第2 时勾股定理的应用-【探究在线】2024-2025学年八年级上册数学高效课堂导学案（冀教版）

△以用相△每都是等造三角思-且点付是线段AD 6 (1由国冠最转制后对忠线段射器年-D, 义段V=BN, 的中点： 4∠A=3,∠Aw=∠=T2, △D是等耀三角形 :NL等里三角用翼边上的中线和髯边上铃高至相 .川x-w=.∠1=∠2=， 5,作为额角时.得(2一21+3-5) 文由旋转知∠议一矿， 值合)为 ∠4=∠ 10,解择工=24。三角形三个角的度数分捌为：，67 品△COD是等边已角形. 17.3勾股定罐 《,∠1+∠=∠2=形， 71 (2当a=,∠W=1时，△D是直角三角 昂】课时有侵定理观其处证 ∠4一，月理.∠= 当（一方预角时，博r一41+2×(2一）=1 形.季出：由潮表脱坡角后样成角等知∠A一∠m 新如效理 ￥∠AEB-∠4+∠0 解用一7，三角影三个角的度数分用为，2，，TG =104 1.衬段其2+已平方和平方 六∠A省= 公分以士两个角均为忙角国，自一号=1山一5，解料 其：△((W》是等边三角形 :积 2)楼周录标角，设AC与0交于点M 3,三角原三个内角分渊为，，172 ∠， 所习拾测 1=∠8=， ,船图，过A点作AF⊥C中点F, /A-，厚△AM是角三角形 LC21216 ∠1+∠-∠1+∠2 分AB=A,HF=F三线合一： 8》D要使)=D,苦∠从D=∠4由题意拜 基础在候 ，∠D-CMC VAD=AE,DF-EF三线合一 AO1-aZADO-a-0 .D B1C 41 置'=40=(3=411 HF-D-CF-RF. 1--40a-12 △Aa△m0 DBDECE. C要便aM《D,西∠LDe∠AD以 气.182)4T45,D .∠A=∠p 4W)平非∠A,∠A=∠习 ,,=mr-4∠∠0=A: A,理由：由简个围形的制积自等斜 在△IME和△A从M中， FC.∠-∠联B, e=1 w号++=+， /E=.∠AI,∠A=∠E日 .A=∠明- ①要批D=A.写∠047=∠A 品+用画， ∠B3=∠1=0.库∠A8- h2=0e 10-e=.g=【0' 信力在性 第多谋时平接（边》三青形的料定定龙 同现可得：C下序， 库上两建.5。为17友10域146时，△A0是等程三 影葬破理 :△A手的同长为B, 角思 LC2A4DA玉：4厅号 上再个角相等边电朝等等角对等边 品AE十E+(5十AF=AE+iE十F+AF=AH+A 17,2直角三角形 ,A日年。00：∠1=，∠1=r,可求∠ACn-1.又 2,(1)相等2)等围三角用3底每直平分 =1玩 形姐梳理 ∠Bg,∠&C=0T,角已划可来C系 颅习触测 以出=1 1一个角等于”2，一十三角卷的两个角互金 ,四边形YD的自积有两种表示直法：一 1B2.等腰 AA0C的国能=16+7=22 L立余料边的一平韩功的出平 基德在线 ,基民感交于M 模可检到 支BD+Cp-宁a+de+ 1C么A名2m1.D点等边6.3m4早行 号BEAE,∠I-∠2 Lc5.直A 义∠AHC4,A,AxRA" T.作送，个作线2财一心在因上蓝取C=a:密作M .∠A=∠A 蓄意在线 ∠C-CmC. 中点N,①分对以H.C为同心，(N长为中径西离：两氧 实干点A.连接AB,C,到△AC厚为所作.博扇， AB-AM,BE-E- A2.闻宁C i∠CM=∠4CAg十∠5C"=∠CA里+∠BA=r 义∠Em-∠(，品MB=AM ny-子n·+A以.r4·C 能力在线 LD20xCL.C瓦5m 面C=C-AM=C-AD=15一i=7, 反∠A十∠B:AD BD AR直角∠C等干 6等置三角形天.①心①位 M-1商E-士aE-子 在4m玉智 ,F是州的三等灯点，由：年润，崔接， 能力在援 ∠DB∠D-D 2)有△AC,△AF,△，△，△国 :E重直平分帮， L且2..D i5.16,域9 过A点作AF⊥C于F,连楼A用 二，BE=,饲是岸= 工山三角形内角作为1'得∠一1一∠小一∠C- 丝△DEM是等程直角区角用.理由下 . 8F- 连接H.A=C,∠AC=0- ∠F∠C 又，AD平分∠4.∠D45=, 五AF中，AF=F==,下=a, M是AC的中点，WLC, 在等边三形A中 向∠A出=的， ∠-4.u-c1-号r ∠AC=∠ACH=, ∠ME+∠A3=, ÷宁×4X1=×5XPD+×6XPE ./m0灯 在△M和△M中 又”微)平分∠C,)平分∠A用 ∴11-×x4FD+PE, MrN,∠DUM=∠C=4,B=E, ∠号∠i- 品△ADE是直用正角形，（有料季月耳余韵三角邪是直身 三角形) P0+PE=4.& .△E2M2△s马s L连技 不2课时 有极定理的总厕 六M-3M,∠D=∠M ∠0-号∠8-r DE垂直平冷Am, 新如植理 ∠DE=∠BMD+∠ME=∠年十∠BE E=∠IP,∠F民C=∠=IF。 ∠A=∠=b 直角三角后材取定理 ∠4=∠需+∠=0T, ∠H=∠AC-CAB 领装检测 二△DM是等题直角三角® ∠rFk=∠R'十∠C=0 一一=， 2P为等三角，时=D.△Ap为等 品△EF是等边三角形（存周个内角为的三扇用是等 二)平分∠A, 基程在道 腹兰角题，可知D=A0,所以A山=D 边三角思 X:DELAI,C上C LC2B4.南42石玉.4m么m元，西 专驱到练（七}巧用第腰三角形的性周与列定 常=f=计等边三角形各边相零 ∴D=DE-t. A,过A作A程1MN,条足务B, L∠A=, EEF-,厚E.F是议的层等分 a直接，D. ∠APP1米 Ar- 品∠A=∠AE=/,则∠i'=∠A十∠AE=21 7解为型指行产同。 在民△AC程△AC中 ∠QPN=6 y=0 AM MC. 目三角每的再个角的度数分别为.3和「✉ 44B-女一寸10=来， ∠AIC=∠C=∠BE℃s2 第三个角考18r-行-㎡行， 3B-子A-D收直角三角形斜边上的中线等于斜这 廿m心100，∴学校金受到W香的那利 这十三角形为等腰三角形： 的一率， 在N上我同网点C,D,AC一AD=0米.便当 深究在须·八年烟级学（上》·一 25 楚粒凭在公路N上语”N方位装判点处时.学橙 是直角三角形 横习种测 ∠P=∠直M.=(米 香的受河库音的影料，直到能位机行轮到AD处时，学检 证，"■+=-+(2=+1m+12=《 1D2.,,:中有再个数是大干4，百的 △D3 PAEOM, 能良指拉1境着的器麻.自幻盘定观目任一认下一A材 +1)=g+2+1 整花在拔 N=4,= =100一0=300. a+=2, LB2.D1.84.与：不平行 量APer由所叠如，PEAP: .=而=n米》.同理H0=(米1： ”以，AW为山起的三角形是汽角三角虑. ,CD时CB+BDw0×2=12(深)： 11,4直角三角形全等的判定 下+≤A图 =-r在：△kM中，M=E-M=A-UW 新划核理 反管度△A仪的三个内角中存一个昆角， 6m+100)+1M-汤时1-房X3um修)-2刘 1月SA AAS254S口1铜边直角道用 不封设C∠A<了，则G∠C, 又3k+=f,(N-+=(:中力，解格 (秒，学校型装青影利的时具为秒 装习检测 ∠C<18,品∠A+∠B+∠C18 铜力在线 1,ANC CD DE丝西 或与三角形的内角有等手阳手晴 1,B名，AXL4,43+1万)米点，14010 基健在线 值设△A仪的三个内角中授有脱角 3.过长AD可点E,便DE一A0连楼 7.量AD-x,做题意得(10十Y+415-10)=16-c, 1.A230 w0侧TG∠1<1,90∠餐189， 术：点盛C的中点， ,阳等且平行：理由。 0∠CC1,-∠A+∠∠30'， BDC在△AD和△D沿中， 品树高tB为以m ADLE,∠AD=∠里-F 六∠A十∠D+∠8r,这4三角围的件期和等于r CD-BD.ZAnC 2EDH.AD ED.AADC 8.在△A中，∠C=r,AC=4米，C-1n米 时为E中点.C=B风， 相不婚，：△A工中里少有两个能角 △DB, M+=Af 在△1C释△Y:中， 能力在越 AEB'BAEAD12.2 AB-I Ag=1→1=674一26 1C2.D.A4.u5.∠C<B成∠C=∠I ,A状+A的=+=网=13=5， A形-路米 丘角月个角不为直角11BD【不成之阳文 △E是直角区A带：∠AE- 品少电的爵型为(，AC+k口一A的心线+口-26-解米 4.10 &复或在民平直内，过直线%…点P有 5BLAD. 国此处应镇民 .,D是AB的中点，AD-AC,可得D-D=AC 两条直权垂直于：钉相，则有∠”A九一 1.而 ∠P且A=.千是∠APH+∠PAB+ 5,如西，作A点美子D的对称点A',适 0.疼国筒展开4次（遇）： 在△A0相△A军中，AE-A2,D=AC, .RADEAR.△C武HL. /A≥1，这写三角形内角相定理相差所，期且餐2系 接B4',与CD交干点E:则E点即为所 则AA为周转的4管：展至岁曼A日片 ,A1=4×36,A8'=118. ZDAE-ZCAE. 或立，新以在得一平的冉过直线：外一点P有且具有一美 重，速援E,过A作AF⊥BD,交D 在R△A'中， 目AE米处∠B区在△AED和△BF山中： 直线直于 的短长找于F,在△球中，An 有AD=D,∠ADE=∠BDE=r,DE=DE 自设所有柱等的三个数它门的和都十可，州它的 Al!