期中）已知点，，在圆和圆的公共弦上，则的最小值为　　． 14．（2023秋•蓬江区校级期中）过作圆的切线，则其切线方程为　 　． 15．（2023秋•杭州期中）已知圆与圆相交于、两点，则圆上的动点到直线距离的最大值为 　 　． 16．（2023秋•郑州期中）圆与圆的公共弦的长为　 　． 17．（2023秋•番禺区校级期中）已知圆，自点作圆的切线，则切线的方程 　 　． 18．（2023秋•高港区校级期中）已知圆，圆，如果这两个圆有公共点，则实数取值范围是 　 　． 四．解答题（共2小题） 19．（2023秋•船营区校级期中）已知，以点为圆心的圆被轴截得的弦长为． （1）求圆的方程； （2）若过点的直线与圆相切，求直线的方程． 20．（2023秋•东城区校级期中）已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上． （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆相交于、两点，求所得弦长的值． 直线和圆的方程的应用 一．解答题（共9小题） 1．（2023秋•西城区校级期中）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的上方 （1）求圆的方程； （2）设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程； （3）过点的直线与圆交于，两点在轴上方），问在轴正半轴上是否存在点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023秋•启东市校级期中）已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，，切点为，． （1）若，试求点的坐标； （2）求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标； （3）设线段的中点为，求点的轨迹方程． 3．（2023秋•泸县校级期中）在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆与直线相切于坐标原点． （1）求圆的方程； （2）试探求圆上是否存在异于原点的点，使到定点的距离等于线段的长，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2023秋•沭阳县期中）已知直线与圆相交于，两点，弦的中点为． （1）求实数的取值范围及直线的方程； （2）已知，若圆上存在两个不同的点，使，求实数的取值范围． 5．（2022秋•鲤城区校级期中）如图，圆． （1）若圆与轴相切，求圆的方程； （2）当时，圆与轴相交于两点，（点在点的左侧）．问：是否存在圆，使得过点的任一条直线与该圆的交点，，都有？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由． 6．（2023秋•武汉期中）已知圆与轴交于，两点，圆过，两点，且直线与圆相切； （1）求圆的方程； （2）若圆上一动点，直线与圆的另一交点为，在平面内是否存在定点使得始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由． 7．（2023秋•天河区校级期中）已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线、，切点为、． （Ⅰ）当切线的长度为时，求点的坐标； （Ⅱ）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由； （Ⅲ）求线段长度的最小值． 8．（2023秋•大武口区校级期中）如图，已知一艘我海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域．一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．问：这艘外籍轮船能否被我海监船监测到？若能，持续时间多长？（要求用坐标法） 9．（2023秋•启东市校级期中）已知点是上的任意一点，点，线段的垂直平分线和半径相交于点 （1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程； （2）已知直线与点的轨迹交于点，，且直线的方程为，若为坐标原点，求面积的最大值． 直线与圆的位置关系 1．（2023秋•未央区校级期中）已知一个动点在圆上移动，它与定点所连线段的中点为． （1）求点的轨迹方程． （2）过定点的直线与点的轨迹交于不同的两点，，，且满足，求直线的方程． 2．（2023秋•浠水县校级期中）已知两定点，，动点满足． （1）求动点的方程； （2）如图，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点，，与圆交于点，，的中点为，求面积的取值范围． 3．（2023秋•梁子湖区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，为直线上一动点，圆与轴的交点分别为，点，圆与轴的交点分别为，点． （1）若为等腰三角形，求点坐标； （2）若直线，分别交圆于，两点． ①求证：直线过定点，并求出定点坐标； ②求四边形面积的最大值． 4．（2023秋•天宁区校级期中）已知圆，点，． （1）若圆上存在点满足，求半径的取值范围； （2）对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求的取值范围． 5．（2023秋•西山区校级期中）已知圆，直线过点且与圆交于点，，线段的中点为，过的中点且平行于的直线交于点，记的轨迹为． （1）求的方程； （2）坐标原点关于，的对称点分别为，，点，关于直线的对称点分别为，，过的直线与交于点，，直线与相交于点．求证：△的面积是定值． 6．（2023秋•天河区校级期中）已知圆，直线． （1）当为何值时，直线与圆相切； （2）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 7．（2023秋•滨海新区校级期中）已知圆及直线．直线被圆截得的弦长为． （1）求的值； （2）求过点并与圆相切的切线方程． 8．（2023秋•京口区校级期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知过点的直线与圆相交截得的弦长为，求直线的方程； （3）已知点，在平面内是否存在异于点的定点，对于圆上的任意动点，都有为定值？若存在求出定点的坐标，若不存在说明理由． 9．（2023秋•洛龙区校级期中）已知圆关于直线对称，且过点和原点． （1）求圆的方程； （2）相互垂直的两条直线，都过点，若，被圆所截得弦长相等，求此时直线的方程． 10．（2023秋•新城区校级期中）已知直线与圆交于，两点． （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，求过点的圆的切线方程． 11．（2023秋•东莞市期中）已知圆心在原点的圆被直线截得的弦长为． （1）求圆的方程； （2）设动直线与圆交于，两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得与直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2023秋•辽宁期中）已知圆方程． （1）若圆与直线相交于，两点，且为坐标原点）求的值； （2）在（1）的条件下，求以为直径的圆的方程． 13．（2023秋•仓山区校级期中）已知过点且斜率为的直线与圆交于点、两点． （1）求的取值范围； （2）若，其中为坐标原点，求． 14．（2023秋•北仑区校级期中）已知直线过点，并且与直线平行． （1）求直线的方程； （2）若直线与圆相交于，两点，为原点，且，求实数的值． 15．（2023春•宿松县校级期中）已知半径小于6的圆过点，且圆与两坐标轴均相切． （1）求圆的标准方程； （2）若圆与直线交于，两点，____，求的值． 从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 16．（2023秋•周至县校级期中）已知圆，直线． （1）求证：直线恒过定点； （2）判断直线与圆的位置关系； （3）当时，求直线被圆截得的弦长． 圆与圆的位置关系及其判定 17．（2023秋•东湖区校级期中）已知圆，圆． （1）若圆与圆外切，求的值； （2）若圆与圆有两个交点，求的取值范围． 18．（2023秋•明光市校级期中）已知圆，圆． （1）讨论圆与圆的位置关系； （2）当时，求圆与圆的公切线的方程． 19．（2023秋•大同期中）已知，． （1）当时，与相交于，两点，求直线的方程； （2）若与相切，求的值． 20．（2023秋•金东区校级期中）已知动圆 （Ⅰ）当时，求经过原点且与圆相切的直线的方程； （Ⅱ）若圆与圆内切，求实数的值． 21．（2023秋•乐安县校级期中）已知两圆和． （1）分析两圆位置关系并确定公切线数量； （2）求公切线所在直线方程． 22．（2023秋•天河区校级期中）已知圆和． （1）求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长； （2）求过点且与圆相切的直线方程． 23．（2023秋•周至县校级期中）已知圆和圆． （1）判断圆和圆的位置关系； （2）过圆的圆心作圆的切线，求切线的方程；（结果必须写成一般式）． 24．（2023秋•新吴区校级期中）圆的方程为，圆的圆心． （1）若圆与圆外切，求圆的方程； （2）若圆与圆交于、两点，且．求圆的方程． 25．（2023秋•鲤城区校级期中）已知圆和圆相交于，两点． （1）求公共弦的垂直平分线方程． （2）求的面积． ( 26 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线与圆的方程（5种经典基础练+3种优选提升练） 直线的倾斜角与斜率 一．选择题（共10小题） 1．（2023秋•顺义区校级期中）直线 的倾斜角是 　　 A． B． C． D． 【分析】根据直线和斜率和倾斜角的关系即可求出． 【解答】解：直线 的倾斜角为 ， 则 ， ， 故选： ． 【点评】本题考查了直线和斜率和倾斜角的关系，属于基础题 2．（2023秋•乐平市校级期中）直线 与直线 平行，则 　　 A．2 B．2或 C． D．4或2 【分析】根据两直线平行，且直线 的斜率存在，故它们的斜率相等，解方程求得 的值． 【解答】解： 直线 与直线 平行， ， 解得 或 ， 故选： ． 【点评】本题考查两直线平行的性质，两直线平行，它们的斜率相等或者都不存在． 3．（2023秋•阿克苏市校级期中）已知点 ，点 在直线 上，若直线 垂直于直线 ，则点 的坐标是 　　 A． B． C． D． 【分析】根据点 在直线 上，设点 坐标为 ， ，利用经过两点的斜率公式，得到直线 的斜率关于 的表达式，最后根据直线 垂直于直线 ，得到两直线斜率乘积等于 ，建立等式并解之可得点 的坐标． 【解答】解： 点 在直线 上， 可设点 坐标为 ， ， 根据经过两点的直线的斜率公式，可得 ， 直线 垂直于直线 ，而直线 的斜率为 ， ， 因此，点 的坐标是 ． 故选： ． 【点评】本题借助于直线垂直，求点的坐标为例，着重考查了直线的方程、直线斜率的求法和直线垂直的斜率关系等知识点，属于基础题． 4．（2023秋•沭阳县期中）若直线 经过两点 ， 且 的倾斜角为 ，则 的值为 　　 A． B．2 C．1 D． 【分析】根据倾斜角的定义得到关于 的方程，解出即可． 【解答】解：由题意得： ，解得： ． 故选： ． 【点评】本题考查了直线的斜率，倾斜角问题，是基础题． 5．（2023秋•天府新区校级期中）已知直线 过点 ，且与向量 平行，则直线 在 轴上的截距为 　　 A． B．1 C． D．3 【分析】由题意可得直线的斜率，代入点斜式方程，令 ，可得直线在 轴上的截距． 【解答】解：因为 与向量 平行， 所以直线的斜率为 ， 又过点 ， 所以直线的方程为 ， 令 ， 可得 ， 即直线在 轴上的截距为3． 故选： ． 【点评】本题考查直线方程的求法及在 轴上的截距的求法，属于基础题． 6．