专题01 集合与常用逻辑用语（5基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019，北京专用）

专题01 集合与常用逻辑用语 集合的含义与表示 1．（23-24高一上·北京市东城区中央工艺美术学院附属中学·校考期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京市第一六六中学·校考期中）已知集合，若，则（    ）． A．1或 B．1 C． D．或0 3．（23-24高一上·北京丰台·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京市第五十中学·校考期中）已知集合，,则 （用列举法表示）. 5．（23-24高一上·北京市第十四中学·校考期中）方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·北京市第一六一中学·校考期中）方程组的解集为 . 集合间的基本关系 1．（23-24高一上·北京市第十五中学·校考期中）设集合，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京十二中·校考期中）若集合，下列关系式中成立的为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京市第二十二中学·校考期中）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京市第一六一中学·校考期中）已知集合，，.则的子集共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24高一上·北京市第二中学·校考期中）设，，若，则实数的值可以为 ． （将你认为正确的序号都填上，若填写有一个错误选项，此题得零分）   ①    ②    ③    ④ 集合的基本运算 一、交集运算 1．（23-24高一上·北京市第九十六中学·校考期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京市人大附中·校考期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京市西城区北京师范大学附属实验中学·校考期中）已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京市房山区房山中学·校考期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·北京市汇文中学教育集团·校考期中）已知集合，，若满足，则实数a的值为 ． 二、并集运算 6．（23-24高一上·北京市第二十七中学·校考期中）已知集合，，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·北京市人大附中石景山学校·校考期中）已知集合，，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·北京市育英学校·校考期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·北京市第十九中学·校考期中）已知全集是自然数集，集合，.则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 三、补集运算 10．（23-24高一上·北京延庆·期中）已知全集，集合，则（    ） A．5 B． C． D． 11．（23-24高一上·北京市顺义牛栏山第一中学·校考期中）已知全集，集合，则 ． 四、交并补混合运算 12．（23-24高一上·北京市第二十二中学·校考期中）若全集，，，则（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·北京四中·校考期中）如图中的阴影部分可以表示为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·北京市第二十七中学·校考期中）已知：设，，，求： (1) ；(2) ；(3) 15．（23-24高一上·北京市顺义区杨镇第一中学·校考期中）已知，，求： (1)； (2)． 16．（23-24高一上·北京市东城区中央工艺美术学院附属中学·校考期中）设全集为R，集合，. (1)若a=3，求，； (2)若，求a的集合. 17．（23-24高一上·北京市朝阳区北京工业大学附属中学·校考期中）设全集，，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 充分条件与必要条件 1．（23-24高一上·北京市第十五中学·校考期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·北京市第五十四中学·校考期中）“” 是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（23-24高一上·北京市昌平区第二中学·校考期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一上·北京市顺义牛栏山第一中学·校考期中）写出成立的一个充分不必要条件 ． 5．（23-24高一上·北京大学附属中学石景山学校·校考期中）已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 全称量词与存在量词 1．（23-24高一上·北京市第二十五中学·校考期中）下列命题是假命题是（    ） A．， B．，使得成立 C．， D．所有的菱形都是平行四边形 2．（23-24高一上·北京外国语大学附属中学·校考期中）命题：的否定是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京市第五十五中学·校考期中）设非空集合P，Q满足，则表述正确的是（    ） A．，有 B．，有 C．，使得 D．，使得 4．