15.4 角的平分线-【探究在线】2024-2025学年八年级上册数学高效课堂导学案（沪科版）

15.4 角的平分线 ©第1课时 角的平分线的作法 基础在线》识点分 别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径 知识点1角平分线的作法 作弧，两弧相交于点E,作直线CE,交AB于 1.已知∠AOB,求作射线OP,使OP平分 点F,则∠ACF的度数是 ∠AOB,作法的合理顺序是 ①作射线OP:②在射线OA,OB上，分别截取 OD,OE,使OD=OE:③分别以点D和点E 为圆心，大于2DE的长为半径作圆弧，在 第5题图 第6题图 ∠AOB内，两弧交于点P 6.(中考·内蒙古)如图，在△ABC中，∠ABC= A.①②③ B.②①③ 90°，∠BAC=60°，以点A为圆心，以AB的长 C.②③① D.③②① 为半径画弧交AC于点D,连接BD,再分别以 2.观察图中尺规作图痕迹，说 A 明作图的依据是 () C 点B,D为圆心，大于号BD的长为半径画弧，两 大E A.SAS B.AAS 弧交于点P,作射线AP交BD于点M,交BC于 C.SSS D.ASA 点E,连接DE,则S△mES△ae的值是() 3.如图，作∠α的补角，然后再画该补角的平分线， A.1:2 B.1:5C.2:5 D.3:8 B ③拓展在线》培桃拔尖提升然， 0 7.如图，已知△ABC中，AB=AC. (1)作图：在AC上有一点D,延长BD,并在 BD的延长线上取点E,使AE=AB,连接 知识点2过一点作已知直线的垂线 AE,作∠EAC的平分线AF,AF交DE于点 4.如图，已知△ABC,求作BC边上的高.（尺规 F(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)： 作图，保留痕迹) (2)在(1)的条件下，连接CF,求证：∠BAC ∠BFC. ②能力在线沙方法规律综合族… 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=54°，以点 C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D,分 第15章98 ©第2课时 角的平分线的性质与判定 ①基础在线 知识受点分类结 知识点2角的平分线的判定 5.(芜湖期中)小明同学在学习了轴对称图形的 知识点1角的平分线的性质 相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形 1.(中考·湘潭)如图，在Rt△ABC中，∠C 直尺就可以作出一个角的平分线.如图，一把 90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小 直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA 于AC长为半径作弧，分别交AC,AB于点 并且与第一把直尺交于点P,小明说：“射线 M,N:②分别以M,N为圆心，以大于2MN OP就是∠BOA的平分线.”他这样做的依据 的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O: 是 ( ③作射线AO,交BC于点D.若点D到AB的 A.角平分线上的点到这个角两边的距离相等 距离为1，则CD的长为 B.角的内部到角两边距离相等的点在角的平 分线上 C.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 相等 第1题图 第2题图 D.以上均不正确 2.(宿州阶段练习)在△ABC中，∠C=90°， ∠BAC的平分线交BC于点D,DE⊥AB于 点E.若CD=2,AB=5,则△ABD的面积为 A.2.5 B.5 C.10 D.20 第5题图 第6题图 3.(淮南期末)如图，OP平分 6.如图，在R1△ABC中，∠A=90°，∠C=58, ∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB, 点O在△ABC的内部，OM⊥AB于点M,ON 垂足分别为点A,B,下列结论 ⊥BC于点N,若OM=ON,则∠OBC的度数 中不一定成立的是 ( 为 ( A.PA=PB B.PO平分∠APB A.20° B.18° C.17° D.16 C.OA=OB D.AB垂直平分OP 7.如图，PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC 4.已知：如图，∠C=90°，∠B=30°，AD是 =PD.Q是OP上一点，QE⊥OA于点E,QF △ABC的角平分线.求证：BD=2CD. ⊥OB于点F.求证：QE=QF 99探究在线八年级数学（上）·HK ②能力在线沙方法规律综合蛛 (1)求证：∠1-∠2=∠3： (2)延长AB交EN于点G.若∠EAG=70°， 8.