八年级上学期期中模拟卷01（考试范围：全等三角形、轴对称图形、勾股定理、实数）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

八年级上学期期中模拟卷01 【考试范围：全等三角形、轴对称图形、勾股定理、实数】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．第24届冬季奥林匹克运动会，于2022年2月在我国北京市和张家口市联合举行，在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列四个实数、、、， （相邻两个1之间3的个数逐次加1）这些数中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，,要根据“”证明,则还需要添加一个条件是（    ）    A． B． C． D． 4．下列说法，其中错误的有（   ） ①的平方根是±9；②是的算术平方根；③的立方根为-2；④ A．个 B．个 C．个 D．个 5．已知，，则（    ） A．0.133 B．0.02872 C．0.2872 D．以上答案都不对 6．如图，D是上一点，交于点E．．．若．．则的长是（    ） A． B．2 C． D．3 7．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 8．如图，在等腰三作形中，，为延长线上一点，且，手足为，连接，若，则的面积为（    ）    A． B．9 C．18 D．36 9．如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为t秒，若是等腰三角形时，则t的值为（    ） A．10 B．16 C．10或16 D．10或16或 10．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如： “当时，求代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的的斜边长， 可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知x，y均为正数，且．则 的最小值是（  ）    A． B． C． D．6 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．比较大小： 2（填“”或“”或“”） 12．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．    13．如图，的外角的平分线与内角平分线交于点，若，则 ． 14．如图，在四边形中，，，．分别是对角线，的中点，则 ． 15．如图，在中，，点D为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，则的长为 ． 16．如图，D、E是的边上的两点，分别垂直平分，垂足分别为点M、N．若，则的度数为 ． 17．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是 ．    18．如图，在中，，，，是的中点，动直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为 ． 三、解答题（10小题，共66分） 19．求下列各式中的值． (1) (2) 20．计算∶ (1)； (2)． 21．如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，求的大小． 22．已知三角形纸片（如图），将纸片折叠，使点A与点重合，折痕分别与边、交于点、． (1)尺规作图：请画出直线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接并延长至点，使得，如果，求的度数． 23．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． (1)若，求的度数： (2)若周长，求长． 24．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此V2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知：，其中是整数，且，求的相反数． 25．如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时， 　； (2)当等于多少时，？请说明理由． (3)在点D的运动过程中，是否存在是等腰三角形？若存在，请直接写出此时的度数；若不存在，请说明理由． 26．如图，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．用尺规作图（不写作法．保留作图痕迹）并计算：        (1)为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．在图1中作出点P的位置，并求得点P距点C的距离 km； (2)为了方便运输两村的垃圾，现计划在公路边建一个垃圾中转站M，要求该垃圾中转站到村庄A、B的距离之和最小．在图2中作出点M的位置，并求得距离之和的最小值为 km． 27．已知中，；中，；， (1)如图1，当时，①求证：；②求出的度数； (2)如图2，当时，求∶ ①的度数； ②若，，求的长． 28．如图，已知矩形，，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)当点Q落在边上时， ； (2)当直线经过点D时，求的长； (3)如图2，点M是的中点，连接、． ①的最小值为 ； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级上学期期中模拟卷01 【考试范围：全等三角形、轴对称图形、勾股定理、实数】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．第24届冬季奥林匹克运动会，于2022年2月在我国北京市和张家口市联合举行，在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、B、C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 选项D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：D． 2．下列四个实数、、、， （相邻两个1之间3的个数逐次加1）这些数中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的概念，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 根据无理数的概念解答即可． 【详解】解：，由无理数的定义可知无理数有：，，（相邻两个1之间3的个数逐次加1），共有3个． 故选：B． 3．如图，,要根据“”证明,则还需要添加一个条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定，熟练掌握“”是解题的关键；因此此题可根据“”可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， A、若添加，则是根据“”判定，故不符合题意； B、若添加，则是根据“”判定，故不符合题意； C、若添加，则是根据“”判定，故不符合题意； D、若添加，则是根据“”判定，故不符合题意； 故选D． 4．下列说法，其中错误的有（   ） ①的平方根是±9；②是的算术平方根；③的立方根为-2；④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据平方根、算术平方根及立方根的定义进行判断即可． 【详解】①，9的平方根是±3，故错误； ②是3的算术平方根，正确； ③的立方根是，正确； ④，故错误， ∴错误的有：①④，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根及立方根，熟练掌握各基本概念是解题的关键． 5．已知，，则（    ） A．0.133 B．0.02872 C．0.2872 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，利用立方根的性质求解即可，熟练掌握立方根的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 6．如图，D是上一点，交于点E．．．若．．则的长是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定是解此题的关键，解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等． 