专题01 三角形（考题猜想，11种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版）

专题01 三角形（易错必刷33题11种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 三角形的分类 · 三角形的稳定性 · 三角形的三边关系 · 三角形三边关系的应用 · 三角形内角和的应用 · 做三角形的高与中线 · 利用三角形的高与中线计算长度问题 · 利用三角形的高与中线计算三角形面积问题 · 三角形的外角 · 利用三角形的角平分线计算角度问题 · 三角形的折叠问题 一．三角形的分类（共3小题） 1．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）一个三角形的三个内角度数各不相等，其中最小的角是，那么这个三角形是一个（  　 ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 2．（23-24七年级上·河南安阳·开学考试）在一个三角形中最小的角是，按角分这是一个（    ）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断 3．（2024七年级下·上海·专题练习）已知的三个内角的比是，其中是大于1的正整数，那么按角分类应是 三角形． 二、三角形的稳定性（共2小题） 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（  ） A．稳定性 B．灵活性 C．对称性 D．全等性 5．（19-20八年级上·山西大同·期中）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（　　） A．两点之间的线段最短 B．长方形的四个角都是直角 C．长方形是轴对称图形 D．三角形有稳定性 三、三角形的三边关系（共2小题） 6．（23-24八年级上·福建福州·期中）以下列三条线段为边，不能构成三角形的是（      ） A．13，7，6 B．12，8，9 C．11，9，6 D．9，8，7 7．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是（    ）． A． B． C． D． 四、三角形三边关系的应用（共3小题） 8．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知三角形的三边长为，化简： ． 9．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域，用于饲养小动物，已知第一条边为a米，由于受地势的限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米． (1)请用a表示第二条边长和第三条边长； (2)第一条边长可以为7米吗？为什么？ 10．（21-22九年级·浙江宁波·自主招生）已知三角形的三边a，b，c都是整数，且满足，则此三角形的面积为 ． 五、三角形内角和的应用（共3小题） 11．（23-24八年级上·全国·单元测试）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么 ． 12．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，若，则 °． 13．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点在直线上，点和点均在直线上，若，，，则（　　） A． B． C． D． 六、做三角形的高与中线（共3小题） 14．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．的三个顶点均在小正方形的格点上． (1)在图中画出的边上的高，垂足为D； (2)在图中画出的边边上的中线． (3)直接写出 ． 15．（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D都是格点．将△ABC沿着A→D方向平移后得到△DEF（其中点A、B、C的对应点分别是D、E、F）． (1)画出△DEF； (2)画出△DEF的边DE上的中线FG； (3)画出△ABC的边BC上的高线AH（保留利用格点的作图痕迹）； (4)连接AD、BE，则线段AD与线段BE的关系是_____________； (5)△EFG的面积为_____． 16．（22-23七年级下·江苏连云港·期中）画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．    (1)将向左平移5格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的； (2)利用网格在图中画出ABC的中线，高线； (3)的面积为__________； (4)在图中能使的格点P的个数有__________个（点P异于A）． 七、利用三角形高与中线计算长度问题（共4小题） 17．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知的面积为，点D为边上一点，过点D分别作于点于点F，若，则长为 ． 18．（22-23八年级上·云南红河·期末）如图， 是的中线，，若 的周长比 的周长多2，则 的长为 ． 19．（23-24七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，与分别是的边和边上的高，已知，，求的长． 20．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知的周长为，是边上的中线． (1)如图，当时，求的长． (2)若，能否求出的长？为什么？ 八、利用三角形高与中线计算三角形面积问题（共4小题） 21．（22-23七年级下·浙江温州·期末）如图，在三角形中，，，将三角形沿射线的方向向右平移后，连接，若，，则三角形的面积为 ． 22．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图， 已知的面积是24，、分别是、边上的中点， 连接、， 若是线段上的三等分点， 则的面积是 ． 23．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）如图所示，E、F分别是中边与边上的点，与交于点O，且、和的面积依次为3，2，1，阴影部分的面积为 ．    24．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）如图所示，，，平方厘米．求阴影部分的面积． 九、三角形的外角（共2小题） 25．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）小明把一副含的直角三角板如图摆放，其中，则等于（　　） A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知，则为 ． 十、利用三角形角平分线计算角度问题（共4小题） 27．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，…，若，则 ； ． 28．（22-23八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，已知的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E，则 ．    