（2023秋•海珠区校级期中）“ ”是“直线 与直线 平行”的 　　 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】先由直线平行求出相应的 的值，然后检验充分性及必要性即可判断． 【解答】解：若直线 与直线 平行， 则 ， 所以 或 ， 当 时，直线 与直线 重合，舍去． 故 是直线 与直线 平行充要条件． 故选： ． 【点评】本题主要考查了直线平行的条件的应用，属于基础题． 7．（2023秋•儋州校级期中）已知直线 与 轴所成角为 ，直线 的斜率为 　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意可知直线 的倾斜角为 或 ，从而求出直线 的斜率． 【解答】解： 直线 与 轴所成角为 ， 直线 的倾斜角为 或 ， 直线 的斜率为 或 ， 故选： ． 【点评】本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的关系，是基础题． 8．（2023秋•兰州期中）已知直线 的方程是 ， 的方程是 ，则下列各图形中，正确的是 　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用直线中 和 的取值范围判断函数的图象． 【解答】解：根据直线 的方程是 ， 的方程是 ， ①当 时， ， ， ，选项 错误； ②当 ， ，则 ，故 正确； ③当 ， 时， ，故 错误； ④由于两直线的交点在 轴上，故 ，故 和 异号，故 错误． 故根据函数的图象只有 符合答案． 选项 都不对． 故选： ． 【点评】本题考查的知识要点：直线和图象的关系，主要考查学生视图能力和数学思维能力，属于基础题． 9．（2023秋•滨海新区校级期中）已知直线 ，与 平行，则 的值是 　　 A．0或1 B．1或 C．0或 D． 【分析】先检验当 时，是否满足两直线平行，当 时，两直线的斜率都存在，由 ，解得 的值． 【解答】解：当 时，两直线的斜率都不存在， 它们的方程分别是 ， ，显然两直线是平行的． 当 时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等， 由 ，解得： ． 综上， 或 ， 故选： ． 【点评】本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验，属于基础题． 10．（2023秋•西城区校级期中）已知两点 ， ，若直线 上至少存在三个点 ，使得 是直角三角形，则实数 的取值范围是 　　 A． ， ， B． ， ， C． ， D． ， 【分析】当 时， 、 、 三点共线，构不成三角形，故 ． 是直角三角形，由直径对的圆周角是直角，知直线和以 为直径的圆有公共点即可，由此能求出实数 的取值范围． 【解答】解：当 时， 、 、 三点共线，构不成三角形， ， 如图所示， 是直角三角形，有三种情况： 当 是直角顶点时，直线上有唯一点 点满足条件； 当 是直角顶点时，直线上有唯一点 满足条件； 当 是直角顶点时，此时至少有一个点 满足条件． 由直径对的圆周角是直角，知直线和以 为直径的圆有公共点即可， 则 ，解得 ，且 ． 实数 的取值范围是 ， ， ． 故选： ． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系等基础知识，意在考查运用方程思想求解能力，考查数形结合思想的灵活运用． 二．多选题（共1小题） 11．（2023秋•南山区校级期中）直线 ， ，下列图象中正确的是 　　 A． B． C． D． 【分析】根据斜率和截距对选项进行分析，从而确定正确答案． 【解答】解：直线 ， ， 选项， ，错误． 选项， ，正确． 选项， ，正确． 选项， ，错误． 故选： ． 【点评】本题主要考查了直线位置关系的确定，属于基础题． 三．填空题（共2小题） 12．（2023秋•都匀市校级期中）已知两点 ， 所在直线的斜率为1，则 　0　． 【分析】根据两点的斜率公式计算可得． 【解答】解：因为两点 ， 所在直线的斜率为1， 所以 ，解得 ． 故答案为：0． 【点评】本题考查了直线的斜率，属于基础题． 13．（2023秋•沈阳期中）已知直线 的倾斜角为 ，直线 经过点 ， ，且 与 垂直，直线 与直线 平行， 等于　 　． 【分析】首先由直线 的倾斜角求出其斜率，然后根据 与 垂直求出 的斜率并解得 ，最后由 、 平行解得 ，则 求之． 【解答】解：因为直线 的倾斜角为 ，所以直线 的斜率 ， 又 与 垂直，所以直线 的斜率 ，即 ，解得 ， 且 与 平行，则 ，所以 ， 故 ． 【点评】本题考查直线倾斜角与斜率的关系及两直线平行、垂直时的条件，同时考查斜率公式． 直线的方程 一．选择题（共11小题） 1．（2023秋•深圳期中）直线 过点 ，且方向向量为 ，则 　　 A．直线 的点斜式方程为 B．直线 的斜截式方程为 C．直线 的截距式方程为 D．直线 的一般式方程为 【分析】利用方向向量求得斜率，从而求得直线的点斜式，斜截式，截距式，一般式方程． 【解答】解：因为直线 的方向向量为 ，所以直线 的斜率为2， 因为直线 过点 ， 所以直线 的点斜式方程为 ， 其一般式为 ，故 错误， 正确； 化为斜截式： ，故 错误； 化为截距式： ，故 错误． 故选： ． 【点评】本题考查了直线方程问题，考查转化思想，是基础题． 2．（2023秋•江华县校级期中）倾斜角为 ，在 轴上的截距是 的直线方程为 　　 A． B． C． D． 【分析】由题意利用斜截式求直线的方程． 【解答】解：倾斜角为 的直线的斜率为1，在 轴上的截距是 ， 故它的直线方程为 ，即 ， 故选： ． 【点评】本题主要考查用斜截式求直线的方程，属于基础题． 3．（2023秋•南岗区校级期中）过点 ， 的直线的斜率为 ，则 　　 A．10 B．180 C． D． 【分析】根据直线 的斜率求出 的值，再计算 的值． 【解答】解： 过点 ， 的直线斜率为 ， 解得 ； ． 故选： ． 【点评】本题考查了直线斜率的公式与应用问题，也考查了两点间距离公式的应用问题，是基础题． 4．（2023秋•怀柔区校级期中）过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 　　 A． B． C． 或 D． 或 【分析】可以分截距都为零和截距不为零两种情况进行考虑，截距为零，直线过原点，求出方程即可，截距不为零，利用截距式，设出方程求解即可；也可以设出方程，求出截距，进行计算即可． 【解答】解：解法一：当直线过原点时，满足题意， 此时直线方程为 ，即 ， 当直线不过原点时，设直线方程为 ， 因为直线过点 ，所以 ， 解得 ，此时直线方程为 ． 故选： ． 解法二：易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意， 设直线方程为 ， 则 时， ， 时， ， 由题意知 ， 解得 或 ，即直线方程为 或 ． 故选： ． 【点评】本题考查了求直线方程问题，考查转化思想，分类讨论思想，是基础题． 5．（2023秋•临朐县校级期中）已知直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，且直线 在 轴上的截距为3，则直线 的一般式方程为 　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，以及正切的二倍角公式，推得直线 的斜率，再结合直线的斜截式方程，即可求解． 【解答】解：直线 的倾斜角为 ， 则 ， 直线 的倾斜角为 ， 直线 的斜率为 ， 直线 在 轴上的截距为3， 直线 的方程为 ，即 ． 故选： ． 【点评】本题主要考查直线的一般式方程的求解，属于基础题． 6．（2023秋•盐田区校级期中）“ ”是“直线 和直线 平行”的 　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【分析】分别当 时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求 的范围． 【解答】解：当 时，两直线分别为： ， ， 两直线斜率相等，则平行且不重合． 若两直线平行且不重合，则 或 ， 综上所述， 是两直线平行的充分不必要条件． 故选： ． 【点评】本题考查两条直线的位置关系，充要条件的判断，是基础题． 7．（2023秋•苏州期中）直线 分别交 轴和 轴于 、 两点，若 是线段 的中点，则直线 的方程为 　　 A． B． C． D． 【分析】首先，设直线的方程，然后根据中点坐标公式，即可求出 ， 的值，可得直线方程． 【解答】解：设 ， ， ，则直线 的方程为 ， 为 中点， ， ， ， ， 则直线 的方程为： ，即 ， 故选： ． 【点评】本题主要考查了直线的截距式方程，中点公式，属于基础题． 8．（2023秋•新华区校级期中）不论 为任何实数，直线 恒过定点，若直线 过此定点，其中 ， 是正实数，则 的最小值是 　　 A． B． C． D． 【分析】先求出定点坐标 ，由此可得 ，再由基本不等式即可得出答案． 【解答】解：直线 ， 即 ， 根据 的任意性可得 ， 解得 ， 则直线 都经过一个定点 ， 圆为直线 过此定点，所以 ， ， 当且仅当 时取等号，即 ， 时取等号． 则 的最小值是 ． 故选： ． 【点评】本题考查直线恒过定点问题以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于基础题． 9．（2023秋•东山县期中）直线 与直线 相交于点 ，对任意实数 ，直线 ， 分别恒过定点 ， ，则 的最大值为 　　 A．4 B．8 C． D． 【分析】首先求点 ， 的坐标，并判断两条直线的位置关系，结合基本不等式，即可求解． 【解答】解：直线 ，当 ，得 ， 即点 ， 直线 ，当 ，得 ，即点 ， 且两条直线满足 ，所以 ，即 ， ， ，当 时，等号成立， 所以 的最大值为4． 故选： ． 【点评】本题考查了直线过定点问题，涉及到基本不等式的应用，属于基础题． 10．（2023秋•怀宁县校级期中）过定点 的直线 与过定点 的直线 交于点 ，则 的值为 　　 A． B．10 C． D．20 【分析】动直线 过定点 ，动直线 化为 ，令 ，解得 ， ．过定点 ．由于此两条直线互相垂直，可得 ． 【解答】解：动直线 过定点 ， 动直线 化为 ，令 ，解得 ， ．过定点 ． 此两条直线互相垂直， ， 故选： ． 【点评】本题考查了直线系、相互垂直的直线的斜率的关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11．（2023秋•辽宁期中）已知 ， 从点 射出的光线经直线 反射后再射到直线 上，最后经直线 反射后又回到 点，则光线所经过的路程是 　　 A． B．6 C． D． 【分析】如图所示，分别作出点 关于直线 的对称点 ，点 关于 轴的对称点 ，可得点 ， ， ， 在同一条直线上，线段 即为所求． 【解答】解：如图所示，分别作出点 关于直线 的对称点 ，点 关于 轴的对称点 ， 则点 ， ， ， 在同一条直线上，线段 即为所求， 易知： ， 直线 方程为： ， 设点 ， 则 ， 解得 ， ． 点 ． 光线所经过的路程是 ， 故选： ． 【点评】本题考查了互垂直的直线斜率之间的关系、对称点的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 二．多选题（共3小题） 12．（2023秋•辽宁期中） 的三个顶点坐标为 ， ， ，下列说法中正确的是 　　 A．边 与直线 平行 B．边 上的高所在的直线的方程为 C．过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．过点 且平分 面积的直线与边 相交于点 【分析】由直线斜率判断 ，求出相应的直线方程判断 ，求出边 中点坐标判断 ． 【解答】解：直线 的斜率为 ，而直线 的斜率为 ，两直线不平行，故 错； 边上高所在直线斜率为 ，直线方程为 ，即 ，故 正确； 过 且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为 ，过原点时方程为 ，故 错； 过点 且平分 面积的直线过边 中点，坐标为 ，故 正确． 故选： ． 【点评】本题主要考查直线平行的判断，直线方程的求法，考查运算求解能力，属于中点题． 13．