如图，在x轴、y轴上分别截取OA,OB,使OA 则∠EGA= =0B,再分别以点A,B为圆心，以大于2AB 的长为半径画弧，两弧交于点C.若点C的坐 标为(3a,2a+10),则a= 图② B 第8题图 第9题图 9.(教材P147习题T5变式)如图，∠AOE=15, OE平分∠AOB,DE∥OB交OA于点D,EC⊥ OB,垂足为点C.若EC=2,则OD的长为 10.(淮南期中)如图，在△ABC中，∠ABC, ③拓展在线沙特优拔尖提并族…一 ∠EAC的平分线BP,AP交于点P,延长BA, 12.在四边形ABCD中，∠A十∠C=180°，BD BC,PM⊥BE,PN⊥BF,下列说法：①CP平 平分∠ABC. 分∠ACF:②∠ABC+∠MPN=180°： (1)如图①，若∠A=90°. ③∠ACB=2∠APB:④∠MPN=2∠APC; ①直接写出AD与CD的数量关系： ⑤AC=AM+CN.其中正确的个数有() ②请你写出图中一个与①不同的正确结论： M (2)如图②，若∠A>90°，猜想AD与CD的 数量关系，并证明. A.2个B.3个 C.4个 D.5个 11.我们学习过利用尺规作图平分任意一个角， 而“利用尺规作图三等分任意一个角”曾是数 学史上一大难题，之后被数学家证明是不可 图① 图② 能完成的.人们根据实际需要，发明了一种简 易操作工具一三分角器.如图①是它的示 意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一 直线上，且AB的长度与半圆的半径相等， DB与AC垂直于点B,DB足够长.三分角器 的使用方法如图②所示，若要把∠MEN三 等分，只需适当放置三分角器，使DB经过 ∠MEN的顶点E,点A落在边EM上，半圆 O与另一边EN只有一个交点F,且OF⊥ EN,则EB,EO就把∠MEN三等分了. 第15章100 ©第3课时 三角形的角平分线 1基础在线> 。知识受点分类结 OH⊥BC于点H.若∠BAC=60°，OH=3cm, 则OA= ) 知识点1三角形三条内角平分线的交点的 性质 1.△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作 出∠A,∠B的平分线，如果两条平分线交于 A.6 cm B.5 cm 点O,那么下列选项中不正确的是 C.4 em D.3 cm A.点O一定在△ABC的内部 5.直线L1,l2,l表示三条相互交叉的公路，现在 B.∠C的平分线一定经过点O 拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距 C.点O到△ABC三边的距离一定相等 离都相等，请画出符合要求的地址（保持作图 D.点O到△ABC三个顶点的距离一定相等 痕迹，不要求写作法). 2.如图，P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥ AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,已 知PD=5cm,则PE cm.PF= cm. 知识点2三角形内角平分线的实际应用 3.如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个 凉亭供大家休息.若要使凉亭到草坪三条边的 3 拓展在线》培代拔火提升练 距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪( 6.(芜湖阶段练习)如图，AD平分∠BAC,BD平 分∠ABC,DE⊥AB,垂足为点E,△ABC的 周长为46cm,面积为92cm,求DE的长. A.三条角平分线的交点处 B.三条中线的交点处 C.三条高的交点处 D.三条边的垂直平分线的交点处 ②能力在线》方法规律综合 4.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线 相交于点O,连接AO并延长，交BC于点D, 101探究在线八年级数学（上）·HK六在△BEx中，E一C=18为里， 发腰长为7，密边长为10. :D平分∠AC,∠AD=∠ ,△A☑△M洁E(A 4Io心凌83减26或14o ∠ADm∠H+∠HD=∠H+∠ACD ∠1=∠？， 1830, 微专罚山等腰三角形中常见的作桶助线的方法 又∠XE=∠AE+∠ACD=∠B+∠AD ELW,OF⊥N,W=OF :轮船不故业方向雅续向前帆行，会有触因意购 1.《)证两：图①，过点P作PFAC交做灯于点F, ∠AC-∠DE·DE=E ∠2=∠8，∠1-∠2-∠3 拓震在线 :点P相点Q民时出发，且递度相同， ∴，C'+AD-AF+AD=DEm=二 (2150 8.1 BP总"PFAQ 成4角的平分城 拓展在使 微专是10等腰三角形的分类讨论思顿 .∠PFB=∠ACH,∠DPF=∠DQK 第1派叶角的平令线竹件洪 12.1山①，ADCD伦AB=C联符案不 t.12C 又AB=AC.