第14讲 圆锥曲线中的最值与探索性问题（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

第14讲 圆锥曲线中的最值与探索性问题 【人教A版2019】 模块一 圆锥曲线中的最值问题 1．处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法： 一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解； 二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用 函数方法、不等式方法等进行求解. 2．圆锥曲线中的最值问题的解题思路 (1)建立函数模型，求解函数的值域或最值(切莫忘记定义域的考查)； (2)构建不等关系. 【注意】若求解长度、距离、面积、数量积、离心率等具有具体几何意思的量的范围或最值问题时，一般可采用函数模型；若求解参量(诸如k、m等)、离心率等范围或最值问题时，一般可采用构造不等关系的方法解决.当然以上的区分并不是绝对的，当一个思路不能解决或不好解决时，应及时切换成另一思路. 【题型1 椭圆中的最值问题】 【例1.1】（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知是坐标原点，，是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限上的点，且，是的角平分线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【例1.2】（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知为坐标原点，椭圆上两点满足，若椭圆上一点满足，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【变式1.1】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）分别过椭圆的左、右焦点作两条平行直线，与C在x轴上方的曲线分别交于点． (1)当P为C的上顶点时，求直线PQ的斜率； (2)求四边形的面积的最大值． 【变式1.2】（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为． (1)求的方程； (2)若的面积为，求的方程； (3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值． 【题型2 双曲线中的最值问题】 【例2.1】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且的一条渐近线与直线平行．分别是在第一、二、三、四象限内的四点，且四边形是平行四边形．若三点共线，则面积的最小值为（    ） A．12 B．24 C．16 D．8 【例2.2】（23-24高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知双曲线和椭圆有公共焦点，且离心率． (1)求双曲线的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别交双曲线于不同于点的两点，求点到直线距离的最大值． 【变式2.2】（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)记直线的斜率分别为，证明：是定值； (3)设为直线和的交点，记的面积分别为，求的最小值． 【题型3 抛物线中的最值问题】 【例3.1】（2024·黑龙江·三模）已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【例3.2】（2024·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，点在圆上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知为抛物线：上的一点，直线交于A，B两点，且直线，的斜率之积为2. (1)求的准线方程； (2)求的最小值. 【变式3.2】（24-25高三上·陕西安康·开学考试）已知动圆的圆心在轴上，且该动圆经过点． (1)求点的轨迹的方程； (2)设过点的直线交轨迹于两点，若为轨迹上位于点之间的一点，点关于轴的对称点为点，过点作，交于点，求的最大值． 模块二 圆锥曲线中的探索性问题 1．圆锥曲线中的探索性问题 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立， 成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论. 2．圆锥曲线中的探索性问题的求解策略： (1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律； (2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若在假设存在的前提下可以求出与已知、定理或公理相同的结论，则说明假设成立；否则说明假设不成立. 【题型4 椭圆中的探索性问题】 【例4.1】（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）已知椭圆C：＝1（）的右焦点F的坐标为，且椭圆上任意一点到两点的距离之和为4. (1)求椭圆C的标准方程 (2)过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，请说明理由. 【例4.2】（2024·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆C：的焦距为，离心率，过点作两条直线，，直线交椭圆于A，B两点，直线交椭圆于M，N两点，A，B，M，N四点均不在坐标轴上，且A，O，M三点共线． (1)求椭圆C的标准方程． (2)记直线AM与BN的斜率分别为，且，判断是否存在非零常数，使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式4.1】（2024高三下·全国·专题练习）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中． (1)求椭圆方程． (2)过点的动直线（斜率存在）与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得为锐角？若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 【变式4.2】（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期中）已知椭圆的焦距为4，圆与椭圆C有且仅有两个公共点． (1)求椭圆C的标准方程． (2)已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C交于P，Q两点．试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，说明理由． 【题型5 双曲线中的探索性问题】 【例5.1】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知双曲线的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程与准线方程； (2)设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【例5.2】（2024·江苏宿迁·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，是双曲线上的两个动点，且恒有，是否存在定圆与直线相切？