专题突破10：空间向量中的最值范围（6大题型）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（人教B版2019选择性必修第一册）

专题突破10：空间向量中的最值范围 一、立体几何中的最值范围问题解题思路 此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等，题目较为综合，解决此类问题一般可从三个方面思考： 一是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解； 二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值； 三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解. 二、解决立体几何中的最值问题常用方法 1、建立函数法：很多情况下，我们都是把这类动态问题转化为目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值。解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次函数的配方法、公式法；有界函数界值法（如三角函数等）。 2、公理与定义法：通常以公理与定义作为依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短；分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的共垂线短等。如果利用函数关系求之比较困难，而运用两异面直线共垂线段最短则是解决问题的捷径。 3、解不等式法：在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解。 如：、、最小角定理所建立的不等关系等。 4、展开图法：它可将几何体表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分只管，由难化易。 5、变量分析法：透过现象看本质，在几何体重的点、线、面，哪些在动，哪些不懂，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值问题的方法。 题型一 与数量积有关的最值范围 【例1】正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为原点，以，，所在的直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，， 可得，，， 因为点在线段上运动，设，且， 所以，可得， 又因为，所以，即.故选：A． 【变式1-1】《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，平面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】平面，，连接，由，可得， 四边形为矩形，以为轴建立如图所示坐标系， 则，设，， 则， 所以 因为，则，则， 所以. 故选：D 【变式1-2】在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】C 【解析】如图，分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系可得： ，，，，，， ，，， 设平面的法向量，则，得， 故可设，，，即. 由于直线与平面平行，则， 得：，即：，，. ， ， 可知，由于，当时，取得最小值，最小值为.故选：C 【变式1-3】中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何体，该几何体是上下两个底面平行，且均为矩形的六面体.现有一“刍童”，如图所示.，，，，，与的交点为，则的最大值为（    ） A． B．18 C． D．21 【答案】C 【解析】设，则， 由题意得，. 所以， ， 当时.取得最大值，且最大值为.故选：C 题型二 与长度有关的最值范围 【例2】如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则有, 依题意，， , 于是，. 又因平面，平面,则, 又,平面，故平面, 故平面的法向量可取为， 因平面，故，即. 则， 因，故当时，.故选：D. 【变式2-1】如图，在直三棱柱中，，已知与分别为和的中点， 与分别为线和上的动点（不包括端点），若 、则线段长度的取值范围为（    ） A．[) B．[ ] C．[) D．[] 【答案】A 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设点坐标为，， 故，因为， 故可得，则，由可得， 又，故, 故当时，取得最小值； 又当时，，但无法取到，则无法取到； 综上，线段DF长度的取值范围为.故选：A 题型三 空间角的最值范围问题 【例3】正三棱柱的所有棱长均相等，E，F分别是棱上的两个动点，且，则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 以A为原点，方向分别为x，z轴正方向建立空间直角坐标系， 可得，， 故所求角的余弦值为，当时取“”．故选：D 【变式3-1】如图，在长方体中，，，为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值取最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 建立如图所示空间直角坐标系， 设 则 设平面的法向量为 则即令则 设直线与平面所成角为， 则 当时，最大， 故选:D. 【变式3-2】如图，三棱锥中，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，且侧面VAC垂直底面ABC，设E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面VAC垂直底面ABC，且由VE垂直AC，得底面，又EB垂直AC，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，EV为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设，则，，， 设，，，，， 设平面VBC的一个法向量， 则，即，所以. 设平面VEF的一个法向量，则，即， 解得，令，则，所以，设平面与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则 当时，的最大值为. 故选：D 【变式3-3】在中，，．若空间点满足，则直线与平面所成角的正切的最大值为 . 【答案】 【解析】点作与点，过点作与点， 设，则， 又，则， 则点在以为旋转轴，底面圆半径为的圆柱上， 如图所示：以所在平面为，建立空间直角坐标， 则平面的法向量为：， ，设，则， 记直线与平面所成角为， 则， 因为，所以， 令，则， 则，， 又，在上单调递减.