15.3 等腰三角形-【探究在线】2024-2025学年八年级上册数学高效课堂导学案（沪科版）

(2)山国形可短点A,B,C的对应点坐标分期是 13.如爵，点C静为所求 ,∠DE=∠1=12. :∠A-∠AD At-1.-41,c-,1,1,-1) ∠EF-1-/DFE=5K :∠ABD-∠A-∠ACD-∠AC用 7,L△AC如周所示， YGE-GF. ∠D改C=∠IR1BD=CD (:△LBC如用所求.Sax=6×3- ,∠G=∠G=M .C6.D ·/1=18-∠F2G-∠EFG-, 7.∠AC-120,÷∠ACE-o 14(1)证明：：AD3, 4,B5.7.i CD平分∠AH,AE(D ∠F∠EBC,∠FDE∠C G.AB=AC,AD是C边上的中线， 点E为D的中点，，D= ∠E∠r是LM80 ∠F-∠F, ∠RAD=∠CAD ∠ED∠FAD .△ACE是等边三角形 在△DE和△HE中，H∠FDE=∠ ED-EC- 在BADE推△ADF中，“AD-AD. 美.目 ∠ADE=∠ADF, 能力在城 .△FDQ△【L4S △ADE≌△ADF,(A8M)DE=DF, .251.B1L.6 (2》H△DE2△B度E,,E=E.C=FD 13,1∠AC-, 能力在妹 T.A BA ”AE⊥F,AE为线取非静垂直平分提 8.D3,D1%4-5,-4) 9,△C1P和△CQ程星等边三角形， ∠AHF+∠2■0 .AHAF..AB-AF-AD+DF-1++2-1 11,42.01藏4-2.0)成0，一4)或(0,4) ∠ACP=∠CQ=0”, ∠I-∠2，∠1+∠AF-0 A登的长为1 ∠3=，∠ABF+∠|= 12,1)周案①如图所示 粘据在线 ∠-m,÷∠仪P-∠ACH-∠AP-10 2)晖案②如图所示.由图可知圈某中与游鉴中关 在△CH中，∠BC=1一∠HCH-∠CBH (2证明：AD⊥C,∠AD出=0 1G,00① 于x朝时称， 580-30°-0m0°， ∠AC=6,÷,t-30 根据题意朴全西形如周衡承， QLCP ∠1=∠1-0，∠AF=∠AC-30°=0 M廉直平分D, 106r发90 ∠1=∠ABF.△ABF是等膜三角形， ..CM-DM:AC-AD 能力在线 13.1△(DE是等边三角形. 在△ACN与△ADM中. 鬼由如下：：△AC是等道三角形， [AM-AM. n.c2,非1普我号 14.①色 ∠AC-∠CB-C AC-AD. 1点图，走按AC,AD, 又，《DA出，E产AC, CMDM. 在△AC和△AED中， ∠（泥=∠D=” 13.(1)如图 ,△AMa△AM4Ss,∠CAM=∠AM (ABAE. ∠E一0“△E是等边三角思 AB-AE. ∠B-∠E, (1BD一E理由虹下， 在△A与△A边中，：AC■AD RX-ED. 由1)知△DE是等边三角形， 仪=ED, △，1☑△AED.(5AS)A=A. ∠D=∠D0,∠唱=∠=1 .AA0☑△AED8S8∴∠HAC-∠EAD :AF1CD,罩一PDF是D的中点 C=《,,∠D=∠COXE. ∠CANm∠DMAM, 16,),△A做和△ADE为等边三角形. ∠HAC+∠CAM-∠EAD+∠DAM ABAC,ADwE=DE.∠BMC∠LE心 在△（常D朝△XE中，∠D=∠XE: (21如(2,1，(，一11等.（容不M一） 即∠BAM-∠EAM-吉∠AE :∠MD=∠kC-∠ACG,∠CAE-∠DAE (0=, 拓展在战 1LA “AM平登∠BAE ∠4. .△0B4△AE4AM别 15.2线段的直分 ∠BMD=∠CAE RDCE. (条件①由，结论证明略】 AB-AC. 质展在线 基醒在储 微专盟9与轴对称有关的量短路径问题 在△ABD阳△AK中，：《∠BAD=∠CAE, 1.C 1.C2.C11 LADAE. () 之，1周略 4如图侧示，作点P关干直线型的对 ,△M@AACE.(SAs) 幕3课时：舍30“角的直角三角形的杜质 (2}对街，使将点A与点重介，则新衡在特直线 释点P,年点P关于直线6的对程 ),△A6a△AB,,D=E 越建在线 为汉段AB的系直平分浅.答案不性一) 点P连接PP,分别交直线4：6 DE-DC+CE-BD+CD. 1.0名1，B4, ,B4.3 干点A,B:蓬核PA,PH,由脑时移 艾DEAD,,+CD=A 能力在機 3.