29．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，的角平分线相交于点P． (1)若，则________； (2)若，试求的度数； (3)试直接写出与之间的数量关系： ________． 30．（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）下面是有关三角形内角、外角平分线的探究，阅读后请按要求作答： (1)如图1，，分别是和的平分线且相交于点P，若，求的度数； (2)如图2，，分别是和外角的平分线且相交于点P，请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，平分，平分，和交于点E，若，直接写出的度数． 十一、三角形的折叠问题（共3小题） 31．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，三角形纸片中，，，将纸片的角折叠，使点C落在 内，若 则的度数是（   ） A． B． C． D． 32．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，，，D是线段上的一个动点，连接，把三角形沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于三角形的边时，的大小为（    ） A．或 B． C． D．或 33．（23-24七年级下·全国·单元测试）发现问题 （1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，请你判断与有何数量关系，写出你的结论，并说明理由； 思考探索 （2）如图，平分，平分，把折叠，使点A与点重合，若，求的度数； 拓展应用 （3）如图3，在锐角中，于点，于点，，交于点，把折叠使点和点重合，试探索与的关系，并证明你的结论． ． $$专题01 三角形（易错必刷33题11种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 三角形的分类 · 三角形的稳定性 · 三角形的三边关系 · 三角形三边关系的应用 · 三角形内角和的应用 · 做三角形的高与中线 · 利用三角形的高与中线计算长度问题 · 利用三角形的高与中线计算三角形面积问题 · 三角形的外角 · 利用三角形的角平分线计算角度问题 · 三角形的折叠问题 一．三角形的分类（共3小题） 1．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）一个三角形的三个内角度数各不相等，其中最小的角是，那么这个三角形是一个（  　 ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】由最小的角及三角形内角和定理，可求出最大的角小于，据此即可解答． 【详解】解：∵最小的角是，， ∴最大的角小于， ∴这个三角形是一个锐角三角形． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 2．（23-24七年级上·河南安阳·开学考试）在一个三角形中最小的角是，按角分这是一个（    ）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断 【答案】A 【分析】分类解答，当一个角是直角时，则第三个角为，这与三角形中最小的角是，故不可能有大于等于直角的角，判定解答即可． 本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形的分类，熟练掌握分类是解题的关键． 【详解】解：当一个角是直角时，则第三个角为， 这与三角形中最小的角是， 故不可能有大于等于直角的角， 只能是锐角三角形． 故选A． 【点评】本题考查三角形的内角和问题以及三角形的分类问题，挖掘关键信息50°是最小的角为解题的关键。 3．（2024七年级下·上海·专题练习）已知的三个内角的比是，其中是大于1的正整数，那么按角分类应是 三角形． 【答案】锐角三角形 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，注意结合方程思想解题，难度适中．设一个角为，则两外两个角为，，，根据三角形的内角和定理可列出方程，从而可得出各角的度数，继而可得出答案． 【详解】解：设一个的度数为，则两外两个角为，， 则：， 解得：，即可得三角分别为，，， 故答案为：锐角三角形． 【点评】本题考查三角形内角和，三角形的分类，属于易错题，注意观察到m是要大于1的，如果考生忽略了这个条件，很容易得出直角三角形的结论。 二、三角形的稳定性（共2小题） 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（  ） A．稳定性 B．灵活性 C．对称性 D．全等性 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，理解三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性,即得答案． 【详解】解：该做法利用了三角形的稳定性． 故选A． 【点评】本题考查三角形的稳定性，掌握相关概念是解题的关键。 5．（19-20八年级上·山西大同·期中）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（　　） A．两点之间的线段最短 B．长方形的四个角都是直角 C．长方形是轴对称图形 D．三角形有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用．根据三角形具有稳定性解答． 【详解】解：用木条固定长方形门框，使其不变形的根据是三角形具有稳定性． 故选：D． 【点评】本题考查三角形稳定性的应用，根据实际场景进行解答。 三、三角形的三边关系（共2小题） 6．（23-24八年级上·福建福州·期中）以下列三条线段为边，不能构成三角形的是（      ） A．13，7，6 B．12，8，9 C．11，9，6 D．9，8，7 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可． 【详解】解：A．∵，∴13，7，6不能构成三角形；     B．∵，∴12，8，9能构成三角形；     C．∵，∴11，9，6能构成三角形；     D．∵，∴9，8，7能构成三角形； 故选A． 【点评】本题考查三角形的三边关系，掌握相关定理分析即可得出正确答案。 7．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴， 解得：， ∴选项中符合题意， 故选：． 【点评】本题考查三角形的三边关系，利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，推算出第三边的范围即可解答。 四、三角形三边关系的应用（共3小题） 8．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知三角形的三边长为，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，先根据三角形三边关系得出，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查三角形三边关系，利用三边关系得出x的范围，接着化简绝对值，最终得出正确答案。 