14.1 勾股定理-【探究在线】2024-2025学年八年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版）

第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.1 直角三角形三边的关系 @第1课时 探索直角三角形三边的关系 基础在线》 “识要点分类练 知识点2利用勾股定理进行计算 3.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为 知识点1探索直角三角形三边的关系 () 1.(教材P108“试一试”变式)(1)在单位长度为1 A.5 B.6 C.7 D.8 的方格中，观察下面三个图形，完成下表： 4.斜边长是4的直角三角形，它的两条直角边可 能是 () A.3,7 B.2,3 C.3,5 D.2,2 ① 图② 图3 5.(平顶山阶段练习)如图，字母B所代表的正方 正方形【的正方形Ⅱ的 正方形Ⅲ的 形的面积是 () 面积（单 面积（单位 面积（单位 位面积】 面积) 面积) 图① 图② 169 图③ (2)你发现上面的每个图形中三个正方形面积 A.194 B.144 C.13 D.12 之间的关系是 6.如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，AC =10,CD=8,BC=3AD.求BC的长. (3)由此，你得出直角三角形三边的长度之间 存在的关系是 2.(教材P110“做一做”变式)如图，用8个全等 的直角三角形拼成一个正方形，并用它来验证 勾股定理 易错点直角边不确定导致漏解 7.在Rt△ABC中，AB=5,BC=4,则AC的长 是 () A.3 B.4 C.3或√4I D.4 83探究在线八年级数学（上）·HD ②能力在线》 方法规律综合练. 13.如图，∠ACB=90°，AC-AD. (1)过点D作AB的垂线DE交BC与点E, 8.下列选项中，不能用来证明勾股定理的是 连结AE(尺规作图，并保留作图痕迹)： (2)如果BD=8,BE-10,求BC的长. B 9.(中考·牡丹江)在R1△ABC中，∠C=90°，AD 平分∠CAB,AC=6,BC=8,则CD= 第9题图 第10题图 10.(教材P126复习题T2变式)如图，以Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形. 若斜边AB=3,则图中阴影部分的面积为 11.(娄底阶段练习)如图，“赵爽弦 图”是四个全等的直角三角形与 中间一个小正方形拼成的大正 方形，每一个直角三角形的两条直角边的长 分别是3和5，则大正方形与小正方形的面积 差是 12.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠DBC 拓展在线沙塔优拔尖凝升熊。 =90°，若AD=4cm,AB=3cm,BC= 14.(哈尔滨市萧红中学阶段练习)已知△ABC, 12cm,求CD的长. AB=20,AC=13,BC边上的高是12，则BC 的长为 15.(郑州期末)如图，在Rt△ABC中，AC=7, AB=25,则内部五个小直角三角形的周长为 第14章84 ©第2课时 勾股定理的简单应用 基础在线 知识受点分类练 知识点勾股定理在实际问题中的简单应用 C 1.如图，某人欲横渡一条河，由于受水流的影响， A.2.4米 B.2.6米 实际上岸地点C偏离欲到达点B200m,结果 C.0.6米 D.1米 他在水中实际游了250m,则该河的宽度为 6.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小 汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h. m. 8200mC 如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行 驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的 250m 2.A345 正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车 第1题图 第2题图 与车速检测仪间距离为50m,这辆小汽车超 速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6kmh) 2.