精品解析：山东省德州市第十中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题

九上数学开学练习 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列二次根式中能与2合并的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可． 【详解】A、＝2，不能与2合并，故该选项错误； B、能与2合并，故该选项正确； C、＝3不能与2合并，故该选项错误； D、＝3不能与2合并，错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分式有意义，分母不等于零；二次根式的被开方数是非负数． 【详解】依题意，得x-1≥0且x-2≠0， 解得x≥1且x≠2． 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 3. 下列关于的方程：①；②；③；④．其中是一元二次方程的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】①当时，才是一元二次方程，故①不符合题意； ②，是分式方程，故②不符合题意； ③，是一元五次方程，故③不符合题意； ④，是一元二次方程，故④符合题意； 故是一元二次方程只有1个． 故选：A 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 4. 将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（ ） A. ﹣4，2 B. ﹣4x，2 C. 4x，﹣2 D. 3x2，2 【答案】B 【解析】 【分析】要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式，再根据一次项和常数项的概念解答即可． 【详解】解：把一元二次方程-3x2-2=-4x化成一般形式ax2+bx+c=0得： -3x2+4x-2=0， ∵a＞0， ∴3x2-4x+2=0， ∴一次项和常数项分别是：-4x，2， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 5. 下列叙述中，正确的是    A. 直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B. 如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C. 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90º D. 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理及三角形对边与对角知识求解． 【详解】解：∵由勾股定理知，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，而直角边应该都小于斜边，所以直角三角形中，应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，∴A错误； ∵由勾股定理的逆定理可得：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，∴B正确； ∵，∴c为斜边，c的对角∠C=90º，∴C错误； ∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B=90º，∴b为斜边，∴，D错误； 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的简单应用，注意勾股定理是“两直角边的平方和等于斜边的平方”，所以注意分清直角边和斜边及其所对角是解题关键． 6. 已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线（为常数，且）上，且直线不经过第二象限，当时，与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】由直线y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）不经过第二象限，可得出k＞0，b≤0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，再结合x1＜x2，即可得出y1＜y2． 【详解】解：∵直线y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）不经过第二象限， ∴， ∴y随x的增大而增大． 又∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线y=kx+b上，且x1＜x2， ∴y1＜y2． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 7. 抛物线y=2（x+m）2+n（m，n是常数）的顶点坐标是（ ） A. （m，n） B. （-m，n） C. （m，-n） D. （-m，-n） 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为抛物线y=2（x+m）2+n是顶点式，根据顶点式的坐标特点，它的顶点坐标是（-m，n）． 故选B． 考点：二次函数的性质． 8. 某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如下表所示： 读书时间（小时） 7 8 9 10 11 学生人数 6 10 9 8 7 则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（　　） A. 9，8 B. 9，9 C. 9.5，9 D. 9.5，8 【答案】A 【解析】 【分析】根据表格中的数据可知该班有学生40人，根据中位数定义可求得中位数，再根据读书时间最多的人数根据众数的概念即可求得众数. 【详解】由表格可得， 该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是：9、8， 故选A． 【点睛】本题考查了众数、中位数，明确题意，熟练掌握中位数、众数的概念以及求解方法是解题的关键. 9. 