若存在，求出定圆的方程，若不存在，请说明理由． 【变式5.1】（2024·广西桂林·三模）双曲线C：的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线为，过且倾斜角为的直线为，已知，之间的距离为． (1)求C的方程； (2)若过点的直线l与C的左、右两支分别交于两点（点不在x轴上），判断是否存在实数k使得．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【变式5.2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程． (2)过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点．问：在轴上是否存在定点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型6 抛物线中的探索性问题】 【例6.1】（2024·陕西铜川·三模）过抛物线焦点的直线交于两点，若直线垂直于轴，则的面积为2，其中为原点. (1)求抛物线的方程； (2)抛物线的准线上是否存在点，使得当时，的面积为.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【例6.2】（2024高三·全国·专题练习）在直角坐标系中，曲线C：与直线交与M,N两点， (1)当时，分别求C在点M和N处的切线方程； (2) y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有？说明理由. 【变式6.1】（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点的直线与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线的切线，两条切线分别与轴交于C、D两点，直线CF与抛物线交于M、N两点，直线DF与抛物线交于P、Q两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式6.2】（2024·广东·三模）已知抛物线：，过点的直线l交C于P，Q两点，当PQ与x轴平行时，的面积为16，其中O为坐标原点. (1)求的方程； (2)已知点，，（）为抛物线上任意三点，记面积为，分别在点A、B、C处作抛物线的切线、、，与的交点为D，与的交点为E，与的交点为F，记面积为，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D．6 2．（2024·河北衡水·一模）已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（　　） A．16 B．20 C．24 D．32 3．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知曲线，过点的直线交曲线于，两点，设为坐标原点，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·湖北荆州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 5．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A.若存在直线l与椭圆交于不同的两点B，C，的重心为F，则l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·四川资阳·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，圆与的渐近线相切.为右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为.给出以下结论： ①的离心率； ②两渐近线夹角为； ③为定值； ④的最小值为. 则所有正确结论为（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①③④ 7．（23-24高二下·上海虹口·期中）已知曲线：，为上一点， ①的取值范围为；     ②的取值范围为； ③不存在点，使得；     ④的取值范围为. 则上述命题正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2024·陕西铜川·一模）古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为，，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列结论正确的是（   ） ①椭圆的标准方程可以为    ②若，则 ③存在点，使得    ④的最小值为 A．①③ B．②④ C．②③ D．①④ 二、多选题 9．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点（点A在第一象限），与的等差中项为．抛物线在点A、B处的切线交于点M，过点M且垂直于y轴的直线与y轴交于点N，O为坐标原点，P为抛物线上一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为16 10．（2024·江西·模拟预测）已知，，，动点满足与的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，且，的中点为，则（   ） A．的轨迹方程为 B．的最小值为1 C．若为坐标原点，则面积的最大值为 D．若线段的垂直平分线交轴于点，则点的横坐标是点的横坐标的倍 11．（2024·湖北襄阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，由直线上任一点向椭圆作切线，切点分别为、，点在轴的上方，则（ ） A．当点的坐标为时， B．当点的坐标为时，直线的斜率为 C．存在点，使得为钝角 D．存在点，使得 三、填空题 12．（2024·河南·模拟预测）若点在抛物线上运动，点在圆上运动，，则的最小值为 ． 13．（2024·全国·模拟预测）过双曲线的右焦点的直线与的右支交于两点，为原点，线段的中点与线段的中点重合，则四边形面积的取值范围是 ． 14．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知四边形是椭圆的内接四边形，其对角线和交于原点，且斜率之积为．给出下列四个结论： ①四边形是平行四边形； ②存在四边形是菱形； ③存在四边形使得； ④存在四边形使得． 其中所有正确结论的序号为 ． 四、解答题 15．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点到直线的距离为为直线上的动点，过点作直线分别与相切于点. (1)求的方程； (2)证明：直线过定点； (3)若直线分别交轴于点，求的最小值. 16．（2024·全国·二模）椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，B，过点的动直线与椭圆相交于P，Q两点，当直线的斜率为1时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线AP与直线的交点为，是否存在定实数，使Q，B，N三点共线?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3． (1)求E的方程； (2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值． 18．