根据平行线的性质，得出，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，即可求线段的长． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023， 故选：A 8．如图，在等腰三作形中，，为延长线上一点，且，手足为，连接，若，则的面积为（    ）    A． B．9 C．18 D．36 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积．过点A作于G，过点E作于F，先由等腰三角形“三线合一”性质求得，再证明，得，最后由三角形的面积求解即可． 【详解】解：过点A作于G，过点E作于F，    ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴的面积 故选：B． 9．如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为t秒，若是等腰三角形时，则t的值为（    ） A．10 B．16 C．10或16 D．10或16或 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的定义，解题的关键是注意分类讨论．根据为等腰三角形进行分类讨论，分别求出的长，即可求出t． 【详解】解：中，，，， 由勾股定理得：， ∵动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，运动的时间为t秒， ∴， ①时，如图所示： ∵， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图所示： ∵， ∴， 解得：； ③当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当t分别为、10、16时，为等腰三角形． 故选：D． 10．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如： “当时，求代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的的斜边长， 可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知x，y均为正数，且．则 的最小值是（  ）    A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，动点问题，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答． 根据题中所给的思路，将可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和4的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，则的最小值为，再利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图：   可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和4的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，当A，P，B共线是，的最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．比较大小： 2（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】根据无理数的估算，实数大小比较解答即可．本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算思想是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．    【答案】/45度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构．利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：标注字母，如图所示，      在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 13．如图，的外角的平分线与内角平分线交于点，若，则 ． 【答案】/48度 【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质，根据外角与内角性质得出的度数，再利用角平分线的性质和判定，得出即可得出答案．掌握三角形外角的性质及角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：过P点作 于F，于N，于M， 设， ∵平分， ∴，， ∵平分， ∴，， ∴， 又∵于F，于M， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，在四边形中，，，．分别是对角线，的中点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质．根据勾股定理及直角三角形的性质可知是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质及勾股定理即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴在中，， ∵点为的中点，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵点为的中点，， ∴，， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 15．如图，在中，，点D为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，得出，设则在中，由勾股定理得出方程，可求长，由勾股定理可求的长． 【详解】解：由折叠可知：，， 在中，由勾股定理得： ∴ 设则 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，D、E是的边上的两点，分别垂直平分，垂足分别为点M、N．若，则的度数为 ． 【答案】/102度 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据线段垂直平分线的性质，可得，从而得到，再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 17．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是 ．    【答案】/度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和和三角形外角的性质，根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18．如图，在中，，，，是的中点，动直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，可证得，再证明，从而得到，然后根据，可得，然后根据勾股定理可得，再由当时，与重合，则最大为，即可．作适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点， ，， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是长方形， ， ， ， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， 当时，与重合，则最大为， 即的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（10小题，共66分） 19．求下列各式中的值． (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了求平方根的方法和求立方根的方法解方程： （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求立方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴． 20．计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算、负整数指数幂、零次幂，立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简算术平方根、负整数指数幂，再运算加减法，即可作答． （2）先化简负整数指数幂、立方根、零次幂，再运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： 21．