（2023秋•濮阳期中）已知直线 ，则下列说法正确的有 　　 A． 的一个方向向量为 B． 的截距式方程为 C．若 与直线 互相垂直，则 D．点 到 的距离为1 【分析】由直线一般方程写出一个方向向量及截距式判断 、 ；由垂直关系的判定列方程求参判断 ；应用点线距离公式求距离判断 ． 【解答】解：由直线方程知： 的一个方向向量为 ，故 对； 由 ，则截距式为 ，故 错； 与直线 互相垂直，则 ，可得 ，故 错； 点 到 的距离为 ，故 对． 故选： ． 【点评】本题考查的知识要点：直线的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题． 14．（2023秋•天河区校级期中）对于直线 和直线 ．以下说法正确的有 　　 A．直线 一定过定点 ， B．若 ，则 C． 的充要条件是 D．点 到直线 的距离的最大值为5 【分析】利用直线过定点判断 ，利用直线的垂直判断 ，利用直线的平行判断 ，利用两点间的距离公式判断 ． 【解答】解：对于 ，直线 ，即 ， 令 ，解得 ， 故直线 一定过定点 ， ，故 正确， 对于 ， ， 则 ，解得 ，故 正确， 对于 ，由 ，解得 或 ，经验证 ， 时两条直线平行，故 错误， 对于 ， 直线 过定点 ， 点 到直线 的距离的最大值为 ，故 正确． 故选： ． 【点评】本题考查了两条直线平行，垂直的充要条件，考查了直线过定点，两点间的距离公式，属于中档题． 三．填空题（共2小题） 15．（2023秋•罗湖区校级期中）过点 且在 轴、 轴上截距相等的直线方程为 　 或 　． 【分析】分截距为0和不为0两种情况讨论即可得解． 【解答】解：由题知，若在 轴、 轴上截距均为0， 即直线过原点，又过 ，则直线方程为 ， 若截距不为0，设在 轴、 轴上的截距为 ， 则直线方程为 ， 又直线过点 ， 则 ，解得 ， 所以此时直线方程为 ． 故答案为： 或 ． 【点评】本题主要考查了直线的一般方程，属于基础题． 16．（2023秋•内蒙古期中）已知直线 ， ，若 ，则 的值是 　 　． 【分析】由题意，利用两直线平行的性质，分类讨论，求得 的值． 【解答】解： 直线 ， ， ， 当 时， ，此时，直线 ， ，不满足条件． 当 时，由题意可得 ，求得 ． 综上， ， 故答案为： ． 【点评】本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题． 四．解答题（共8小题） 17．（2023秋•市中区校级期中）已知△ 的三个顶点分别为 ， ， ． （1）求边 所在直线的方程； （2）求边 上的中线 所在直线的方程． 【分析】（1）直接由两点式求边 所在直线的方程； （2）求出点 的坐标为 ，再利用两点式求中线 所在直线的方程． 【解答】解：（1）由两点式得边 所在直线的方程为 ，即 ； （2）由题意，得点 的坐标为 ， 由两点式，得 所在直线的方程为 ，即 ． 【点评】本题考查直线的两点式方程，属于基础题． 18．（2023秋•揭东区期中）在 中，已知 ， ， ． （1）求边 所在的直线方程； （2）求 的面积． 【分析】（1）结合斜率公式先求出 的斜率，进而可求直线方程； （2）先求出 到 的距离，然后结合三角形面积公式可求． 【解答】解：（1）因为 ， ， 所以 所在直线的斜率 ， 故 所在的直线方程为 ， 即 ； （2）由题意得 到直线 的距离 ， 因为 ， 所以 的面积 ． 【点评】本题主要考查了直线的斜率公式，点到直线的距离公式，属于基础题． 19．（2023秋•浦东新区校级期中）已知 中， ， ． （1）若 ，求 边上的高 所在直线的一般式方程； （2）若点 为边 的中点，求 边所在直线的一般式方程． 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据中点坐标公式，结合直线两点式方程进行求解即可． 【解答】解：（1）因为 ， ， 所以 ， 因为 是 边上的高， 所以 ， 所以高 所在直线的方程为 ； （2）因为点 为边 的中点， 所以 ， 因此 边所在直线的方程为 ． 【点评】本题考查直线的斜率的求法，考查两直线垂直与斜率的关系，考查直线方程的求法，是基础题． 20．（2023秋•濠江区校级期中）直线 经过两直线 和 的交点． （1）若直线 与直线 平行，求直线 的方程； （2）若点 到直线 的距离为5，求直线 的方程． 【分析】（1）由题意两立方程组，求两直线的交点的坐标，利用两直线平行的性质，用待定系数法求出 的方程． （2）分类讨论直线 的斜率，利用点到直线的距离公式，用点斜式求直线 的方程． 【解答】解：（1）由 ，求得 ， 可得两直线 和 的交点为 ． 当直线 与直线 平行，设 的方程为 ， 把点 代入求得 ， 可得 的方程为 ． （2）当 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，满足点 到直线 的距离为5． 当 的斜率存在时，设直限 的方程为 ，即 ， 则点 到直线 的距离为 ，求得 ， 故 的方程为 ，即 ． 综上，直线 的方程为 或 ． 【点评】本题主要考查求直线的交点，两直线平行的性质，点到直线的距离公式，用点斜式求直线的方程． 21．（2023秋•顺德区校级期中）已知直线 经过点 ． （1）若 与直线 垂直，求 的方程； （2）若 在两坐标轴上的截距相等，求 的方程． 【分析】（1）根据两直线垂直得到 的斜率，进而利用点斜式求出直线方程； （2）考虑截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程． 【解答】解：（1）由题可知， 的斜率为 ， 设 的斜率为 ，因为 ，所以 ，则 ， 又 经过点 ，所以 的方程为 ，即 ； （2）若 在两坐标轴上的截距为0，即 经过原点，设 的方程为 ， 将 代入解析式得 ，解得 ， 故 的方程为 ， 若 在两坐标轴上的截距不为0，则设 的方程为 ， 由 ，得 ， 故 的方程为 ， 综上， 的方程为 或 ． 【点评】本题主要考查了直线垂直条件的应用，还考查了直线的截距式方程的应用，属于中档题． 22．（2023秋•韩城市期中）（1）求经过点 且在 轴上截距等于 轴上截距的直线方程； （2）求过直线 与 的交点，且与直线 垂直的直线方程． 【分析】（1）当直线不过原点时，设直线的方程为 ，把点 代入求得 的值，即可求得直线方程．当直线过原点时，直线的方程为 ．综合可得答案． （2）先求出交点坐标，再根据两直线垂直求出所求直线的斜率，根据点斜式方程即可求出． 【解答】解：（1）：当直线不过原点时，设直线的方程为 ，把点 代入可得 ， ， 此时，直线方程为 ． 当直线过原点时，直线的方程为 ，即 ， 综上可得，满足条件的直线方程为 ，或 ， （2）由 得 ， ，交点为 ． 又因为所求直线与 垂直，所以所求直线斜率 故所求直线方程为 ，即 ． 【点评】本题考查了直线的截距式、直线的交点、直线系的应用、相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 23．（2023秋•湖北期中）已知 的三个顶点是 ， ， ． （1）求 边的高所在直线的方程； （2）若直线 过点 ，且点 ， 到直线 的距离相等，求直线 的方程． 【分析】（1）根据点斜式求得 边的高所在直线的方程； （2）对 是否与直线 平行进行分类讨论，由点斜式或斜截式求得直线 的方程． 【解答】解：（1）直线 的斜率为 ， 所以 边的高所在直线的斜率为1， 所以 边的高所在直线的方程为 ， ． （2）直线 的斜率为 ， 若直线 与直线 平行，则直线 的方程为 ， ． 线段 的中点坐标为 ， 若直线 过 ，则直线 的方程为 ， 即直线 的方程为 或 ． 【点评】本题主要考查直线的方程，直线的垂直关系，属于基础题． 24．（2023秋•四平期中）在平面直角坐标系 中，已知直线 经过点 和点 ． （1）求直线 的方程； （2）若直线 与 平行，且 与 间的距离为 ，求直线 的方程． 【分析】（1）法一，已知两点求斜率，再由点斜式方程可得，法二，由两点式方程可得； （2）设出直线方程，由直线平行得斜率，再由两平行直线间的距离公式可求． 【解答】解：（1）法一：由题意得直线 的斜率 ， 故直线 的方程为 ，即 ； 法二：由两点式方程可得， ， 化简得 ． （2）可设直线 的方程为 ， 由题意得 ，解得 或 ， 故直线 的方程为 或 ． 【点评】本题主要考查了直线方程的两点式，直线的斜率公式的应用，点到直线的距离公式，属于基础题． 直线的交点坐标与距离公式 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•英吉沙县期中）以 、 、 为顶点的三角形是 　　 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以 点为直角顶点的直角三角形 D．以 点为直角顶点的直角三角形 【分析】先分别求出 、 、 的长，再由勾股定理进行判断． 【解答】解： 、 、 ， ， ， ， ， 以 、 、 为顶点的三角形是以 点为直角顶点的直角三角形． 故选： ． 【点评】本题考查三角形形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用． 2．（2023秋•东莞市校级期中）若直线 与直线 的交点位于第一象限，则实数 的取值范围是 　　 A． B． C． D． ， ， 【分析】联立直线方程，求出交点坐标，然后根据点的位置即可求解． 【解答】解： 直线 与直线 的交点位于第一象限， ， 由 可得， ， 解可得， ， 故选： ． 【点评】本题主要考查了两直线的交点坐标的求解，属于基础试题． 3．（2023秋•利通区校级期中）已知点 ，点 在直线 上，则 的最小值为 　　 A． B． C． D．4 【分析】由点到直线的距离公式即得解． 【解答】解： 的最小值即为点 到直线 的距离， 即 ． 故选： ． 【点评】本题考查点到直线的距离，属于基础题． 4．（2023秋•顺德区校级期中）点 到直线 的距离是 　　 A．3 B． C．1 D． 【分析】直线 化为： ，可得点 到直线 的距离． 【解答】解：直线 化为： ， 点 到直线 的距离 ， 故选： ． 【点评】本题考查了直线的方程、点到直线的距离，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．（2023秋•浦北县期中）若点 到直线 的距离不大于3，则 的取值范围是 　　 A． B． ， C． ， D． 【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解． 【解答】解：直线 可化为 ， 点 到直线 的距离不大于3， ，解得 ， 故 的取值范围为 ， ． 故选： ． 【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题． 6．（2023秋•罗湖区校级期中）已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离是 　　 A．1 B． C．3 D．4 【分析】由题意利用两条直线平行的性质求出 ，再利用两条平行直线间的距离公式求得结果． 【解答】解：由题意直线 与直线 平行，可得 ，即 ， 则直线 可化为 ，所以两直线之间的距离为 ， 故选： ． 【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式，属于基础题． 7．（2023秋•江北区校级期中）已知点 在线段 上，则 的取值范围是 　　 A． ， B． ， C． ， D． 【分析】法 将问题化为求原点到线段上点距离的平方的范围，进而求目标式的距离． 法 由题意可得 的表达式，代入所求的代数式中，由二次函数的性质可得代数式的最值． 【解答】解：法 如图所示： 是线段上的一点，且 为原点到该线段上点距离的平方， 上述线段端点分别为 ， ，到原点距离的平方分别为20，40， 由图知：原点到线段的距离 ，则 ， 综上， ， ，所以 ， ． 法 因为点 在线段 上，所以 ， 所以令 ，开口向上，对称轴 ， ， 当 时， 最小，且为 ， 当 时， 最大，且为：38． 所以 ， ． 故选： ． 【点评】本题考查二次函数的性质的应用，属于基础题． 8．（2023秋•肥东县校级期中）已知点 ，点 是圆 上的动点，点 是圆 上的动点，则 的最大值是 　　 A．