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）已知椭圆，经过点，且离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l交直线于点N，直线m与x轴交于点M，记，的面积分别为，求的最大值． 19．（2024·新疆喀什·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是直线：（其中是实半轴长，是半焦距）上不同于原点的一个动点，斜率为的直线与双曲线交于，两点，斜率为的直线与双曲线交于，两点． (1)求的值； (2)若直线，，，的斜率分别为，，，，问是否存在点，满足，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 圆锥曲线中的最值与探索性问题 【人教A版2019】 模块一 圆锥曲线中的最值问题 1．处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法： 一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解； 二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用 函数方法、不等式方法等进行求解. 2．圆锥曲线中的最值问题的解题思路 (1)建立函数模型，求解函数的值域或最值(切莫忘记定义域的考查)； (2)构建不等关系. 【注意】若求解长度、距离、面积、数量积、离心率等具有具体几何意思的量的范围或最值问题时，一般可采用函数模型；若求解参量(诸如k、m等)、离心率等范围或最值问题时，一般可采用构造不等关系的方法解决.当然以上的区分并不是绝对的，当一个思路不能解决或不好解决时，应及时切换成另一思路. 【题型1 椭圆中的最值问题】 【例1.1】（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知是坐标原点，，是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限上的点，且，是的角平分线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【解题思路】由椭圆的定义和余弦定理求出，，再由角平分线定理求出的角平分线与轴交点，从而求出的角平分线的方程，结合两点间距离公式即可求解. 【解答过程】由椭圆定义得，， 由余弦定理可，解得，，所以轴，即， 设的角平分线与轴相交于，由三角形角平分线定理得，所以， 从而的角平分线的方程为， 原点关于的角平分线对称的点设为，经计算可， 则. （或：关于的角平分线的对称点在的延长线上，记为， 且，，所以，,，解得，，即， 或由勾股定理知轴，得， 所以. 故选：A. 【例1.2】（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知为坐标原点，椭圆上两点满足，若椭圆上一点满足，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【解题思路】设出点的坐标，用的坐标表示点M的坐标，再利用点在椭圆上结合斜率关系求出，然后求出的最大值作答. 【解答过程】设，则， 由，得， 所以 ， 由，得，即，又， 因此， 而， 于是，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故选：B. 【变式1.1】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）分别过椭圆的左、右焦点作两条平行直线，与C在x轴上方的曲线分别交于点． (1)当P为C的上顶点时，求直线PQ的斜率； (2)求四边形的面积的最大值． 【解题思路】（1）结合图形，易得，求得的斜率，由直线与椭圆的方程联立，求得点，即得直线PQ的斜率； （2）结合图形，由对称性可知，四边形是平行四边形，四边形的面积是面积的一半，设直线的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出和点到直线的距离，得到四边形的面积函数式，利用换元和对勾函数的单调性即可求得面积的最大值. 【解答过程】（1）由可知,椭圆上顶点为，即, 直线的斜率为，则直线的方程为：， 将其代入整理得，，解得，或， 因点在x轴上方,故得点，于是直线PQ的斜率为：； （2） 如图，设过点的两条平行线分别交椭圆于点和， 利用对称性可知，四边形是平行四边形，且四边形的面积是面积的一半. 显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成构成四边形），可设直线的方程为 代入，整理得：，显然， 设，则， 于是， ， 点到直线的距离为， 则四边形的面积为， 令，则，且，代入得，， 因函数在上单调递增，故，当时，取得最小值为4，此时. 【变式1.2】（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为． (1)求的方程； (2)若的面积为，求的方程； (3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值． 【解题思路】（1）根据椭圆的定义求得，即可求解； （2）由题意设，联立椭圆方程，根据韦达定理表示出，结合的面积建立方程，计算即可求解； （3）由（2）可得，进而，则 ，结合基本不等式计算即可求解. 【解答过程】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以， 的周长为，所以， 所以， 故的方程为． （2）易知的斜率不为0，设， 联立，得， 所以． 所以， 由， 解得， 所以的方程为或． （3）由（2）可知， 因为的斜率是的斜率的2倍，所以， 得． 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为． 【题型2 双曲线中的最值问题】 【例2.1】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且的一条渐近线与直线平行．分别是在第一、二、三、四象限内的四点，且四边形是平行四边形．若三点共线，则面积的最小值为（    ） A．12 B．24 C．16 D．8 【解题思路】已知条件双曲线 【解答过程】由题意知解得，故双曲线C的标准方程为． 由题意及双曲线的对称性，平行四边形与双曲线如图． 四边形为平行四边形，所以． 由题知，直线的斜率不为零，且，故设直线的方程为． 由，消去并整理得，，， 设，由根与系数的关系可得． 因为点均在双曲线的右支上，且双曲线渐近线的斜率为：，所以，解得， 所以． ， 令，则，所以． 因为在上单调递减， 当时，，所以面积的最小值为12 故选：A. 【例2.2】（23-24高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意首先得点在双曲线上面运动，画出图形结合双曲线定义以及三角形三边关系分类讨论即可求解. 【解答过程】联立，化简并整理得， 由题意，化简得， 解得， 所以过点且与垂直的直线方程为， 在该直线方程中分别令，依次解得， 所以， 即点在双曲线上面运动，双曲线的图象如图所示：    若在右支上面，可以发现点为的右焦点，不妨设其左焦点为， 所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线右支的焦点， 若在左支上面，如图所示：    所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线左支的焦点， 综上所述，点到两点距离之和的最小值为. 故选：A. 【变式2.1】（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知双曲线和椭圆有公共焦点，且离心率． (1)求双曲线的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别交双曲线于不同于点的两点，求点到直线距离的最大值． 