如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定， （1）根据线段的和差证出，由即可得出； （2）由全等三角形的性质得到，，根据平行线的判定与性质即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ，， ， ． 22．已知三角形纸片（如图），将纸片折叠，使点A与点重合，折痕分别与边、交于点、． (1)尺规作图：请画出直线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接并延长至点，使得，如果，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析； 【分析】（1）根据题意作线段的垂直平分线确定直线即可； （2）连接并延长，以点E为圆心，为半径画弧，与延长线交于一点，该点即为点F，由，可得到，再由等腰三角形的性质，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，根据题目要求画图，点F即为所求作的点， ∵， ∴， 根据折叠可知，垂直平分， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，线段垂直平分线的作法及轴对称图形的作法，掌握基本图形的作法是解题的关键． 23．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． (1)若，求的度数： (2)若周长，求长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中． （1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，即可得出答案； （2）根据三角形的周长，结合线段之间数量关系，推出，进而计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ， ∵， ； （2）解：周长，， ， ∵， ∴，即， ． 24．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此V2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知：，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查无理数的估算及相反数的定义，结合已知条件估算出各数分别在哪两个连续整数之间是解题的关键． （1）分别估算后求得a，b的值，然后将其代入计算即可； （2）估算出的值后再结合已知条件确定x，y的值，然后代入中再根据相反数的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：， ， 的小数部分为，的整数部分为， ； （2）解：， ， ，即， ∵x是整数，且， ， 则， 那么的相反数为． 25．如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时， 　； (2)当等于多少时，？请说明理由． (3)在点D的运动过程中，是否存在是等腰三角形？若存在，请直接写出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)存在，的度数为或 【分析】此题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和三角形外角的性质，掌握等边对等角、判定两个三角形全等和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． （1）利用三角形外角的性质解题即可； （2）通过三角形全等得出的长度即可； （3）根据等腰三角形的腰的情况分类讨论，再利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质即可分别求出． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：当时，，    理由如下：∵，， ∴， 由（1）得， ∴时 （3）解∵， ∴， 当时，， ∴， ∴点D与点B重合，不符合题意； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，是等腰三角形时，的度数为或 26．如图，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．用尺规作图（不写作法．保留作图痕迹）并计算：        (1)为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．在图1中作出点P的位置，并求得点P距点C的距离 km； (2)为了方便运输两村的垃圾，现计划在公路边建一个垃圾中转站M，要求该垃圾中转站到村庄A、B的距离之和最小．在图2中作出点M的位置，并求得距离之和的最小值为 km． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析；5 【分析】本题考查作图应用与设计作图，设计勾股定理及应用，一元一次方程的应用等． （1）连接，作的垂直平分线交于，点即为所求；设，可得，即可解得的长； （2）作关于直线的对称点，连接交直线于，此时，因，，共线，故最小，点即为所求；过作交延长线于，求出，，得，用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于，如图： 点即为所求； 设，则， ， ， ， 解得， ， 故答案为：； （2）解：作关于直线的对称点，连接交直线于，此时，因，，共线，故最小，如图： 点即为所求； 过作交延长线于，则四边形是矩形， ，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：5． 27．已知中，；中，；， (1)如图1，当时，①求证：；②求出的度数； (2)如图2，当时，求∶ ①的度数； ②若，，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)①；② 【分析】（1）①根据题意证明，利用全等三角形性质即可解题． ②根据，以及等边三角形性质计算即可． （2）①根据题意得到为等腰直角三角形，结合（1）①同理可证，利用全等三角形性质和等腰直角三角形性质即可解题． ②根据，结合角平分线的性质和等腰三角形性质计算即可． 【详解】（1）①证明：， ， ， ，， ， ； ②，， 为等边三角形， ， ， ， ； （2）解：①，， 为等腰直角三角形， ， 由（1）同理可证， ， ； ②， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 28．如图，已知矩形，，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)当点Q落在边上时， ； (2)当直线经过点D时，求的长； (3)如图2，点M是的中点，连接、． ①的最小值为 ； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可； （2）分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况，进行讨论求解； （3）①连接，勾股定理求出的长，折叠求出的长，根据，求出最小值即可； ②分和两种情况，再分点在线段上，点在线段的延长线上，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当点Q落在边上时，如图所示， ∵矩形，，， ∴，， ∵翻折， ∴， ∴， 在中，； 故答案为：； （2）当直线经过点D时，分两种情况： 当点在线段上时，如图： ∵翻折， ∴，，， ∴， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； ②当在线段的延长线上时： ∵翻折， ∴，， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； 综上：或； （3）①连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小， 即：； 故答案为：； ②当时，如图： ∵翻折， ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：， 即：； 当，点在线段上时，如图： ∵，， ∴， ∴，点在上， 由（1）知：， ∴， ∴； 当点在的延长线上时：如图：此时点在上，连接， ∵翻折， ∴， ∵， ∴； 综上：或或． 【点睛】本题考查折叠问题，全的三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$