(D是线2A非的原直平分线， 的性图知，PA=A,B=PB 韬展在战 3.A 6.C .AD-BD.AC-RC. 麦沿路线P以到点A处龙停，再沿路线AB到点引 17,t 7,会有触地位网 AD-BD. 处饮水，最后沿避线P国到容地，甲P,A,B.P 第2跟时等限三鼻形的判无 理由如下，如图，过点C作CELAN于点E 在△AD附△D中，AC=C, 点共浅时，夜这样的路线较牧深走的象磨程最复。 基码在域 由题意，得AUe2×18=所海里)， CD-CD. 1,1莓提三角形 1.A之，B表H "∠NA-l5∠NC'-0. ∴.△A72△Ha(555∠C10=∠C8D 第1深时等腰三角形的性盾 4,相等.理山如下 ∠]B=∠N=且，度=第特里 6.C7.A8.59.A 淋建在线 连接议，如图 ,CE⊥AN,∠EE0说 能力在线 1652,D ABAC. ,∠Nr 1n,=11.B12D %At8CD∠1=122 .∠AC-∠ACB 26 一探究在线·八年级级学（上》·HK 六在△BEx中，E一C=18为里， 发腰长为7，密边长为10. :D平分∠AC,∠AD=∠ ,△A☑△M洁E(A 4Io心凌83减26或14o ∠ADm∠H+∠HD=∠H+∠ACD ∠1=∠？， 1830, 微专罚山等腰三角形中常见的作桶助线的方法 又∠XE=∠AE+∠ACD=∠B+∠AD ELW,OF⊥N,W=OF :轮船不故业方向雅续向前帆行，会有触因意购 1.《)证两：图①，过点P作PFAC交做灯于点F, ∠AC-∠DE·DE=E ∠2=∠8，∠1-∠2-∠3 拓震在线 :点P相点Q民时出发，且递度相同， ∴，C'+AD-AF+AD=DEm=二 (2150 8.1 BP总"PFAQ 成4角的平分城 拓展在使 微专是10等腰三角形的分类讨论思顿 .∠PFB=∠ACH,∠DPF=∠DQK 第1派叶角的平令线竹件洪 12.1山①，ADCD伦AB=C联符案不 t.12C 又AB=AC.∴∠B=∠ACB∴2B=∠FH 基脸在战 (21AD-D证明如下： 3,(?如图①所示，当等题三角形基投角三角形时，里 UPFP.FPCQ. 1,C.C 如图边，作DF⊥BA交BA的延 起磁意，∠AB=45, 在△PFD和△QCD中， 3.加图所系： 长线于点下，DEC于点E, 又”M是AC边上的高， ∠PD-∠Q,∠DP-∠Q,FP-Q ∠Fm∠CED=0 ∠ANB=o”∠A-o-45=5 △PFD2△OCD.(4S.PD-Q0 ∠AD+∠DAF-8,∠BAD+∠C-10' 2)线段ED的作度保持不变.理由如下：如图当，过 ,∠DMF∠C ,如图所云，AD甲为所求， 点P作FAC交C千点F.由1知i='F D平分∠AC,DF1,E⊥C, PE BF.BEEF.由I》幅△PFD2△QD DFDE (虹色，当等整三角B是躺角三角形对，根则想 ÷D-CD.÷D-F+FD-E+D-C. 在△ADF和△DE中. ∠F∠CED 算，∠DBN=45' D的长度保特不童 四EN是DF边上的高.∠N一0，∠N DF-DE. 0”-4°=45，，∠DF=180-47=135. 解力有线 △ADF2△DE《A5 位顶角为对”或的 5.1n”长A AD-CD. 拓展在凝 4,此道分两种韩况： 器1课时之商形的属平分我 1,1作图如图所示 基磁在酸 (1虹闲①，AB边时垂直平分线与AC边义于点D, ∠ADE=4',∠A=' 1如图，延长CD交A山 (21证明，AHAC,AE=AB: LD2.581.A 于点E ÷,AC=AE AB=AC,∠B=180-90+2=5 能力在能 :AD平分∠C, 在△ELE和△CAF中 I.A ∠1m∠2， ,AE-AC,∠EA=∠CA,AF-A 五，”中转站要列三条公路的肥离都相尊， DLAD,÷∠ADE=,∠Ax=9m △EAA△C1F(8Ls ,衡物中转站多颈是三条相实直线所妇成的三角形 ∠AFD-∠AC7,即AE-AC-Io ,∠AF=,CAA 的内唐复养角平分线的交点： 义，CDLAD..DE=D AB-AE,∠AHE一∠AE国 满是条作的点P有丙个，固略 (?图©，AB边的垂直平分线与C1的减长线交 ∠DH=∠H,HE=E=DC ,∠AE=∠A下 拓展在线 于点D,∠ADE-,则∠lE-o ,A-AE+E=1D+2I-25 又：∠ADB-∠CDF,∠RtC=∠BF℃ .