【解题思路】（1）根据双曲线和椭圆有公共焦点求出，再由离心率的公式求出，从而求得双曲线的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合以及点到直线的距离公式、基本不等式求得点P到直线距离的最大值. 【解答过程】（1）因为椭圆的焦点在轴上， 所以双曲线的，又因为， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，设，则， ， 依题意， ，即， 由解得或（舍去）， 所以，此时到直线的距离为. 当直线的斜率存在时，设，设直线的方程为. 由消去并化简得：， ①， ， 依题意， 所以 ， 整理得， 即，由于直线，， 所以， 函数的开口向上， 判别式为，故①成立. 所以直线的方程为，即， 所以到的距离， ， 当时，；当时， 当且仅当时等号成立. 所以. 综上所述，点到直线的距离的最大值为. 【变式2.2】（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)记直线的斜率分别为，证明：是定值； (3)设为直线和的交点，记的面积分别为，求的最小值． 【解题思路】（1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求出值即可. （2）设出直线的方程，与的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得. （3）由（2）得，联立直线与的方程求出点的横坐标，再求出三角形的面积的函数关系并求出最小值. 【解答过程】（1）由双曲线的焦距为，得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）依题意，设直线的方程为，，    由消去x并整理得， 由直线与双曲线的右支交于两点，得可得 ， 解得， 则，，即，而， 所以 为定值. （3）由（2）知，直线：，直线：， 则点的横坐标为， 于是 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【题型3 抛物线中的最值问题】 【例3.1】（2024·黑龙江·三模）已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【解题思路】设，且，联立方程组，根据，求得，得到，同理可得，结合和，两种情况求得原点到直线距离，即可求解. 【解答过程】由抛物线，可得焦点，准线方程为， 设， 由题意可知且的斜率存在且不为0，不妨设， 联立方程，整理得， 由直线与抛物线相切可得，解得，所以， 又因为在直线上，所以有，同理可得， 若，则，即的直线方程为，则到的距离为1； 若，则，两式联立消，可得，所以， 所以，整理得， 所以到直线距离， 综上可得，即原点到直线距离的最大值为. 故选：D.    【例3.2】（2024·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，点在圆上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据抛物线的准线与圆相切可求得的值，可得出抛物线的方程，求出点的坐标，设出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的坐标，设点的坐标为，利用平面向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换可求得的取值范围. 【解答过程】抛物线的准线方程为，    圆的圆心为，半径为，直线与圆相切，则， 因为，解得，所以，抛物线的方程为， 故抛物线的准线与圆相切于点， 若直线与轴重合，则直线与抛物线不相切，不合乎题意， 设直线的方程为，联立可得， 则，解得， 不妨设点在第一象限，则，则有，解得， 此时，即点，所以，， 因为点在圆上，设点，则， 所以，. 故选：C. 【变式3.1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知为抛物线：上的一点，直线交于A，B两点，且直线，的斜率之积为2. (1)求的准线方程； (2)求的最小值. 【解题思路】（1）将点代入即可求出，则得到准线方程； （2）设点，计算斜率得到，联立直线与抛物线得到，则得到韦达定理式，代入即可得到，则，再利用二次函数性质即可得到最值. 【解答过程】（1）因为点在：上， 所以，解得. 所以的准线方程为. （2）由（1）知：，设，. ，同理可得， 所以，即. 联立得， 由得.（*）， ，， 所以， 整理得. 所以， 当，时，等号成立，此时，满足（*）式， 故的最小值为. 【变式3.2】（24-25高三上·陕西安康·开学考试）已知动圆的圆心在轴上，且该动圆经过点． (1)求点的轨迹的方程； (2)设过点的直线交轨迹于两点，若为轨迹上位于点之间的一点，点关于轴的对称点为点，过点作，交于点，求的最大值． 【解题思路】（1）设圆心坐标为，结合题意列式化简，即可求得答案； （2）求出A，B的坐标，利用设直线的方程并联立方程组可求出点Q，M的横坐标表达式，结合化简，求出其关于参数k的表达式，结合二次函数知识，即可求得答案. 【解答过程】（1）因为动圆的圆心在轴上，所以设圆心坐标为，半径为， 由题意可得，即， 又圆心是点的中点， 由中点坐标公式可得， 代入上式可得， 所以点的轨迹的方程为； （2）由题意知在抛物线C上，则，即， 由于过点的直线交轨迹于两点，则直线l的斜率为， 故l的方程为，联立，得， 解得或，则，则B关于x轴的对称点为， 由题意知直线AQ的斜率存在，设为k，直线的斜率为，则，    设直线， 因为点Q在抛物线C上，故联立，得， 得，则，, 又，故直线BM的方程为， 联立，解得, 因为 ， 故当时，即时，取到最大值，最大值为. 模块二 圆锥曲线中的探索性问题 1．圆锥曲线中的探索性问题 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立， 成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论. 2．圆锥曲线中的探索性问题的求解策略： (1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律； (2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若在假设存在的前提下可以求出与已知、定理或公理相同的结论，则说明假设成立；否则说明假设不成立. 【题型4 椭圆中的探索性问题】 【例4.1】（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）已知椭圆C：＝1（）的右焦点F的坐标为，且椭圆上任意一点到两点的距离之和为4. (1)求椭圆C的标准方程 (2)过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）由题意直接得到，，然后计算出即可得到椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为：，联立椭圆的方程，设，，则，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，求出直线的方程，令，求出，即直线与轴交于一个定点，记为，然后计算即可. 【解答过程】（1）由题意可知：，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4， 所以，即，，所以椭圆的标准方程为：. （2）由题意可知直线的斜率不为，且斜率不可能不存在（否则重合），所以设直线的方程为：， 与椭圆的方程联立，得， 消去，得， 所以， 设，，则， 由根与系数的关系，得 ， 直线的斜率为：， 所以直线的方程为， 令，得 ， 即直线与轴交于一个定点，记为， 则，等号成立当且仅当. 