专题突破7：利用空间向量法求空间距离（6大题型）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（人教B版2019选择性必修第一册）

专题突破7：利用空间向量法求空间距离 空间距离包括空间中点到点的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线与直线之间的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离.有些空间距离问题较为复杂，仅根据立体几何中的公式、定理、性质，很难快速求得空间距离.此时，我们可根据立体几何图形的结构特点，建立空间直角坐标系，分别求得各个点的坐标、线段的方向向量、平面的法向量，便可快速求得空间距离. 一、空间中距离的定义及分类 1、定义 （1）点到点的距离，是指两点之间线段的长度. （2）点到直线的距离，是指点与直线之间垂线段的长度. （3）两条平行直线之间的距离，是指其中一条直线上任意一点与另一直线之间垂线段的长度. （4）点到平面的距离，是指点与平面之间垂线段的长度. （5）相互平行的直线与平面之间的距离，是指直线上任意一点与平面之间垂线段的长度. （6）两个平行平面之间的距离，是指其中一个平面上任意一点与另一平面之间垂线段的长度. （7）异面直线之间的距离，是指两条异面直线之间公垂线段的长度. 注：①和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线;②公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段;③两条异面直线公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离. ④公垂线段是异面直线上任意两点的最小距离 2、分类情况 （1）点到点的距离; （2）点到直线的距离，包括点到直线的距离、两条平行直线之间的距离; （3）点到平面的距离，包括点到平面的距离、相互平行的直线与平面之间的距离以及两个平行平面之间的距离; （4）异面直线之间的距离. 二、利用空间向量计算空间中距离的四种类型及方法 （1）点到点的距离 方法：由已知两点分别作为起点和终点得出向量，计算该向量的模，即为点到点的距离 具体步骤：①确定点A为起点，点B为终点，得出向量； ②计算； ③距离 注：若，，则， 或 （2）点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： （3） 点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. （4） 直线与平面之间的距离 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离， 即 （5） 两平行平面之间的距离 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离，即 （6） 异面直线之间的距离 如图，设是异面直线，是的公垂线段的方向向量，又分别是上的任意两点，则在上投影的绝对值即为之间的距离. 具体步骤：①在直线上取点A，C，在直线上取点B，D；②通过和计算公垂线段的方向向量；③计算在上的投影；④ 注：在立体几何中，求点到平面的距离、异面直线的距离、直线到平面的距离（此时直线与平面不相交）、两个平行平面的距离有一个统一的公式，其中两点A，B分别在两个图形上，指平面的一个法向量（求两条异面直线的距离时，与这两条异面直线的方向向量均垂直）. 题型一 求两点间的距离 【例1】如图所示，正方体的棱长为1，M是所在棱上的中点，N是所在棱上的四分之一分点（靠近y轴），则M、N之间的距离为________． 【变式1-1】在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，其中．则MN的长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 题型二 求点到直线的距离 【例2】已知空间三点，则点到直线的距离为_____________． 【变式2-1】矩形ABCD中，，平面ABCD，且，则P到BC的距离为__________． 【变式2-2】四面体满足，点在棱上，且，点为的重心，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-4】在梯形中，，，，，如图1．现将沿对角线折成直二面角，如图2，点在线段上． (1)求证：； (2)若点到直线的距离为，求的值． 【变式2-5】如图，已知正方体的棱长为1，为正方形的中心，若为平面内的一个动点，则到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型三 求点到平面的距离 【例3】已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为 . 【变式3-1】如图，在三棱柱中，平面，，，为的中点，交于点． (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 【变式3-2】如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】在长方体中，，，动点P在体对角线上（含端点），则点B到平面的最大距离为 ．    题型四 求平行直线与平面的距离 【例4】如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【变式4-1】如图，在三棱锥中，底面ABC，，点D、E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，，. (1)求证：平面BDE； (2)求直线MN到平面BDE的距离. 题型五 求两平行平面的距离 【例5】两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 题型六 求两条异面直线的距离 【例6】定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（       ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在棱长为a的正方体中，M为的中点，E为与的交点，F为与的交点. (1)求证：，. (2)求证：是异面直线与的公垂线段. (3)求异面直线与的距离. 