在上单调递增，则， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 又，所以直线与平面所成角的最大值为， 此时.故答案为： 【变式3-4】如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为.若点为线段上的动点（不包括端点），锐二面角余弦值的取值范围为 . 【答案】 【解析】连接，因为在平面内的射影为， 所以垂直于平面内这两条线段， 又因为底面是边长为2的等边三角形，是线段中点，所以， 因此建立如图所示的空间直角坐标系， ， 设，， 则， 设平面的法向量为， 因此有， 设平面的法向量为， 因此有， 所以， 令， 所以， 设， 则, 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以当时，该二次函数单调递增， 所以当时，该二次函数有最小值， 当时，该二次函数有最大值， 所以，即， 故答案为： 题型四 空间距离的最值范围问题 【例4】在空间直角坐标系中，，，，若点到直线的距离不小于，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以点到直线的距离为， 所以，化简得 解得. 故选：A 【变式4-1】直四棱柱的所有棱长都为，，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】   取交点于点， 因为直四棱柱的所有棱长都为， 所以， 以所在直线为轴，过点竖直向上所直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 所以，，，， ，， 设平面的法向量为， 则有，令，则，，所以， 因为点在四边形及其内部运动，所以设，， 又因为，所以， 即，则， 设点到平面的距离为，则有， 又因为，所以时，， 即点到平面的距离的最小值为 . 故答案为：. 【变式4-2】如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，. (1)求证：； (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到直线距离的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【详解】（1）取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 连接，在中，，，则， 于是， 设，则，其中，， 因此，即， 所以. （2）由平面平面，得， 又，则，而平面， 则平面，即为平面的一个法向量， ，由平面，得， 又，解得，此时， 设是平面的法向量，则，取，得， 设是平面的法向量，则，取，得， 则平面FOD与平面夹角的余弦值为. （3）， 则点到直线的距离， 当时，即的坐标为时，点到直线的距离取最大值为 【点睛】方法点睛：利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；②找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角． 【变式4-3】棱长为的正方体中，分别是平面和平面内动点， ，则的最小值为 【答案】/ 【解析】如图，取点关于平面的对称点， 设点到平面的距离为，则，， 以为坐标原点，以为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则点是线段靠近的三等分点， 又正方体棱长为， 则， 则，且， 设平面的法向量为， 则，取，则，则， 则点到平面的距离. 题型五 面积的最值范围问题 【例5】如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动.若，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，其中，所以，， 因为，所以，所以， 由可得，所以， 则， 当时，取得最大值， 所以.故选：C 【变式5-1】如图，在四棱锥中，平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图以A为坐标原点建立空间直角坐标系， 由二面角的平面角大小为30°，可知Q的轨迹是过点D的一条直线， 又Q是四边形ABCD内部一点（包括边界）， 则Q的轨迹是过点D的一条线段， 设Q的轨迹与y轴的交点坐标为， 由题意可知，，， 所以，，， 易知平面APD的一个法向量为， 设平面PDG的法向量为， 则，即，令，得，， 所以是平面PDG的一个法向量， 则二面角的平面角的余弦值为， 解得或（舍去），所以Q在DG上运动， 所以面积的取值范围为．故选：A． 【变式5-2】如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，BCAD，，，已知Q是四边形ABCD内部一点，且平面QPD与平面APD的夹角为，则的面积的取值范围是 . 【答案】 【解析】平面，，以点为坐标原点， 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设点，其中，， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 易知平面的一个法向量为， 由已知条件可得， 所以，，即， 直线上的点满足，联立，解得， 联立，解得， 所以，点的纵坐标的取值范围为， 易知点不在线段上，则， 所以，. 题型六 体积的最值范围问题 【例6】如图,正三棱柱的高为4,底面边长为是的中点,是线段上的动点,过作截面,使得且垂足为,则三棱锥体积的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：设中点为,以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系, 得,设, 则,, ,, 得, 则, 当时,, 又, 三棱锥体积的最小值为． 故答案为：． 【变式6-1】已知棱长为1的正方体为的中点，点为四边形及其内部任意一点，若，则三棱锥体积的取值范围是 ． 【答案】 【详解】在棱长为1的正方体中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，设点， 于是得，因， 则，因此有，点N到平面的距离， 三棱锥体积， 所以三棱锥体积的取值范围是. 故答案为： 【变式6-2】如图，若正方体的棱长为，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则三棱锥体积的最大值为 .    【答案】/ 【详解】    以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 如图所示：易知，则， 设平面的一个法向量为，可得， 令，可得，即； 可设，则， 所以到平面的距离为，易知当时，距离最大值为； 又在中，易知，， 所以边上的高， 所以，为定值； 所以到平面的距离最大时，三棱锥体积的最大为：. 