（23-24高一上·北京市大兴区·期中）对于命题p：，则命题p的否定为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·北京市第十三中学·校考期中）已知命题“，使得”是假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·北京市顺义区第一中学·校考期中）已知函数，“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·北京市第二十七中学·校考期中）命题：“”的否定是 ． 8．（23-24高一上·北京通州·期中）能说明“”为假命题的一个实数的值为 . 容斥定理的应用 1．（23-24高一上·北京四中·校期中）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》被称为中国古典小说四大名著．学校读书社共有100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，则这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为（    ） A．80 B．70 C．60 D．50 2．（23-24高一上·北京市第一六一中学·校考期中）某班共42人，其中20人喜爱篮球运动，25人喜爱乒乓球运动，12人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 . 3．（23-24高一上·北京市陈经纶中学·校考期中）国庆期间，高一年级要求学生从三部影片《1921》《长津湖》《革命者》中至少观看一部.其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则 ， . 集合新定义 1．（23-24高一上·北京市第十九中学·校考期中）已知两个数集和，定义，.则下列命题正确的个数是（    ） ①任意A，，都有成立； ②任意A，，都有成立； ③存在A，，使成立； ④存在A，，使成立. A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一上·北京丰台·期中）定义集合的新运算如下：，若集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京丰台·期中）设集合A的最大元素为，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 4．（23-24高一上·北京市育英学校·校考期中）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合， ①； ②； ③“”是“”的必要不充分条件； ④若，则 其中所有正确结论的序号是 ． 4．（23-24高一上·北京市顺义牛栏山第一中学·校考期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 5．（23-24高一上·北京市第一六一中学·校考期中）已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） (2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 根据集合的关系求参数范围 1．（23-24高一上·北京市和平街第一中学·校考期中）设集合，不等式的解集为B. (1)当时，求，，； (2)当时，求实数a的取值范围. 2．（23-24高一上·北京市清华大学附属中学昌平学校·校考期中）集合 (1)当时，求： (2)若，求实数的取值范围； 3．（23-24高一上·北京市第十四中学·校考期中）设全集，集合，集合，其中． (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围． 4．（23-24高一上·北京市第二十五中学·期中）已知集合，． (1)若，求； (2)①若，②若，求的取值范围． 注：从条件①，条件②中选择一个作为第二问的条件作答，如果选择了两个条件分别作答，按照第一个解答计分． 5．（23-24高一上·北京市第二十七中学·校考期中）已知集合 ，集合 ． (1)当 时，求 ，， ; (2)若 ，求实数 的取值范围； 6．（23-24高一上·北京市西城区北京师范大学附属实验中学·校考期中）已知集合，. (1)若，求； (2)请在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得至少存在一个实数a满足该条件，并求出a的范围. ①；②；③. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语 集合的含义与表示 1．（23-24高一上·北京市东城区中央工艺美术学院附属中学·校考期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系以及空集的定义逐一判断. 【详解】选项，不是的元素，即不成立，则错误； 选项，中没有任何元素，即，则错误； 选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误； 选项，元素为集合中的元素，即，则正确； 故选：D. 2．（23-24高一上·北京市第一六六中学·校考期中）已知集合，若，则（    ）． A．1或 B．1 C． D．或0 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，结合元素的互异性，即可求解. 【详解】由于，若，则，不合题意； 所以，解得， 故选：C 3．（23-24高一上·北京丰台·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系即可求解. 【详解】因为，所以，而是集合，与的关系不应该是属于关系，而应该是包含关系. 故选:A 4．（23-24高一上·北京市第五十中学·校考期中）已知集合，,则 （用列举法表示）. 