9．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域，用于饲养小动物，已知第一条边为a米，由于受地势的限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米． (1)请用a表示第二条边长和第三条边长； (2)第一条边长可以为7米吗？为什么？ 【答案】(1)； (2)不可以，理由见解析． 【分析】（1）根据“第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米”表示出第二条边长，然后再根据总长即可表示出第三条边长； （2）若第一条边长为7米，分别求出第二条边长和第三条边长，判断是否能构成三角形即可． 【详解】（1）解：∵第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米，第一条边长为a米 ∴第二条边长为米， 由题意可知：第三条边长为米； （2）若，则第二条边长为米，第三条边长为米 ∵ ∴此时不能构成三角形， ∴第一条边长不可以为7米． 【点评】此题考查的是用代数式表示实际意义和三角形的三边关系，掌握实际问题中各个量之间的关系和用三边关系判断三条线段是否能构成三角形是解决此题的关键． 10．（21-22九年级·浙江宁波·自主招生）已知三角形的三边a，b，c都是整数，且满足，则此三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了因式分解的应用．以及三角形的面积的求法，解答此题的关键是熟练掌握分组法分解因式，求出三角形的三边a，b，c的长度各是多少． 根据，得到，且三角形的三边a，b，c都是整数，得到，求出，然后根据等边三角形面积的求法，求出此三角形的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵三角形的三边a，b，c都是整数， ∴， 解得，， ∴此三角形是边长为1的三角形， ∴此三角形的面积为：． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形三边关系，因式分解等相关知识，熟练掌握相关知识是解题的关键。 五、三角形内角和的应用（共3小题） 11．（23-24八年级上·全国·单元测试）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么 ． 【答案】/度 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角板中的角度计算，对顶角性质，根据三角形内角和定理，三角板中的角度计算得到，进而根据对顶角性质求得，即可解题． 【详解】解：如图所示． ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，以及对三角板的一些度数需要牢记，根据相关性质即可求解。 12．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，先根据三角形的内角和定理得到，然后根据三角形内角和定理得到，代入计算即可． 【详解】解：如图，设交于F，交于， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握相关知识即可求解。 13．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点在直线上，点和点均在直线上，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理．根据“两直线平行，内错角相等”与三角形的内角和为进行解题即可． 【详解】解： ， ， 又 ，， ， 故选C． 【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，掌握相关概念进行解答。 六、做三角形的高与中线（共3小题） 14．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．的三个顶点均在小正方形的格点上． (1)在图中画出的边上的高，垂足为D； (2)在图中画出的边边上的中线． (3)直接写出 ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)18 【分析】（1）找到所在水平网格线与点C所在竖直网格线的交点即为D点； （2）根据长为6个单位可找到的中点E，连接即可； （3）根据三角形的面积公式求解即可． 本题考查了网格中画三角形的高线和中线，以及求三角形的面积，掌握三角形的高线和中线的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，是边上的高． （2）解：如图，取的中点E，连接，则线段即为的边边上的中线． （3）解：． 故答案为：18． 【点评】本题考查做三角形的高与中线，求三角形的面积，考查学生对相关知识的掌握，以及动手能力。 15．（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D都是格点．将△ABC沿着A→D方向平移后得到△DEF（其中点A、B、C的对应点分别是D、E、F）． (1)画出△DEF； (2)画出△DEF的边DE上的中线FG； (3)画出△ABC的边BC上的高线AH（保留利用格点的作图痕迹）； (4)连接AD、BE，则线段AD与线段BE的关系是_____________； (5)△EFG的面积为_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)平行且相等 (5)3.5 【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到△DEF； （2）在DE上取格点G，连接FG，即为求解； （3）取格点P，连接AP，则AP⊥BC，AP与BC的交点即为H． （4）依据平移的方向和距离，即可求解； （5）根据割补法进行计算，即可得到△EFG的面积． 【详解】（1）解：如图，△DEF即为所求； （2）解：如图，在DE上取格点G，连接FG，则FG即为所求； （3）解：取格点P，连接AP交BC于点H，，则AH即为所求； （4）解：∵将△ABC沿着A→D方向平移后得到△DEF， ∴BE∥AD，且BE=AD； 故答案为：平行且相等 （5）解：． 故答案为：3.5 【点评】本题主要考查了利用平移变换作图，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 16．（22-23七年级下·江苏连云港·期中）画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．    (1)将向左平移5格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的； (2)利用网格在图中画出ABC的中线，高线； (3)的面积为__________； (4)在图中能使的格点P的个数有__________个（点P异于A）． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)14 (4)21 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）根据三角形的中线，高的定义画出图形即可； （3）利用三角形的面积公式求解； （4）利用等高模型，满足条件的点P在直线m，n上（除点A外） 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）的面积=的面积； 故答案为14； （4）如图，利用等高模型，在图中能使的格点P在直线m，n上（除点A外），总共有21个； 故答案为21．    【点评】本题考查作图一平移变换，三角形的面积，三角形的中线及高线等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． 七、利用三角形高与中线计算长度问题（共4小题） 17．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知的面积为，点D为边上一点，过点D分别作于点于点F，若，则长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的面积计算．连接，根据三角形的面积公式即可得，结合题意求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的面积计算，利用高的性质以及三角形的面积计算公式进行求解。 18．（22-23八年级上·云南红河·期末）如图， 是的中线，，若 的周长比 的周长多2，则 的长为 ． 【答案】8 【分析】根据中线的定义可得，再根据 的周长比 的周长多2，可得，由此即可求出的长． 本题主要考查了三角形的中线的定义和性质．三角形的中线将三角形分成的两个三角形的周长差就等于相邻两边之差，熟练掌握三角形的中线的定义和性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 是的中线， ∴， ∵ 的周长比 的周长多 2， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 故答案为：8． 【点评】本题考查三角形的中线定义和性质，据此进行求解。 19．（23-24七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，与分别是的边和边上的高，已知，，求的长． 【答案】12 【分析】由三角形面积公式得，即可得出结论．本题主要考查了三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵与分别是的边和边上的高，， ∴， ∴ ∴， 即的长为12． 【点评】本题考查三角形的面积计算公式，利用高的性质进行求解。 20．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知的周长为，是边上的中线． (1)如图，当时，求的长． (2)若，能否求出的长？为什么？ 【答案】(1) (2)不能，理由见详解 【分析】（1）根据三角形中线的性质解答即可； （2）根据三角形周长和边的关系解答即可． 此题考查三角形的中线以及三角形的三边关系，关键是根据三角形中线的性质解答． 【详解】（1）解： ，， ． 又∵的周长为， ． 是边上的中线， ． （2）解：不能，理由如下： ，， ． 又∵的周长为 ． ， 不能构成三角形， 则不能求出的长． 【点评】本题考查三角形的中线性质与定义，根据三角形的周长与三边关系进行求解。 八、利用三角形高与中线计算三角形面积问题（共4小题） 21．（22-23七年级下·浙江温州·期末）如图，在三角形中，，，将三角形沿射线的方向向右平移后，连接，若，，则三角形的面积为 ． 【答案】10 【分析】此题主要考查了图形的平移及性质，三角形的面积，准确识图，理解图形的平移及性质，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键． 过点作，根据平移的性质得：，，'，再根据，可求出，然后再利用三角形的面积公式求出'的面积即可． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ∴根据平移的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：10． 【点评】本题考查三角形的面积，图形的平移，合理利用三角形的面积公式是解题关键。 22．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图， 已知的面积是24，、分别是、边上的中点， 连接、， 若是线段上的三等分点， 则的面积是 ． 【答案】4或2 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形等高时面积比等于底边的比，根据三角形中线的性质得出面积关系是解题的关键．根据三角形中线的性质得出，根据题意，当时，，当时，，即可求得答案． 【详解】解：的面积是24，、分别是、边上的中点 ， ， 是线段上的三等分点，如图， 当时， 当时， 故答案为：4或2． 【点评】本题考查三角形的中线性质，利用三角形的中线性质进行三角形的面积关系是本题的解题关键。 23．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）如图所示，E、F分别是中边与边上的点，与交于点O，且、和的面积依次为3，2，1，阴影部分的面积为 ．    【答案】24 【分析】本题主要考查了三角形面积计算的应用，连接，根据等高三角形的面积比等于底边比求出的面积，根据和的面积比等于底边比，和的面积比等于底边比求出关于的面积，最后把和的面积相加求和即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，如图所示，    因为， 而， 所以， 又， 所以， 因为， 即， 因为，， ， 即， 所以， 即， 所以， 所以，， 故答案为：24 【点评】本题主要考查三角形的面积计算，根据等高的三角形面积之比等于底边之比这一性质进行求解。 24．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）如图所示，，，平方厘米．求阴影部分的面积． 【答案】9平方厘米 【分析】本题考查三角形的面积，解题的关键是掌握三角形的面积公式．连接，根据得出，再根据即可得出，进而得到，求出的面积，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 平方厘米， 平方厘米， 平方厘米， 即阴影部分的面积为9平方厘米． 【点评】本题主要考查三角形的面积，合理利用三角形的面积公式求解释本题的关键。 九、三角形的外角（共2小题） 25．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）小明把一副含的直角三角板如图摆放，其中，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，根据三角形的外角的性质分别表示出和，计算即可，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】解：如图，可得，， ， 故选：B． 【点评】本题考查三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是本题的解题关键。 26．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，由三角形外角性质得，，，即得，进而即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由三角形外角性质可得，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角形的外角性质，利用三角形的外角性质即可求解。 