1 B． C． D．2 【分析】先根据两圆的方程求出圆心和半径，结合图形，把求 的最大值转化为 的最大值，再利用 ，即可求出对应的最大值． 【解答】解：如图所示， 圆 的圆心 ， 圆 的圆心 ，这两个圆的半径都是 ； 要使 最大，需 最大，且 最小， 由图可得， 最大值为 ， 的最小值为 ， 故 最大值是 ， 点 在直线 上， 关于 的对称点 ， 直线 与 的交点为原点 ， 则 ， 故 的最大值为 ， 即 的最大值为2． 故选： ． 【点评】本题考查了直线与圆的方程的综合应用问题，主要考查圆的标准方程，点与圆的位置关系，体现了转化及数形结合的数学思想，是综合性题目． 二．填空题（共2小题） 9．（2023秋•金台区校级期中）若三条直线 ， ， 相交于同一点，则 的值为　9　． 【分析】联立 ，求得交点坐标，代入直线 即可求得 值． 【解答】解：联立 ，解得 ， 两条直线 与 的交点坐标为 ， 又三条直线 ， ， 相交于同一点， 把 代入 ，得 ，即 ． 故答案为：9． 【点评】本题考查两直线交点坐标的求法，是基础的计算题． 10．（2023秋•濮阳期中）两平行直线 和 的距离为 　 　． 【分析】直接利用距离公式计算可得． 【解答】解：直线 可化为 ， 所以两平行线的距离 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题． 三．解答题（共1小题） 11．（2023秋•海沧区校级期中）已知直线 ． （1）若直线 过点 ，且 ，求直线 的方程； （2）若直线 ，且直线 与直线 之间的距离为 ，求直线 的方程． 【分析】（1）由直线 的方程求出斜率，再由 可得 的斜率，由点斜式求出直线 的方程； （2）直线 可设 的方程，再由平行线减的距离公式求出参数的值，即求出的 的方程． 【解答】解：（1）因为直线 的方程为 ，所以直线 的斜率为 ． 因为 ，所以直线 的斜率为 ． 因为直线 过点 ，所以直线 的方程为 ，即 ． （2）因为直线 与直线 之间的距离为 ，所以可设直线 的方程为 ， 所以 ，解得 或 ． 故直线 的方程为 或 ． 【点评】本题考查与已知直线垂直及平行的直线的设法，属于基础题． 圆的方程 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•东兴区校级期中）已知半径为3的圆 的圆心与点 关于直线 对称，则圆 的标准方程为 　　 A． B． C． D． 【分析】设圆心坐标 ，由对称知识求出圆心 的坐标为 ，由此能求出半径为3的圆 的标准方程． 【解答】解：设圆心坐标 ， 由圆心 与点 关于直线 对称，得到直线 与 垂直， 结合 的斜率为1得直线 的斜率为 ， 所以 ，化简得 ①， 再由 的中点在直线 上， 得到 ，化简得 ② 联解①②，可得 ， ， 圆心 的坐标为 ， 半径为3的圆 的标准方程为 ． 故选： ． 【点评】本题考查圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对称知识的合理运用． 2．（2023秋•西城区校级期中）圆 的半径为 　　 A．1 B． C．2 D．4 【分析】把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径． 【解答】解：圆 化为标准方程为 ， 故半径等于 ， 故选： ． 【点评】本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键． 3．（2023秋•荔湾区校级期中）过点 ， 且圆心在直线 上的圆的方程是 　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合圆的性质，以及两点之间的距离公式，即可求解． 【解答】解： 圆心在直线 ， 可设圆心为 ， ，即 ，解得 ， 圆心为 ，半径 ， 圆的方程为 ． 故选： ． 【点评】本题主要考查圆的性质，以及两点之间的距离公式，属于基础题． 4．（2023秋•射洪市校级期中）若点 在圆 的外部，则 的取值范围为 　　 A． B． C． D． 【分析】由于点 在圆 的外部，圆的半径需大于0，将点 代入圆的方程列出不等式，即可求出实数 的取值范围． 【解答】解：圆 的标准方程为 ， ，即 ， 若点 在圆 的外部， 则 ，解得 ， 故 ． 故选： ． 【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，属于基础题． 5．（2023秋•江津区校级期中）圆 关于直线 对称后的圆的方程为 　　 A． B． C． D． 【分析】由圆方程求出圆心和半径，再求出圆心关于直线的对称点的坐标，即可求出对称圆的方程． 【解答】解：圆 ，则圆心 ，半径 ， 设圆心 关于直线 对称的点为 ， 则 ， 解得 ， ． 圆 关于直线 对称的圆的方程为 ． 故选： ． 【点评】本题考查了关于点、直线对称的圆的方程，是基础题． 6．（2023秋•河北期中）已知圆 与圆 关于直线 对称，则 的方程为 　　 A． B． C． D． 【分析】求出两圆的圆心，结合圆心的对称关系进行求解即可． 【解答】解：由圆 与圆 得 ， ， 则 的中点的坐标为 ， ． 由圆 与圆 关于 对称，得 的斜率为 ． 因为 的中点在 上， 所以 ， 即 ． 故选： ． 【点评】本题主要考查直线方程的求解，根据圆与圆的对称性，求出直线的斜率是解决本题的关键，是基础题． 二．填空题（共5小题） 7．（2023秋•白银期中）已知圆 的圆心在 轴的正半轴上，圆 与圆 外切，写出圆 的一个标准方程：　 （答案不唯一）　． 【分析】根据题意，设要求圆的圆心为 ，由圆与圆的位置关系求出圆 的半径，对 取特殊值即可得答案． 【解答】解：根据题意，设要求圆的圆心为 ， 圆 ，圆心为 ，半径为2， 又由圆 的圆心在 轴的正半轴上，且圆 与圆 外切，则圆 的半径为 ， 故圆 的方程为 ， 当 时，要求圆的标准方程为： ． 故答案为： （答案不唯一）． 【点评】本题考查圆的标准方程，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题． 8．（2023秋•青山湖区校级期中）以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 　x2+（y﹣1）2＝1　． 【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再利用圆过原点求出圆的半径即可求出圆的方程． 【解答】解：因为抛物线的标准方程为x2＝4y， 所以p＝2，所以焦点坐标是（0，1）， 所以所求圆的圆心为（0，1）， 又圆过原点，所以圆的半径为1， 所以所求圆的方程为x2+（y﹣1）2＝1． 故答案为：x2+（y﹣1）2＝1． 【点评】本题考查圆的方程的求法，属于基础题． 9．（2023秋•江津区校级期中）在平面直角坐标系中，经过三点 ， ， 的圆的方程为 　 （或 　． 【分析】【方法一】根据题意画出图形，结合图形求得圆心与半径，写出圆的方程． 【方法二】设圆的一般方程，把点的坐标代入求得圆的方程． 【解答】解：【方法一】根据题意画出图形如图所示， 结合图形知经过三点 ， ， 的圆， 其圆心为 ，半径为1， 则该圆的方程为 ． 【方法二】设该圆的方程为 ， 则 ， 解得 ， ； 所求圆的方程为 ． 故答案为： （或 ． 【点评】本题考查了圆的方程与应用问题，是基础题． 10．（2023秋•台州期中）若点 在圆 的内部，则实数 的取值范围是　 　． 【分析】直接由点 在圆 的内部，得到 ，求解关于 的一元二次不等式得答案． 【解答】解： 点 在圆 的内部， ． 即 ． 解得： ． 实数 的取值范围为 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，考查了数学转化思想方法，是基础的计算题． 11．（2023秋•鄠邑区期中）圆 关于直线 对称的圆的标准方程为 　 　． 【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心关于直线 的对称点的坐标，即为对称圆圆心，又因为关于直线对称的圆半径不变，从而求出对称圆的方程． 【解答】解：圆 ，即 ， 表示以 为圆心，半径为1的圆， 设圆心 关于直线 对称点的坐标为 ， 由 ， 解得 ， ， 故圆心 关于直线 对称点的坐标为 ， 故对称圆的圆心为 ， 因为对称圆半径不变，所以对称圆半径为1， 故所求对称圆方程为 ． 故答案为： ． 【点评】本题主要考查了点关于直线的对称，还考查了圆的性质的应用，属于中档题． 直线与圆、圆与圆的位置关系 一．选择题（共9小题） 1．（2023秋•长安区校级期中）直线 与圆 的位置关系为 　　 A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 【分析】求出圆心到直线的距离 ，与圆的半径 比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案． 【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标 ，半径 则圆心 到直线 的距离 ， 把 代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心． 所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心． 故选： ． 【点评】此题考查学生掌握判断直线与圆位置关系的方法是比较圆心到直线的距离 与半径 的大小，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题． 2．（2023秋•澄城县期中）圆 与直线 的位置关系是 　　 A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离可得结论． 【解答】解：由已知可得圆的圆心为 ，半径为 ， 圆心 到直线 的距离 ， 直线与圆的位置关系为相交． 故选： ． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属基础题． 3．（2023秋•回民区期中）已知点 为直线 上的动点，过点 作圆 的切线 ， ，切点为 ， ，当 最小时，直线 的方程为 　　 A． B． C． D． 【分析】由题意，根据圆的相关信息得到点 ， ， ， 四点共圆，且 ，易知当直线 时， 取得最小值，再进行求解即可． 【解答】解：已知圆 的圆心 ，半径 ， 易知点 ， ， ， 四点共圆，且 ， 所以 ， 又 ， 所以当直线 时， 和 取得最小值， 易得 的最小值为 ， 的最小值为 ， 此时 取得最小值 所以直线 的方程为 ， 联立 ， 解得 ， 即 ， 则以 为直径的圆的方程为 ， 联立 ， 两式相减得 ， 即直线 的方程为 ． 故选： ． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系以及圆的切线，考查了逻辑推理和运算能力． 4．（2023秋•佳木斯期中）圆 上的点到直线 距离的取值范围是 　　 A． ， B． C． ， D． 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，进而得出圆心和半径，利用点到直线的距离公式及圆上的点到直线距离的最值问题即可求解． 【解答】解：圆 的标准方程为 ， 所以圆心坐标为 ，半径 ， 圆心到直线 的距离为 ， 所以圆上的点到该直线的距离的取值范围是 ， ，即 ， ． 故选： ． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是基础题． 5．（2023秋•金牛区校级期中）圆 与圆 的公共弦长为 　　 A． B． C． D． 【分析】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，可与任一圆联立方程求出交点坐标，根据两点间距离公式得到公共弦长（法一）；也可求出圆心到公共弦的距离 ，然后结合弦长公式可求（法二）． 【解答】解：联立方程： ， 两式相减可得公共弦方程 ， 方法一：联立方程： ， 得 ， 解得 ， ，即公共弦的端点坐标为 ， ， 根据点到直线距离公式可得公共弦长为 ； 方法二：圆 的圆心坐标为 ，半径为 ， 圆心到公共弦的距离为 ， 公共弦长为 ． 