如图，数轴上点A所表示的实数是 小汽相 小汽 3.如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水 站A,在水塔的东南方向24m处有一建筑工 地B,若在AB间建一直水管，则水管的长为 A 车速检测仪 A.45m B.40m C.50m D.56m 南 第3题图 第4题图 4.如图，有两棵树，一棵高10m,另一棵高4m, 两树相距8m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到 2 能力在线沙方法规律黛合练 另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行 ( A.8 m B.10m 7.如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度， C.12m D.14m 同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并 5.(新乡期末)如图，一棵树（树干与地面垂直）高 多出一段（如图①），同学们首先测量了多出的 3.6米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后 这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图②）， 的树顶C与树根A的距离为2.4米，则这棵树 测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米， 断裂处点B离地面的高度AB的值为() 则旗杆的高度为 () 85探究在线八年级数学（上）·HD (2)若CF=5米，AF=12米，AB=4米，求男 孩需向右移动的距离CE(结果保留根号) 图① 图② A.5米 B.12米 C.13米 D.17米 8.(南阳期中)如图，某商场有一段楼梯，高BC= 6m,斜边AC是10米，如果在楼梯上铺上地 毯，那么需要地毯的长度是 () A.8 m B.10m C.14m D.24m ③拓展在线》培犹猴尖提升缕 11.沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向 第8题图 第9题图 130km的B处有一台风中心，沿BC方向以 9.如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车车 15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC 站的位置，线段AB,BC表示连结缆车车站的 的距离AD=50km,那么台风中心经过多长 钢缆，已知A、B、C三点在同一平面内，它们的 时间从点B移到点D?如果在距台风中心 海拔高度AA'、BB、CC分别为110米、 30km的圆形区域内都将有受到台风破坏的 310米、710米，BD⊥CC,AE⊥CC,垂足分别 危险，正在点D休闲的游人在接到台风警报 为点D、E,AE与BB'相交于点F,且AF 后的几小时内撤离才可脱离危险？ 2BF,CD=BD,景区因改造缆车线路，需要从 点A到点C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC 的长度为 A.1000米 B.1200米 C.1400米 D.1500米 10.(南阳期末)如图，在一条绷紧的绳索一端系 着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子的另一 端向右走，绳端从点C移动到点E,同时小船 从点A移动到点B,且绳长始终保持不变，回 答下列问题： (1)根据题意，可知AC BC+CE(填 “>”“<”或“=”)； 第14章86 ©14.1.2 直角三角形的判定 ①基础在线 知识受点分类练 6.在△ABC中，AB=5,AC=12,BC=13. (1)△ABC是什么三角形？并说明理由： 知识点1勾股定理的逆定理 (2)求出BC边上的高. 