十、利用三角形角平分线计算角度问题（共4小题） 27．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，…，若，则 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出，，与的规律是解题的关键．根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角的性质可得，化简可得，进一步找出其中的规律，即可求出的度数． 【详解】解：和分别是的内角平分线和外角平分线， ，， 又，， ， ， 同理可得：， ， 则， ， ， 故答案为：，． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质等，熟练掌握这些概念是解题关键。 28．（22-23八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，已知的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E，则 ．    【答案】/90度 【分析】该题主要考查了角形内角和定理，三角形角平分线以及三角形外角的性质，解题的关键是理解题意． 根据角平分线得出，根据三角形外角的性质即可得，再根据内角和定理得出，即可求解． 【详解】解：∵的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：．    【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形角平分线，三角形外角的性质，理解题意并掌握相关知识是解题关键。 29．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，的角平分线相交于点P． (1)若，则________； (2)若，试求的度数； (3)试直接写出与之间的数量关系： ________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．本题探讨了三角形两角的平分线的夹角与第三个角之间的关系． （1）根据三角形内角和定理即可解答； （2）先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得，即可解答； （3）根据（2）中原理即可解答． 【详解】（1）解：，， ． 故答案为：60； （2）解：，的平分线相交于点， ，， ， ， ， ， ； （3）解：根据（2）中原理即可得到 ， 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，三角形角平分线等相关知识，理解题意是本题解题关键。 30．（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）下面是有关三角形内角、外角平分线的探究，阅读后请按要求作答： (1)如图1，，分别是和的平分线且相交于点P，若，求的度数； (2)如图2，，分别是和外角的平分线且相交于点P，请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，平分，平分，和交于点E，若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角： （1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行求解即可； （2）根据三角形的内角和，三角形的外角和角平分线的定义，进行推导即可； （3）根据三角形的外角的性质和角平分线的定义，结合，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，分别是和外角的平分线， ∴， ∴， ∴； （3）∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点评】本题考查三角形的内角和，三角形的外角相关知识，掌握这些知识即可求解。 十一、三角形的折叠问题（共3小题） 31．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，三角形纸片中，，，将纸片的角折叠，使点C落在 内，若 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查与折叠有关的三角形的角度问题，延长交于点，连接，根据三角形的外角和三角形的内角和定理，得到，进一步求解即可． 【详解】解：延长交于点，连接． ∵折叠， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点评】本题主要考查三角形折叠相关的角度计算问题，利用三角形的外角和内角和定理进行求解。 32．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，，，D是线段上的一个动点，连接，把三角形沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于三角形的边时，的大小为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质和三角形内角和定理．根据题意分两种情况讨论，当时，根据平行线的性质求出的度数，在中根据三角形内角和定理求出的度数，从而求出的度数，再根据折叠的性质求出的度数，最后在中根据三角形内角和定理即可求解；当时，根据平行线的性质求出的度数由折叠的性质可得，从而即可求解． 【详解】解：当时，如图， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴； 当时，如图， ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∴， 综上所述，的度数是或， 故选：A． 【点评】本题考查平行线性质，折叠性质，三角形内角和性质，并在此分类讨论，理解题意是本题解题关键。 33．（23-24七年级下·全国·单元测试）发现问题 （1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，请你判断与有何数量关系，写出你的结论，并说明理由； 思考探索 （2）如图，平分，平分，把折叠，使点A与点重合，若，求的度数； 拓展应用 （3）如图3，在锐角中，于点，于点，，交于点，把折叠使点和点重合，试探索与的关系，并证明你的结论． ． 【答案】（1），见解析 （2） （3），见解析 【分析】本题主要考查三角形的折叠问题，熟知三角形的内角和定理的折叠的性质是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理，结合整体思想即可解决问题． （2）根据（1）中结论求出的度数，再根据三角形内角和定理得出的度数，最后用整体思想即可解决问题． （3）根据与及与的关系即可解决问题． 【详解】解：．理由如下： 由折叠可知， ，，． ， ，， ． ， ， ． 故与的关系是：． ，， ， ， ． 平分，平分， ，， ， ． ． 证明：，， ，． ， ， ， ， 即． 又， ， 即． 【点评】本题考查三角形的折叠问题，掌握三角形的内角和定理和折叠的性质，是本题解题关键。 $$