如图，四边形的对角线，相互垂直，则下列条件能判定四边形为菱形的是（ ） A B. ，相互平分 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，根据菱形和平行四边形的判定方法逐项判断即可，掌握菱形和平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】、根据已知和不能推出四边形是平行四边形，更不是菱形，此选项错误，不符合题意； 、∵，互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形，此选项正确，符合题意； 、根据已知和不能推出四边形是平行四边形，更不是菱形，此选项错误，不符合题意； 、根据已知和不能推出四边形是平行四边形，更不是菱形，此选项错误，不符合题意； 故选：． 10. 如图，分别以直角三角形的三边为斜边向外作直角三角形，且，，，这三个直角三角形的面积分别为，且，，则（ ） A. B. 25 C. 30 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，由勾股定理得出三角形的面积关系是解题的关键．根据为直角三角形且，可得到，同理可得到及，在中，由勾股定理得出：，继而可得，代入计算即可． 【详解】解：∵为直角三角形，且， ∴在中，有， ∴， ∴， 同理可得：，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 11. 有一人感染了新冠肺炎，经过两轮传染后共有100人被感染，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，认真审题，找到等量关系是解题关键． 每轮传染中平均一个人传染的人数为x人,即经过第一轮有人感染,则经过第二轮有 人被感染,根据两次一共有100被感染即可列出方程． 【详解】解：由题可知． 故选：A． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，点B1，B2，…，Bn在直线上，若点A1的坐标为（1，0），且，，…，都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直线与轴的成角，可得，…，，，…，；根据等腰三角形的性质可知，，，…，；根据勾股定理可得，，…，，再由面积公式即可求解． 【详解】∵、…都是等边三角形， ∴, ∵直线与轴的成角，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理，…，， ∴，，…，， 易得，…，， ∴，，…，， ∴，，…，； 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 因式分解_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：． 14. 一组数据2，4，a，7，7的中位数是5，则方差______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是中位数、平均数和方差的求法，一般的设n个数据，一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差．把一组数据按从小到大或从大到小排列，当数据的个数为奇数个时，中间的数是中位数，当数据的个数为偶数个时，中间的两个数的平均数是中位数．先根据中位数的概念求出a的值，求出这组数据的平均数，再根据方差公式即可求解． 【详解】解：∵数据2，4，a，7，7的中位数是5， ∴， ∴， ， 故答案为：． 15. 已知二次函数的图象经过原点，则的值为_______. 【答案】2； 【解析】 【分析】本题中已知了二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m-2）=0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0． 【详解】根据题意得：m(m−2)=0， ∴m=0或m=2， ∵二次函数的二次项系数不为零，所以m=2. 故填2. 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，需理解二次函数与y轴的交点的纵坐标即为常数项的值. 16. 若一次函数与图象的交点是，则方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组．直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解． 【详解】解：∵一次函数与图象的交点的坐标是， ∴方程组的解为． 故答案为：． 17. 如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接AC．若AB＝AE，∠EAC＝20°，则∠ACD的度数为 ______． 【答案】80° 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再由平行线的性质和角平分线得出∠DAE＝∠AEB，∠ACD＝∠BAC，∠BAE＝∠DAE，根据AB＝AE得出∠ABE＝∠AEB，由等量代换得出∠ABE＝∠AEB＝∠BAE，根据等边三角形的判定得到△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BAE＝60°，由∠EAC＝20°可得∠ACD＝∠BAC＝80°． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAE＝∠AEB，∠ACD＝∠BAC， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴∠ABE＝∠AEB＝∠BAE， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠BAE＝60°， ∵∠EAC＝20°， ∴∠ACD＝∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝60°+20°＝80°． 故答案为：80°． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质，角平分线的定义，等边对等角，掌握以上性质定理是解题的关键． 18. 如图，直线与x轴与y轴分别相交于点A和点B，点C，D分别为线段，的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，根据一次函数解析式求出，点坐标，再由中点坐标公式求出，坐标，根据对称的性质求出坐标，从而求出直线的解析式，即可求出点P的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小． 