故选： ． 【点评】本题主要考查了两圆相交位置关系的应用，还考查了弦长公式的应用，属于基础题． 6．（2023秋•永宁县期中）圆 与圆 的公切线有 　　 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，由圆心距与半径间的关系可知两圆相离，从而得到两圆公切线的条数． 【解答】解：由圆 与圆 ， 可得圆 的标准方程为 ，圆心坐标为 ，半径为2． 圆 与圆 的圆心距为3，等于两个圆的半径之和， 所以圆 与圆 外切，故圆 与圆 的公切线有3条． 故选： ． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查圆的公切线条数的确定，是基础题． 7．（2023秋•鼓楼区校级期中）方程 有唯一解，则实数 的取值范围是 　　 A． B． C． 或 D． 或 或 【分析】由题意，方程左边对应的函数图象是以原点为圆心、半径为1的圆的上半圆，右边对应的函数图象是经过定点 且斜率为 的一条直线．可得当直线与半圆相切时或直线在 轴上的交点位于 和 之间时，原方程有唯一的实数解．由此建立关于 的代数关系式，即可得到实数 的范围． 【解答】解：设 ， 表示以原点为圆心、半径为1的圆的上半圆（含端点 、 设 ，表示经过定点 且斜率为 的一条直线 当直线 与半圆 相切时，原方程有唯一解 此时原点到直线的距离等于1，得 ，解之得 当直线在 轴上的交点位于 、 之间时，原方程也有唯一解 且 ， 线在 轴上的交点位于 、 之间时， 或 综上所述，原方程有唯一实数解时， 或 或 故选： ． 【点评】本题给出方程有唯一的实数解，求参数 的值或范围．着重考查了直线方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题． 8．（2023秋•广陵区校级期中）已知点 ，若过点 的直线 交圆于 于 ， 两点，则 的最大值为 　　 A．12 B． C．10 D． 【分析】设出 的中点 ，根据垂径定理即可求出点 的轨迹方程是以 为圆心，1为半径的圆，再利用圆的性质求出 的最大值，再由向量的运算性质即可求解． 【解答】解：由已知圆的方程可得：圆心 ，半径为 ， 设 的中点为 ，则由圆的性质可得： ， 即 ，而 ， ， 所以 ， 即点 的轨迹方程为 ， 设 为 的中点，则 ，半径为1， 所以 的最大值为 ， 又 ， 所以 的最大值为12， 故选： ． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，涉及到点与圆上的点的距离的最大值问题，考查了学生的运算转化能力，属于中档题． 9．（2023秋•顺义区校级期中）已知圆 与圆 外切，则 　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由题意，利用圆和圆的位置关系，求得 的值． 【解答】解： 圆 与圆 外切， 两圆的圆心距等于它们的半径之和， ， 则 ， 故选： ． 【点评】本题主要考查圆和圆的位置关系的确定方法，属于基础题． 二．多选题（共2小题） （多选）10．（2023秋•高港区校级期中）已知点P（x0，y0）和圆O：x2+y2＝8，则下列选项正确的有（　　） A．若点P在圆O内，则直线x0x+y0y＝8与圆O相交 B．若点P在圆O上，则直线x0x+y0y＝8与圆O相切 C．若点P在圆O外，则直线x0x+y0y＝8与圆O相离 D．若直线AP与圆O相切，A为切点，则 【分析】根据题意，利用圆心到直线的距离即可结合选项求解ABC，根据勾股定理即可求解D，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，点P在圆O内，则， 又点O到直线x0x+y0y＝8的距离d＝＞， 则直线x0x+y0y＝8与圆O相离，故A错误； 对于B，∵点P在圆O上，∴， 又点O（0，0）到直线x0x+y0y＝8的距离， 故x0x+y0y＝8与圆O相切，故B正确； 对于C，点P在圆O外，则， 又点O到直线x0x+y0y＝8的距离， ∴直线x0x+y0y＝8与圆O相交，故C错误； 对于D，若直线AP与圆O相切，则点P在圆O外， 所以，故D正确． 故选：BD． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，属于基础题． 11．（2023秋•威远县校级期中）已知直线 ，圆 的圆心坐标为 ，则下列说法正确的是 　　 A．直线 恒过点 B． ， C．直线 被圆 截得的最短弦长为 D．若点 是圆 上一动点， 的最小值为 【分析】直线 恒过点 ， 正确，根据圆的一般方程计算 正确，计算弦长的最小值为 ， 错误，确定 ， 错误，得到答案． 【解答】解：圆 的圆心坐标为 ， 故 ，解得 ， ，圆方程为 ， 对选项 ：因为直线 恒过点 ，正确； 对选项 ， ，正确； 对选项 ：当直线 与 垂直时，弦最短，此时 ， 弦长为 ，错误； 对选项 ：设 ，即 ，当直线与圆相切时， ， 解得 或 ，故 ，错误． 故选： ． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题． 三．填空题（共7小题） 12．（2023秋•荆州区校级期中）过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则直线 的方程为 　 　． 【分析】先求出圆心 ，求出以 ， ， 为直径的圆的方程，再将两个圆作差，即可求解． 【解答】解：圆 ①， 则圆心 ， 以 ， ， 为直径的圆的方程为： ②， ① ②可得， ， 故直线 的方程为 ． 故答案为： ． 【点评】本题主要考查圆的切线方程，属于基础题． 13．（2023秋•洮南市校级期中）已知点 ， ， 在圆 和圆 的公共弦上，则 的最小值为　16　． 【分析】根据题意，联立两个圆的方程，变形可得两圆公共弦的方程，即可得 ，据此可得 ，结合基本不等式的性质分析可得答案． 【解答】解：根据题意，圆 和圆 ， 联立 ， 变形可得： ， 即两圆公共弦所在直线的方程为 ， 若点 ， ， 在圆 和圆 的公共弦上，则有 ，即 ， 则 ， 又由 ， ，则 ，当且仅当 时等号成立， 故 ， 即 的最小值为16； 故答案为：16． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题． 14．（2023秋•蓬江区校级期中）过 作圆 的切线，则其切线方程为　 或 　． 【分析】首先，圆 的圆心为 ，半径为1，然后讨论，当过点 的直线斜率不存在时，方程是 ，通过验证圆心到直线的距离，得到 符合题意；当过点 的直线斜率存在时，设直线方程为 ，根据圆心到直线的距离等于半径1，建立关于 的方程，解之得 ，进而得到直线的方程，最后综合可得答案． 【解答】解：圆 的圆心为 ，半径为1， （1）当过点 的直线垂直于 轴时， 此时直线斜率不存在，方程是 ， 圆心 到直线的距离为 ， 直线 符合题意； （2）当过点 的直线不垂直于 轴时， 设直线方程为 ，即 ． 直线是 的切线， 点 到直线的距离为 ，解之得 ， 此时直线方程为 ． 切线方程为 或 ． 故答案为： 或 ． 【点评】借助于求过圆外一个定点的圆的切线方程的问题，考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识点，属于基础题． 15．（2023秋•杭州期中）已知圆 与圆 相交于 、 两点，则圆 上的动点 到直线 距离的最大值为 　 　． 【分析】先求出直线 的方程，再利用点到直线距离公式求解． 【解答】解：圆 与圆 的方程相减， 可得 ，即直线 的方程为 ， 圆 的圆心为 ，半径 ， 点 到直线 的距离 ， 则圆 上的动点 到直线 的距离的最大值为 ． 故答案为： ． 【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，属于基础题． 16．（2023秋•郑州期中）圆 与圆 的公共弦的长为　 　． 【分析】两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长． 【解答】解：圆 与圆 的方程相减得： ， 由圆 的圆心 ，半径 为2， 且圆心 到直线 的距离 ， 则公共弦长为 ． 故答案为： ． 【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键． 17．（2023秋•番禺区校级期中）已知圆 ，自点 作圆 的切线 ，则切线 的方程 　 或 　． 【分析】讨论切线 的斜率是否存在．当斜率存在时，设斜率为 ，得到直线方程 ，根据圆心到直线的距离 ，得到关于 方程，解出 的值，代入直线方程即可． 【解答】解：由已知圆心为 ，半径 ， 又 ，所以点 在圆外， 当直线 斜率不存在时，直线的方程为 ． 此时，圆心 到直线 的距离 ， 所以直线 是圆的切线， 当直线斜率存在时，设斜率为 ，则直线的方程为 ， 整理可得 ， 因为直线 与圆相切，所以圆心到直线的距离 ， 即 ，解得 ， 所以切线方程为： ，即 ， 综上所述所求的切线方程为： 或 ， 故答案为： 或 ． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，考查点到线的距离公式，属中档题． 18．（2023秋•高港区校级期中）已知圆 ，圆 ，如果这两个圆有公共点，则实数 取值范围是 　 ， 　． 【分析】由题意确定两圆的圆心和半径，利用圆与圆的位置关系建立不等式组，解之即可． 【解答】解：由题意知， ， ， ， ， 则 ， 因为圆 与圆 有公共点，所以 ，即 ， 解得 ，所以实数 取值范围是 ， ． 故答案为： ， ． 【点评】本题主要考查两圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题． 四．解答题（共2小题） 19．（2023秋•船营区校级期中）已知 ，以点 为圆心的圆被 轴截得的弦长为 ． （1）求圆 的方程； （2）若过点 的直线 与圆 相切，求直线 的方程． 【分析】（1）由 ，可得圆的方程； （2）当直线 的斜率不存在时，方程为 ，当直线 的斜率存在时，设方程为 ，由 ，解得 ，可求切线方程． 【解答】解：（1）设圆 的半径为 ， 以点 为圆心的圆被 轴截得的弦长为 ， 所以 ， 所以圆 的方程为 ； （2）当直线 的斜率不存在时，方程为 ，经检验与圆 相切，符合题意， 当直线 的斜率存在时，设方程为 ，即 ， 所以 ，解得 ， 所以切线方程为 ， 综上所述，直线 的方程为 或 ． 【点评】本题考查圆的方程的求法，以及圆的切线方程的求法，属基础题． 20．（2023秋•东城区校级期中）已知圆 经过坐标原点 和点 ，且圆心在 轴上． （1）求圆 的方程； （2）已知直线 与圆 相交于 、 两点，求所得弦长 的值． 【分析】（1）求出圆的圆心与半径，即可得到圆的方程． （2）利用点到直线的距离，结合半径以及半弦长满足勾股定理，推出结果即可． 【解答】解：（1）由题意可得，圆心为 ，半径为2． 则圆的方程为 ． （2）圆心 到 的距离为 ， ， ． 【点评】本题考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题． 直线和圆的方程的应用 一．解答题（共9小题） 1．（2023秋•西城区校级期中）已知直线 ，半径为2的圆 与 相切，圆心 在 轴上且在直线 的上方 （1）求圆 的方程； （2）设过点 的直线 被圆 截得的弦长等于 ，求直线 的方程； （3）过点 的直线与圆 交于 ， 两点 在 轴上方），问在 轴正半轴上是否存在点 ，使得 轴平分 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设出圆心 坐标，根据直线 与圆 相切，得到圆心到直线 的距离 ，确定出圆心 坐标，即可得出圆 方程； （2）根据垂径定理及勾股定理，由过点 的直线 被圆 截得的弦长等于 ，分直线 斜率存在与不存在两种情况求出直线 的方程即可； （3）当直线 轴，则 轴平分 ，当直线 斜率存在时，设直线 方程为 ，联立圆与直线方程，消去 得到关于 的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若 轴平分 ，则 ，求出 的值，确定出此时 坐标即可． 