【变式6-2】正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离 A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破7：利用空间向量法求空间距离 空间距离包括空间中点到点的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线与直线之间的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离.有些空间距离问题较为复杂，仅根据立体几何中的公式、定理、性质，很难快速求得空间距离.此时，我们可根据立体几何图形的结构特点，建立空间直角坐标系，分别求得各个点的坐标、线段的方向向量、平面的法向量，便可快速求得空间距离. 一、空间中距离的定义及分类 1、定义 （1）点到点的距离，是指两点之间线段的长度. （2）点到直线的距离，是指点与直线之间垂线段的长度. （3）两条平行直线之间的距离，是指其中一条直线上任意一点与另一直线之间垂线段的长度. （4）点到平面的距离，是指点与平面之间垂线段的长度. （5）相互平行的直线与平面之间的距离，是指直线上任意一点与平面之间垂线段的长度. （6）两个平行平面之间的距离，是指其中一个平面上任意一点与另一平面之间垂线段的长度. （7）异面直线之间的距离，是指两条异面直线之间公垂线段的长度. 注：①和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线;②公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段;③两条异面直线公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离. ④公垂线段是异面直线上任意两点的最小距离 2、分类情况 （1）点到点的距离; （2）点到直线的距离，包括点到直线的距离、两条平行直线之间的距离; （3）点到平面的距离，包括点到平面的距离、相互平行的直线与平面之间的距离以及两个平行平面之间的距离; （4）异面直线之间的距离. 二、利用空间向量计算空间中距离的四种类型及方法 （1）点到点的距离 方法：由已知两点分别作为起点和终点得出向量，计算该向量的模，即为点到点的距离 具体步骤：①确定点A为起点，点B为终点，得出向量； ②计算； ③距离 注：若，，则， 或 （2）点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： （3） 点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. （4） 直线与平面之间的距离 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离， 即 （5） 两平行平面之间的距离 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离，即 （6） 异面直线之间的距离 如图，设是异面直线，是的公垂线段的方向向量，又分别是上的任意两点，则在上投影的绝对值即为之间的距离. 具体步骤：①在直线上取点A，C，在直线上取点B，D；②通过和计算公垂线段的方向向量；③计算在上的投影；④ 注：在立体几何中，求点到平面的距离、异面直线的距离、直线到平面的距离（此时直线与平面不相交）、两个平行平面的距离有一个统一的公式，其中两点A，B分别在两个图形上，指平面的一个法向量（求两条异面直线的距离时，与这两条异面直线的方向向量均垂直）. 题型一 求两点间的距离 【例1】如图所示，正方体的棱长为1，M是所在棱上的中点，N是所在棱上的四分之一分点（靠近y轴），则M、N之间的距离为________． 【答案】 【分析】根据给定的几何图形，求出点M，N的坐标，再利用空间两点间的距离公式计算作答. 【详解】依题意，，所以M、N之间的距离. 故答案为： 【变式1-1】在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，其中．则MN的长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面面垂直性质可证得平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系；利用空间中两点间距离公式可表示出；将整理为，由二次函数最值可得结果. 【详解】平面平面，平面平面，，平面，平面， 则以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， ； 则， 当时，最小，最小值为. 故选：A. 题型二 求点到直线的距离 【例2】已知空间三点，则点到直线的距离为_____________． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】易知， 则，， 故点到直线的距离为． 故答案为：. 【变式2-1】矩形ABCD中，，平面ABCD，且，则P到BC的距离为__________． 【答案】 【分析】利用点到直线距离的定义进行求解，注意做题的规范性：作、证、指、求, 或者是建立坐标系用空间向量方法去求. 【详解】方法一：如图，因为平面,平面,所以, 又因为是矩形，所以, 因为,所以平面, 因为平面，所以,所以为到的距离. 在矩形中，因为，所以, 在直角三角形中，由勾股定理得, 所以到的距离为. 故答案为：. 方法二：建立如图所示坐标系，在矩形中，， 所以，所以 ,所以, 所以为到的距离. ,所以到的距离为. 故答案为：    【变式2-2】四面体满足，点在棱上，且，点为的重心，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，再利用向量求出点到直线的距离作答. 【详解】四面体满足，即两两垂直， 以点O为原点，以射线的正方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图， 因为，，则， 于是，， 所以点到直线的距离. 故选：A 【变式2-3】如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基底向量，即可由空间向量的模长，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】在平行六面体中，不妨设，，． ,， ，， 所以，， ， 所以E到直线的距离为， 故选：A 【变式2-4】在梯形中，，，，，如图1．现将沿对角线折成直二面角，如图2，点在线段上． (1)求证：； (2)若点到直线的距离为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）计算确定，证明平面，得到，再证明平面，得到答案. （2）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，设得到，再根据点到直线的距离公式计算得到答案. 