令中，则， 点的坐标为， 令中，则， 故， 点的坐标为， 点C，D分别为线段，的中点， ， 关于轴的对称点， ， 设直线的解析式为， 将坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 令中， 则， 解得， 当最小时，点P的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，找出点位置是解题的关键． 三、解答题（共7小题，共78分） 19 （1）计算： ； （2）计算：； （3）解方程：； （4）解方程：． 【答案】（）；（）；（）；；（）；． 【解析】 【分析】（）根据零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，二次根式性质化简，然后合并即可； （）利用完全平方公式，二次根式的除法，然后合并即可； （）利用直接开配方法解方程即可； （）利用因式分解法解方程即可； 本题考查了二次根式的运算和解一元二次方程，熟练掌握运算法则和解法是解题的关键． 【详解】（）原式 ； （）原式 ； （）解： ∴，； （）解： 或 ，． 20. 如图，在中，，，交边于点，．求边的长． 【答案】10 【解析】 【分析】利用勾股定理可求得BD的长，则可求得CD的长，再用勾股定理即可求得AC的长． 【详解】∵， ∴∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ADB中，AB=17，AD=8， 则由勾股定理得：， ∴， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理是解题的关键． 21. 已知二次函数的图象经过点和． （1）求这个二次函数的表达式： （2）该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值． 【答案】（1）； （2）该函数有最小值，最小值为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）把和代入运算即可； （2）把二次函数变成顶点式后解答即可． 【小问1详解】 解：把和代入可得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵，开口向上， ∴当时函数有最小值，最小值为． 22. 如图，过点A（2，0）的两条直线，分别交y轴于B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB=. （1）求点B的坐标； （2）若△ABC的面积为4，求的解析式． 【答案】（1）（0，3）；（2）． 【解析】 【分析】（1）在Rt△AOB中，由勾股定理得到OB=3，即可得出点B的坐标； （2）由=BC•OA，得到BC=4，进而得到C（0，-1）．设的解析式为， 把A（2，0），C（0，-1）代入即可得到的解析式． 【详解】（1）在Rt△AOB中， ∵， ∴， ∴OB=3， ∴点B的坐标是（0，3） ． （2）∵=BC•OA， ∴BC×2=4， ∴BC=4， ∴C（0，-1）． 设的解析式为， 把A（2，0），C（0，-1）代入得：， ∴， ∴的解析式为是． 23. 坚强与国光两家商场平时以同样的价格出售相同的商品，618购物节期间都让利酬宾、其中坚强商场所有商品按8折出售，国光商场对一次购物中原价超过200元后的部分打7折． （1）以x(单位：元)表示商品原价，y(单位：元)表示实际付款金额，分别就两家商场的让利方式直接写出，关于x的函数解析式以及自变量x的取值范围； （2）亮亮同学要购买原价为460元的商品，请你帮他算算，在购物节期间亮亮同学应该到哪家商场购物更省钱？付款金额的最低花费是多少元？ 【答案】（1）坚强商场：＝0.8x(x≥0)，国光商场：＝ （2）他应该去坚强商场购物更省钱，最低花费是368元 【解析】 【分析】（1）甲商场按原价直接乘以0.8，乙商场分0≤x≤200、x＞200两种情况分别列式即可； （2）求出两家商场购物付款相同的y的值，然后作出判断即可． 【小问1详解】 解：坚强商场：＝0.8x(x≥0)， 国光商场：＝x(0≤x≤200)， ＝0.7(x﹣200)+200＝0.7x+60， 即＝0.7x+60(x＞200)； ∴＝ 答：坚强商场：＝0.8x(x≥0)，国光商场：＝． 【小问2详解】 解：把x＝460分别代入两个函数解析式得： ＝460×0.8＝368(元)；＝460×0.7+60＝382(元)， 答：他应该去坚强商场购物更省钱，最低花费是368元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键，要注意国光商场根据商品原价的取值范围分情况讨论． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，把△BCD沿BC翻折得到△BCE，作EF⊥AB于点F． （1）求证：四边形BDCE是菱形； （2）若AC＝12，AB＝20，求EF的长． 【答案】（1）见解析；（2）9.6 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD＝DB＝CD，由△BCD沿BC翻折得到△BCE，可得DB＝CD＝CE＝BE，进而可以证明结论； （2）连接DE，根据勾股定理可得BC的长，证明四边形ADEC是平行四边形，可得DE＝AC＝12，利用菱形DCEB的面积 ，进而可得EF的长． 【详解】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∵D是斜边AB的中点， ∴AD＝DB＝CD， ∵△BCD沿BC翻折得到△BCE， ∴CD＝CE，BD＝BE， ∴DB＝CD＝CE＝BE， ∴四边形BDCE是菱形； （2）Rt△ABC中， ∵AC＝12，AB＝20， ∴BC＝ ＝＝16， 连接DE，如图， ∵AD∥CE，AD＝CE， ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴DE＝AC＝12， ∴菱形DCEB的面积为：， ∵EF⊥AB，BD＝AB＝10， ∴EF＝9.6． 答：EF的长为9.6． 【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，菱形的判定与性质，解决本题的关键的是掌握菱形的判定与性质． 25. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF. （1）求证：AE=DF； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）能，；（3）或4时，△DEF为直角三角形. 