精品解析：福建省福州市福清市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

福建省福州市福清市2024届九年级数学第一学期期末检测模拟试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每题4分，共48分） 1. 在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点A关于y轴的对称点B在双曲线上，则的值为 A. B. C. D. 2. 要使方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A. B. C. 且 D. 且且 3. 将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移一个单位，向上平移2个单位得到抛物线　　 A. B. C. D. 5. 下列方程式属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的边上一点，已知，．，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 平面直角坐标系内一点P（2，-3）关于原点对称点的坐标是（ ） A. （3，-2） B. （2，3） C. （-2，3） D. （2，-3） 8. 如图是二次函数图象，使成立的 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 10. 某学习小组在研究函数y＝x3﹣2x的图象与性质时，列表、描点画出了图象．结合图象，可以“看出”x3﹣2x＝2实数根的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于（ ） A. B. C. D. 12. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 如图，点的坐标分别为，若将线段平移至，则的值为_____． 14. 因式分解：______． 15. x台拖拉机，每天工作x小时，x天耕地x亩，则y台拖拉机，每天工作y小时，y天耕____亩． 16. 如图，为正五边形的一条对角线，则__________． 17. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为__． 18. 如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（2，4），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在反比例函数y＝的图象上，则k的值为_____． 三、解答题（共78分） 19. 某食品代理商向超市供货，原定供货价为元/件，超市售价为元/件.为打开市场超市决定在第一季度对产品打八折促销，第二季度再回升个百分点，为保证超市利润，代理商承诺在供货价基础上向超市返点试问平均每季度返多少个百分点，半年后超市的销售利润回到开始供货时的水平? 20. 如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PF=3PE，求证：PE⊥PF； （3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由． 21. 已知关于x的一元二次方程x2-2x+a=0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2>0，求a的取值范围． 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE＝105°． （1）求∠CAD的度数； （2）若⊙O的半径为4，求弧BC的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． （1）求直线AB的解析式； （2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求的面积； （3）设直线CD解析式为，根据图象直接写出不等式的解集． 24. 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准： 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ 25. 如图，在平行四边形中，． （1）求与周长之比； （2）若求． 26. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA的延长线与OC的延长线于点E，F，连接BF. （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）已知圆的半径为1，求EF的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省福州市福清市2024届九年级数学第一学期期末检测模拟试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每题4分，共48分） 1. 在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点A关于y轴的对称点B在双曲线上，则的值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点A（a，b）在双曲线上，可得ab=-2，由点A与点B关于y轴的对称，可得到点B的坐标，进而求出k，然后得出答案． 【详解】解：∵点A（a，b）在双曲线上， ∴ab=-2； 又∵点A与点B关于y轴对称， ∴B（-a，b） ∵点B在双曲线上， ∴k=-ab=2； ∴=2-2=0 故选：B 【点睛】本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于y轴对称的点的坐标的特征． 2. 要使方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A. B. C. 且 D. 且且 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项的系数不为0，即可求解． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 3. 将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图像左加右减，上加下减的平移规律即可确定答案． 【详解】解：抛物线y=-3x2向右平移1个单位的解析式为：y=-3（x-1）2； 再向下平移2个单位，得：y=-3（x-1）2-2. 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解答本题的关键． 4. 将抛物线向右平移一个单位，向上平移2个单位得到抛物线　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移一个单位所得直线解析式为：； 再向上平移2个单位为：，即． 故选B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 5. 下列方程式属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可. 【详解】A、是一元三次方程，故不符合题意； B、是分式方程，故不符合题意； C、是二元二次方程，故不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握定义是关键. 6. 如图，是的边上一点，已知，．，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键，证明，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴的面积的面积为， ∴的面积的面积， ∵的面积为， ∴的面积为， 故选． 7. 平面直角坐标系内一点P（2，-3）关于原点对称点的坐标是（ ） A. （3，-2） B. （2，3） C. （-2，3） D. （2，-3） 【答案】C 【解析】 【详解】略 8. 如图是二次函数的图象，使成立的 的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先找出抛物线与x轴的交点坐标，根据图象即可解决问题． 