【例4.2】（2024·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆C：的焦距为，离心率，过点作两条直线，，直线交椭圆于A，B两点，直线交椭圆于M，N两点，A，B，M，N四点均不在坐标轴上，且A，O，M三点共线． (1)求椭圆C的标准方程． (2)记直线AM与BN的斜率分别为，且，判断是否存在非零常数，使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）根据椭圆的的焦距为，离心率，由，求解； （2）设，直线：，，与椭圆方程联立，结合韦达定理，得到B的坐标，同理，得到N的坐标，然后利用直线的斜率公式求解. 【解答过程】（1）解：由题意得，， 所以，， 则， 所以椭圆C的标准方程为． （2）如图所示： 由题意可知A，M是椭圆C上不在坐标轴上的两点，且A，M关于坐标原点O对称， 设，则，，，且，． 设直线：，， 联立方程可得，消去y，得， 则，所以． 因为，， 所以， 所以， 所以． 同理，设直线：，， 因为，， 所以， 所以， 所以． 因为直线AM与BN的斜率分别为，，所以， ，所以， 所以存在非零常数，使得，且． 【变式4.1】（2024高三下·全国·专题练习）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中． (1)求椭圆方程． (2)过点的动直线（斜率存在）与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得为锐角？若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 【解题思路】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程． （2）设该直线方程为：，， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围． 【解答过程】（1）∵椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， ∴，故， 故，∴，，故椭圆方程为：． （2）过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， ∵为锐角，恒成立，故，解得或 ． 综上，存在（或），使得为锐角． 【变式4.2】（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期中）已知椭圆的焦距为4，圆与椭圆C有且仅有两个公共点． (1)求椭圆C的标准方程． (2)已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C交于P，Q两点．试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，说明理由． 【解题思路】（1）由已知,即可得到，，进而得到,即可得到椭圆C的标准方程； （2）当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程，，，联立椭圆C的方程，写出韦达定理，设，化简，可得，若为定值，得，点R的坐标；再检验直线l的斜率不存在时，上述结论是否成立即可. 【解答过程】（1）依题意，得，， 所以， 所以椭圆C的标准方程为． （2） ①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，， 联立椭圆C的方程，可得， 则，， 设，则 ， 若为定值，则，解得， 此时，点R的坐标． ②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 代入，得 不妨设，，若，则，， 所以． 综上，在x轴上存在点，使得为定值． 【题型5 双曲线中的探索性问题】 【例5.1】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知双曲线的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程与准线方程； (2)设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【解题思路】（1）根据题意得出即可得双曲线方程及准线方程； （2）联立直线与双曲线方程，由根与系数的关系及数量积运算求出，不满足知不存在. 【解答过程】（1）因为，所以，， 所以， 故所求双曲线方程为，准线方程为 （2）如图，    设， 由，消元可得，， 当，即时， ，， 所以， 所以，解得， 此时不满足， 故不存在，使得成立. 【例5.2】（2024·江苏宿迁·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，是双曲线上的两个动点，且恒有，是否存在定圆与直线相切？若存在，求出定圆的方程，若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）根据题意，得到，列出方程，求得，再由点在双曲线上，得到，结合，联立方程组，求得的值，即可求解； （2）（ⅰ）若直线的斜率不存在，设方程为，求得原点到直线的距离为． （ⅱ）若直线的斜率存在，设为，由，得到，联立方程组，得到，代入求得，得到到直线的距离为，即可得到答案. 【解答过程】（1）解：设双曲线的焦距为，因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍， 可得，所以， 因为，可得，且， 所以，解得或（舍去）， 又因为点在双曲线上，所以， 联立方程组得或（舍去）， 所以双曲线方程为：． （2）解：（ⅰ）若直线的斜率不存在，设方程为， 因为，再设，则，可得， 由，联立方程组，解得，可得原点到直线的距离为． （ⅱ）若直线的斜率存在，设方程为， 又，设，则，即， 则，（*） 联立方程组，整理得 当且，即且时， ， 代入（*）得， 即（其中）， 原点到直线的距离为， 综合（ⅰ）（ⅱ），存在以原点为圆心，半径为的圆与直线相切， 所求定圆的方程为． 【变式5.1】（2024·广西桂林·三模）双曲线C：的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线为，过且倾斜角为的直线为，已知，之间的距离为． (1)求C的方程； (2)若过点的直线l与C的左、右两支分别交于两点（点不在x轴上），判断是否存在实数k使得．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）由题意可得，解出c，结合解得b即可； （2）易知直线l的斜率存在且不为0，设直线l：，，联立双曲线方程，利用韦达定理表示，由两点距离公式表示，化简计算即可求解. 【解答过程】（1）设，因为，之间的距离为， 所以，，则， 所以C的方程为． （2）由（1）知，易知直线l的斜率存在且不为0， 设直线l：，，， 联立方程组，消去x，得， 所以， 因为， 所以，同理． 因为直线l过点且与C的左、右两支分别交于M，N两点， 所以M，N两点在x轴同侧，∴，此时，即． 所以 ， 所以． 所以存在，使得． 【变式5.2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程． (2)过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点．问：在轴上是否存在定点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）根据题意，设，求得，得到双曲线的方程可化为，将点在双曲线上，求得，即可求解； （2）假设存在点，设直线的方程为，联立方程组，求得，化简得到，当，得到（定值），即可求解. 