如唇，连接D ∠BAC=1U ACD-T.S. 第2课时角岭平分汽的姓猫与料定 :AD平分∠RC.D零分∠A :A=AC,,∠B=(1得-1◆225 玉方法1，（截长法）在C上取C 基甜在超 :点D间AC,AB,的距离相 除上所正∠B的度数为域否 E,使E=BA,生接D, 1,12.B$D 等，即为D尿的长 五.州所示，在等模三角形AC中，A国 :D平分∠AC L.如图，过点D作DE⊥ABT点E, △ABC的周长为格，喜积为2m =AC,点D为AC的中点，设AH=A0 ∠ABD=∠EBD AD平分∠AC,DE⊥AB.∠C 雀△，ABD和△D中 =°，，DE= W直D为C的中点， :AI=EB.∠ABD=∠EBD.BD-BD. :在成角兰角冠BD中， .△AgD△EL(RMS5 ∠I=a0, 专·D呢+A·DB D=CD=5BC=24-(A话+C=4-2 .∠AC=∠HD=168.∠D队-72 ∴D=gDE.B2CD 国g一号E×4,罪得DE- D当△ABD的周长大干△CD转同长对 AH=Ci∠C=∠AC=5+∠CDE=T 5.158.D 阶段测评4〔15.2-15.41 若AN+AD+D-《C+CD+D)=3, ∠DE=∠(CED=2÷CD=E PCLOA.PDLOB.PC-PD. L C 2.D S.A 4.C 5.AA.A 7.D B.C ,10-G-3,甲-424-2)= 调C=BE+B=AB十D P是∠AOB的平分线， 1.20” 解得=.24一2r=4 方法：（补知法）延长N4至点 Q是0P上一点.QE14,Q5L乐： I0,∠B-减∠C=40'发AB-C减AC=C减 9,4能够配收二角形，符合题夏： E,旋HE=,连接DE:证 QE-QF AB-EC 边当△D的域长大于△A月D静同长封， △EB△CD即可. 能力在战 11,10°12.0,72 C+CD十HD-(AB+AD+ID》3, 4,小清的证明思路：如图四，延长DA列点E,楚八E 8.109.410.D 14.(1)线段A山的垂直平分线如用周示 1C-A0=3.p24-2y一=3. AG,接E,侧∠E=∠ 山《1)证师：谢所示，蓬接冰 解得1=7,24一2x=10. ∠HAG-∠E+∠AE-2∠E ,E君王C, (31证用：：A8-C.∠A-6: 7,T,10能够组成三看形，冷合题意 ∠iA°=2∠U .∠AE=∠(0E-0° ∠Ar-×4180'-∠A)=2 缩上所述，这个等腰三角形的暖长为，底边长为日 品∠B=∠E-∠ACE BC A=(B,BE=召E, :E乘直平分AB: -探死在写·八年级致学（上）·HK 2715.3 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 知识要点分类练 基础在线 6.如图,在等腰三角形ABC中,AB一AC,AD是 ......... BC边上的中线,ADE一ADF,求证:DE 等边对等角 知识点1 -DF. 1.(中考·长沙)如图,已知 ABC一50{*},点D在 BA 上,以点B为圆心,BD长为半径画孤,交BC 于点E,连接DE,则/BDE的度数是 过度. 第1题图 第2题图 2.(滁州一模)如图,在△ABC中,AB=AC,CD 知识点3 ) 等边三角形的性质 1AB于点D,若 A-40{*},则有 ( 7.如图,将一个等边三角形剪去一个角后,1 A.1-50* B1-40* . 乙2等于 ~ C. 1-35* D.1-20* A.240{ B.120* C.170* D.360。 3.(中考·益阳)如图,AB/CD,直线MN与 AB,CD分别交于点E,F,CD上有一点G且 GE=GF,1-122*,求2的度数。 第7题图 第8题图 8.(宿州期末)如图,AD是等边三角形ABC的 中线,点E在AC上,AE=AD,则 EDC等 于 ) 知识点2 等腰三角形的“三线合一” B.20{ A.15* C.25* D.30{* 4.如图,已知AB=AC,AD BC,若BC=5,则 9.如图,在Rt△ABC中,ACB-90{},△CAP CD的长为 _ 和△CBQ都是等边三角形,BQ和CP交于点 A.2 C.3 B.2.5 D.3.5 H.求证:BQCP #△#.