2.2.3直线的一般式方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.2 直线的方程 2.2.3 直线的一般式方程 一 二 三 学习目标 掌握直线一般式方程、以及其特点及适用范围 理解直线的方程与二元一次方程的关系 会求直线的方程，点斜式（截距式）到一般式方程的转化 学习目标 复习回顾 我们前面学习了直线的哪几种方程？ 形式 几何条件 直线方程 应用范围 直线过点(x0, y0), 且斜率为k 在y轴上的截距为b, 且斜率为k 过点P1(x1,y1), P2(x2,y2) (其中x1 ≠ x2, y1 ≠ y2) 过点P1(a,0), P2(0,b) (其中a≠0, b≠0) 斜率存在 斜率存在 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0且不过原点 点斜式 斜截式 两点式 截距式 新课导入 数学家笛卡尔在平面直角坐标系中研究直线的方程时，想到了这样一个问题：平面直角坐标系中的任何一条直线 l 能不能用一种自然优美的“万能”形式的方程来表示？ 新知探究 问题1 你能发现以下直线方程的几种形式有什么共同特点？ y y y y x x x x 能否统一写成 ？ ？ ？ 上述四式都可以写成二元一次方程的形式：Ax+By+C=0 新知探究 问题2.1 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x , y的二元一次方程表示吗？ 在平面直角坐标系中，直线可以分为两类. 直线与x轴不垂直（ k存在） 直线与x轴垂直（ k不存在） 由点斜式,得：y-y0=k(x-x0) 可化为：kx-y-kx0+y0=0 由图像,得：x=x0 可化为： x+0*y-x0=0 对于过点Ｐ(x0,y0)的直线方程 两者都是关于x,y的二元一次方程． 任意一条直线可以用关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0(A,B不同时为0)来表示． x y 0 Ｐ(x0,y0) ● x y 0 Ｐ(x0,y0) ● 直线方程 二元一次方程 新知探究 问题2.2 每一个关于x , y的二元一次方程都表示直线吗？ Ax+By+C=0 （其中A、B不同时为0） B≠0时， 表示一条不垂直x轴的直线 B＝0时,则A≠0, 表示一条垂直x轴的直线 关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0 （其中A、B不同时为0）表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式. 就是直线的斜率 直线方程 二元一次方程 新知探究 问题2.1 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x , y的二元一次方程表示吗？ 问题2.2 每一个关于x , y的二元一次方程都表示直线吗？ 结论： (1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示, (2)关于x,y的二元一次方程都表示一条直线. 平面直角坐标系 中的每一条直线 关于的二元一次方程：Ax+By+C=0（A、B不同时为0） 一一对应 概念生成 直线的一般式方程 我们把关于x, y二元一次方程 Ax+By +C=0 (其中A, B不同时为0) 叫做直线方程的一般式方程, 简称一般式. 适用范围： 任意一条直线 注意 : 对于直线方程的一般式的书写，一般作如下约定： 1)x的系数为正; 2)x,y的系数及常数项一般不出现分数; 3)按含x项，含y项、常数项顺序排列. 4)无特别说明时，最好将所求直线方程的结果写成一般式 新知探究 问题3 在方程Ax+By+C=0中，A,B,C为何值时，方程表示的直线为： (1)平行于x轴; (2)平行于y轴; (3)与x轴重合; (4)与y轴重合; (5)过原点 (5) C=0，A、B不同时为0 (1) A=0 , B≠0 ,C≠0 (2) B=0 , A≠0 , C≠0 (4) B=0 , A≠0, C=0 (3) A=0 , B≠0 ,C=0 典例解析 P65-例5 已知直线经过点A(6,－4), 斜率为 , 求直线的点斜式和一般式方程. 典例解析 P65-例6 把直线l的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形． O x y 1 1 2 3 4 2 A B 新知解读 结合例6，我们可以从几何角度看一个二元一次方程，即一个二元一次方程表示一条直线． 在代数中，我们研究了二元一次方程的解．因为二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，所以这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成一条直线． 平面直角坐标系是把二元一次方程和直线联系起来的桥梁，这是笛卡儿的伟大贡献．在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示． 巩固练习 课本P66 1. 根据下列条件, 写出直线的方程, 并把它化为一般式: (1) 经过点A(8,－2), 斜率是 (2) 经过点B(4, 2), 平行于x轴; (3) 经过点P1(3,－2), P2(5,－4); (4) 在x轴、y轴上的截距分别是 , －3. (1) x+2y－4=0; (2) y=－2; (3) x+y－1=0; (4) 2x－y－3=0. 巩固练习 课本P66 2.求下列直线的斜率以及在y轴上的截距, 并画出图形: x y O 5 l (1) x y O -5 l (2) 4 x y O (-2,1) l (3) • x y O l (4) 巩固练习 课本P66 3. 已知直线l的方程是Ax+By+C=0. (1)当B≠0时, 直线l的斜率是多少? 当B=0时呢? (2)系数A, B, C取什么值时, 方程Ax+By+C=0表示经过原点的直线? 能力提升 例 直线 试讨论：(1) 的条件是什么？ (2) 的条件是什么？ 解： （1）当B1，B2≠0时, 即A1B2－A2B1＝0, 且B1C2－B2C1 ≠ 0或A1C2－A2C1≠0. 当B1=B2=0时, 即A1B2－A2B1＝0, 且A1C2－A2C1≠0. 综上， A1B2－A2B1＝0, 且B1C2－B2C1 ≠ 0或A1C2－A2C1≠0. 反之，亦成立。 反之，亦成立。 能力提升 例 直线 试讨论：(1) 的条件是什么？ (2) 的条件是什么？ 解： （2）当B1，B2≠0时, 当B1=0或B2=0时, 即 A1A2＋B1B2＝0. A1A2＋B1B2＝0也成立 综上，l1⊥l2 ⇔ A1A2＋B1B2＝0. 提升应用 1.若直线与直线垂直,则 ( ) B A. -1 B. 1 C. 0 D. 9 [解析] 由题意得,解得 故选B. 2.若直线与直线平行,则 ( ) A A. 1 B. -2 C. 1或-2 D. 3.过点且与直线 平行的直线方程是( ) B A. B. C. D. 4.与直线2x-3y+1=0垂直,且在x 轴上的截距为-2的直线的一般式方程是____________. 3x+2y+6=0 课堂小结 点斜式 斜率和一点坐标 斜截式 斜率k和截距b 两点坐标 两点式 点斜式 两个截距 截距式 最后都要化成一般式Ax+By+C=0(A, B不同时为0) $$