【解答】解：（1）设圆心 ， ， 直线 ，半径为2的圆 与 相切， ，即 ， 解得： 或 （舍去）， 则圆 方程为 ； （2）由题意可知圆心 到直线 的距离为 ， 若直线 斜率不存在，则直线 ，圆心 到直线 的距离为1； 若直线 斜率存在，设直线 ，即 ， 则有 ，即 ，此时直线 ， 综上直线 的方程为 或 ； （3）当直线 轴，则 轴平分 ， 若 轴平分 ，则 ，即 ， ， 整理得： ，即 ， 解得： ， 当点 ，能使得 总成立． 【点评】此题考查了直线与圆的方程的应用，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及斜率的计算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 2．（2023秋•启东市校级期中）已知圆 的方程为 ，直线 的方程为 ，点 在直线 上，过 点作圆 的切线 ， ，切点为 ， ． （1）若 ，试求点 的坐标； （2）求证：经过 ， ， 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标； （3）设线段 的中点为 ，求点 的轨迹方程． 【分析】（1）设 ，由题可知 ，代入两点间的距离公式可得 ，求解 可得点 的坐标； （2） 的中点 ，因为 是圆 的切线，进而可知经过 ， ， 三点的圆是以 为圆心，以 为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于 的恒等式，进而可求得 和 ，得到结果； （3）结合（2）将两圆方程相减可得直线 的方程，且得直线 过定点 ，由几何性质得 ，即点 在以 为直径的圆上，进而可得结果． 【解答】解：（1）设 ，因为 是圆 的切线， ， 所以 ， ， 所以 ，解之得 ， ， 故所求点 的坐标为 或 ． （2）证明： 的中点 ， 因为 是圆 的切线，所以经过 ， ， 三点的圆是以 为圆心，以 为半径的圆， 故其方程为： ， 化简得 ， 此式是关于 的恒等式，故 解得 或 ．所以经过 ， ， 三点的圆必过定点 和 ． （3）由 可得 ，即 ， 由 可得 过定点 ．因为 为圆 的弦 的中点，所以 ，即 ， 故点 在以 为直径的圆上， 点 的轨迹方程为 ． 【点评】本题考查圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 3．（2023秋•泸县校级期中）在平面直角坐标系 中，已知圆心在第二象限，半径为 的圆 与直线 相切于坐标原点 ． （1）求圆 的方程； （2）试探求圆 上是否存在异于原点的点 ，使 到定点 的距离等于线段 的长，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设出圆的标准方程，由相切和过原点的条件，建立方程求解． （2）要探求圆 上是否存在异于原点的点 ，使 到定点 的距离等于线段 的长，我们可以转化为探求圆 与（1）所求的圆的交点数． 【解答】解：（1）设圆心坐标为 ， ， ， 则该圆的方程为 已知该圆与直线 相切， 那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则 即 ① 又圆与直线切于原点，将点 代入得 ② 联立方程①和②组成方程组解得 故圆的方程为 ； （2）设 ，则 到定点 的距离等于线段 的长，方程为 ． 联立两圆，解得 ， ． 即存在异于原点的点 ， ，使得 到定点 的距离等于线段 的长． 【点评】本题考查的是圆的位置关系和圆锥曲线的基本概念的理解．对于题中第二小问中，探求圆 上是否存在异于原点的点 ，使 到定点 的距离等于线段 的长，我们可以转化为探求圆 与（1）所求的圆的交点数，可使问题简化． 4．（2023秋•沭阳县期中）已知直线 与圆 相交于 ， 两点，弦 的中点为 ． （1）求实数 的取值范围及直线 的方程； （2）已知 ，若圆 上存在两个不同的点 ，使 ，求实数 的取值范围． 【分析】（1）利用配方法得到圆的标准方程，根据直线垂直的条件：斜率之积为 ，点与圆的位置关系即可求出 的取值范围； （2）利用 ，可得圆的方程，结合两个圆相交，求实数 的取值范围． 【解答】解：（1）圆的标准方程为 ， 则圆心 ，半径 ， 弦 的中点为 ． 点 在圆内部，即 ， ，即 ． 弦的中点为 ． 直线 的斜率 ， 则直线 的斜率 ， 则直线 的方程为 ，即 ． （2）设 ，由 ， 可得 ， 化简可得， ， 即为 的轨迹为圆心 ，半径为 的圆． 据题意：两个圆相交： ， 解得 ，且 ， 则实数 的取值范围是 ， ． 【点评】本题主要考查直线和圆的方程的应用，同时考查点与圆及圆与圆的位置关系，利用配方法将圆配成标准方程是解决本题的关键． 5．（2022秋•鲤城区校级期中）如图，圆 ． （1）若圆 与 轴相切，求圆 的方程； （2）当 时，圆 与 轴相交于两点 ， （点 在点 的左侧）．问：是否存在圆 ，使得过点 的任一条直线与该圆的交点 ， ，都有 ？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）在圆的方程中，令 ，可得关于 的一元二次方程的判别式等于零，由此求得 的值，从而求得所求圆 的方程； （2）先求出 ， ，假设存在圆 ，当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，代入 ，利用韦达定理，根据 、 的斜率之和等于零求得 的值，经过检验，当直线 与 轴垂直时，这个 值仍然满足 ，从而得出结论． 【解答】解：（1）因为由 ， 可得 ， 由题意得△ ， 所以 或 ， 故所求圆 的方程为 或 ． （2） 令 ，得 ， 即 ， 求得 ，或 ， 所以 ， ． 假设存在圆 ，当直线 与 轴不垂直时， 设直线 的方程为 ， 代入 得， ， 设 ， ， ， ，从而 ， ． 因为 、 的斜率之和为 ， 而 因为 ， 所以， 、 的斜率互为相反数，即 ， 所以 ，即 ． 当直线 与 轴垂直时，仍然满足 ，即 、 的斜率互为相反数． 综上，存在圆 ，使得 ． 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，需要联立方程组去求解，运算量较大，易出错． 6．（2023秋•武汉期中）已知圆 与 轴交于 ， 两点，圆 过 ， 两点，且直线 与圆 相切； （1）求圆 的方程； （2）若圆 上一动点 ，直线 与圆 的另一交点为 ，在平面内是否存在定点 使得 始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由． 【分析】（1）由 ，令 ，解得 或4．圆 过0， 两点，可设圆 的圆心 ．直线 的方程为： ．利用直线 与圆 相切的性质即可得出． （2）存在，且为 ．设直线 的方程为： ．代入圆 的方程可得： ．可得 的坐标．同理可得 的坐标．设 ，线段 的中点 ，利用 即可得出． 【解答】解：（1）由 ，令 ，解得 或4． 圆 过 ， 两点， 可设圆 的圆心 ． 直线 的方程为： ． 直线 与圆 相切， ，解得 ， 圆 的方程为： ，化为： ． （2）存在，且为 ． 设直线 的方程为： ． 代入圆 的方程可得： ． ， ． 代入圆 的方程可得： ． ， ． 设 ，线段 的中点 ． 则 ， 化为： ， 令 ，解得 ， ． 与 无关系． 在平面内是存在定点 使得 始终成立． 【点评】本题考查了圆的标准方程及其应用、直线与圆相交问题、垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7．（2023秋•天河区校级期中）已知圆 ，点 是直线 上的一动点，过点 作圆 的切线 、 ，切点为 、 ． （Ⅰ）当切线 的长度为 时，求点 的坐标； （Ⅱ）若 的外接圆为圆 ，试问：当 运动时，圆 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由； （Ⅲ）求线段 长度的最小值． 【分析】（Ⅰ）因为 是圆 的一条切线，所以 ，所以 ，即可点 的坐标； （Ⅱ）设 ，因为 ，所以经过 、 、 三点的圆 以 为直径，其方程为： ，即 ，即可得出结论； （Ⅲ）求出点 到直线 的距离，利用勾股定理，即可求线段 长度的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）由题可知，圆 的半径 ，设 ， 因为 是圆 的一条切线，所以 ， 所以 ，解得 所以 分 （Ⅱ）设 ，因为 ，所以经过 、 、 三点的圆 以 为直径， 其方程为： 即 由 ， 分 解得 或 ，所以圆过定点 分 （Ⅲ）因为圆 方程为 即 　　　　　　　　　　 ① 圆 ，即 ② ② ①得圆 方程与圆 相交弦 所在直线方程为： 分 点 到直线 的距离 分 相交弦长即： 当 时， 有最小值 分． 【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 8．（2023秋•大武口区校级期中）如图，已知一艘我海监船 上配有雷达，其监测范围是半径为 的圆形区域．一艘外籍轮船从位于海监船正东 的 处出发，径直驶向位于海监船正北 的 处岛屿，速度为 ．问：这艘外籍轮船能否被我海监船监测到？若能，持续时间多长？（要求用坐标法） 【分析】以 为原点，东西方向为 轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，即可得出结论． 【解答】解：如图，以 为原点，东西方向为 轴建立直角坐标系 （2分） 则 ， ，圆 方程 直线 方程： ，即 （6分） 设 到 距离为 ，则 所以外籍轮船能被海监船检测到 （8分） 设监测时间为 ，则 （11分） 答：外籍轮船能被海监船检测到，时间是0.5小时． （12分） 【点评】本题主要考查了根据实际问题选择函数类型．解题的关键是看圆与直线是否有交点． 9．（2023秋•启东市校级期中）已知点 是 上的任意一点，点 ，线段 的垂直平分线 和半径 相交于点 （1）当点 在圆上运动时，求点 的轨迹方程； （2）已知直线 与点 的轨迹交于点 ， ，且直线 的方程为 ，若 为坐标原点，求 面积的最大值． 【分析】（1）连结 ，由椭圆定义知点 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为 ，短轴长 的椭圆，由此能求出点 的轨迹方程． （Ⅱ）联立 ，整理，得 ，由此利用椭圆弦长公式、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出 面积的最大值． 【解答】解：（1）如图，如图，连结 ， 是线段 的垂直平分线， ， ， ， 由椭圆定义知点 的轨迹是以 ， 为焦点， 长轴长为 ，短轴长 的椭圆， 其方程为 ． （Ⅱ）联立 ，整理，得 ， 解得 ， ， ， ， 原点 到直线 的距离为 ， ， 当且仅当 ，即 时， 面积的最大值为 ． 【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用． 直线与圆的位置关系 1．（2023秋•未央区校级期中）已知一个动点 在圆 上移动，它与定点 所连线段的中点为 ． （1）求点 的轨迹方程． （2）过定点 的直线 与点 的轨迹交于不同的两点 ， ， ， 且满足 ，求直线 的方程． 【分析】（1）利用代入法求点 的轨迹方程． （2）当直线 的斜率不存在时，直线 ，满足条件，当直线 的斜率存在时，设直线 ，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，可求出满足条件的 值，进而得到直线 的方程，最后综合讨论结果，可得答案． 【解答】解：（1）设 ，动点 ， ， 由中点的坐标公式解得 ， ， 由 ，得 ， 点 的轨迹方程是 （4分） （2）当直线 的斜率不存在时，直线 ，与圆 交于 ， 此时 ，不合题意． （6分） 当直线 的斜率存在时，设直线 ，则 ， 消去 ，得 ， ， 由已知 ，经检验△ ． 综上：直线 为： ， ． （12分） 【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的标准方程，是直线与圆的综合应用，难度中档． 2．（2023秋•浠水县校级期中）已知两定点 ， ，动点 满足 ． （1）求动点 的方程； （2）如图，过点 且互相垂直的两条直线分别与圆 交于点 ， ，与圆 交于点 ， ， 的中点为 ，求 面积的取值范围． 