第十一章 三角形（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版，江西专用）

第十一章 三角形（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如图，南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是（　　） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于 2．从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（　　）个三角形． A．6 B．5 C．8 D．7 3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，CE是AB边上的高，若AB＝4，，则CE的长度为（　　） A．4 B．5 C．7 D．6 4．如图，在正五边形中，的平分线交于点F，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．有一块直角三角尺DEF放置在△ABC上，三角尺DEF的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C．在△ABC中，若，则∠A的度数是（　　） A．40° B．44° C．45° D．50° 6．如图，，、、分别平分、、．以下结论，其中正确的是（） ①；②；③；④． A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．如图，小明从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10 m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次[回到出发点A时，一共走了　 　m。 8．“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案．若∠1+∠3+∠5＝186°，则∠2+∠4+∠6＝　 　°． 9．如图，在中，，，，则的度数是　 　 10．如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是　 　． 11．若a、b、c是△ABC的三边的长，则化简|a-b-c|-|b-c-a|+|a+b-c|=　 　． 12．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t=　 　，△APE的面积等于6． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．已知一个正多边形的边数为n． （1）若这个正多边形的内角和的比外角和多，求n的值． （2）若这个正多边形的一个内角为，求n的值． 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E.若∠C＝25°，求∠DAE的度数. 15．如图是的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1，的三个顶点，，均在格点上，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹． 图1图2 （1）三角形的面积为　 　； （2）在图1中画出边上高； （3）在图2中作出的角平分线． 16．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，∠CAB=90°，求： （1）AD的长； （2）△ACE和△ABE的周长的差． 17．如图，在中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点P.已知，，求的度数. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，且相交于点O，∠ABC＝50°，∠C＝70°，求∠DAE和∠BOA的度数． 19．如图，，，，分别是边上的点，，． （1）求证：； （2）若，，请直接写出的度数． 20．【问题提出】用若干类全等形（能够完全重合的图形叫做全等形）无间隙且不重叠地覆盖平面的一部分，叫做这几类图形能镶嵌（覆盖．铺砌）平面．镶嵌的一个关键点是：在每个公共顶点处，各角的和是360°，平面内如何镶嵌呢？ 【问题解决】用多种正多边形镶嵌 例如：用正八边形和正方形进行组合镶嵌，设在一个顶点周围有m个正八边形的角，有n个正方形的角，由于正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，所以有m•135°+n•90°=360°，即3m+2n=8．这个方程的正整数解为 ．可见用正八边形和正方形进行组合镶嵌，在一个顶点的周围有2个正八边形和1个正方形． 【方法应用】如果想用正三角形和正六边形的组合进行镶嵌请完成以下问题： （1）计算出正六边形每个内角的度数； （2）如果在一个顶点周围有x个正六边形，有y个正三角形，如何镶嵌的方案. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．阅读下列材料，并完成相应的任务. 基本性质：三角形中线等分三角形的面积. 如图， 是 的边 上的中线， 则 理由：过点A作 于点H ∵ 是 的边 上的中线. ∴ 又∵ ， ∴ ∴三角形中线等分三角形的面积. 任务： （1）如图，延长 的边 到点D，使 ，连接 ，则 和 的数量关系为　 　. （2）如图，点D是 的边 上任意一点，点 分别是线段 ， 的中点，且 的面积为 ，请同学们借助上述结论求 的面积. 22．【问题呈现】 如图①，已知线段，相交于点，连结，，我们把形如这样的图形称为“字型”． （1）证明：． （2）【问题探究】 继续探究，如图②，、分别平分、，、交于点，求与、之间的数量关系．为了研究这一问题，尝试代入、的值求的值，得到下面几组对应值： 表中　 　，猜想得到与、的数量关系为　 　； （3）证明（）中猜想得到的与、的数量关系； （单位：度） （单位：度） （单位：度） 六、解答题（本大题共12分） 23．【结论发现】 小明在完成教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，则的度数为 °； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于P、F，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状． ①已知，，求的度数； ②直接写出与的数量关系． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 三角形（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如图，南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是（　　） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于 【答案】A 【解析】解：南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形具有稳定性. 