【答案】 【分析】根据集合的元素特征直接列举出即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 5．（23-24高一上·北京市第十四中学·校考期中）方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接求出方程组的解，再用列举法表示即可. 【详解】由，消去得，解得，所以方程组的解为或， 所以方程组的解集. 故选：C 6．（23-24高一上·北京市第一六一中学·校考期中）方程组的解集为 . 【答案】 【分析】根据题意解方程组即可得到答案. 【详解】将代入，得，得或， 方程组的解为和， 所以方程组的解集为. 故答案为： 集合间的基本关系 1．（23-24高一上·北京市第十五中学·校考期中）设集合，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由子集的定义判断. 【详解】集合，，M中的所有元素都是N中的元素，可得. 故选：D 2．（23-24高一上·北京十二中·校考期中）若集合，下列关系式中成立的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】显然，A错误；，B错误，D正确；，C错误. 故选：D 3．（23-24高一上·北京市第二十二中学·校考期中）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据常用数集以及元素与集合的关系即可求解. 【详解】,,,, 故选：D 4．（23-24高一上·北京市第一六一中学·校考期中）已知集合，，.则的子集共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据题意表示集合，然后写出其所有子集即可得到答案. 【详解】因为集合，， 所以， 所以集合的子集为，共四个. 故选：D 5．（23-24高一上·北京市第二中学·校考期中）设，，若，则实数的值可以为 ． （将你认为正确的序号都填上，若填写有一个错误选项，此题得零分）   ①    ②    ③    ④ 【答案】①②④ 【分析】根据交集的定义以及集合的包含关系求得结果. 【详解】集合，由可得， 则分和或或， 当时，满足即可； 当时，满足，解得：； 当时，满足，解得：； 当时，显然不符合条件， 所以的值可以为. 故答案为：①②④. 集合的基本运算 一、交集运算 1．（23-24高一上·北京市第九十六中学·校考期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用交集运算直接求解. 【详解】集合，，故. 故选：C. 2．（23-24高一上·北京市人大附中·校考期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据求解即可. 【详解】因为，，所以. 故选：C 3．（23-24高一上·北京市西城区北京师范大学附属实验中学·校考期中）已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的运算求解. 【详解】因为表示所有奇数组成的集合， 所以， 故选:C. 4．（23-24高一上·北京市房山区房山中学·校考期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解集合，根据交集的定义即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 5．（23-24高一上·北京市汇文中学教育集团·校考期中）已知集合，，若满足，则实数a的值为 ． 【答案】－3 【分析】根据交集定义，若，则且，从而讨论集合的情况，确定实数a的值. 【详解】由题意可得，且， 当时，解得， 此时，，，不符合题意，舍去； 当时，解得， 当时，，，中元素不满足互异性，不符合题意，舍去， 当时，，，，符合题意， 综上所述，， 故答案为：－3. 二、并集运算 6．（23-24高一上·北京市第二十七中学·校考期中）已知集合，，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 7．（23-24高一上·北京市人大附中石景山学校·校考期中）已知集合，，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，再根据并集合的运算求出两个集合的并集. 【详解】，所以， 故选：C 8．（23-24高一上·北京市育英学校·校考期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对集合化简，然后利用并集运算，求出即可. 【详解】， 又因为， 所以， 故选：D. 9．（23-24高一上·北京市第十九中学·校考期中）已知全集是自然数集，集合，.则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图以及集合补集和交集的知识求得正确答案. 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为, 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：C 三、补集运算 10．（23-24高一上·北京延庆·期中）已知全集，集合，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集运算即可. 【详解】因为全集，集合， 所以， 故选：B 11．（23-24高一上·北京市顺义牛栏山第一中学·校考期中）已知全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】利用补集的定义直接求解. 【详解】全集，集合，则. 故答案为：. 四、交并补混合运算 12．（23-24高一上·北京市第二十二中学·校考期中）若全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用并集、补集的定义求解判断即得. 