第十三章 轴对称（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（广东省专用,人教版）

第十三章 轴对称（单元培优卷 人教版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故不合题意； B、该图形是轴对称图形，故合题意； C、该图形不是轴对称图形，故不合题意； D、该图形不是轴对称图形，故不合题意； 故选：B 2．等腰三角形中有一内角等于，那么这个三角形的最小内角的度数为（   ）度 A．50 B．20 C．40或50 D．20或50 【答案】D 【详解】解：当是等腰三角形的顶角时，则底角就是； 当是等腰三角形的底角时，则顶角是． ∴这个三角形的最小内角的度数为20或50， 故选：D． 3．平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标为． 故选：B． 4．瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图所示的图形是某瓷器上的纹饰，该图形是轴对称图形，其对称轴的条数为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】如图所示：由4条对称轴， 故选：C． 5．如图，在中，线段的垂直平分线分别交于点，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， 故选：C． 6．如图，在中，，点在边上，，并与边交于点．如果，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，是边长为1的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【详解】解：∵等边的边长为， ∴， ∵，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处， ∴，， 则阴影部分图形的周长为：， 故选：D． 8．如图，两平面镜、的夹角，入射光线平行于，入射到上，经两次反射后的出射光线平行于，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， 由题意得，∠1=∠θ=∠3，由镜面成像原理可知，∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠2=∠θ=∠4， ∴∠θ=60°， 故选C． 9．如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小， 由轴对称的性质得，，，，， ∴． 故选：D． 10．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形、与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．恒成立的结论有（   ） A．①③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：①∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴，，①正确； ②， 在和中， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，②正确； ③ 与②的过程同理得：， ∴， ③正确； ④∵，， ∴ ∴， ∵， ∴，故④错误； ⑤∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴⑤正确． 故选：C． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是 ． 【答案】35 【详解】解：∵， ∴为三角形的顶角， ∴底角为：． 故答案为：35． 12．如图，以虚线为对称轴，那么“甲”字的对称图形是 字． 【答案】由 【详解】解：“甲”字的对称图形是“由”字， 故答案为：由 13．如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 【答案】3 【详解】解：，， ， 在的垂直平分线上， ． 故答案为：3． 14．如图，点P是等边内一点，， ° 【答案】 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 15．如图，，都是等边三角形．与的关系是 ． 【答案】 【详解】解∶∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴ 故答案为∶ ． 16．如图，中，，，是边上的中线且，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作E关于的对称点M，连接交于F，连接，过C作于N， ， ∵，，是边上的中线， ∴，，平分， ∴M在AB上， 在中，， ∴， ∴， ∵E关于的对称点M， ∴， ∴， 根据垂线段最短得出：， 即， 即的最小值是， 故答案为：． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）以虚线为对称轴画出下列图形的另一半． 【答案】见解析 【详解】解：如图所示： 18．（4分）一个等腰三角形的周长是． (1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． (2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 【答案】(1) (2)与，或与 【详解】（1）解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为， 由题意得：， 解得： ∴，这个等腰三角形的底边长为，腰长分别为，， 即各边长分别是； （2）当腰为时，底边长为： ， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 当底为时，腰长为：， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 综上所述：其余两边分别为与，或与． 19．（6分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，画出； (2)将（1）中的以为轴进行翻折得到，画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，即为所求． 20．（6分）如图，在中，，是中线，是角平分线，．求和的度数． 【答案】， 【详解】，， ， ，是中线， ，即． ． ，是的平分线， ． 是的外角， ． 21．（8分）如图，在中，点在的延长线上，，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ，即：， 在和中， ， ， ． （2）解：平分， ， 又， ， ， ，， ， 是等边三角形， ． 22．（10分）如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边上建一自来水厂向A村与B村供水，若要使水厂到A，B村的水管（同样的料）用料最省，则水厂应建在什么位置？ (1)请利用尺规作图的方法找出水厂应建位置（保留作图痕迹）； (2)请根据画法写出每一步的详细作图步骤； (3)请根据画法证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解： （2）解：作A点关于直线的对称点，再连接交于点N，点N即为所求． （3）证明：∵A点关于直线的对称点是， ∴， ∴（两点之间，线段最短） 23．（10分）如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接、． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)15° 【详解】（1）证明：为线段的垂直平分线， ． ，点为的中点， 为线段的垂直平分线． ． ． ∴为等腰三角形． （2）解：，点为的中点， 为的平分线． ． ． ． ∵为等腰三角形， ． ． 24．（12分）已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数是；； (3)证明见解析． 【详解】（1）证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴ ， ∴， ∴的度数是； （3）证明：∵， ∴， 又∵点M、N分别是线段的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 25．（12分）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当或或时，是等腰三角形 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． ①当时，则，即， ∴； ②当时，则，即， ∴； ③当时，则，即， ∴． 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 轴对称（单元培优卷 人教版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．等腰三角形中有一内角等于，那么这个三角形的最小内角的度数为（   ）度 A．50 B．20 C．40或50 D．20或50 3．平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图所示的图形是某瓷器上的纹饰，该图形是轴对称图形，其对称轴的条数为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．如图，在中，线段的垂直平分线分别交于点，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，在中，，点在边上，，并与边交于点．如果，，那么等于（   ） A． B． C． D． 7．如图，是边长为1的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B．2 C． D．3 8．如图，两平面镜、的夹角，入射光线平行于，入射到上，经两次反射后的出射光线平行于，则等于（    ） A． B． C． D． 9．如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形、与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．恒成立的结论有（   ） A．①③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④ 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是 ． 12．如图，以虚线为对称轴，那么“甲”字的对称图形是 字． 13．如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 14．如图，点P是等边内一点，， ° 15．如图，，都是等边三角形．与的关系是 ． 16．如图，中，，，是边上的中线且，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）以虚线为对称轴画出下列图形的另一半． 18．（4分）一个等腰三角形的周长是． (1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． (2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 19．（6分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，画出； (2)将（1）中的以为轴进行翻折得到，画出． 20．（6分）如图，在中，，是中线，是角平分线，．求和的度数． 21．（8分）如图，在中，点在的延长线上，，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的长． 22．（10分）如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边上建一自来水厂向A村与B村供水，若要使水厂到A，B村的水管（同样的料）用料最省，则水厂应建在什么位置？ (1)请利用尺规作图的方法找出水厂应建位置（保留作图痕迹）； (2)请根据画法写出每一步的详细作图步骤； (3)请根据画法证明你的结论． 23．（10分）如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接、． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 24．（12分）已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：是等边三角形． 25．（12分）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$