【详解】解：由图象可知，抛物线与x轴的交点坐标分别为（-3，0）和（1，0）， ∴时，x的取值范围为． 故选：A． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，对称轴等知识，解题的关键是学会数形结合,根据图象确定自变量的取值范围，属于中考常考题型． 9. 如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质和正方形的性质可得∠FOC＝40°，AO＝OD＝OC＝OF，∠AOC＝90°，再根据等腰三角形的性质可求∠OFA的度数． 【详解】∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF， ∴∠FOC＝40°，AO＝OD＝OC＝OF，∠AOC＝90° ∴∠AOF＝130°，且AO＝OF， ∴∠OFA＝25° 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键． 10. 某学习小组在研究函数y＝x3﹣2x的图象与性质时，列表、描点画出了图象．结合图象，可以“看出”x3﹣2x＝2实数根的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线y=2与yx3﹣2x的交点个数可判断x3﹣2x=2实数根的个数． 【详解】由图象可得直线y=2与yx3﹣2x有三个交点，所以x3﹣2x=2实数根的个数为3． 故选C． 【点睛】本题考查了函数图像的交点问题：把要求方程根的问题转化为函数图像的交点问题是解题关键． 11. 已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.根据题意得：， 解得：a=1， 经检验，a=1是原分式方程的解，故本题选A. 12. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，用b表示a，再代入求解，即可． 【详解】∵， ∴， ∴==， 故选D． 【点睛】本题主要考查比例的性质和分式的求值，根据条件，用b表示a是解题的关键． 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 如图，点的坐标分别为，若将线段平移至，则的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵将线段平移至，， ， ∴平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度， ∴， ∴， 故答案为：2． 14. 因式分解：______． 【答案】x（x-5） 【解析】 【分析】直接提公因式，即可得到答案. 【详解】解：， 故答案：. 【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法. 15. x台拖拉机，每天工作x小时，x天耕地x亩，则y台拖拉机，每天工作y小时，y天耕____亩． 【答案】 【解析】 【分析】先求出一台拖拉机1小时的工作效率，然后求y台拖拉机在y天，每天工作y小时的工作量． 【详解】一台拖拉机1小时的工作效率为： ∴y台拖拉机，y天，每天y小时的工作量= 故答案为： 【点睛】本题考查工程问题，解题关键是求解出一台拖拉机1小时工作效率． 16. 如图，为正五边形的一条对角线，则__________． 【答案】36° 【解析】 【分析】根据正五边形的性质求出∠A，再根据AB=AE即可求出∠ABE． 【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠A=，AB=AE， ∴∠ABE=． 故答案为：36° 【点睛】本题考查了多边形的内角和，正多边形的定义与性质，根据求出∠A的度数是解题关键． 17. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为__． 【答案】3 【解析】 【详解】连接OB， ∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形， ∴∠BOM= =30°， ∴OM=OB•cos∠BOM=6× =3， 故答案为3． 18. 如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（2，4），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在反比例函数y＝的图象上，则k的值为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意和旋转的性质，可以得到点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数y=中，即可求出k的值． 【详解】∵OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（2，4），∴OB=2,AB=4 ∵将△AOB绕点A逆时针旋转90°，∴AD=4CD=2,且AD//x轴 ∴点C的坐标为（6，2）， ∵点O的对应点C恰好落在反比例函数y=的图象上， ∴k=2， 故答案为12． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化-旋转，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 三、解答题（共78分） 19. 某食品代理商向超市供货，原定供货价为元/件，超市售价为元/件.为打开市场超市决定在第一季度对产品打八折促销，第二季度再回升个百分点，为保证超市利润，代理商承诺在供货价基础上向超市返点试问平均每季度返多少个百分点，半年后超市的销售利润回到开始供货时的水平? 【答案】代理商平均每个季度向超市返个百分点，半年后超市的利润回到开始供货时的水平. 【解析】 【分析】设代理商平均每个季度向超市返个百分点，根据题意列出方程，解方程，即可得到答案. 【详解】解：设代理商平均每个季度向超市返个百分点， 由题意得：， 解得：(舍去). ∴代理商平均每个季度向超市返个百分点，半年后超市的利润回到开始供货时的水平. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到题目的等量关系，列出方程. 20. 如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PF=3PE，求证：PE⊥PF； （3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】（1）先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是x=列出关于a、c的方程组求解即可； （2）设P（3a，a），则PC=3a，PB=a，然后再证明∠FPC=∠EPB，最后通过等量代换进行证明即可； （3）设E（a，0），然后用含a的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到，，从而可求得点Q的坐标（用含a的式子表示），最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可． 【详解】（1）当y=0时，，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得， 解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4； （2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m， ∴直线m的解析式为y=x． ∵点P是直线1上任意一点， ∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a． 又∵PE=3PE， ∴． ∴∠FPC=∠EPB． ∵∠CPE+∠EPB=90°， ∴∠FPC+∠CPE=90°， ∴FP⊥PE． （3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a． ∵CF=3BE=18﹣3a， ∴OF=20﹣3a． ∴F（0，20﹣3a）． ∵PEQF为矩形， ∴，， ∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0， ∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a． 