∴∠B=∠ACB∴2B=∠FH 基脸在战 (21AD-D证明如下： 3,(?如图①所示，当等题三角形基投角三角形时，里 UPFP.FPCQ. 1,C.C 如图边，作DF⊥BA交BA的延 起磁意，∠AB=45, 在△PFD和△QCD中， 3.加图所系： 长线于点下，DEC于点E, 又”M是AC边上的高， ∠PD-∠Q,∠DP-∠Q,FP-Q ∠Fm∠CED=0 ∠ANB=o”∠A-o-45=5 △PFD2△OCD.(4S.PD-Q0 ∠AD+∠DAF-8,∠BAD+∠C-10' 2)线段ED的作度保持不变.理由如下：如图当，过 ,∠DMF∠C ,如图所云，AD甲为所求， 点P作FAC交C千点F.由1知i='F D平分∠AC,DF1,E⊥C, PE BF.BEEF.由I》幅△PFD2△QD DFDE (虹色，当等整三角B是躺角三角形对，根则想 ÷D-CD.÷D-F+FD-E+D-C. 在△ADF和△DE中. ∠F∠CED 算，∠DBN=45' D的长度保特不童 四EN是DF边上的高.∠N一0，∠N DF-DE. 0”-4°=45，，∠DF=180-47=135. 解力有线 △ADF2△DE《A5 位顶角为对”或的 5.1n”长A AD-CD. 拓展在凝 4,此道分两种韩况： 器1课时之商形的属平分我 1,1作图如图所示 基磁在酸 (1虹闲①，AB边时垂直平分线与AC边义于点D, ∠ADE=4',∠A=' 1如图，延长CD交A山 (21证明，AHAC,AE=AB: LD2.581.A 于点E ÷,AC=AE AB=AC,∠B=180-90+2=5 能力在能 :AD平分∠C, 在△ELE和△CAF中 I.A ∠1m∠2， ,AE-AC,∠EA=∠CA,AF-A 五，”中转站要列三条公路的肥离都相尊， DLAD,÷∠ADE=,∠Ax=9m △EAA△C1F(8Ls ,衡物中转站多颈是三条相实直线所妇成的三角形 ∠AFD-∠AC7,即AE-AC-Io ,∠AF=,CAA 的内唐复养角平分线的交点： 义，CDLAD..DE=D AB-AE,∠AHE一∠AE国 满是条作的点P有丙个，固略 (?图©，AB边的垂直平分线与C1的减长线交 ∠DH=∠H,HE=E=DC ,∠AE=∠A下 拓展在线 于点D,∠ADE-,则∠lE-o ,A-AE+E=1D+2I-25 又：∠ADB-∠CDF,∠RtC=∠BF℃ .如唇，连接D ∠BAC=1U ACD-T.S. 第2课时角岭平分汽的姓猫与料定 :AD平分∠RC.D零分∠A :A=AC,,∠B=(1得-1◆225 玉方法1，（截长法）在C上取C 基甜在超 :点D间AC,AB,的距离相 除上所正∠B的度数为域否 E,使E=BA,生接D, 1,12.B$D 等，即为D尿的长 五.州所示，在等模三角形AC中，A国 :D平分∠AC L.如图，过点D作DE⊥ABT点E, △ABC的周长为格，喜积为2m =AC,点D为AC的中点，设AH=A0 ∠ABD=∠EBD AD平分∠AC,DE⊥AB.∠C 雀△，ABD和△D中 =°，，DE= W直D为C的中点， :AI=EB.∠ABD=∠EBD.BD-BD. :在成角兰角冠BD中， .△AgD△EL(RMS5 ∠I=a0, 专·D呢+A·DB D=CD=5BC=24-(A话+C=4-2 .∠AC=∠HD=168.∠D队-72 ∴D=gDE.B2CD 国g一号E×4,罪得DE- D当△ABD的周长大干△CD转同长对 AH=Ci∠C=∠AC=5+∠CDE=T 5.158.D 阶段测评4〔15.2-15.41 若AN+AD+D-《C+CD+D)=3, ∠DE=∠(CED=2÷CD=E PCLOA.PDLOB.PC-PD. L C 2.D S.A 4.C 5.AA.A 7.D B.C ,10-G-3,甲-424-2)= 调C=BE+B=AB十D P是∠AOB的平分线， 1.20” 解得=.24一2r=4 方法：（补知法）延长N4至点 Q是0P上一点.QE14,Q5L乐： I0,∠B-减∠C=40'发AB-C减AC=C减 9,4能够配收二角形，符合题夏： E,旋HE=,连接DE:证 QE-QF AB-EC 边当△D的域长大于△A月D静同长封， △EB△CD即可. 能力在战 11,10°12.0,72 C+CD十HD-(AB+AD+ID》3, 4,小清的证明思路：如图四，延长DA列点E,楚八E 8.109.410.D 14.(1)线段A山的垂直平分线如用周示 1C-A0=3.p24-2y一=3. AG,接E,侧∠E=∠ 山《1)证师：谢所示，蓬接冰 解得1=7,24一2x=10. ∠HAG-∠E+∠AE-2∠E ,E君王C, (31证用：：A8-C.∠A-6: 7,T,10能够组成三看形，冷合题意 ∠iA°=2∠U .∠AE=∠(0E-0° ∠Ar-×4180'-∠A)=2 缩上所述，这个等腰三角形的暖长为，底边长为日 品∠B=∠E-∠ACE BC A=(B,BE=召E, :E乘直平分AB: -探死在写·八年级致学（上）·HK 27