检测04 直线和圆的方程（能力卷） -2024-2025学年高二年级上学期数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

检测04 直线和圆的方程（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·全国·课后作业）已知直线的图象如图，则（ ） A．若，则， B．若，则， C．若，则， D．若，则， 3．（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线，若，则（    ） A．或 B． C．或 D． 5．（24-25高三上·全国·单元测试）若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·山东德州·开学考试）已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2021·江西南昌·三模）已知直线与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·全国·课堂例题）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 11．（2024·辽宁·一模）对平面直角坐标系中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”．对于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好．某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用（单位：百元）和网购图书的费用（单位：百元）的情况如图所示，现将和为第I组点将和归为第II点．在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为．给出下列四个结论：    ①直线比直线的分类效果好； ②分类直线的斜率为2； ③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第II组点位于的同侧； ④如果从第I组点中去掉点，第II组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知三个顶点的坐标分别是，则外接圆的方程是 . 13．（24-25高二上·上海·课后作业）若点是圆上任意一点，则的最大值是 ． 14．（2024·河南周口·模拟预测）已知点，为圆上一动点，为直线上一点，则的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·上海·开学考试）在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.    (1)求直线的方程； (2)求直线的方程及点的坐标. 16. (15分) （23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆C：，直线l：. (1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程； (2)若定点分弦AB为，求此时直线l的方程. 17. (15分) （23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)点P在圆C上运动，求的取值范围． 18. (17分) （23-24高二上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，设点的轨迹为.如图，动直线与曲线交于不同的两点（均在轴上方），且.    (1)求曲线的方程； (2)当为曲线与轴正半轴的交点时，求直线的方程； (3)是否存在一个定点，使得直线始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 19. (17分) （21-22高二上·上海浦东新·阶段练习）已知圆和圆. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； (3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测04 直线和圆的方程（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·全国·课后作业）已知直线的图象如图，则（ ） A．若，则， B．若，则， C．若，则， D．若，则， 3．（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线，若，则（    ） A．或 B． C．或 D． 5．（24-25高三上·全国·单元测试）若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·山东德州·开学考试）已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2021·江西南昌·三模）已知直线与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·全国·课堂例题）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 11．（2024·辽宁·一模）对平面直角坐标系中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”．对于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好．某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用（单位：百元）和网购图书的费用（单位：百元）的情况如图所示，现将和为第I组点将和归为第II点．在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为．