# 第4题图 第5题图 5.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是角平分 线,点E,F是AD上的两点,AD-6cm,BC= 5cm,则图中阴影部分的面积之和为 cm. 第15章 90 D易错点 未分类讨论致错 15.(教材P140习题T11变式)已知:如图,AB 10.(中考·西宁)在△ABC中,AB=AC, AE. B=E,BC=ED,AF CD.求证:F BAC=100*},点D在BC边上,连接AD 是CD的中点. 若△ABD为直角三角形,则 ADB的度数 能力在线> 方法规律综合练 11.(中考·武威)如图,BD是等边三角形ABC 的边AC上的高,以点D为圆心,DB长为半径 作狐交BC的延长线于点E,则/DEC一( ) A.20* B.25* C.30* D.35* 16.如图,△ABC,△ADE都是等边三角形 (1)求证:△ABD△ACE; (2)求证:BD士CD三AD 第11题图 第12题图 12.(铜陵阶段练习)如图,在\ABC中,AB AC,点D和点E分别在BC和AC上,AD AE,则下列结论一定正确的是 A 1+22-90* B.1-22 C.2 1+2=90{*D.1+2-45* 13.定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度 数的比值&称为这个等腰三角形的“特征 值”.若等腰三角形ABC中,A一80*},则它 的特征值一 拓展在线 培优拔尖提升练 14.(教材P140习题T10变式)如图,在等边三 角形ABC中,点D,E为线段BC,AC上动点 17.如图,AOB是一个角度为15{的钢架,要使 且 BD=CE,连接AD,BE交于点F,连接CF 钢架更加牢固,需在其内部添加一些钢管: 下面结论:①△ABD△BCE;②AFB EF,FG,GH.....且 OE-EF=FG=GH... 1$$ 20*};③若BD-CD,则FA-FB=FC.其中 在OA,OB足够长的情况下,最多能添加这 (填序号). 结论正确的有 样的钢管的根数为 ) A.4根 B.5根 C.6根 D.7根 91 探究在线 八年级数学(上)·HK 第2课时 等腰三角形的判定 知识点2 知识要点分类练 基础在线> ..... 等边三角形的判定 5.由于木质衣架没有柔性,所以在挂置衣服的时 知识点1 等腰三角形的判定 候不太方便操作,小敏设计了一种衣架,在使用 1.已知三角形两个内角的度数,则这个三角形是 时能轻易收拢,套进衣服后松开即可,如图,衣架 ( ) 杆OA=OB=18cm.若衣架收拢时,AOB= 等腰三角形的是 60{},则此时A,B两点之间的距离是 ( ) A.40{,70* B.30{,90{ A. 9 cm B. 16 cm C. 18 cm D. 20 cm C.60*,50” D.50*,20” 2.(教材P137例4变式)如图,上午8时,一艘船 从A处出发,以15海里/时的速度向正北方向 航行,9时40分到达B处,从A处测得灯塔C 第5题图 第8题图 在北偏西26^{方向,从B处测得灯塔C在北偏 6.(涂州阶段练习)下列推理中,不能判断△ABC 西52{方向,则B处到灯塔C的距离是( -. ( 是等边三角形的是 ) A.36海里 B.25海里 A.A-B- C C.20海里 D.21海里 B$AB=AC.B-60* N北 C. A-60*,B-60{ ##7# D.AB-AC.B- C 7.如图,在△ABC中,ACB=120{*},CD平分 ACB,AE//CD,交BC的延长线于点E.求 第3题图 证:△ACE是等边三角形。 第2题图 3.如图,A=36^*.,DBC-36^*$,C-72^{*,则图 中的等腰三角形个数是 _ ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4.如图,已知AB=AC. B= /C.则BD与CD D易错点 相等吗?请说明理由. 选择腰的标准不明确致错 8.(宿州期中)如图,在5×5的正方形网格中,每 个小正方形的顶点称为格点,点A,B均在格 点上.