1.一个三角形三边的长为5、12、13，因为5+12 =13,所以这个三角形是直角三角形.其推理 的依据是 A.等式的基本性质 B.勾股定理 C.勾股定理的逆定理 D.直角三角形三边的关系 2.(教材P114练习T1变式)下列各组数中，能 够作为直角三角形的三边长的一组是() A.1,2,3 B.2,3,4 C.4,5,6 D.6,8,10 3.(周口期末)三角形三边长为a、b、c满足 |a-1十v2一b+(c-3)=0,则这个三角 7.如图，AC=8,BC=6,在△ABE中，DE为AB 形是 ( 边上的高，DE=12,S△E=60,那么△ABC A.等边三角形 B.钝角三角形 是否为直角三角形？ C.锐角三角形 D.直角三角形 4.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是 a、b、c,则添加下列条件，不能判定△ABC是 直角三角形的是 A.ab:c=2:2:1 B.a2+b2=c2 C.a:b:c=5:12:13 D.ab:c=4:5:3 5.已知M、N是线段AB上的两点，AM=MN= 2,NB=1,以点A为圆心，AN长为半径画弧； 再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交 知识点2勾股数 于点C,连结AC、BC,则△ABC一定是() 8.下列各组数为勾股数的是 A.锐角三角形 B.直角三角形 A.7,12,13 B.3,4,7 C.钝角三角形 D.等腰三角形 C.8,15,17 D.1.5,2,2.5 87探究在线八年级数学（上）·HD 2 13.如图，在△ABC中，AB:BC:CA=3:4:5,且周 能力在线》 方法规律棕合缘.… 长为36cm,点P从点A开始沿边AB向点 9.五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25，现 B以每秒1cm的速度移动：点Q从点B开 将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是 始沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动， 如果同时出发，问经过3s时，△BPQ的面积 为多少？ 25 10.(南阳期末)在如图所示的网格中，小正方形 的边长均为1，△ABC的顶点A、B,C均在正 方形的格点上，则下列结论错误的是() A.AB=20 B.∠BAC=90 C.SAAC=10 D.点A到直线BC的距离是2 12 13 第10题图 第11题图 3 拓展在线沙烤桃拨尖提井练 11.(教材P118习题T4变式)如图，已知△ABC 14.如图，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=a,P为 的三边长为5,12,13，分别以三边为直径向 △ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转a得 上作三个半圆，则阴影部分的面积为() 到CD,连结AD.当a=60°，AP=10,PB=6, A.30 B.24 PC=8时，求∠BPC的度数 C.60 D. 12.【关注数学文化】（中考·黄冈）勾股定理最早 出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四， 经隅五”.观察下列勾股数：3,4,5：5,12,13： 7,24,25:…,这类勾股数的特点是：勾为奇 数，弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶 数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6,8， 10;8,15,17:…,若此类勾股数的勾为2m(m ≥3，m为正整数)，则其弦是 (结果 用含m的式子表示) 第14章88 @14.1.3 反证法 ①基础在线沙 知识受点分类练 2 能力在线》方法规徐棕合猴 知识点1反证法的概念及步骤 4.命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两 1.