【详解】由，，得，而全集， 所以. 故选：D 13．（23-24高一上·北京四中·校考期中）如图中的阴影部分可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由韦恩图写出对应的集合即可. 【详解】根据图中阴影可知，阴影部分的元素是由集合C中的元素和同时在两个集合中的元素组成的， 故表示的集合为. 故选：A 14．（23-24高一上·北京市第二十七中学·校考期中）已知：设，，，求： (1) ；(2) ；(3) 【答案】(1) (2) 3) 【分析】（1）由交集的定义求解 （2）由补集的定义求解 ； （3）由补集和并集的定义求解. 【详解】（1），，， 则有 ； （2）； （3），. 15．（23-24高一上·北京市顺义区杨镇第一中学·校考期中）已知，，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知先化简求出集合,然后根据集合间的交集运算性质即可求解. （2）由已知先化简求出集合,然后根据集合间的并集运算性质即可求解. 【详解】（1）由已知可得集合, 而 所以. （2）由（1）可知，， 所以. 16．（23-24高一上·北京市东城区中央工艺美术学院附属中学·校考期中）设全集为R，集合，. (1)若a=3，求，； (2)若，求a的集合. 【答案】(1)， (2). 【详解】（1）因为全集为R，，所以或. 当时，集合. 所以，或； （2）若，则所以. 所以的集合为. 17．（23-24高一上·北京市朝阳区北京工业大学附属中学·校考期中）设全集，，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或． (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式化简集合，即可由补集运算求解， （2）根据交集为空集，即可分类求解. 【详解】（1）全集, ，或． （2）∵， 当时，，解得． 当时，或，解得或， 综上，实数a的取值范围是． 充分条件与必要条件 1．（23-24高一上·北京市第十五中学·校考期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由不等式的性质得出的充要条件，结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（23-24高一上·北京市第五十四中学·校考期中）“” 是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】取特殊值，利用充分和必要条件的性质判断即可. 【详解】当时，满足，但不满足，故充分性不成立； 当时，满足，但不满足，故必要性不成立； 所以“” 是的既不充分又不必要条件， 故选：D. 3．（23-24高一上·北京市昌平区第二中学·校考期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义分别判断即可． 【详解】解：时，由，解得：， 时，解得：，不是必要条件， 反之也推不出，比如，不是充分条件， 故“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 4．（23-24高一上·北京市顺义牛栏山第一中学·校考期中）写出成立的一个充分不必要条件 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】解不等式，结合集合的包含关系可得出结果. 【详解】解不等式可得或， 因为或，故成立的一个充分不必要条件为. 故答案为：（答案不唯一）. 5．（23-24高一上·北京大学附属中学石景山学校·校考期中）已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解. 【详解】因为q的一个充分不必要条件是p， 所以是的一个真子集， 则，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 全称量词与存在量词 1．（23-24高一上·北京市第二十五中学·校考期中）下列命题是假命题是（    ） A．， B．，使得成立 C．， D．所有的菱形都是平行四边形 【答案】C 【分析】直接判定全称命题和特称命题的真假即可. 【详解】对于A，显然，使成立，故A为真命题； 对于B，显然，使得成立，故B为真命题； 对于C，显然时，，故C为假命题； 对于D，显然所有菱形均是平行四边形，故D为真命题. 故选：C 2．（23-24高一上·北京外国语大学附属中学·校考期中）命题：的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的否定是存在题词命题，再直接写出命题的否定. 【详解】命题：是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题：的否定是：， 故选：C 3．（23-24高一上·北京市第五十五中学·校考期中）设非空集合P，Q满足，则表述正确的是（    ） A．，有 B．，有 C．，使得 D．，使得 【答案】B 【分析】根据子集的定义即可求解. 【详解】因为P⊆Q，则由子集的定义知集合P中的任何一个元素都在Q中， 而Q中元素不一定在P中(集合相等或不相等两种情况)，故B正确，ACD错误． 故选：B 4．（23-24高一上·北京市大兴区·期中）对于命题p：，则命题p的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知： 命题p：的否定为. 故选：D 5．（23-24高一上·北京市第十三中学·校考期中）已知命题“，使得”是假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设，使得为真，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求参数范围，注意讨论的情况. 【详解】由题设，，使得为真， 所以. 又时恒成立， 综上，. 故选：D 6．