要在格点上确定一点C,连接AC和 BC,使△ABC是以C为项角的等腰三角形 则网格中满足条件的点C的个数是 ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 第15章 92 能力在线> 方法规律综合练 13.(芜湖阶段练习)如图,在等边三角形ABC中,点 ....... O在 ABC内.OB=OC.且OD//AB.OE//AC 9.(宿州期中)如图,点D,E都在△ABC的边 (1)试判定入ODE的形状,并说明理由; 上,DE/BC.ABC和 ACB的平分线分别 (2)判断线段BD,CE的数量关系,并说明理由. 交DE于点G,F.若BE+CD=25,则DE FG一 第9题图 第10题图 10.如图,已知E是等边三角形ABC中AC边上 的点,1=2,BE=CD,则△ADE的形状 是 ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C. 不等边三角形 D.无法确定 11.如图是四张形状不同的纸片,用剪刀沿一条 直线将它们分别剪开(只允许剪一次),不能 够得到两个等腰三角形纸片的是 ( ) 7 拓展在线> 培优拔灾提升练 D. 14.(中考·齐齐哈尔)如图,在平面直角坐标系 中,点A在y轴上,点B在x轴上,OA=OB 12.如图,已知 ABC=60{*,1=2 一4:连接AB,过点O作OA|AB于点A; (1)求3的度数; 过点A作AB x轴于点B;过点B作BA (2)若AD BC,求证:△ABF是等腰三角形 IAB于点A,过点A:作A:B z轴于点 B:过点B作BA AB于点A。,过点A.作 A.B Ix轴于点B。;..:按照如此规律操作下 去,则点A的坐标为 A 93 探究在线 八年级数学(上)·HK 第3课时 含30*角的直角三角形的性质 基础在线> 过知识要点分类练 ..... 知识点 含30}角的直角三角形的性质 1.(宿州阶段练习)如图,一名滑雪运动员沿着倾 斜角为30{}的斜坡,从点A滑行至点B,已知AB 第5题图 第6题图 -100m,则这名滑雪运动员的高度下降了 6.如图,在△ABC中,ABC=60*,BC-20,点 m. D在BA的延长线上,CA=CD,BD=12,则 AD的长为 _ A.6 B.5 C.4 D.3 7.(宿州阶段练习)上午8时,一条船从海岛A出 第1题图 第2题图 发,以每小时航行18海里的速度向正北航行 2.(中考·贵州)5月26日,“2023中国国际大数 10.时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测得灯 据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体 塔C在A的北偏西15{*,灯塔C在B的北偏西 库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角 30*方向上,在灯塔C的周围20海里范围内有 形模型(示意图如图所示),它的顶角为120*; 暗礁,如果轮船不改变方向继续向前航行,是 ( ) 腰长为12m,则底边上的高是 否会有触礁危险?请说明理由, D.12m C.10m A.4m B.6m _△_ 3.(淮南期中)如图,一棵树在一次强台风中于离 地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30 ( 角,这棵树在折断前的高度为 ) A.6米 C.12米 B.9米 D.15米 第3题图 第4题图 4.(教材P138练习T3变式)(芜湖阶段练习)如 拓展在线> 培优拨尖提升练 图,在等边三角形ABC中,BE平分之ABC 交AC于点E,过点E作EF BC于点F,若 8.(中考·通辽)如图,等边三角 ( CF一2,则AB的长为 _ B.6 D.12 A.4 C.8 形ABC的边长为6cm,动点 P从点A出发以2cm/s的速 能力在线> 方法规律综合练 ..........1 度沿AB向点B匀速运动,过点P作PQ 5.(安庆期中)已知:如图,在Rt△ABC中,C AB,交边AC于点Q,以PQ为边作等边三角 =90{,BE平分 ABC,ED垂直平分AB,D 形PQD,使点A.D在PQ的异侧,当点D落 为垂足,若AC一12,则CE的长度为 ) 在BC边上时,点P需移动s. B.5 C.6 A.4 D.8 第15章 94