用反证法证明“当一个三角形的三边长a、b、c 条直线互相平行”，用反证法证明时，若先假设 (a≤b≤c)有关系a十b≠c2时，这个三角形 这两条直线不平行，则它们必相交，最终推出 与下面选项相矛盾的是 () 不是直角三角形”的第一步是 A.两点确定一条直线 B.过一点与已知直线垂直的直线只有一条 2.“已知：在△ABC中，AB=AC.求证：∠B< C.过直线外一点与已知直线平行的直线只有 90°.”下面写出了用于证明这个命题过程中的 一条 四个推理步骤： D.定义 ①所以∠A十∠B十∠C>180°，这与三角形内 5.已知m为正整数，m2为偶数，用反证法证明m 角和定理相矛盾： 为偶数. ②所以∠B<90°： ③假设∠B≥90°： ④那么，由AB=AC,得∠B=∠C>90°， 即∠B+∠C≥180 这四个步骤正确的顺序应该是 知识点2利用反证法证明 3.用反证法证明（填空）： 3 拓展在线沙培优拔尖提升鳞 两条直线被第三条直线所截.如果同旁内角互 6.已知△ABC和△A'BC有公共边BC,且A'B 补，那么这两条直线平行， +A'C>AB+AC. 已知：如图，直线42被l所截，∠1十∠2=180°. 求证：点A'一定在△ABC的外部. 求证：1∥l2. 证明：假设 2,即l1与l相交 于一点P,则∠1+∠2+∠P 180°（三 角形内角和定理)，所以∠1十∠2 180°， 这与 矛盾，故 不 成立 所以1∥l2. 89探究在线 八年级数学（上）·HDDLE,CDED+E.海CED 5∠AD=1wr-2∠4=r-196r=, 第1（章勾服定理 T已ksm/h ∴∠A川=∠AD中∠D=了+B=1 1L1勾2定理 ”2kv0时/h.江锅个汽车超速独 W∠BAC■0，∠=，∠AFB=∠DFC, 1L()竖到，封点C序CFAH.交AH 11.1,1直利三角形三边的关系 能力在健 ∠AHF∠从E 的见长千众F,期∠E=∠(F目 义：A=A-∠BAJ=∠AE=四 第1课时杯含直角三商形三边的美不 7.C.A 011 .△AI59△MA.发A ∠D卡∠A=, 蓄毯在线 (直陆A,州点A.HF三点共线， BF-CE BFCD. ∠AC+∠CBF=1, 1.1 在购△成中，MC=√下用 A.方法1（藏长选在上里点E:使 ∠D=∠CIF 正：方带1的正方形1的 正方参目的 H=1,崔结白星， X:7=8.色D52△A,在52 图积象 国积（拿位 有用取单数 =,日+=13米) ”D平台AK, E=CF,,AC平计∠DA队 面积 国具 7BFAF一AU=2一44（米1： ∠AD=∠EBD 在△零中段=于干==福采 2)1E0一n.4D-由11号每HFD, 在△A山D和△2D中， 在：△AC去相△ACF中. 25 31 AC=k+E.EaMC-议=(-、两)（展）： :A容=老，∠AD=∠，=D, CA-CA-CE CE. 15 明孩周们右移动的更青为（一死）米 ,△A2△7DHsA签1， △AE金1△AF(H.11: (含)【约国积十重的西积=■的到同 拓展在镜 ∠RC=∠T=8,∠DRC'-7g ∴AE=AP,AI=AF-W=AE-h ()直角三身形周直角边的平方和等十到进的平方 ,在△AHD中，程影时数定理，得D=√/AP一A了 B=MC,品∠C∠BC3,∠CDE=Y AE-6.ED-1.5A8L 制题意，中小王思饰到积为(一=一4× √/0-而-12的(sm, ∴∠R=∠4D0=2.D= 1丘共有±个等程正角B,分利是△ACD:△下. 化得。4-，即在宜角三角形中标达的华 m◆15=4h3, -I+=AH+CD 出：：水减A4 吉等于满真角连份率方和 渊白风中女格过8：从或县将间点D, 为法2：将划此1屋长A有及E,使 ÷/D=∠n= E=.生情DE &.A IA 5B 如，号原的其中心到k组明圆形区城内再 有△D风E和△C1H中， 到用S入5E明△W△接 位D是A边上的真，DAB,∠ADC6W 金受判不利程度的额响 女∠E-∠A,DE=4H,∠D'=∠B-0 二人们整在台风中心州达点首之自整离， 有恒明△广力为等桂三角形即国： 在R心MD中，由匀量定理，厚 △2△C度ASA A0=w0F=v下= ,EBD-pE=120-29=0n1,0 基技FD案点H,使D用一球，情H,如m (=CL4△AD见等用三角形 15=h, 在△DH程ADF中： ∠Ai-∠E=1r. 