【解答过程】（1）解：由题意，双曲线的离心率为，可得， 设，则，所以， 所以双曲线的方程可化为， 因为点在双曲线上，所以，解得， 所以双曲线的标准方程为． （2）设， 假设存在点，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则， 且， 因为 ， 所以当，即时，（定值）， 故存在定点，使直线与的斜率之和为定值0． 【题型6 抛物线中的探索性问题】 【例6.1】（2024·陕西铜川·三模）过抛物线焦点的直线交于两点，若直线垂直于轴，则的面积为2，其中为原点. (1)求抛物线的方程； (2)抛物线的准线上是否存在点，使得当时，的面积为.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）由的面积为，结合抛物线的几何性质，列出方程，求得，即可求解； （2）设点，可设直线的方程为，联立方程组求得，根据，列出方程求得，再由弦长公式和点到直线的距离公式，列出方程，求得的，进而得到的值，即可求解. 【解答过程】（1）解：由抛物线，可得焦点为， 因为直线垂直于轴，不妨设， 代入，可得，所以， 又因为的面积为，所以，解得， 所以抛物线的方程为. （2）解：由（1）知抛物线的焦点为，准线方程为， 设点，当直线的斜率等于0时，不符合题意； 故可设直线的方程为，联立方程组，消去得， 可得，且， 因为，所以， 所以 ，所以， 因为， 原点到直线的距离， 所以，解得，所以， 所以存在点，符合题目要求. 【例6.2】（2024高三·全国·专题练习）在直角坐标系中，曲线C：与直线交与M,N两点， (1)当时，分别求C在点M和N处的切线方程； (2) y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有？说明理由. 【解题思路】（1）先求出M，N的坐标，再利用导数求出M，N. （2）先作判定，再利用设而不求思想．将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M，N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线，的斜率之和用表示出来，利用直线，的斜率为0，即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标. 【解答过程】（1）由题设可得，，或，.∵， 故在处的导数值为，C在处的切线方程为 ，即. 故在处的导数值为，C在处的切线方程为 ，即. 故所求切线方程为或. （2）存在符合题意的点，证明如下： 设为符合题意的点，，，直线，的斜率分别为. 将代入C得方程整理得. ∴. ∴==. 当时，有=0，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补， 故，所以符合题意. 【变式6.1】（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点的直线与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线的切线，两条切线分别与轴交于C、D两点，直线CF与抛物线交于M、N两点，直线DF与抛物线交于P、Q两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）利用抛物线的准线求标准方程即可； （2）设直线方程与坐标，根据抛物线的切线方程可求得坐标，再含参表示直线，联立抛物线方程结合弦长公式可求，根据焦点弦的性质计算即可. 【解答过程】（1）因为抛物线E的准线方程为：，设，则，所以， 故抛物线的标准方程为； （2）设， 联立抛物线有， 下面先求抛物线在点处的切线方程， 当时，设该切线方程为， 与抛物线方程联立有， 则， 又， 即，则， 则， 当时，切线方程为，满足上式， 所以抛物线在点处的切线方程为， 所以抛物线E在处的切线方程为， 在B处的切线方程为，所以， 则， 直线分别与抛物线方程联立有， 设，则， 由弦长公式知， 同理有， 又，所以， 则, 即， 所以存在实数，使得恒成立. 【变式6.2】（2024·广东·三模）已知抛物线：，过点的直线l交C于P，Q两点，当PQ与x轴平行时，的面积为16，其中O为坐标原点. (1)求的方程； (2)已知点，，（）为抛物线上任意三点，记面积为，分别在点A、B、C处作抛物线的切线、、，与的交点为D，与的交点为E，与的交点为F，记面积为，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）由题意可得，则，再由的面积为16，列方程可求出，从而可求得的方程； （2）表示出直线AC的方程，直线与的交点为T，求出点的坐标，则表示出，利用导数的几何意义求出、、的方程，求出的坐标，表示出，化简计算可得结论. 【解答过程】（1）当PQ与x轴平行时，， 因为P，Q两点均在抛物线C上， 所以， 即， 因为的面积为16， 所以， 解得， 则的方程为； （2）直线AC的斜率为：， 则：， 直线与的交点为T， 则点T为， 所以       （∗）       （∗∗） 所以： 由，得， 令，则的斜率， 则有：，即：， 同理：：，：， 与相交得：，得：； 同理可得：，； 同理由（∗∗）可知 所以， 所以存在，使得 一、单选题 1．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D．6 【解题思路】由题意设椭圆的左焦点为，作出图形，结合图形和椭圆的定义可知当三点共线时取到最大值. 【解答过程】由题意知，，设椭圆的左焦点为， 如图，P为C上一点，Q为圆上一点，，半径为1， ， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：B. 2．（2024·河北衡水·一模）已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（　　） A．16 B．20 C．24 D．32 【解题思路】设出直线，的方程，可知，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及抛物线的焦点弦性质，即可得，利用基本不等式的性质，即可求得的的最小值. 【解答过程】解：抛物线C：的焦点，设直线l1：，直线l2： 由题意可知，则，联立 整理得： 设，，则 ， 设，，同理可得： 由抛物线的性质可得：， ∴， 当且仅当时，上式“＝”成立．∴的最小值24. 故选：C. 3．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知曲线，过点的直线交曲线于，两点，设为坐标原点，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设出直线方程，联立方程，写出韦达定理，利用分割法以及基本不等式，可得答案. 【解答过程】   显然直线的斜率是存在的，设直线方程为， 代入曲线的方程并整理得， 设，，则，， ， 当且仅当或时取等号，此时，符合题意， 所以面积的最大值为， 故选：C． 4．（23-24高二下·湖北荆州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【解题思路】 由抛物线定义及勾股定理得到，，由基本不等式求出最值. 【解答过程】设， 因为，所以， 过点分别作准线于点，， 由抛物线定义可知， 由梯形中位线可知，    因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 故， 故，的最小值为. 故选：B. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A.