-AA+B-11. /干同可=干米，，AE+E=A打团干黑 小干成等于包 二至少爱0 △圆△8As3,Af= 同卫售用为110力元 第器保时女登定理的挺定理发其之树 能力在城 所1个数的阳个等于3×÷4， 4,41杭角性角112- 1.C2.D&b.A5=(下5.16.77.8 但实上，1+1+十=十1=1十1)1+-21 1r为量老边，2十1两4， 新加应理 点，片A山是△A的高，AD上⊥ 224,界以N宜不或之，期以撑自然数1,2，小一1这2山个 G0,/=学4-m。 1,这个三角形为直身三角形，L∠c-”1,直角三角形 食Ri△DEW△AIDC中，E=C,DE IC, 数任业地镜在一个风上，其中一堂有相解的三个数，它 隔习验面 ①+2，取2<0,02，F 自的和不小于1名 0,值设Pn-WC,A=M,,∠A'=∠M 品5C时：这个巴用师是提角区角用： ∠0=C4, ∠1+∠4=9，∠1+∠1- P罪✉N.∠P=∠PCB. 中+0=2，即=306=1，{， 基罐在规 k”∠2=∠a.∠1+∠2=r ,∠DC-∠PC=AD-./D ,月=5时，这个三角形是直角三角用1 D兰CBLB5,CL ∠AFE=,厚ELMC .∠P=∠AP, +Wc2.里222>2,3 ,1直接利用”证期△(T2白△W1得得 在△LnP自点MP中， 7,流套角，由丁+一P,两红A,:再鼠行使的方利 二.月5<可时.这个三角形是纯角三角感 建么D分别作（平士.（及LC,E,F分例是重昆 AI=AC,AiP=∠MCP.IP=P 流直角： 单元小编与复习（六）特殊三角到 库利用机”连明：心垢K△F工博用程. :△ABPa△ACP 解力在线 单无如因候理 L(1图@.“成⊥AC,F⊥A, ,∠ArB=∠AC与的定的AP>∠AN争精 1.n,1D1b 1,D3.g3,1i我r6 ∠DEM=∠BFM- 服设B=风不成这 i.合路直4107.直角3角形 7,Ds.1313,25dm 在k△AFI相△(D中 假设P>N, 4,AD=8,4C-121,D-4,A=9,[DC-7, 6负数>手育累2不城皇 A非《4A5=(E, A=C.∠A=∠M .在△AH0中，A十D=f,∠LD形-： 中滑真题这草 ,R△AFR△DXHL》 WPB.∠B∠P 准极C,在△IDC中， C 2B 3.A .A S,C 6 D 7.H 诗= ,∠-PD>∠n∠ 州7一登+D风产=年+=7.， 有△BF和△DEM中， ∠P∠AP,X∠PB∠A 韦第豫时n:线：户线7 BC之间公共汽车的刚价为1.5元 ∠-L.∠=∠WF=5, ,∠P+∠AP>∠P+A 易锈展湿海析 L,材点C作公鑫A因的叠线，康是为，州线度印即为面 △HFa△DEANAAS. 静的经座， 1,10+2,可或20+含，可成如+0，同 ∴，D=DMF=ME ∠BAP<∠AP站叠A=,LP=AP,得PBC A十=十==A 2.∠A1C号∠A互条减∠民C'-∠=W 空)当上，'两点除动至丽使位置时，其余弟件不变，上 与程设>T↑M,显设PE不或 ,△AC'为直角三角参， 1,的成4丝L是五/而成3m气A 建销论仍威皇，这是国寿RIAAFISRACED,△F可 标上所述，停如 专器新婚（八！约要定理及具送定理的缩合应用 第十二意测试卷 @△DM的美系设有堂作变化，因育结论W=D MFME仍 1(12领图 ,A名且3，A4,A点书东华2，自人B,每 17,5反证法 6A11,D12.A11C.14,C16B16A D=4m, 新知接理 〔容)直角0 折Mr城-18二2空-地 单新建的静的长为特三 1,单命题结论手增量调E调 2在△中A日对中， 玉不成立柔话银拉 26 一深男在或·八年烟数学（上）·小一第2课时 勾股定理的应用 5.如图，某人欲横渡一条河，由于受水流的影响，实 新知在线多 新知识损前练 际上岸地点C偏离欲到达点B200m,结果他在水 ◆新知梳理 中实际游了520m,则该河的宽度为m. 要点勾股定理的应用 6.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意 利用勾股定理可以解决一些简单的实际问题，其 图，根据图中的尺寸（单位：mm),计算两圆孔中心 基本思路是：根据实际问题建立 模 A和B的距离为 mm. 型，把实际问题中的有关各量转化为直角三角形的 60 边，然后通过利用 计算，达到解决实际 问题的日的。 。预习检测三 要登上8米高的建筑物，为了安全，需要使梯子 .180 底端离建筑物6米，则至少需要 米的梯子 第6题图 第7题图 7.如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树高13米， 基础在线多 知识要点分类练 另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到 @知识点勾股定理的应用 另一棵树的顶端，至少要飞 米 1.研究假设电视机屏幕为长方形，长BC为52cm, 8.