第十一章 三角形（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版，江西专用）

第十一章 三角形（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列图形中具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 3．下列说法正确的是（　　） A．多边形边数增加1，内角和增加 B．多边形边数增加1，内角和增加 C．每个角都相等的多边形是正多边形 D．每条边都相等的多边形是正多边形 4．如图所示，在中，已知点、、分别是、、的中点，且的面积为64，则的面积是（　　）． A．18 B．16 C．14 D．12 5．如图，在中，，点E、F分别在边BC、AC上，，，的角平分线与的角平分线交于点P，则的度数为（　　） A．62° B．56° C．76° D．58° 6．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分别交边AC、BC的延长线于EF两点，∠BAC∠BFD的平分线交于点I，AI交DF于点M，FI交AC于点N，连接BI.下列结论：①∠BAC=∠BFD；②∠ENI=∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI=∠FBI；其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形共有　 　条对角线. 8．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2等于　 　. 9．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的角平分线AD， BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值．这个定值为　 　． 10．如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时　 　． 11．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为　 　． 12．下列说法：① 三角形的三条内角平分线都在三角形内，且相交于一点，正确；②在 中，若 ，则 一定是直角三角形；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④若等腰三角形的两边长分别是3和5，则周长是13或11；⑤如果一个正多边形的每一个内角都比其外角多 ，那么该正多边形的边数是10，其中正确的说法有　 　个. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13． 已知一个正多边形的边数为n． （1）若这个正多边形的一个内角为135°，求n的值． （2）若这个多边形的内角和为其外角和的4倍，求n的值． 14．设a，b，c是的三边， （1）化简 （2）若b，c满足，且a为方程的解，判断的形状并说明理由． 15．如图在中，分别是边上的中线和高，，，的长为偶数，求的长和的长． 16．如图，已知六边形 的每个内角都相等，连接 . （1）若 ，求 的度数； （2）求证： . 17．如图，以正方形的一边为边长向外作等边三角形． （1）仅用无刻度直尺在图1中画出平分图形面积的直线（保留作图痕迹）； （2）仅用无刻度直尺在图2中标出一个 与一个 的角（保留作图痕迹）． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，∠ADE=∠EFC。 （1）请说明∠B=∠EFC的理由； （2）若∠A=60°，∠ACB=72°，求∠CDE的度数。 19．如图，点在的延长线上，连结，作的角平分线分别交线段，于点，点，已知，． （1）试说明； （2）若，，求的度数． 20．阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是 ， ， ，这个三角形就是一个“梦想三角形”.反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍. （1）如果一个“梦想三角形”有一个角为 ，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为　 　. （2）如图，已知 ，在射线 上取一点A，过点A作 交 于点B，以A为端点作射线 ，交线段 于点C（点C不与O、B重合），若 ，判定 、 是否是“梦想三角形”，为什么？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形三个内角和是，“对顶三角形”有如下性质：． （1）如图1，在“对顶三角形”与中，若，则． （2）如图2，在中，分别平分和，若，比大，求的度数． 22．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究： 【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF； 【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由； 【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23．【课本再现】已知：如图1，P是三角形内一点，连接，． 求证：． 证明：如图2，延长，交于点D． 是的一个外角（外角的定义）， （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）． 是的一个外角（外角的定义）， （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）． ． 【知识迁移】如图3，求证： （1）； （2）． （3）【拓展延伸】如图4，五角星五个“角”的和为　 　°． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 三角形（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列图形中具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A.图中是一个三角形和一个正方形，不具有稳定性，不符合题意； B.图中是由三角形组成的图形，具有稳定性，符合题意； C.图中是由两个长方形，不具有稳定性，不符合题意； D.图中是两个四边形，不具有稳定性，不符合题意； 故答案为：B. 2．如图，在中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【答案】B 【解析】解：于点D， 中，是边上的高，故A不符合题意，  ， 线段是边上的高，故B选项符合题意； 于点F， 是边上的高，故C选项不符合题意，D选项不符合题意． 故选：B． 3．下列说法正确的是（　　） A．多边形边数增加1，内角和增加 B．多边形边数增加1，内角和增加 C．每个角都相等的多边形是正多边形 D．每条边都相等的多边形是正多边形 【答案】A 【解析】解：n边形的内角和是 ， 边数增加1，则新的多边形的内角和是 ． 