【分析】（1）设 ，根据 ，结合两点间的距离公式求解即可； （2）当直线 的斜率不存在时，求得 的面积；当直线 的斜率存在时，分 和 两种情况，结合二次函数的性质，分别求得 的面积的取值范围即可． 【解答】解：（1）设动点 坐标为 ， 则 ，又 ， 所以 ，所以 ， 故动点 的方程为 ； （2）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ， 所以 ，直线 的方程为 ，点 的坐标为 ， 所以 的面积 ； 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， 当 时，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ， 直线 与圆 不相交，此时 不存在，舍去； 当 时，直线 ， 由 ，得 ，所以 ． 因为 ，所以 ． 因为 ， ，所以 ， 所以 点到直线 的距离即 点到直线 的距离 ， 所以 的面积 ， 令 ，则 ，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 综上， 面积的取值范围是 ． 【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，轨迹方程的求法，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题． 3．（2023秋•梁子湖区校级期中）如图，在平面直角坐标系中， 为直线 上一动点，圆 与 轴的交点分别为 ， 点，圆 与 轴的交点分别为 ， 点． （1）若 为等腰三角形，求 点坐标； （2）若直线 ， 分别交圆 于 ， 两点． ①求证：直线 过定点，并求出定点坐标； ②求四边形 面积的最大值． 【分析】（1）分 与 两种情况，借助两点间距离公式求解即可． （2）① 时，联立圆与直线方程，借助韦达定理及两点斜率公式求解，并验证 时满足； ②由 ，将 ， 代入计算即可． 【解答】解：（1）设 ，由题意得 ， ， ， 当 时，即 ， 解得 ，当 时， ， ， 三点共线，舍去，所以 ， 当 时， 即 ，解得 ，所以 ， 综上 或 ； （2）证明：①设 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线 （斜率存在）， 联立 ，消去 可得 ， 设 ， ， ， ， 则 ， ， 故 ， ， ， 或 （舍去）， 则直线 ， 直线 恒过定点 ， 当 时， 过定点 ，符合， 综上，直线 恒过定点 ； ②由①得 ， ， 则 ， ， 令 ， 则 ，当 时，取得最大值， 当直线 ，四边形 面积有最大值 ． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于难题． 4．（2023秋•天宁区校级期中）已知圆 ，点 ， ． （1）若圆 上存在点 满足 ，求半径 的取值范围； （2）对于线段 上的任意一点 ，若在圆 上都存在不同的两点 ， ，使得点 是线段 的中点，求 的取值范围． 【分析】（1）由题意得点 在以 为直径为圆上，求出该圆 的方程，且圆 与圆 有公共点，由此列出不等式求得 的取值范围． （2）求出直线方程，设 ， ， ，求得 坐标，由 ， 都在圆 上，得 ，该关于 ， 的方程组有解，即以 为圆心，为半径的圆与以 为圆心，为半径的圆有公共点，转化为 ，可得 对所有 成立．求出函数 在 ， 上的值域，可得 的范围． 【解答】解：（1）根据题意，点 ， ，若点 满足 ，即 ， 所以点 在以 为直径的圆上； 设 的中点为 ，则 的坐标为 ，且 ， 所以圆 的方程为 ； 又圆 ，圆心为 ，半径为 ， 且 ， 若圆 上存在点 ，满足 ，则圆 与圆 有公共点 ， 所以 ， 解可得： ，即 的取值范围为 ， ． （2）直线 的方程为 ，设 ， ， ， 点 是线段 的中点， ， ， 又 ， 都在圆 上， ， 即 ． 该关于 ， 的方程组有解，即以 为圆心， 为半径的圆 与以 为圆心， 为半径的圆有公共点， ， 又 为线段 上的任意一点， 对所有 成立． 而 在 ， 上的值域为 ， ， ． 又线段 与圆 无公共点， ，则 ， ． 故实数 的取值范围为 ， ． 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题． 5．（2023秋•西山区校级期中）已知圆 ，直线 过点 且与圆 交于点 ， ，线段 的中点为 ，过 的中点 且平行于 的直线交 于点 ，记 的轨迹为 ． （1）求 的方程； （2）坐标原点 关于 ， 的对称点分别为 ， ，点 ， 关于直线 的对称点分别为 ， ，过 的直线 与 交于点 ， ，直线 与 相交于点 ．求证：△ 的面积是定值． 【分析】（1）由几何性质知， 到 ， 两点的距离之和为定值，可得 的轨迹为椭圆； （2）设直线 ， ， ， ， ，表示出直线 ， 的方程并联立，求得 的横坐标为定值，因此△ 的面积是定值． 【解答】（1）解：易知 ， ． 因为 为 中点，所以 ， 此时 ， 又 ，所以 ， 因为 为 的中点，所以 ， 则 ， 所以动点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆（左、右顶点除外）． 设动点 的轨迹方程为： ，其中 ， 易得 ，解得 ，又 ， 所以 ， 则动点 的轨迹 的方程为： ； （2）证明：易知 ， ， ， ， 又直线 的斜率不为0， 不妨设直线 ， ， ， ， ，且 ， ， 联立 ，消去 并整理得 ，显然△ ， 由韦达定理得 ， ， 所以 ， 此时直线 的方程为： ， 直线 的方程为： ， 联立 ， 此时 ， 解得 ， 所以点 在直线 上，而点 到 的距离 ， 则△ 的面积是定值，且定值为 ． 【点评】本题考查轨迹方程的求法以及直线与椭圆的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属难题． 6．（2023秋•天河区校级期中）已知圆 ，直线 ． （1）当 为何值时，直线 与圆 相切； （2）当直线 与圆 相交于 ， 两点，且 时，求直线 的方程． 【分析】（1）若直线 与圆 相切，则有 ，即可求出 ； （2）过圆心 作 ，则根据题意和圆的性质， ，即可求直线 的方程． 【解答】解：将圆 的方程 配方得标准方程为 ，则此圆的圆心为 ，半径为2． （1）若直线 与圆 相切， 则有 ， ；（6分） （2）过圆心 作 ，则根据题意和圆的性质， ， 或7． 故所求直线方程为 或 ．（12分） 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 7．（2023秋•滨海新区校级期中）已知圆 及直线 ．直线 被圆 截得的弦长为 ． （1）求 的值； （2）求过点 并与圆 相切的切线方程． 【分析】（1）圆 的圆心为 ，半径 ，圆心 到直线 的距离 ，由直线 被圆 截得的弦长为 ，得 ，从而 ，由此能求出 ． （2）由切线过点 ，设所求切线方程为 ，由该直线与 相切，求出 ，由点 在圆 外，切线应有两条，斜率不存在时 是另一条切线．由此能求出所求切线方程． 【解答】解：（1） 圆 的圆心为 ，半径 ， 而圆心 到直线 的距离 ，依题 ， ，解得 或 ， ， 所求 ． （2） 切线过点 ，设所求切线方程为 ， 即 ， 该直线与 相切， ，解得 ， 又 ， 点 在圆 外，切线应有两条，斜率不存在时 是另一条切线． 所求切线方程为 或 ． 【点评】本题考查实数值的求法，考查切线方程的求法，考查圆、直线方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 8．（2023秋•京口区校级期中）已知圆 经过 ， 两点，且圆心 在直线 上． （1）求圆 的方程； （2）已知过点 的直线 与圆 相交截得的弦长为 ，求直线 的方程； （3）已知点 ，在平面内是否存在异于点 的定点 ，对于圆 上的任意动点 ，都有 为定值？若存在求出定点 的坐标，若不存在说明理由． 【分析】（1）用待定系数法设出圆 的一般方程，再根据已知条件列方程组可解得； （2）根据点到直线的距离以及勾股定理列式可得； （3）将 化成关于 的坐标的方程得： ，与 点位置无关，根据 ， 的系数为0，常数项为0，列方程组可解得． 【解答】解：（1）因为圆 经过 ， 两点，且圆心 在直线 上， 设圆 ， 所以 ， ， ， 所以 ， ． 所以圆 ． （2）当斜率不存在的时候， ，弦长为 ，满足题意； 当斜率存在的时候，设 ，即 ， ， ， 所以直线 的方程为： 或 ． （3）设 ， ， ，且 ． ， 因为 为定值，设 ， 化简得： ，与 点位置无关， 所以 ， 解得 或 ． 所以定点为 ． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属难题． 9．（2023秋•洛龙区校级期中）已知圆 关于直线 对称，且过点 和原点 ． （1）求圆 的方程； （2）相互垂直的两条直线 ， 都过点 ，若 ， 被圆 所截得弦长相等，求此时直线 的方程． 【分析】（1）设圆心坐标为 ，利用圆过点 和原点 ，求出 ，即可求圆 的方程； （2）利用圆的对称性，直接求出直线的斜率，写出直线方程即可． 【解答】解：（1）设圆心坐标为 ，则 ， ， ， 圆 的方程为 ； （2）设圆 的圆心为 ， 、 被圆 所截得弦长相等， 由圆的对称性可知，直线 的斜率 ， 直线 的方程为： 或 ． 【点评】本题考查圆的标准方程的求法、直线和圆位置关系的综合应用，属于中档题． 10．（2023秋•新城区校级期中）已知直线 与圆 交于 ， 两点． （1）求线段 的垂直平分线的方程； （2）若 ，求 的值； （3）在（2）的条件下，求过点 的圆 的切线方程． 【分析】（1）由题意，线段 的垂直平分线经过圆的圆心 ，斜率为 ，可得线段 的垂直平分线的方程． （2）利用 ，求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，从而可求 的值． （3）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意，线段 的垂直平分线经过圆的圆心 ，斜率为 ， 方程为 ，即 ； （2）圆 可化为 ， ， 圆心到直线的距离为 ， 圆心到直线的距离为 ， ， （3）由题意，知点 不在圆上． ①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为 ，即 ．由圆心到切线的距离等于半径，得 ， 解得 ，所以所求切线的方程为 ②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为 综上，所求切线的方程为 或 ． 【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，以及弦长公式的应用，属于中档题． 11．（2023秋•东莞市期中）已知圆心在原点的圆被直线 截得的弦长为 ． （1）求圆的方程； （2）设动直线 与圆 交于 ， 两点，问在 轴正半轴上是否存在定点 ，使得 与直线 关于 轴对称？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）圆心 到直线 的距离为 由圆的性质可得 ，即可； （2）设 ， ， ， ， ． 由 ，得 ， ， 若直线 与直线 关于 轴对称，则 即可求得 ． 【解答】解：（1）圆心 到直线 的距离为 由圆的性质可得 圆的方程为： ． （2）设 ， ， ， ， ． 由 ，得 ． ， 若直线 与直线 关于 轴对称，则 ， ． 在 轴正半轴上存在定点 ，使得 与直线 关于 轴对称． 【点评】本题考查了圆的方程，圆的弦长的计算，定点问题，属于中档题． 12．（2023秋•辽宁期中）已知圆方程 ． （1）若圆与直线 相交于 ， 两点，且 为坐标原点）求 的值； （2）在（1）的条件下，求以 为直径的圆的方程． 【分析】（1）将圆的方程与直线方程联立，设 ， ， ， ，利用 ，可得 ，利用韦达定理，即可求出 的值； （2）确定圆心坐标与半径，即可求以 为直径的圆的方程． 【解答】解：（1）由 得 ， 由 ，可得 （2分） 于是由题意 ， 把 代入 ，得 （3分） 设 ， ， ， ，则 ， （4分） ， （5分） ， ，满足题意 （8分） （2）设圆心为 ，则 ， ．