（23-24高一上·北京市顺义区第一中学·校考期中）已知函数，“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由“”为假命题，得到“”为真命题，利用判别式法求解. 【详解】因为“”为假命题， 所以“”为真命题， 当时，成立； 当时，，解得， 综上：， 所以实数的取值范围是.故选：A. 7．（23-24高一上·北京市第二十七中学·校考期中）命题：“”的否定是 ． 【答案】 【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题，写出命题的否定. 【详解】命题：“”的否定是“”. 故答案为： 8．（23-24高一上·北京通州·期中）能说明“”为假命题的一个实数的值为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】取得到，恒成立，得到答案. 【详解】取，则，恒成立，故“”为假命题. 故答案为： 容斥定理的应用 1．（23-24高一上·北京四中·校期中）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》被称为中国古典小说四大名著．学校读书社共有100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，则这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为（    ） A．80 B．70 C．60 D．50 【答案】B 【分析】利用韦恩图分析出只阅读过西游记的人数为10，从而求出答案. 【详解】如图所示， 因为阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60， 所以只阅读过红楼梦的人数为20， 又其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90， 故只阅读过西游记的人数为10， 所以这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为. 故选：B 2．（23-24高一上·北京市第一六一中学·校考期中）某班共42人，其中20人喜爱篮球运动，25人喜爱乒乓球运动，12人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 . 【答案】5 【分析】根据集合的韦恩图即可求解. 【详解】设集合表示：喜爱篮球运动的学生，集合表示：喜爱乒乓球运动的学生，整个班级学生为集合, 则由题可知，的元素个数为20，的元素个数为25， 则的元素个数为12，所以的元素个数为， 所以的元素个数为， 所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为人， 故答案为:5. 3．（23-24高一上·北京市陈经纶中学·校考期中）国庆期间，高一年级要求学生从三部影片《1921》《长津湖》《革命者》中至少观看一部.其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则 ， . 【答案】 27 9 【分析】根据题意得到方程组，三式相加求出，进而求出. 【详解】由题意得，即， 三式相加得，，解得， 故. 故答案为：27，9 集合新定义 1．（23-24高一上·北京市第十九中学·校考期中）已知两个数集和，定义，.则下列命题正确的个数是（    ） ①任意A，，都有成立； ②任意A，，都有成立； ③存在A，，使成立； ④存在A，，使成立. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用题给定义得到与的关系判断①；利用题给定义得到与的关系判断②；举例验证③④的正确性. 【详解】或 或， 则成立.故①判断正确； 或， 或， 则不成立.故②判断错误； 令，则，故③判断正确； 令，则，故④判断正确. 故选：D 2．（23-24高一上·北京丰台·期中）定义集合的新运算如下：，若集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出，，，即可求出的值. 【详解】由题意， ，，， ∴，， ，， 故选：B. 3．（23-24高一上·北京丰台·期中）设集合A的最大元素为，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】根据题意保证各集合中尽量小，结合已知和集合的性质有最大时，进而分析的取值即可. 【详解】由题意，，，，中都至少有一个元素，且元素个数互不相同， 要使最大，则各集合中尽量小， 所以集合，，，，中的元素个数尽量少且数值尽可能连续， 所以，不妨设，，，，， 则有， 当时，， 当时，， 所以只需在时，在上述特征值取最小的情况下，使其中一个集合的特征值增加7即可， 故的最大值为11. 故选：B. 4．（23-24高一上·北京市育英学校·校考期中）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合， ①； ②； ③“”是“”的必要不充分条件； ④若，则 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】根据新定义结合一元二次方程逐个判定对错即可. 【详解】对于①：当时，①正确； 对于②：当时，此时，②错误； 对于③：当时，所以，，所以，所以； 当时，因为，所以或， 若，满足，解得； 若，因为方程的两个根和都不是方程的根， 所以需满足，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件，③错误； 对于④：因为，要使得时，所以或， 由③可知：或， 所以，所以，④正确， 故答案为：①④ 4．（23-24高一上·北京市顺义牛栏山第一中学·校考期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】(1)，集合A是的恰当子集； (2)，或，.