若存在直线l与椭圆交于不同的两点B，C，的重心为F，则l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设坐标，利用三角形重心的坐标表示得出坐标的关系式，结合点差法表示出l的斜率，再利用对勾函数的性质计算范围即可. 【解答过程】设椭圆的左焦点为， 由已知，设，l的斜率为， 因为重心为F， 所以， 所以， 易知，根据点差法可得：， 所以, 又中点一定在椭圆内部，即， 令，则，故， 由对勾函数的性质可知，显然， 故直线l的斜率取值范围是. 故选：A．    6．（23-24高二下·四川资阳·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，圆与的渐近线相切.为右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为.给出以下结论： ①的离心率； ②两渐近线夹角为； ③为定值； ④的最小值为. 则所有正确结论为（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①③④ 【解题思路】根据圆与渐近线相切可求出，，根据离心率公式求出离心率可判断①正确； 根据渐近线方程可得倾斜角，从而可得两渐近线的夹角，可判断②不正确； 设，根据点到直线距离公式求出 为定值，可判断③正确； 设，联立直线方程解得的坐标，再根据两点间的距离公式求出可判断④正确. 【解答过程】因为圆与的渐近线相切， 所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径， 即，解得， 所以，离心率，故①正确； 因为的渐近线为，所以两渐近线的倾斜角为和，所以两渐近线夹角为，故②不正确； 设，则， 为定值，故③正确； 依题意设， 联立，得，则， 联立，，则， 所以 ， 因为，所以，当且仅当，即为双曲线的右顶点时，等号成立.故④正确. 故选：D. 7．（23-24高二下·上海虹口·期中）已知曲线：，为上一点， ①的取值范围为；     ②的取值范围为； ③不存在点，使得；     ④的取值范围为. 则上述命题正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解题思路】对于①，分段化简方程，得到图形，数形结合得到①错误；对于②，数形结合，结合椭圆性质得到②正确；对于③，根据渐近线性质及图形可得③正确；对于④，利用的几何意义，结合三角换元得到的取值范围. 【解答过程】对于①，曲线得到， 画出图形如下：其中为渐近线，    由曲线和图形可知，故①错误； 对于②，可看做曲线上的点到原点的距离，显然无最大值， 当点位于椭圆上时，距离原点的距离取得最小值， 则，故当时，取得最小值，最小值为1， 则的取值范围为，②正确； 对于③，因为直线与渐近线平行，故不存在点，使得，③正确； 对于④，表示点到直线的距离的倍， 又直线与渐近线平行，且距离为， 故， 由图形可知，在上时，到直线的距离取得最大值， 设，则到直线的距离为 ， 当且仅当时等号成立， 故的取值范围为，④正确. 故选：C. 8．（2024·陕西铜川·一模）古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为，，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列结论正确的是（   ） ①椭圆的标准方程可以为    ②若，则 ③存在点，使得    ④的最小值为 A．①③ B．②④ C．②③ D．①④ 【解题思路】由椭圆的性质判断A；由定义结合余弦定理、三角形面积公式判断B；由余弦定理得出的最大角为锐角，从而判断C；由基本不等式判断D. 【解答过程】对于①：由，解得， 则椭圆的标准方程为，故①正确； 对于②：由定义可知， 由余弦定理可得： ，整理得， 则，故②错误； 对于③：设， ， ，由于， ， 则不存在点，使得，故③错误； 对于④： ，当且仅当， 即时，等号成立，故④正确； 故选：D. 二、多选题 9．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点（点A在第一象限），与的等差中项为．抛物线在点A、B处的切线交于点M，过点M且垂直于y轴的直线与y轴交于点N，O为坐标原点，P为抛物线上一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为16 【解题思路】设，，且,设直线，联立直线和抛物线方程得韦达定理，再结合两角和与差的正切公式，导数运算等知识，对各个选项逐一分析即可. 【解答过程】显然当直线斜率不存在时不合题意，则设直线，与联立得． 设，，则，，，． ， 因此，A选项错误． ，B选项正确． ,，切线，即， 同理，联立解得，故． 不妨设，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q， 则 ． 当直线PN与抛物线相切时，最小． 与联立，消去y得：， 令，解得，则， 故，C选项正确． ，故， 则，D选项正确． 故选:BCD． 10．（2024·江西·模拟预测）已知，，，动点满足与的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，且，的中点为，则（   ） A．的轨迹方程为 B．的最小值为1 C．若为坐标原点，则面积的最大值为 D．若线段的垂直平分线交轴于点，则点的横坐标是点的横坐标的倍 【解题思路】根据求轨迹方程的方法即可求得选项A，结合椭圆的性质即可判断选项B，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求出的面积，利用导数可判断选项C，利用中点坐标公式及直线与直线的关系，即可求出点和点的横坐标，从而判断选项D. 【解答过程】对于选项A，设，因为，，所以，化简得，故A错误； 对于选项B，因为，则，，则， 所以为椭圆的右焦点，则，故B正确； 对于选项C，设的方程 ，代入椭圆方程，得， 设，则，， 所以 ， 令，则 ， 令，则 ，在为增函数，，， 所以，当且仅当时即等号成立，故C正确； 对于选项D，因为，，， 所以，则， 设，则，则， 所以，则点的横坐标是点的横坐标的倍，故D正确. 故选：BCD. 11．（2024·湖北襄阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，由直线上任一点向椭圆作切线，切点分别为、，点在轴的上方，则（ ） A．当点的坐标为时， B．当点的坐标为时，直线的斜率为 C．存在点，使得为钝角 D．存在点，使得 【解题思路】设点、，先证明出椭圆在其上一点处的切线方程为，可得出椭圆在点处的切线方程，设点，写出直线的方程，逐项判断可得出合适的选项. 【解答过程】设点、， 先证明出椭圆在其上一点处的切线方程为， 由题意可得， 联立可得，即， 即方程组只有唯一解， 因此，椭圆在其上一点处的切线方程为， 同理可知，椭圆在其上一点处的切线方程为， 因为点为直线上一点，设点， 则有，即， 所以，点的坐标满足方程， 所以，直线的方程为， 对于A选项，当点的坐标为， 即，此时直线的方程为， 由可得，即点， 此时，A对； 对于B选项，当的坐标为时， 即时，此时，直线的斜率为，B错； 对于C选项，联立可得， ， 由韦达定理可得，， ，同理， 所以， ， 因此，恒为锐角，C错； 对于D选项，若点为椭圆的上顶点，则轴，此时， 所以，点不是椭圆的上顶点，线段的中点为， 所以，，， 存在点，使得，则，则， 化简可得，因为，， 所以，，即， 因为，解得， 因此，存在点，使得，D对. 故选：AD. 三、填空题 12．（2024·河南·模拟预测）若点在抛物线上运动，点在圆上运动，，则的最小值为 2 ． 【解题思路】设，根据抛物线焦半径得到，利用两点间距离公式得到，根据得到，变形得到，利用基本不等式求出最小值. 