（9分） 半径 （12分） 圆的方程 （13分） 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查圆的方程，正确运用韦达定理是关键． 13．（2023秋•仓山区校级期中）已知过点 且斜率为 的直线 与圆 交于点 、 两点． （1）求 的取值范围； （2）若 ，其中 为坐标原点，求 ． 【分析】（1）由题意可得，直线 的斜率存在，用点斜式求得直线 的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得 的值，可得满足条件的 的范围． （2）由题意可得，经过点 、 、 的直线方程为 ，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解． 【解答】（1）由题意可得，直线 的斜率存在， 设过点 的直线方程： ，即： ． 由已知可得圆 的圆心 的坐标 ，半径 ． 故由 ， 故当 ，过点 的直线与圆 相交于 ， 两点． （2）设 ， ； ， ， 由题意可得，经过点 、 、 的直线方程为 ，代入圆 的方程 ， 可得 ， ， ， ， 由 ，解得 ， 故直线 的方程为 ，即 ． 圆心 在直线 上， 长即为圆的直径． 所以 ． 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力． 14．（2023秋•北仑区校级期中）已知直线 过点 ，并且与直线 平行． （1）求直线 的方程； （2）若直线 与圆 相交于 ， 两点， 为原点，且 ，求实数 的值． 【分析】（1）先求与直线 平行的直线的斜率，再根据其过点 ，用点斜式求直线方程； （2）先将直线与圆的方程联立，得到 ，再由韦达定理分别求得 ，又因为 ，转化为 求解． 【解答】解：（1） 直线 的斜率 ， 所求直线斜率 ． 故过点 且与已知直线平行的直线为 ， 即 ． （2）设 、 的坐标分别为 ， 、 ， ， 由 可得： ，即 ， 所以 ． 由 得 代入 化简得： ， ， ． 解得： ． 【点评】本题考查直线的平行关系，直线的点斜式方程，考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，应用了韦达定理，体现了数形结合的思想，是常考题型，属中档题． 15．（2023春•宿松县校级期中）已知半径小于6的圆 过点 ，且圆 与两坐标轴均相切． （1）求圆 的标准方程； （2）若圆 与直线 交于 ， 两点，____，求 的值． 从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①： ；条件②： ． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 【分析】（1）设圆 ，由圆 过点 代入方程，再根据圆 与两坐标轴均相切得出 ， ，且 ，解出 ，即可得出圆 的方程； （2）选①：过点 作 于点 ，由 得出 ，则 ，得出圆心 到直线 的距离 ，由点到直线距离公式列出方程求解即可；选②：在 中，由余弦定理得出 ，则 ，过点 作 于点 ，得出 ，则圆心 到直线 的距离 ，由点到直线距离公式列出方程求解即可． 【解答】解：（1）设圆 ， 因为圆 过点 ， 所以 ， 又因为圆 两坐标轴均相切， 所以得 ， 且 ， 则 ，解得 或 ， 因为圆 的半径小于6， 所以 ，即 ， 所以 ． （2）如果选择条件①： 由 ， ，得 ， 过点 作 于点 ，则 ， 所以圆心 到直线 的距离 ， 则 ， 解得 ； 如果选择条件②： ， 在 中， ， 由余弦定理得 ， 所以 ， 过点 作 于点 ，则 ， 所以圆心 到直线 的距离 ， 则 ， 解得 ． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于难题． 16．（2023秋•周至县校级期中）已知圆 ，直线 ． （1）求证：直线 恒过定点； （2）判断直线 与圆 的位置关系； （3）当 时，求直线 被圆 截得的弦长． 【分析】（1）把直线 的方程化为 ，令 ，求出方程组的解即得； （2）根据圆 的圆心到定点 的距离 ，得出 点在圆 内，直线 与圆 相交； （3）求 时圆心 到直线 的距离，利用勾股定理求出直线 被圆 所截得的弦长即可． 【解答】解：（1）证明：直线 的方程可化为： ， 令 ，解得 ， 直线 恒过定点 ； （2）圆 的圆心 ，半径 ， 点 与圆心 的距离 ， 点在圆 内，即直线 与圆 相交； （3）当 时，直线 的方程为 ， 由圆心 到直线 的距离为 ， 半径 ， 直线 被圆 所截得的弦长为 ． 【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，以及直线恒过定点的问题，也考查了直线被圆所截得弦长的计算问题，是综合性题目． 圆与圆的位置关系及其判定 17．（2023秋•东湖区校级期中）已知圆 ，圆 ． （1）若圆 与圆 外切，求 的值； （2）若圆 与圆 有两个交点，求 的取值范围． 【分析】（1）根据两圆外切，可知圆心距等于 ，列方程即可求； （2）根据两圆有两个交点，可知圆心距属于区间 ，列式即可求． 【解答】解：（1）由题意圆心 ，半径为 ， 又圆 可化为 ，故圆心 ，半径为1， 因为圆 与圆 相外切，则点 与 之间的距离等于 ， 即 ，所以 ． （2）若圆 与圆 有两个公共点， 则点 与 之间的距离属于区间 ， 即 ， 解得 ， 所以 的取值范围为 ． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，属于中档题． 18．（2023秋•明光市校级期中）已知圆 ，圆 ． （1）讨论圆 与圆 的位置关系； （2）当 时，求圆 与圆 的公切线的方程． 【分析】（1）两圆心的距离与半径比较，即得出结论； （2）圆 ，圆 的公切线的方程为 ，利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求解即可． 【解答】解：（1） ，两圆的半径分别为 和4， ①当 ，即 或 时，圆 与圆 内含； ②当 ，即 或 时，圆 与圆 内切； ③当 ，即 时，圆 与圆 相交； ④当 时， ，即圆 与圆 不可能外切也不可能外离． （2）当 时，由（1）得 与圆 相交， 设圆 ，圆 的公切线的方程为 ， 则 ， ， 所以 ， 所以 或 ，代入 ， 得 ， 所以公切线的方程为 或 ． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查圆的公切线方程，是中档题． 19．（2023秋•大同期中）已知 ， ． （1）当 时， 与 相交于 ， 两点，求直线 的方程； （2）若 与 相切，求 的值． 【分析】（1）两圆相交，两个方程作差即为交点弦所在直线方程； （2）两圆相切，分内切与外切分别讨论求参数 的值． 【解答】解：（1）当 时， ， 则用 与 ， 作差得： ， 化简得 ， 即直线 的方程为 ； （2） ， ， ， ， 半径 ， 半径 ， 当两圆外切时， ， 解得 ， 当两圆内切时， ， 解得 ． 【点评】本题考查圆的方程的应用，属于中档题． 20．（2023秋•金东区校级期中）已知动圆 （Ⅰ）当 时，求经过原点且与圆 相切的直线 的方程； （Ⅱ）若圆 与圆 内切，求实数 的值． 【分析】（Ⅰ）当 时，求出圆的圆心与半径，通过切线的斜率是否存在，分别求经过原点且与圆 相切的直线 的方程； （Ⅱ）求出圆 与圆 的圆心与半径，利用内切（圆心距等于半径差），求实数 的值． 【解答】解：（Ⅰ） 当直线 的斜率不存在时， 方程为 ，（3分） 当直线 的斜率存在时，设 方程为 ， 由题意得 ， 方程为 （6分） 综上直线 方程为 或 ． （Ⅱ）圆 的圆心 ，半径为 ， 圆 的圆心 ，半径为4， 由题意得 ，（9分） 两边平方解得 （12分） 【点评】本题考查直线与的位置关系，圆的切线方程的求法，两个圆的位置关系的应用，考查计算能力． 21．（2023秋•乐安县校级期中）已知两圆 和 ． （1）分析两圆位置关系并确定公切线数量； （2）求公切线所在直线方程． 【分析】（1）求出两圆的圆心和半径，求出圆心距，即可得到结论； （2）根据两圆的位置关系，两圆方程作差即可求得结论． 【解答】解：（1）因为圆 ，圆心 ，半径 ， 圆 ，圆心 ，半径 ， ， 所以两圆内切，只有一条公切线． （2）由（1）知 与 内切， 两圆方程相减得： ， 化简即为： ， 所以两圆公切线直线方程： ． 【点评】本题主要考查两圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 22．（2023秋•天河区校级期中）已知圆 和 ． （1）求圆 和圆 的公共弦所在直线的方程和公共弦长； （2）求过点 且与圆 相切的直线方程． 【分析】（1）将两圆作差可得公共弦方程，再利用垂径定理即可求解公共弦长； （2）当直线斜率不存在时符合题意，当直线斜率存在时，设其方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解． 【解答】解：（1）由题意可知：将两圆方程相减可得： ， 也即 ，故圆 和圆 的公共弦所在直线的方程为 ， 圆 可化为 ， 圆心坐标 ，半径 ， 由点到直线的距离公式可得： 到公共弦的距离 ， 由垂径定理可知：公共弦长 ， （2）由（1）知：圆 ， 圆心坐标 ，半径 ， 过点 作圆 的切线方程，当切线斜率不存在时，切线方程为 ； 当切线斜率存在时，设切线方程为 ，也即 ， 由点到直线的距离公式可得： ， 解得： ，所以此时切线方程为： ， 综上：过点 且与圆 相切的直线方程为 或 ． 【点评】本题主要考查两圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 23．（2023秋•周至县校级期中）已知圆 和圆 ． （1）判断圆 和圆 的位置关系； （2）过圆 的圆心 作圆 的切线 ，求切线 的方程；（结果必须写成一般式）． 【分析】（1）求出两圆的半径和圆心距，由此能判断两圆的位置关系； （2）设切线 的方程为： ，由圆心 到直线 的距离等于半径，能求出切线 的方程． 【解答】解：（1）因为圆 的圆心 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径 ， 所以圆 和圆 的圆心距 ， 所以圆 与圆 相离． （3分） （2）设切线 的方程为： ，即 ， 所以 到 的距离 ，解得 ． 所以切线 的方程为 ． 【点评】本题考查两圆位置关系的判断，考查圆的切线方程的求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用． 24．（2023秋•新吴区校级期中）圆 的方程为 ，圆 的圆心 ． （1）若圆 与圆 外切，求圆 的方程； （2）若圆 与圆 交于 、 两点，且 ．求圆 的方程． 【分析】（1）通过圆心距对于半径和，求出圆的半径，即可求出圆的方程． （2）利用圆心距与两圆的位置关系求出，圆到直线的距离，然后求出所求圆的半径，即可求出圆的方程． 【解答】解：（1）圆 的方程为 ，圆心坐标 ，半径为：2， 圆 的圆心 ． 圆心距为： ，圆 与圆 外切， 所求圆的半径为： ， 圆 的方程 ， （2）圆 与圆 交于 、 两点，且 ． 所以圆 到 的距离为： ， 当圆 到 的距离为： ， 圆 的半径为： ． 圆 的方程： ． 当圆 到 的距离为： ， 圆 的半径为： ． 圆 的方程： ． 综上：圆 的方程： 或 ． 【点评】本题考查两个圆的位置关系，圆的方程的求法，考查计算能力． 25．（2023秋•鲤城区校级期中）已知圆 和圆 相交于 ， 两点． （1）求公共弦 的垂直平分线方程． （2）求 的面积． 【分析】（1）线段 的垂直平分线恰为直线 ，利用点斜式即可写出其方程． （2）先求公共弦 所在的直线方程，再求出 到直线 的距离，即可求公共弦 的长，结合三角形的面积公式解答． 【解答】解：（1）由题可知：公共弦 的垂直平分线为直线 ， ， ， 所求直线 的方程为： ； （2）又两圆方程相减得 ，即 ，此即为直线 的方程， 到直线 的距离 ，即 ， 又圆 的半径 ， ， ． 即： ． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ _1234568$$