则 ． 故它的内角和增加 ． 故选项A正确，选项B错误， 每个角都相等且每条边都相等的多边形是正多边形， 故选项CD都错误， 故选：A． 4．如图所示，在中，已知点、、分别是、、的中点，且的面积为64，则的面积是（　　）． A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】B 【解析】解：点是的中点，  ，  ， 点是的中点，  ，  ， 的面积为64，  ，  ， 点是的中点，  ， 故选：B． 5．如图，在中，，点E、F分别在边BC、AC上，，，的角平分线与的角平分线交于点P，则的度数为（　　） A．62° B．56° C．76° D．58° 【答案】B 【解析】解：∵∠ABC=2∠C，BP平分∠ABC， ∴∠PBC=∠C， 设∠C=x， 则∠PBC=x， ∵∠FEC=28°， ∴∠AFE=x+28°， ∵∠AEF=2∠AFE， ∴∠AEF=2x+56°， ∵EP平分∠AEF， ∴∠FEP=x+28°， ∵∠PEC=∠P+∠PBC， ∴x+28°+28°=∠P+x， ∴∠P=56°， 故选：B． 6．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分别交边AC、BC的延长线于EF两点，∠BAC∠BFD的平分线交于点I，AI交DF于点M，FI交AC于点N，连接BI.下列结论：①∠BAC=∠BFD；②∠ENI=∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI=∠FBI；其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：∵∠ACB=90°， ∴∠DBF+∠BAC=90°， ∵FD⊥AB， ∴∠BDF=90°， ∴∠DBF+∠BFD=90°， ∴∠BAC=∠BFD，故①正确； ∵∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I， ∴∠EFN=∠EAM， ∵∠FEN=∠AEM， ∴∠ENI=∠EMI，故②正确； ∵由①知∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I， ∴∠MAD=∠MFI， ∵∠AMD=∠FMI， ∴∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正确； ∵BI不是∠B的平分线， ∴∠ABI≠∠FBI，故④错误. 故答案为：C. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形共有　 　条对角线. 【答案】27 【解析】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得n-3=6，解得n=9， ∴ 这个多边形共有对角线：×9×（9-3） =27. 故答案为：27. 8．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2等于　 　. 【答案】35° 【解析】解：如图， ∵∠3是△ADG的外角， ∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°， ∵l1∥l2， ∴∠3=∠4=55°， ∵∠4+∠EFC=90°， ∴∠EFC=90°−55°=35°， ∴∠2=35°. 故答案为：35° 9．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的角平分线AD， BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值．这个定值为　 　． 【答案】135° 【解析】解：在Rt△ABC中， ， 由∵AD，BE分别平分 ，  ， ∴= ， = ∴= ， ∴ ， 故无论怎么变动Rt△ABC，只要∠C＝90°，∠AFB的度数是定值，始终为135° 故答案为：135° 10． 如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时　 　． 【答案】 【解析】解：延长交于点， 如图，     ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： ． 11．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为　 　． 【答案】540° 【解析】解：如图， 四边形ABCN中，∠A＋∠B＋∠C＋∠1＝360°， 四边形MNGF中，∠2＋∠3＋∠F＋∠G＝360°， ∵∠3＝∠D＋∠E，∠1＋∠2＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠1＋∠2＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝720°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°． 故答案是：540°． 12．下列说法：① 三角形的三条内角平分线都在三角形内，且相交于一点，正确；②在 中，若 ，则 一定是直角三角形；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④若等腰三角形的两边长分别是3和5，则周长是13或11；⑤如果一个正多边形的每一个内角都比其外角多 ，那么该正多边形的边数是10，其中正确的说法有　 　个. 【答案】3 【解析】① 三角形的三条内角平分线都在三角形内，且相交于一点 ，故原说法正确； ②在△ABC中，若 ，则△ABC一定是直角三角形，故原说法正确； ③三角形的一个外角大于和它不相邻的内角，故原说法错误； ④一个等腰三角形的两边长为3和5，当腰为5时，周长为13；当腰为3时 ，周长为11，故原说法正确； ⑤如果一个正多边形的每一个内角都比其外角多 ，那么该正多边形的边数是9，故原说法错误； 故正确答案是3个. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13． 已知一个正多边形的边数为n． （1）若这个正多边形的一个内角为135°，求n的值． （2）若这个多边形的内角和为其外角和的4倍，求n的值． 【答案】（1）解：由题意可得，解得：． （2）解：由题意可得，解得：； 14．设a，b，c是的三边， （1）化简 （2）若b，c满足，且a为方程的解，判断的形状并说明理由． 【答案】（1）解：∵a，b，c是的三边， ∴，， ∴，，， ∴ （2）解：∵， ∴且， ∴，， ∵a为方程的解， ∴， ∴或， 当时，，故不合题意； ∴， ∴是等腰三角形． 15．如图在中，分别是边上的中线和高，，，的长为偶数，求的长和的长． 【答案】， 【解答】解：∵在中，是中线， ， ∴ ， ∵是高， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵的长为偶数且 ， ∴ ． 16．如图，已知六边形 的每个内角都相等，连接 . （1）若 ，求 的度数； （2）求证： . 