将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）． ∴Q（﹣2，6）． 如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6． ∵CF=3BE=3a﹣18， ∴OF=3a﹣20． ∴F（0，20﹣3a）． ∵PEQF为矩形， ∴，， ∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0， ∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a． 将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）． ∴Q（2，﹣6）． 综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a的式子表示点Q的坐标是解题的关键． 21. 已知关于x的一元二次方程x2-2x+a=0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2>0，求a的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】由方程根的个数，利用根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围，再由根与系数的关系可用a表示出x1x2和x1+x2的值，代入已知条件可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围． 【详解】该一元二次方程有两个实数根， △， 解得：， 由韦达定理可得，， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握根的个数与根的判别式的关系及一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键． 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE＝105°． （1）求∠CAD的度数； （2）若⊙O的半径为4，求弧BC的长． 【答案】（1）∠CAD＝35°；（2）． 【解析】 【分析】(1)由AB=AC，得到=，求得∠ABC=∠ACB，推出∠CAD=∠ACD，得到∠ACB=2∠ACD，于是得到结论； (2)根据平角的定义得到∠BAC=40°，连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=80°，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】(1)∵AB=AC， ∴=， ∴∠ABC=∠ACB， ∵D为的中点， ∴=， ∴∠CAD=∠ACD， ∴=2， ∴∠ACB=2∠ACD， 又∵∠DAE=105°， ∴∠BCD=105°， ∴∠ACD=×105°=35°， ∴∠CAD=35°； (2)∵∠DAE=105°，∠CAD=35°， ∴∠BAC=180°-∠DAE-∠CAD=40°， 连接OB，OC， ∴∠BOC=80°， ∴弧BC的长==． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆和外心，圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理，垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． （1）求直线AB的解析式； （2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求的面积； （3）设直线CD的解析式为，根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1））；（2）的面积为18；（3）或． 【解析】 【分析】（1）将点A（-1，a）代入反比例函数求出a的值，确定出A的坐标，再根据待定系数法确定出一次函数的解析式； （2）根据直线的平移规律得出直线CD的解析式为y=-x-2，从而求得D的坐标，联立方程求得交点C、E的坐标，根据三角形面积公式求得△CDB的面积，然后由同底等高的两三角形面积相等可得△ACD与△CDB面积相等； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1））∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点， ∴设直线AB的解析式为， ∵直线AB过点， ∴，解得， ∴直线AB的解析式为； （2）∵将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为， ∴， ∴， 联立，解得或， ∴，， 连接AC，则的面积， 由平行线间的距离处处相等可得与面积相等， ∴的面积为18． （3）∵，， ∴不等式的解集是：或． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 24. 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准： 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ 【答案】该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游. 【解析】 【分析】首先根据共支付给春秋旅行社旅游费用27 000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x﹣25）人，每人降低20元，共降低了20（x﹣25）元．实际每人收了[1000﹣20（x﹣25）]元，列出方程求解． 详解】设该单位这次共有名员工去天水湾风景区旅游， 因为，所以员工人数一定超过25人， 可得方程， 整理，得， 解得：， 当时，，故舍去， 当时，，符合题意 ， 答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法及应用，关键是表示出参加旅游每人所付费用是解决问题的关键． 25. 如图，在平行四边形中，． （1）求与的周长之比； （2）若求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键， （1）由是平行四边形，得，，进而证明，根据相似三角形的性质即可得解； （2）根据相似三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∵是平行四边形， ∴，， ∴, ， ∴ ∴与周长的比等于相似比等于． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴ ∵ ∴． 26. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA的延长线与OC的延长线于点E，F，连接BF. （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）已知圆的半径为1，求EF的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）EF=2. 【解析】 【分析】(1)、先证明四边形AOCD是菱形，从而得到∠AOD=∠COD=60°，再根据切线的性质得∠FDO=90°，接着证明△FDO≌△FBO得到∠ODF=∠OBF=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论； (2)、在Rt△OBF中，利用60度的正切的定义求解． 【详解】(1)、连结OD，如图，∵四边形AOCD是平行四边形，而OA=OC， ∴四边形AOCD是菱形， ∴△OAD和△OCD都是等边三角形， ∴∠AOD=∠COD=60°， ∴∠FOB=60°， ∵EF为切线， ∴OD⊥EF， ∴∠FDO=90°，在△FDO和△FBO中， ∴△FDO≌△FBO， ∴∠ODF=∠OBF=90°， ∴OB⊥BF， ∴BF是⊙O的切线； (2)、在Rt△OBF中，∵∠FOB=60°， 而tan∠FOB=， ∴BF=1×tan60°=． ∵∠E=30°， ∴EF=2BF=2． 考点：(1)、切线的判定与性质；(2)、平行四边形的性质 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$