故答案为： 【变式6-3】如图，正三棱柱的高为4，底面边长为是的中点，是线段上的动点，过作截面，使得且垂足为，则三棱锥体积的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：设中点为，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 得，0，，设，0，，则，， ，，得，则， 当时，， 又， 三棱锥体积的最小值为． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破10：空间向量中的最值范围 一、立体几何中的最值范围问题解题思路 此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等，题目较为综合，解决此类问题一般可从三个方面思考： 一是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解； 二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值； 三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解. 二、解决立体几何中的最值问题常用方法 1、建立函数法：很多情况下，我们都是把这类动态问题转化为目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值。解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次函数的配方法、公式法；有界函数界值法（如三角函数等）。 2、公理与定义法：通常以公理与定义作为依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短；分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的共垂线短等。如果利用函数关系求之比较困难，而运用两异面直线共垂线段最短则是解决问题的捷径。 3、解不等式法：在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解。 如：、、最小角定理所建立的不等关系等。 4、展开图法：它可将几何体表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分只管，由难化易。 5、变量分析法：透过现象看本质，在几何体重的点、线、面，哪些在动，哪些不懂，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值问题的方法。 题型一 与数量积有关的最值范围 【例1】正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，平面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 【变式1-3】中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何体，该几何体是上下两个底面平行，且均为矩形的六面体.现有一“刍童”，如图所示.，，，，，与的交点为，则的最大值为（    ） A． B．18 C． D．21 题型二 与长度有关的最值范围 【例2】如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在直三棱柱中，，已知与分别为和的中点， 与分别为线和上的动点（不包括端点），若 、则线段长度的取值范围为（    ） A．[) B．[ ] C．[) D．[] 题型三 空间角的最值范围问题 【例3】正三棱柱的所有棱长均相等，E，F分别是棱上的两个动点，且，则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式3-1】如图，在长方体中，，，为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值取最大值时，（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，三棱锥中，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，且侧面VAC垂直底面ABC，设E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】在中，，．若空间点满足，则直线与平面所成角的正切的最大值为 . 【变式3-4】如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为.若点为线段上的动点（不包括端点），锐二面角余弦值的取值范围为 . 题型四 空间距离的最值范围问题 【例4】在空间直角坐标系中，，，，若点到直线的距离不小于，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】直四棱柱的所有棱长都为，，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为 ．    【变式4-2】如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，. (1)求证：； (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到直线距离的最大值. 【变式4-3】棱长为的正方体中，分别是平面和平面内动点， ，则的最小值为 题型五 面积的最值范围问题 【例5】如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动.若，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在四棱锥中，平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，BCAD，，，已知Q是四边形ABCD内部一点，且平面QPD与平面APD的夹角为，则的面积的取值范围是 . 题型六 体积的最值范围问题 【例6】如图,正三棱柱的高为4,底面边长为是的中点,是线段上的动点,过作截面,使得且垂足为,则三棱锥体积的最小值为 ． 【变式6-1】已知棱长为1的正方体为的中点，点为四边形及其内部任意一点，若，则三棱锥体积的取值范围是 ． 【变式6-2】如图，若正方体的棱长为，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则三棱锥体积的最大值为 .    【变式6-3】如图，正三棱柱的高为4，底面边长为是的中点，是线段上的动点，过作截面，使得且垂足为，则三棱锥体积的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$