【解答过程】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 为圆的圆心，圆的半径为， 设点，则由抛物线的定义得， ， 由三角形三边关系得到，当且仅当共线时，等号成立， 所以， 令，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为2． 故答案为：2. 13．（2024·全国·模拟预测）过双曲线的右焦点的直线与的右支交于两点，为原点，线段的中点与线段的中点重合，则四边形面积的取值范围是 ． 【解题思路】由题意设直线的方程为，将其与双曲线方程联立化简得，结合韦达定理、弦长公式可用表示出，由点到直线的距离公式可得三角形边上的高，从而可得三角形面积表达式，进一步可得（平行）四边形面积表达式，进一步即可求解. 【解答过程】 由题意得． 因为点在的右支上， 所以设直线的方程为． 与联立，得，， 设，则， 所以 ． 易知点到直线的距离． 由线段的中点与线段的中点重合，得四边形是平行四边形， 其面积． 由，得， 所以，所以． 故答案为：. 14．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知四边形是椭圆的内接四边形，其对角线和交于原点，且斜率之积为．给出下列四个结论： ①四边形是平行四边形； ②存在四边形是菱形； ③存在四边形使得； ④存在四边形使得． 其中所有正确结论的序号为 ①③④ ． 【解题思路】利用椭圆的对称性判断①；利用菱形的对角线互相垂直可判断②；利用正切函数的和差公式与性质判断③；利用斜率关系得到的表达式，然后利用基本不等式求的最大值，可判断④. 【解答过程】因为四边形是椭圆的内接四边形，和交于原点， 由椭圆的对称性可知且， 所以四边形是平行四边形，故①正确； 假设对角线和的斜率分别为 ， 若四边形是菱形，则其对角线互相垂直，即， 而这与矛盾，所以不存在四边形是菱形，故②错误； 不妨设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，且， 则，又，则， 则 ， 又，则， 所以存在四边形使得，故③正确； 直线的方程，直线的方程， 由，得，即，可得， 同理可得， 则， 由，得，令， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立； 于是， 当且仅当，即四边形矩形时，等号成立， 所以存在四边形使得，故④正确. 故答案为：①③④. 四、解答题 15．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点到直线的距离为为直线上的动点，过点作直线分别与相切于点. (1)求的方程； (2)证明：直线过定点； (3)若直线分别交轴于点，求的最小值. 【解题思路】（1）利用点到直线的距离即可求出p，即得答案； （2）设直线MN方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，结合导数的几何意义可得切线的方程，求出P点坐标，即可求得参数之间的关系，进而证明结论； （3）结合（2）求出的表达式，利用二次函数性质即可求得答案. 【解答过程】（1）由题意知， 结合，解得. 故的方程为. （2）证明：根据题意，直线的斜率存在，设其方程为. 联立，得. . 由可得，所以，因此的斜率分别为， 的方程分别为， 整理得， 联立的方程，解得，即. 因为点在直线上，所以， 所以直线的方程为， 故直线过定点. （3）由（2）可知与轴的交点横坐标分别为. 因为， 当时取等号， 故的最小值为. 16．（2024·全国·二模）椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，B，过点的动直线与椭圆相交于P，Q两点，当直线的斜率为1时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线AP与直线的交点为，是否存在定实数，使Q，B，N三点共线?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）将直线方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式和韦达定理，椭圆离心率表达式进行联立，求得，即得椭圆方程； （2）先由直线与轴垂直时的情况，求出，当直线不与轴垂直时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，得韦达定理，由特殊情况取时求得点坐标，通过判断是否共线检验是否可得到Q，B，N三点共线完成猜想证明. 【解答过程】（1）    如图，设，当直线的斜率为1时，直线方程为. 联立 消去，得.显然， 则 即. 又离心率则，即. 解得. 椭圆的标准方程为. （2）由题意知，当直线与轴垂直时，， 则AP的方程为， 令，得，， 由三点共线，可得，，解得 当直线不与轴垂直时，设直线的方程为. 联立消去，得. ，AP的方程为， 令，得， 即共线，故Q，B，N三点共线. 故存在定实数，使Q，B，N三点共线. 17．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3． (1)求E的方程； (2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值． 【解题思路】（1）由三角形面积及双曲线的定义，利用勾股定理求解即可； （2）设直线方程，联立双曲线方程，由根与系数的关系及斜率公式化简可得，代入中化简即可得出最值. 【解答过程】（1）设双曲线的半焦距为()， ， 由题可知， ，即， 又， 故E的方程为. （2）如图，    由题可知，且直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 将方程和联立，得， ， ， ，, 直线与的右支有交点，， 当时，取得最小值，且最小值为. 18．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）已知椭圆，经过点，且离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l交直线于点N，直线m与x轴交于点M，记，的面积分别为，求的最大值． 【解题思路】（1）借助离心率公式，构造方程组，解出即可； （2）画出草图，因为直线，所以直线过焦点，与椭圆联立，借助韦达定理，求出，后将用k表示，变形，借助基本不等式可解. 【解答过程】（1）由题意，， 所以，故所求椭圆方程为 （2）因为直线，所以直线过焦点， 联立，消元得， 设，则， 由可得． ， 由题意，， 当且仅当，即时等号成立，则的最大值为. 19．（2024·新疆喀什·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是直线：（其中是实半轴长，是半焦距）上不同于原点的一个动点，斜率为的直线与双曲线交于，两点，斜率为的直线与双曲线交于，两点． (1)求的值； (2)若直线，，，的斜率分别为，，，，问是否存在点，满足，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【解题思路】（1）设 ，利用斜率公式求解； （2）设，直线方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到 ，，结合求解. 【解答过程】（1）由题可得双曲线E：， 则， ∴左、右焦点分别为，，直线l的方程为： 设， ，同理可得． ∴； （2）设，如图， 直线方程为， 代入双曲线方程可得：， 所以，则， 则， ， ， ． 同理， 即， 即， ∴或， 又， 若．无解，舍去． ∴，解得，，或，， 若，，由A在直线上可得，， ∴．此时， 若，，由A在直线上可得，， ∴此时 ∴存在点，或，满足． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$