故答案为：A. 2．从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（　　）个三角形． A．6 B．5 C．8 D．7 【答案】B 【解析】从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7-2=5个三角形． 故答案为：B． 3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，CE是AB边上的高，若AB＝4，，则CE的长度为（　　） A．4 B．5 C．7 D．6 【答案】D 【解析】解：∵AD是BC边上的中线， ， ∴ ， ∴； 故选D． 4．如图，在正五边形中，的平分线交于点F，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】 解：∵五边形是正五边形， ∴ ，  ，  ， ∴ ， ∵平分 ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 5．有一块直角三角尺DEF放置在△ABC上，三角尺DEF的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C．在△ABC中，若，则∠A的度数是（　　） A．40° B．44° C．45° D．50° 【答案】C 【解析】根据题意可得：∠D=90°， ∴∠DBC+∠DCB=180°-∠D=180°-90°=90°， ∵， ∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-[（∠DBA+∠DCA）+（∠DBC+∠DCB）]=180°-（90°+45°）=45°， 故答案为：C. 6．如图，，、、分别平分、、．以下结论，其中正确的是（） ①；②；③；④． A． ①② B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】解：∵AD平分∠EAC， ∴∠CAE=2∠EAD=2∠DAC， ∵∠EAC是△ABC的一个外角， ∴∠EAC=∠ABC+∠ACB， ∵∠ABC=∠ACB， ∴∠EAC=2∠ABC=2∠ACB， ∴∠EAD=∠DAC=∠ACB=∠ABC， ∵∠EAD=∠ABC， ∴AD∥BC，①正确； ∴∠ADB=∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∴，②正确； ∵CD平分∠ACF， ∴， ∵∠ACF是△ABC的一个外角， ∴∠BAC=∠ACF-∠ABC， ∵∠DCF是△DCB的一个外角， ∴， ∴∠BAC=2∠BDC，③正确； ∵AD∥BC， ∴∠ADC=∠DCF， ∴∠ACD=∠ADC， ∵∠ABC=2∠ABD，∠DAC=∠ABC， ∴∠DAC=2∠ABD， ∵∠ADC+∠ACD+∠DAC=180°， ∴2∠ADC+2∠ABD=180°， ∴∠ADC+∠ABD=90°，④正确； ∴以上结论，其中正确的是①②③④，； 故答案为：D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．如图，小明从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10 m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次[回到出发点A时，一共走了　 　m。 【答案】240 【解析】∵小明从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，∴根据多边形的外角和定理可知正多边形的边数为 =24，∴小明一共走了24×10=240m．故答案为240． 8．“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案．若∠1+∠3+∠5＝186°，则∠2+∠4+∠6＝　 　°． 【答案】366 【解析】解：对图形进行角标注： ∵∠1+∠8+∠3+∠9+∠5+∠7=360°， ∴∠8+∠9+∠7=360°-(∠1+∠3+∠5)=174°， ∴∠2+∠4+∠6=180°×3-(∠8+∠9+∠7)=366°. 故答案为：366. 9．如图，在中，，，，则的度数是　 　 【答案】 【解析】∵∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°， ∵∠A=20°，∠2=30°， ∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC-∠1）+（∠ACB-∠2）=（∠ABC+∠ACB）-（∠1+∠2）=120°-（20°+30°）=70°， ∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-70°=110°， 故答案为：110°. 10．如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是　 　． 【答案】 【解析】解：如图，延长CB交直线L于点D， ∵， ， ∴∠3=∠1=25°， ∵∠ABC=45°， ∴∠2=∠ABC-∠3=45°-25°=20°； 故答案为：20°. 11．若a、b、c是△ABC的三边的长，则化简|a-b-c|-|b-c-a|+|a+b-c|=　 　． 【答案】3b-a−c 【解析】解：∵a，b，c是△ABC的三边， ∴a＜b＋c，b＜c＋a，c＜a＋b， ∴a−b−c＜0，b−c−a＜0，c＋a−b＞0， ∴|a-b-c|-|b-c-a|+|a+b-c|＝（b+c-a）-（c+a-b）+（a+b-c）＝b+c-a-c-a+b+a+b-c=3b-a−c 故答案为：3b-a−c  12．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t=　 　，△APE的面积等于6． 【答案】1.5或5或9 【解析】解：当P在AC上， 则AP=2t， CE=4， 解得t=1.5 ； 当P在CE上时， PE=4-（t-3）×1=7-t， 解得t=5 ； 当P在EB上时， PE=（t-3）×1-4=t-7， 解得t=9. 故答案为：1.5或5或9 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．已知一个正多边形的边数为n． （1）若这个正多边形的内角和的比外角和多，求n的值． （2）若这个正多边形的一个内角为，求n的值． 【答案】（1）n的值为12； （2）n的值为5． 解：依题意，得(n-2)·180÷4=360+90 ， 解得n=12 ， 即n的值为12； (2)解：∵正多边形的一个内角为108°， ∴这个正多边形的外角为72°． ∵多边形的外角和为360°， ∴ ， 即n的值为5． 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E.若∠C＝25°，求∠DAE的度数. 【答案】解：∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC＝＝50°， ∵∠C＝25°， ∴∠AED＝∠C+∠EAC＝25°+50°＝75°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADE＝90°， ∴∠DAE＝90°-75°＝15°. 15．