【详解】（1），， ，故，则，即， 又平面平面，平面平面， ，平面，故平面， 平面，则 ， 又，，平面，所以平面， 又平面，则. （2）设中点为，中点为，以为轴建立空间直角坐标系， 如图所示： 有， 设，则，设，则， 则 ，，， 点到直线的距离为，则， 即，即，解得， 所以. 【变式2-5】如图，已知正方体的棱长为1，为正方形的中心，若为平面内的一个动点，则到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，以为轴建立空间直角坐标系，则有 ，因为为正方形的中心，得， ,，， 设平面的法向量为，利用，则， 取，解得，有，且平面，则直线平面， 设直线的到平面距离为，取直线上一点，与平面上一点，则， 利用空间中点面距离公式有：. 故选：A 题型三 求点到平面的距离 【例3】已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】利用空间向量法可得出点到平面的距离为，即为所求. 【详解】由已知可得， 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 【变式3-1】如图，在三棱柱中，平面，，，为的中点，交于点． (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）由于平面ABC，，所以两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系， 则, ，所以故 （2）由题意可知是，的中点，所以, 设平面的法向量为，则 , 故 ，取 ，则 所以点E到平面的距离为 【变式3-2】如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】因为，为的中点，则， 由圆锥的几何性质可知平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 又因为，所以，点到平面的距离为. 故选：B. 【变式3-3】在长方体中，，，动点P在体对角线上（含端点），则点B到平面的最大距离为 ．    【答案】 【分析】 以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出点B到平面的距离，然后求其最值即可. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，    设， 则， 则，故， 则，， 设平面的法向量， 则，取可得， 则点B到平面的距离为， 当时，点B到平面的距离为， 当时，. 当且仅当时，等号成立， 所以点B到平面的最大距离为. 故答案为：. 题型四 求平行直线与平面的距离 【例4】如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （2）根据线面平行判定定理，结合空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （2）连接，显然，因为， ． 所以，于是， 因为平面，平面， 所以平面， 因此直线到平面的距离就是点到平面的距离， 设平面的法向量为， ， 则有， ， 点到平面的距离为： . 【变式4-1】如图，在三棱锥中，底面ABC，，点D、E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，，. (1)求证：平面BDE； (2)求直线MN到平面BDE的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用空间向量的坐标运算证明线面垂直； (2)利用点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）因为底面ABC，底面ABC，所以 且， 所以以为原点，所在直线为轴建系如图， 因为，， D、E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点， 所以, 设平面的法向量为， 所以所以， 令，则， 因为，平面BDE，所以平面BDE. （2）, 直线MN到平面BDE的距离即为在平面BDE法向量上的投影， 设与的夹角为， 则有 所以， 所以直线MN到平面BDE的距离为. 题型五 求两平行平面的距离 【例5】两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量求解 【详解】∵两平行平面分别经过坐标原点O和点， 且两平面的一个法向量， ∴两平面间的距离． 故选：A 【变式5-1】正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解 【详解】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 题型六 求两条异面直线的距离 【例6】定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（       ） A． B． C． D． 【解析】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 则，， 设和的公垂线的方向向量， 则，即，令，则， ， . 故选：D. 【变式6-1】如图，在棱长为a的正方体中，M为的中点，E为与的交点，F为与的交点. (1)求证：，. (2)求证：是异面直线与的公垂线段. (3)求异面直线与的距离. 【解析】(1)以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，，,,. 所以，，. 因为，所以，即； 因为，所以，即； (2)因为，，. 所以，所以，即; ，所以,即. 又, 所以是异面直线与的公垂线段. (3)由（2）可知：是异面直线与的公垂线段， 所以异面直线与的距离即为. 即异面直线与的距离为. 【变式6-2】正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用坐标法，利用异面直线距离的向量公式即求. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则 ，，，，． ，． 令向量，且，则， ，， ，． 异面直线和之间的距离为： ． 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$