华度=1D,=1X=1机 0=,∠BH-∠F,DH 7.C :游人在后内道真才国限离能验 ∴.∠打=-∠g= 4球.六△iH2△CTIMS A S). 葡力在线 1L1.2直角三角形的判定 ∠DCF∠DE-∠E+=∠DE. ∠H=∠F.F=H D410号，测 基础在城 DF=F.△DxF是等W旦角B, WAE■EF,,∠EAF=∠AFE L.C丝0&D4AB ”∠AFE-∠CFD 单元格合复习（三）全等三角形 12."∠BAD=∠DIC=r, 品，1△A仪是直角三身形.理由如下 ∠EA-∠L 格门号点突碳 △LDB,△C鸡足直角角形： ”AB6,AC=1t,=13, AD-.An 1,知某4=h.厚么141=16 当题意，得A=4m,Ai=1,-12 A各+M下-25十1H4=1p,x5-日-153， .如图，蓝长A薄点2，棱A日 荐室不可一，满足aG一司每可1，AB气A 在△AI0中，=yD◆A=1(:ml AB十C=,,AAC为直角三角电 =k.同∠E-∠AE A.DE,∠EDC=∠ 在B△C中，CD=+-131m 中设院直上的高为A, ∠t-∠E+∠王-2∠E 食△CDE和凸B中 11,1m,直线E厚为所求. :∠D-∠B.D=A,∠D军=∠A :△民的省肌为号·一宁A: ∠n4C-2∠， (g)上AB.∠A-', n=∠E=∠ACE.,=C ,AE△AA,5L) :区宝和△A成群为直角三角图 "CD平分∠MB,∠ACD一∠D =C -r智-骨 在△E中，由封要定理，期 ·∠AI-∠B+∠x-∠I十∠CA 7A RA .A ?,△A议是直角三角能接明加下 水-v移=0-， X∠=∠ACE+∠Ap=∠∠CD LYA-AC,∠EC=∠D 连特AE在R△ADE和△，ALE中 :器w-子A·D球-AH日-0.÷A-16 ,∠ADC=∠E.,DE=E DLM于点DCE⊥AH于点E, AC&AD.AEAE. 在A,A位C中，C=,BC=6,AB=10, C+D=AE十AD UEE=C ÷X=∠CD-g .R1△Ap2h△AH1),.C=D=6, A十位5=A皆，六△A为直角三角厘 阶段测浮4[13,3一11.5利 在A!△唱中， ∠h-∠已D出.上E=∠B,, =g+a=16 I.C 7,角等三作用的对@边阳等（有常不明一）水.. .△I△D. 拓课在域 健力在姨 4∠2=∠1，BMnC 142或111. .C 10.C ILA I2w+I 10,4111,11r12.4成1 I含设AB身3ru:mC为rmC为3rm 13,11口作圈如润寄不 第2溪时为取瓷限的湾羊是用 F△A仪的周长为64-A千+C=新m 作线反厂的景直平分线 1图，△A为所求 馨健在线 目c+rir=3解得=生 2由作图知，N为线2C的垂有 .103,511非4，n3, Ai=0m:=1结.C-5m 平分线： 在△A这中，AC=D,AI=0m AF+出C=A:△A路直角三角事 AcD-8 组属习股足理可得 位过3时，程P-3-3×1=(m.2=2关3m长sm: 模=A=/5一7=( ./AC=9 ÷sw-号n…阳-X4X4-8国 D=AC,∠A=∠AC-, 酸经过3s时，△Q的到积为.博程 24 -探究在线·八年数学（上）·H一 邦误在线 能力在候 反怎国所不，点A,从，出收豹三角后附肌最 出”g是1中从：=AC-区 ,如图，直格，由西在可知，D=P C.AT.面2针填8月5 大，且师条动的长均为无理数 ∠CD= .转开4,6，与d在河一平到月，如国 拓属在线 E周军E8一， CD小为等边三角形 由图可知，正方思的边长为？m 在k△E中，由股定理得了十了=一4 ∠P-',P-Pc- 由哪意厚鞋，甲朝奴走的睛径为 微专蹈0利用句股定理解决量短路径同题 解科y一铝博E路长为得 易料△(r8△TD4气A.名 AB+=√项m 1.B 粉隆测浮5(11.1一1L.2) ,∠PC=∠AD,AD=P=a 乙韩蚁在的暗登为 之1》△AC是直角三角形.用由性下， AP+DP=AP产.∠DP=T L.C2B3.A.A五.A4.B元55.9 1个=/组(m ∠-，∠-r, 16411,2,22,15 A(9+5=AP. 1.1,3反证达 5mE, AAC是直角三角和.且∠AB 蒂秘在线 所以1BA:B 又a+b=-1+2+2-y+2+1-+199 上餐设这十过角形是直角角思名.