如图是的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1，的三个顶点，，均在格点上，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹． 图1图2 （1）三角形的面积为　 　； （2）在图1中画出边上高； （3）在图2中作出的角平分线． 【答案】（1）4 （2）解：如图1，线段即为所求； 图1 （3）解：如图2，射线即为所求。 图2 【解析】解： （1）； （2）如图1所示，CH是AB边上的高； （3）如图2所示，AP是∠BAC的角平分线. 16．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，∠CAB=90°，求： （1）AD的长； （2）△ACE和△ABE的周长的差． 【答案】（1）解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高， ∴AB•AC＝ BC•AD ， ∴AD＝（cm）， 即AD的长度为cm； （2）解：∵AE为斜边BC边上的中线， ∴BE＝CE， ∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+CE+AE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝4﹣3＝1（cm）， 即△ACE和△ABE的周长的差是1cm． 17．如图，在中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点P.已知，，求的度数. 【答案】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是一条角平分线， ∴， ∴. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，且相交于点O，∠ABC＝50°，∠C＝70°，求∠DAE和∠BOA的度数． 【答案】∠DAE＝10°，∠BOA＝125° 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝70°， ∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝60°， ∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠EAC＝∠BAE＝30°， ∴∠EAD＝∠EAC﹣∠CAD＝30°﹣20°＝10°， ∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠ABO＝25°， ∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣30°﹣25°＝125°， 故∠DAE和∠BOA的度数分别是10°和125°． 19．如图，，，，分别是边上的点，，． （1）求证：； （2）若，，请直接写出的度数． 【答案】（1）证明：，， ， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 又， ， （同位角相等，两直线平行）， （2）解：． 【解析】解： 故填：114° 20．【问题提出】用若干类全等形（能够完全重合的图形叫做全等形）无间隙且不重叠地覆盖平面的一部分，叫做这几类图形能镶嵌（覆盖．铺砌）平面．镶嵌的一个关键点是：在每个公共顶点处，各角的和是360°，平面内如何镶嵌呢？ 【问题解决】用多种正多边形镶嵌 例如：用正八边形和正方形进行组合镶嵌，设在一个顶点周围有m个正八边形的角，有n个正方形的角，由于正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，所以有m•135°+n•90°=360°，即3m+2n=8．这个方程的正整数解为 ．可见用正八边形和正方形进行组合镶嵌，在一个顶点的周围有2个正八边形和1个正方形． 【方法应用】如果想用正三角形和正六边形的组合进行镶嵌请完成以下问题： （1）计算出正六边形每个内角的度数； （2）如果在一个顶点周围有x个正六边形，有y个正三角形，如何镶嵌的方案. 【答案】（1）解：正六边形每个内角的度数为：（6﹣2）×180°× =120° （2）解：∵正六边形每个内角的度数=120°，正三角形每个内角的度数=60°， ∴120x+60y=360，即2x+y=6， ∴这个方程的正整数解为： ， ， ∴用正三角形和正六边形的镶嵌，在一个顶点周围有2个正六边形和2个正三角形，或在一个顶点周围有1个正六边形和4个正三角形 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．阅读下列材料，并完成相应的任务. 基本性质：三角形中线等分三角形的面积. 如图， 是 的边 上的中线， 则 理由：过点A作 于点H ∵ 是 的边 上的中线. ∴ 又∵ ， ∴ ∴三角形中线等分三角形的面积. 任务： （1）如图，延长 的边 到点D，使 ，连接 ，则 和 的数量关系为　 　. （2）如图，点D是 的边 上任意一点，点 分别是线段 ， 的中点，且 的面积为 ，请同学们借助上述结论求 的面积. 【答案】（1） （2）解： 点E是线段 的中点 是 的边AD上的中线，CE是 的边AD上的中线 点F是线段 的中点 是 的边CE上的中线 故 的面积为 ． 22．【问题呈现】 如图①，已知线段，相交于点，连结，，我们把形如这样的图形称为“字型”． （1）证明：． （2）【问题探究】 继续探究，如图②，、分别平分、，、交于点，求与、之间的数量关系．为了研究这一问题，尝试代入、的值求的值，得到下面几组对应值： 表中　 　，猜想得到与、的数量关系为　 　； （3）证明（）中猜想得到的与、的数量关系； （单位：度） （单位：度） （单位：度） 【答案】（1）证明：在中，， 在中，， ∵， ∴； （2）； （3）证明：∵、分别平分、， ∴， 由（）得，①，②， 由，得：， ∴， 【解析】解：（）解：由表格可得， 当时，有， 当时，有， ∴， 解得， 由此猜想， 故答案为：，； 六、解答题（本大题共12分） 23．【结论发现】 小明在完成教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，则的度数为 °； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于P、F，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状． ①已知，，求的度数； ②直接写出与的数量关系． 【答案】（1）20；（2）；（3）①；② 【解答】解：（1）设 ， ∴BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ，，， ，， 整理得： ， 当时， ， 故答案为：20． （2）和是邻补角，  ， ∵BE平分∠ABC，BF平分∠CBE，  ，  ，  ， 即 ，  ， 由（1）可知 ， ； （3）①延长BA，CD交于M， 延长BE，CE交于N， 如下图所示：  ，  ， 即 ， 同理： ， ，  ，  ， 由（1）可知： ， ； ②由①可知： ，  ，  ，  ，  ． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$