给出下列四个结论：    ①直线比直线的分类效果好； ②分类直线的斜率为2； ③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第II组点位于的同侧； ④如果从第I组点中去掉点，第II组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知三个顶点的坐标分别是，则外接圆的方程是 . 13．（24-25高二上·上海·课后作业）若点是圆上任意一点，则的最大值是 ． 14．（2024·河南周口·模拟预测）已知点，为圆上一动点，为直线上一点，则的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·上海·开学考试）在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.    (1)求直线的方程； (2)求直线的方程及点的坐标. 16. (15分) （23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆C：，直线l：. (1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程； (2)若定点分弦AB为，求此时直线l的方程. 17. (15分) （23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)点P在圆C上运动，求的取值范围． 18. (17分) （23-24高二上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，设点的轨迹为.如图，动直线与曲线交于不同的两点（均在轴上方），且.    (1)求曲线的方程； (2)当为曲线与轴正半轴的交点时，求直线的方程； (3)是否存在一个定点，使得直线始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 19. (17分) （21-22高二上·上海浦东新·阶段练习）已知圆和圆. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； (3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B A B D A AB ACD 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】根据对称性的性质，用代，以代进行求解即可. 【详解】因为直线l：与直线关于直线对称， 所以在方程中，用代，以代，得， 化简，得， 故选：A 2．C 【分析】将直线方程化为斜截式，则由图象可得，，从而分析判断. 【详解】易知，由直线，可得， 根据图象可得，， 若，则，； 若，则，． 故选：C 3．C 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，结合图象可得答案. 【详解】在上的图象如图所示， 由图可知，当时， 倾斜角的取值范围为. 故选：C. 4．B 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 5．A 【分析】利用直线与圆相切的关系及点到直线的位置关系即可求解. 【详解】已知的圆心，半径是的圆心是，半径是2． 由题知直线是和的公切线， 当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以， 由，解得， 则有． 故选：A． 6．B 【分析】根据题意，得到直线过定点，以及曲线，画出直线与曲线的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解. 【详解】由直线过定点， 又由曲线，可得， 作出曲线与直线的图象，如图所示， 因为直线，可得， 又由，解得， 若直线与曲线有公共点，则， 即实数的取值范围为. 故选：B. 7．D 【分析】通过构造关系找到定点，将最值转化为求的最值，进而转化为最值，则点线距求解可得. 【详解】∵，∴. ∴P点轨迹是以点为圆心，为半径的圆，记为圆C， 设在x轴上存在定点，使得圆上任意一点，满足， 则， 化简得， 又∵，代入得， 要使等式恒成立，则，即. ∴存在定点，使圆上任意一点P满足， 则， 当三点共线（位于两侧）时，等号成立. 又点为直线上一动点，则的最小值即为点到直线的距离， 由到直线距离，则. 故. 如图，过作直线的垂线段，垂线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值. 故选：D. 【点睛】方法点睛：借助可以转化,最后把动点到定点的距离转化为到点到直线的距离，进而由几何性质求解最值. 8．A 【分析】设点，，根据圆的切线的性质可得C，D在以OP为直径的圆上，求得其圆的方程，再由C，D在圆上，可得直线CD的方程，求得直线CD恒过定点，从而得M在以OQ为直径的圆，得出圆的方程可求得的最小值． 【详解】设点，，因为PD，PC是圆的切线，所以， 所以C，D在以OP为直径的圆上， 其圆的方程为， 又C，D在圆上，则将两个圆的方程作差得直线CD的方程：，即，所以直线CD恒过定点， 又因为，M，Q，C，D四点共线，所以，即M在以OQ为直径的圆上，其圆心为，半径为， 所以，所以的最小值为， 故选：A．    【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成，将带入原方程之后，所以直线过定点；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点. 9．AB 【分析】分类讨论，结合倾斜角概念可解. 【详解】根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知， 当时，的倾斜角为； 当时，的倾斜角为． 故选：AB 10．ACD 【分析】选项A可由含参直线的定点坐标求法可得；选项B当时，，重合；选项C由一般方程垂直时系数关系可得；选项D化为斜截式后，由斜率和和轴上的截距可判断. 【详解】选项A：：，令，得，过点，A正确； 选项B：当时，，重合，故B错误； 选项C：当时，由，得或2，故C正确； 选项D：当时，：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确. 故选：ACD 11．