②面正。 故乙目级完餐达甘的地 (字)甲方案所静的水果较短 这丽受际得晴果千精：放围量不误之， 1.不平行子=<∠1+∠2=1a限设 肠展在线 ”△AC是直角三角形-∠ACD= 衡其4，中至少有一个大干等于0， 能力在线 n取AB的中点，过点D作 六SmB·CH-宁ACG 4目1)如属所<商迭不一 DE1AnT点E,■图中.由 题意，停小（出=D配，A门储E0 ÷-C:C-0x1-6m 朝设m为叠数，不特设wu十1鞋为目据数).测四 (2,十iP-4m-a+ 设4=4---rt- 田 A+'=10+10=(3 4年身为男数“4量十相为视我 斯A-多中，f-m十.深-宁-1中 C+A+BHCH+AD36+80-290(ml. 自|为奇数， ++A+ ,11是，理合细￥， AEt—lUt: 六+m十1为奇数，愿名和为奇数 甲方常附修的末屋程题 在△.Ci中，，年=1，型*=2,21=1 在△Af中，A+=AP 这与已如弟件“知为得数"千暗 义01.的.1m =,醇E+B=, 得引一10+1=广，解得151.5。 去量设不成这，为得数， 微专题11利用勾粒定理巧解折叠问是 品△HB为直角三角用：且∠(HB矿。 2,=101,∴A1=104寸 拓制在楼 专现得线 ⊥AH 位复设点A不在△A的外存：雪有隋种可 幕2国时身胶定屋及其进完理的惊会应同 1,如国①：当点A在AB上时： 由点领直找的胞有南线权量题可短C程是城H庄C四 能情况：点1在丝身形内露：点A'在角 基础在线 由挥叠的性店可周AD一AD-2,∠DAA一∠A, 闪政AB的量对尊 形的虚上 1,1如图D:残度EF和线夏H身为所来 ∠ACI-.-a=3, )设C=x千表，则在△AC日中：AH=一我9 能壮点A在△A的内富.能周，是民 D医9.线段N和恨管阳厚为所求 =cAD=1,∠A-∠-。 H=L,2. 从4丝AC干点D,国有 4容案不库一：请足要求即可) ,∠AA=/A=, 由女股定理，样从“=A开+， AB-A空D=Ai+AD,IAD+A℃，截有L 点∠A'=, r■(r0.+1,解04=1.标 十AD十A移十AD十风-8十AC 1-TD+D=, 二A菲+A>AH+AC.这莲使条年格 包图四，当点A在汇上时 较MC一C-1,21一1,2=L(千来 核式A不可留在△C的内器： 由折叠的作场可有AD114D4C一AD-t 答：期路出磨CA今0，国千米 色月达可适这A也不能在△A的应上 单元缩合复习（四}约围定理 A=-0=5, 应合中画.料点'一定在△A仪的并客 1.D=4m-3∠C- 的门考点突破 上所这，A=A= 1,2勾醒定理的盘用 ∴0=√+罗=54m》 第1原时身配光足的释应用 %-4174.51 分AB=12m,AD=1g 1A-1-2.A 蓝遗在楼 -IE+A=A,∠A=, 1A2.130m54.0 AC-AI战= 5(1)出爱5书时工=2表，8品=来 5-士排+D支×2×5-10 YCDo2AD-3.+CD-AD 21：在长BLCD中，ADC 》=硬米，AB=1D彩， 他力在候 △AMD为直角三角形，且∠0=9： ∠=∠EF 4店一路米4属-1米 LC ∴AC1CD 由题直司理，∠F君=∠心， 六BC=、8干=和（米 5,H0=2,44,l2D, 1.11如图：△A厚为所果 ∠FE∠EF. 世H然. .B+Cr=18+14=40=。 (:型图回：△1MN国为所求 长=样市 六△e为直箱n用，正∠i-r 111如图0.△1日目为所求 出发1时，通控篇号不会产生相互干花， 又由野叠，F=F,.E-F (2)取出量1件时，丙赛军用从A的离之程为发： 1∠ADC=90, (》在k△AE中，A日=A出=4,4E=AE=3, 由题意，得0一4/十一1=5，鳞得=5. A1十=A 里=四T上= -0.A且=1n. ACr,由AB◆AC,D=12,周AD一 BFw n'f5. t时H,G=√AA层=√9+1=5， 红-12护+1，解得a-学 &1》设CE=博BEB一r4 库两春车具约有基药米， 遥控样号停金受到干找 AC-AB- 由题应，借A术=或-一， n,D410 在民A军中，由刘最定理，得了十甲=(8一x 信心素养提弄 答：件春车距点1们距离之和为中米时：遥拉智号终公 产生于传 解博士一子，厚E的长为子 一探究在线·八年取数学（上）·HD一 25