【答案】（1）解：∵六边形ABCDEF的每个内角的度数是（6-2）×180°÷6=120° ∴∠FAB=120°， ∵∠1=48° ∴∠FAD=∠FAB-∠1=120°-48°=72°， ∴∠2=360°-120°-120°-72°=48°. （2）解：∵∠1=48°，∠2=48°， ∴AB∥DE. 17．如图，以正方形的一边为边长向外作等边三角形． （1）仅用无刻度直尺在图1中画出平分图形面积的直线（保留作图痕迹）； （2）仅用无刻度直尺在图2中标出一个 与一个 的角（保留作图痕迹）． 【答案】（1）解：如图1，连接正方形的对角线，过所得交点与正三角形顶点的连线平分这个图形的面积． （2）解：如图2，连接正方形对角线交点与三角形顶点，所得的角为30°，连接三角形的顶点与正方形的一个下顶点所得的角为15°． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，∠ADE=∠EFC。 （1）请说明∠B=∠EFC的理由； （2）若∠A=60°，∠ACB=72°，求∠CDE的度数。 【答案】（1）解：∵CD⊥AB，EF⊥CD， ∴AB∥EF， ∴∠B=∠EFC （2）解：∵∠B=∠EFC，∠ADE=∠EFC， ∴∠B=∠ADE． ∴DE∥BC ∵∠A=60°，∠ACB=72°， ∴∠B=180°-60°-72°=48° ∴∠ADE=∠B=48°， ∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°， ∴∠CDE =180°-90°-48°=42° 19．如图，点在的延长线上，连结，作的角平分线分别交线段，于点，点，已知，． （1）试说明； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）解：平分， ， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， 20．阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是 ， ， ，这个三角形就是一个“梦想三角形”.反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍. （1）如果一个“梦想三角形”有一个角为 ，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为　 　. （2）如图，已知 ，在射线 上取一点A，过点A作 交 于点B，以A为端点作射线 ，交线段 于点C（点C不与O、B重合），若 ，判定 、 是否是“梦想三角形”，为什么？ 【答案】（1） 或 （2）解：结论： ， 都是“梦想三角形” 理由： ， ， ， ， 为“梦想三角形”， ， ， ， ， ， “梦想三角形”. 【解析】解：（1）当108°是三角形的一个内角的3倍，则有这个内角为36°，第三个内角也是36°，故最小的内角是36°， 当另外两个内角是3倍关系，则有另外两个内角分别为：54°，18°，最小的内角是18° 故答案为：36°或18°； 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形三个内角和是，“对顶三角形”有如下性质：． （1）如图1，在“对顶三角形”与中，若，则． （2）如图2，在中，分别平分和，若，比大，求的度数． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）解：∵与是“对顶三角形”， ∴； ∵ ， ∴ ， 故答案为：95； （2）解：∵ ， ∴ ， ∵分别平分和 ， ∴ ， ∴ ， ∵与是“对顶三角形”， ∴ ， ∵比大 ， 即 ， ∴ ， ． 22．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究： 【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF； 【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由； 【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由． 【答案】解：【习题回顾】证明：∵∠ACB＝90°，CD是高， ∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°， ∴∠B＝∠ACD， ∵AE是角平分线， ∴∠CAF＝∠DAF， ∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD， ∠CEF＝∠DAF+∠B， ∴∠CEF＝∠CFE； 【变式思考】∠CEF＝∠CFE 证明：∵AF为∠BAG的角平分线， ∴∠GAF＝∠DAF， ∵CD为AB边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADF＝∠ACE＝90°，又∵∠CAE＝∠GAF， ∴∠CEF＝∠CFE； 【探究延伸】∠M+∠CFE＝90°， 证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线， ∴∠EAN＝90°，又∵∠GAN＝∠CAM， ∴∠M+∠CEF＝90°， ∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴∠M+∠CFE＝90°． 六、解答题（本大题共12分） 23．【课本再现】 已知：如图1，P是三角形内一点，连接，． 求证：． 证明：如图2，延长，交于点D． 是的一个外角（外角的定义）， （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）． 是的一个外角（外角的定义）， （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）． ． 【知识迁移】 如图3，求证： （1）； （2）． （3）【拓展延伸】 如图4，五角星五个“角”的和为　 　°． 【答案】（1）解：如图，延长交于Q， 是的一个外角（外角的定义）， （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）． 是的一个外角（外角的定义）， （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）． ，即．． （2）解：是的一个外角（外角的定义）， （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和）． 是的一个外角（外角的定义）， （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和）． ，即．． （3）180° 【解析】解： 拓展延伸：如图，标注五角星的顶点及交点B，C， 是的一个外角（外角的定义）， （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和）． 是的一个外角（外角的定义）， （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和）． ，（等量代换） ∵，（三角形的内角和定理） ∴．（等量代换） 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$