如图所示，公路MN和公路PQ在点P处交汇且 “某个电视机屏幕大小是65cm”的含义是长方形 ∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160米， 对角线长65cm,如图所示，则该电视机屏幕的高 假设一拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，周 CD为 () 围100米以内会受到噪音的影响，那么学校是否 A.13 cm B.30 cm C.39 cm D.52 cm 会受到噪音的影响？说明理由，若受影响，已知拖 B 5 拉机的速度为18千米/时，则学校受到影响的时 间有多长？ 65cm 15 0 P 第1题图 第2题图 2.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离 点C的距离为5，一只蚂蚊如果要沿着长方体的表 面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是() A.5v21 B.25 C.10/5+5 D.35 3.一个圆柱状的杯子，由内部测得其底面直径为 4cm,高为10cm,现有一支12cm长的吸管任意 斜放于杯中，则吸管 露出杯口外.（填“能” 或“不能”) 4.如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意 图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程 为 m.(结果保留根号) '520m C 第4题图 第5题图 97 探究在线八年级数学（上）·刀 到C处，另一只猴子从D滑到B,再由B跑到C处， 能力在线 方法能方整合纸 已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB. 一、选择题 1.如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站 A.在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B,若 在AB间建一直水管，则水管的长为 (） A.45m B.40mC.50m D.56m 北 12 cm 8.如图所示，有一块边长为24米的正方形绿地.在 第1题图 第3题图 绿地旁边B处有一商店，由于居住在A处的居民 2.工人师傅从一根为90cm的钢条上截取一段后恰 践踏了绿地，小刚想在A处立一个标牌“少走■ 好与两根长分别为60cm,100cm的钢条一起焊 接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长 米，踏之何忍？”小刚不知☐里应填什么数，你能通 应为 () 过计算帮助小刚在标牌的■处填上适当的数吗？ A.80 cm B.20v34 cm C.80 cm 2034 cm D.60 cm 绿地 3.某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们 10米 喜欢的图案（我的宝贝），图案的一部分是以斜边 24米 长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作半 圆（如图），则图中阴影部分的面积为 () A.36z cm B.72 cm C.36 cm D.72 cm 二、填空题 4.某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB=4米， ∠BAC=30,∠C=90°，现将楼梯上铺上红地毯， 则在AB段楼梯上所铺地毯长度应为 9.(拓展提升)某同学为学校国庆晚会设计了一个圆 ,(结果保留根号) 柱形灯罩，然后在侧面上缠绕红色彩纸（如图），已知 B 圆筒高为108cm,底面周长为36cm,如果在表面缠 绕纸4圈，应至少需彩纸多长？ A30 C 第4题图 第6题图 5.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头 顶正上方4000米处，过了10秒，飞机距离小刚 5000米，则飞机每小时飞行 千米. 6.如图所示，为修铁路凿通隧道BC,测得∠A=40°， ∠B=50°，AB=5km,AC=4km,若每天凿隧道 0.3km,则需天才能把隧道凿通. 三、解答题 7.如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处 有两只猴子，它们同时发现C处有一筐水果，一只 猴子从D处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑 第十七章特殊三角形 98