(3)10 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【详解】（1）若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； （2）是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. （3）若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 5．（23-24高一上·北京市第一六一中学·校考期中）已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） (2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 【答案】(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集” (2)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义判断即可. （2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可； 【详解】（1）因为， 对于集合，令，解得，显然，， 所以是集合的“期待子集”； 对于集合，令，则， 因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集” （2）先证明必要性： 当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得， 不妨设，令，，，则，即条件中的①成立； 又，所以，即条件中的②成立； 因为， 所以为偶数，即条件中的③成立； 所以集合满足条件. 再证明充分性： 当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数， 记，，， 由③得，由①得，由②得， 所以， 因为，，，所以，，均属于， 即集合是集合的“期待子集” 根据集合的关系求参数范围 1．（23-24高一上·北京市和平街第一中学·校考期中）设集合，不等式的解集为B. (1)当时，求，，； (2)当时，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，，或 (2)或 【分析】（1）根据条件，先求出集合，再借助数轴即可求出结果； （2）根据，分和两种情况讨论，即可得出结果. 【详解】（1）由，得到，即， 当时，， 由图知，，，或. （2）因为，当，即，得到，满足题意， ，即，由，得到，得到， 综上，实数a的取值范围为或. 2．（23-24高一上·北京市清华大学附属中学昌平学校·校考期中）集合 (1)当时，求： (2)若，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集运算求解； （2）由题意可得，分和两种情况，结合包含关系运算求解. 【详解】（1）若，则， 所以. （2）若，则， 当，则，解得，符合题意； 当，则，解得； 综上所述：实数的取值范围. 3．（23-24高一上·北京市第十四中学·校考期中）设全集，集合，集合，其中． (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）解一元二次不等式求出集合，解绝对值不等式求出集合，再根据集合的运算法则计算可得； （2）由，可得或，解得即可. 【详解】（1）由，即，解得或， 所以或，则， 由，即，解得， 所以， 当时，， 所以，. （2）因为且， 所以或， 解得或， 即的取值范围为或. 4．（23-24高一上·北京市第二十五中学·期中）已知集合，． (1)若，求； (2)①若，②若，求的取值范围． 注：从条件①，条件②中选择一个作为第二问的条件作答，如果选择了两个条件分别作答，按照第一个解答计分． 【答案】(1) (2)条件选择见解析， 【分析】（1）当时，写出集合，求出集合，利用交集和补集的定义可求得集合； （2）选①或选②，可得出，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）解：当时，， 又因为或，则， 此时，. （2）解：若选①，因为，则，所以，，解得； 若选②，因为，则，所以，，解得. 5．（23-24高一上·北京市第二十七中学·校考期中）已知集合 ，集合 ． (1)当 时，求 ，， ; (2)若 ，求实数 的取值范围； 【答案】(1)，， 或 (2) 【分析】（1）由交集并集补集的定义求解； （2）由集合的包含关系求参数的取值范围. 【详解】（1）当 时，， 则 ，， 或； （2）由 知 解得 ， 即实数 的取值范围为 ． 6．（23-24高一上·北京市西城区北京师范大学附属实验中学·校考期中）已知集合，. (1)若，求； (2)请在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得至少存在一个实数a满足该条件，并求出a的范围. ①；②；③. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求出集合，再由并集的定义求解； （2）由分析知，只可选择①或③，可得，分类讨论，和，求解即可. 【详解】（1）由可得：，解得：， 所以，当时，， 因此， （2）选择条件①: 由条件可得 当时，，满足题意； 当时，， 所以，，即，所以， 当时，， 所以，，即，所以， 综上所述，a的取值范围是. 选择条件③: 由条件可得 当时，，满足题意； 当时，， 所以，，即，所以， 当时，， 所以，，即，所以， 综上所述，a的取值范围是. 补充：下面说明条件②不成立： 选择条件②，由可得：， 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，不满足； 故不能选择条件②. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！27 学科网（北京）股份有限公司 $$