BCD 【分析】根据分类直线的定义判断 【详解】由图象知：    ，，，，，，， 当直线为分类直线时，， 当直线为分类直线时，其过， 由图可知，到直线距离最小， 到直线的距离为， 到直线的距离为， 所以，所以直线分类效果好，故①错误； 由图知的位置由，，确定， 所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好． 可知点，，直到线的距离相等， 所以直线过点，的中点，而的中点为,的中点为， 故直线的斜率为，故②正确； 又直线的方程为， 此时点在的右侧，故③正确； 去掉点后，，到直线的距离相等， 此时直线为线段，的垂直平分线，故④正确； 故答案为：BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解分类直线的定义，如本题的位置由，，确定. 12．（或） 【分析】解法一：待定系数法，设出圆的一般形式，将点的坐标代入，解方程组即可求解； 解法二：几何法，根据得的外接圆是以线段为直径的圆.然后确定圆心和半径，即可求解. 【详解】解法一：设的外接圆方程为，其中. 由题意得解得满足， 所以外接圆的方程为. 解法二：依题意，直线的斜率，直线的斜率， 则，即.因此的外接圆是以线段为直径的圆. 线段的中点为，半径， 所以外接圆的方程是. 故答案为：（或） 13．/ 【分析】将圆化为标准方程，根据目标式的几何意义求解． 【详解】解：圆化为标准方程为：， 记圆心为，半径为， 令， 则， 得为点到原点的距离，其最大值为：， 则的最大值为：， 故答案为： 14． 【分析】设，，且，列式化简求得定点，然后把距离问题转化为最小，数形结合，利用点到直线距离公式三点共线时最短，即可得解. 【详解】不妨设x轴上定点使得满足，， 则，整理得，， 又，所以，则， 解得，所以，使得， 要使最小，则最小， 所以B，M，N三点共线，且MN垂直于直线时取得最小值，如图所示.    故的最小值为点B到直线的距离. 故答案为： 【点睛】方法点睛：借助阿氏圆探究最值问题：若为两定点，动点满足，则时，动点的轨迹为直线；当且时，动点P的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆，也称阿氏圆.借助阿波罗尼斯圆，转化为到另一定点的距离进而由几何性质等求解最值. 15．(1) (2)直线的方程为：， 【分析】 （1）根据垂直的位置关系，算出直线的斜率为，利用直线方程的点斜式列式，化简整理即可得到直线的方程； （2）由边的高所在直线方程和，解出，从而得出直线的方程．由直线、关于直线对称，算出方程，最后将方程与方程联解，即可得出点的坐标． 【详解】（1） 由于所在直线的方程为，故的斜率为， 与互相垂直，直线的斜率为， 结合，可得的点斜式方程：， 化简整理，得，即为所求的直线方程． （2） 由和联解，得 由此可得直线方程为：，即， ，关于角平分线轴对称， 直线的方程为：， 直线方程为， 将、方程联解，得，， 因此，可得点的坐标为． 16．(1) (2)或 【分析】（1）设，根据已知列式化简，即可得解； （2）联立方程组应用韦达定理结合向量关系求出直线方程. 【详解】（1）∵直线l：过定点，斜率一定存在， 而在圆C：内， ∴直线l与圆C总有两个不同的交点； 圆C：的圆心为， 所以M与P不重合时，连接CM，CP，则， ∴. 设，则， 化简得：； （2）设，， 由，得， ∴，化简得，① 又由，消去y得. ∴，② 由①②解得，代入（*）解得. ∴直线l的方程为或. 17．(1) (2) 【分析】（1）利用圆的对称性先确定圆心，再求半径即可； （2）设P坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可. 【详解】（1）圆经过，两点，得圆心在的中垂线上， 又圆心C在直线上，联立直线方程有，得， 即圆心坐标为， 又， 故圆C的标准方程为． （2）设，易知， 则（*）， 因为点P在圆C上运动，则， 故（*）式可化简为，， 由得的取值范围为． 18．(1) (2) (3)存在，定点为 【分析】（1）设，根据已知条件列方程，化简求得曲线的方程. （2）设，根据已知条件求得点的坐标，从而求得直线的斜率，进行求得直线的方程. （3）设直线方程为，联立直线的方程和曲线的方程，化简写出根与系数关系，由列方程，化简求得的关系式，进而求得定点坐标. 【详解】（1）设，由得， 化简得，则曲线的方程为；    （2）由题意知，设， 依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，得， 则，所以(舍去)或，即， 则， 则直线方程为；    （3）设直线方程为，设， 联立方程，得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则直线始终经过此定点.    【点睛】求解曲线的方程，可以有以下两种方法：一是根据圆锥曲线的定义，求得曲线的方程；另一个是根据已知条件中所给的等量关系式，如本题中，利用坐标表示点，化简后可求得曲线方程. 19．(1) (2) (3)或 【分析】（1）由圆的一般方程得到圆的标准方程进而得到圆心和半径，根据两圆相交得到，进而得到的取值范围； （2）设，，联立圆与直线的方程，由有两个交点得到的取值范围，由韦达定理得到和，代入，解出的值； （3）设，由分别写出与的方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，即得到的坐标. 【详解】（1）圆的标准方程为，则圆心，， 圆的标准方程为，则圆心， ， 圆与圆相交，，即，解得， 的取值范围. （2）已知直线与圆交于，两点，设，， 联立，得， 所以，得 ， 解得，因为，所以. （3） 设点坐标为，直线、的方程分别为：，， 即：，， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等， 由垂径定理得，圆心到直线与直线的距离相等． 故有：， 化简得：或， 因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和， 所以关于的方程有无穷多解，从而有或， 解得或， 所以点P坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$