【解析】 【分析】在中，，，根据30°角直角三角形的性质及已知条件即可证得结论； 先证得四边形AEFD为平行四边形，使▱AEFD为菱形则需要满足的条件为AE=AD，由此即可解答； 时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中求可得，由此即可解答；时，由知，则得，求得，由此列方程求解即可；时，此种情况不存在． 【详解】在中，，，， ． 又， ． 能， ，， ． 又， 四边形AEFD为平行四边形． ， ． ． 若使▱AEFD为菱形，则需， 即，． 即当时，四边形AEFD为菱形． 时，四边形EBFD为矩形． 在中，， ． 即，． 时，由四边形AEFD为平行四边形知， ． ， ． 即，． 时，此种情况不存在． 综上所述，当秒或4秒时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了菱形的性质和的判定定理，矩形的判定和性质，第三小问中涉及到需要进行分类讨论，注意不要漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九上数学开学练习 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列二次根式中能与2合并的是（　　） A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A 且 B. C. 且 D. 3. 下列关于的方程：①；②；③；④．其中是一元二次方程的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别（ ） A ﹣4，2 B. ﹣4x，2 C. 4x，﹣2 D. 3x2，2 5. 下列叙述中，正确的是    A. 直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B. 如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C. 中，∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，若，则∠A=90º D. 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则 6. 已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线（为常数，且）上，且直线不经过第二象限，当时，与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 抛物线y=2（x+m）2+n（m，n是常数）的顶点坐标是（ ） A. （m，n） B. （-m，n） C. （m，-n） D. （-m，-n） 8. 某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如下表所示： 读书时间（小时） 7 8 9 10 11 学生人数 6 10 9 8 7 则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（　　） A. 9，8 B. 9，9 C. 9.5，9 D. 9.5，8 9. 如图，四边形的对角线，相互垂直，则下列条件能判定四边形为菱形的是（ ） A. B. ，相互平分 C. D. 10. 如图，分别以直角三角形的三边为斜边向外作直角三角形，且，，，这三个直角三角形的面积分别为，且，，则（ ） A. B. 25 C. 30 D. 35 11. 有一人感染了新冠肺炎，经过两轮传染后共有100人被感染，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，点B1，B2，…，Bn在直线上，若点A1的坐标为（1，0），且，，…，都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 因式分解_____． 14. 一组数据2，4，a，7，7的中位数是5，则方差______． 15. 已知二次函数的图象经过原点，则的值为_______. 16. 若一次函数与图象的交点是，则方程组的解是______． 17. 如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接AC．若AB＝AE，∠EAC＝20°，则∠ACD的度数为 ______． 18. 如图，直线与x轴与y轴分别相交于点A和点B，点C，D分别为线段，的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标为______． 三、解答题（共7小题，共78分） 19. （1）计算： ； （2）计算：； （3）解方程：； （4）解方程：． 20. 如图，在中，，，交边于点，．求边的长． 21. 已知二次函数的图象经过点和． （1）求这个二次函数的表达式： （2）该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值． 22. 如图，过点A（2，0）的两条直线，分别交y轴于B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB=. （1）求点B的坐标； （2）若△ABC面积为4，求的解析式． 23. 坚强与国光两家商场平时以同样的价格出售相同的商品，618购物节期间都让利酬宾、其中坚强商场所有商品按8折出售，国光商场对一次购物中原价超过200元后的部分打7折． （1）以x(单位：元)表示商品原价，y(单位：元)表示实际付款金额，分别就两家商场的让利方式直接写出，关于x的函数解析式以及自变量x的取值范围； （2）亮亮同学要购买原价为460元的商品，请你帮他算算，在购物节期间亮亮同学应该到哪家商场购物更省钱？付款金额的最低花费是多少元？ 24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，把△BCD沿BC翻折得到△BCE，作EF⊥AB于点F． （1）求证：四边形BDCE是菱形； （2）若AC＝12，AB＝20，求EF的长． 25. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF. （1）求证：AE=DF； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$