专题02 二次函数与几何图形综合（考点清单，5大考点梳理+题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版）

专题02 二次函数与几何图形综合（考点梳理+题型解读+提升训练） 【考点题型一】二次函数与线段长度综合 【例1】如图，抛物线经过两点，与轴负半轴相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)为抛物线的顶点．为对称轴右侧抛物线上一点，连接交于点，若，求点的坐标： (3)点为轴上方抛物线上一动点，点是抛物线对称轴与轴的交点．直线分别交抛物线的对称轴于点． 以下两个结论： ①为定值：②为定值． 请找出正确的结论，并求出该定值． 【答案】(1) (2) (3)①是定值，理由见详解 【分析】（1）根据题意，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得，并求出直线的解析式为，设，根据两点之间距离公式可得，，，根据，可求出，并得直线的解析式为，联立抛物线为方程组求解即可； （3）根据题意可得，，设，可求出直线的解析式为，由此得到，同理可求出直线的解析式为，，图形结合，分类讨论：第一种情况，当时，可得，，则有；第二种情况，当时，同理，，，可求出是定值． 【详解】（1）解：已知抛物线经过两点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：由（1）可得，抛物线的解析式为，点为抛物线的顶点， ∴， ∴，且， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为，如图所示， 设，且， ∴，， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立抛物线与直线的解析式为方程组得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），， ∴； （3）解：①是定值，理由如下， 已知抛物线的解析式为，，， 令时，， 解得，，， ∴， ∵点是抛物线对称轴与轴的交点， ∴， ∵点为轴上方抛物线上一动点， ∴设， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在抛物线对称轴上，即点的横坐标为，且点在直线的图象上， ∴当时，， ∴， 同理，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在抛物线的对称轴上，即点的横坐标为，且点在直线的图象上， ∴当时，， ∴， 第一种情况，当时，如图所示， ∴，， ∴，， ∴是定值； 第二种情况，当时，如图所示， 同理，，， ∴，， ∴是定值； 综上所述，①是定值． 【点睛】本题二次函数与线段的数量关系的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，坐标系中两点之间的距离公式，二次函数与二元一次方程组的计算等知识，学会图形结合，分类讨论思想是解题的关键． 【变式1-1】综合探究 如图，在平面直角坐标系中．直线与抛物线交于两点，点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线，与直线交于点C．连接，设点的横坐标为． ①若点在轴上方，当为何值时，； ②若点在轴下方，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)①当时，；②周长的最大值为9 【分析】本题考查了二次函数的线段周长综合，待定系数法求解析式，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出直线的解析式为，再得出，结合，代入，进行计算即可作答． （2）①先设，则，所以因为所以，且，化简计算，得，故当时，；②当点在轴下方时，，同理得代入得，化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 当时， ， 将点分别代入， 得 解得 抛物线的解析式为； （2）①设，则， 过点作轴的平行线，与直线交于点， 令， 解得或． ②当点在轴上方时，， 或（舍去） 当时，； ②由①得 ， 当点在轴下方时，， 点 当时，的周长最大，最大值为9． 【变式1-2】已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点D在y轴负半轴上，且，点P，Q为抛物线上的点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当时，求点P的坐标； (3)如图2，若，点E，F分别为的边上的动点，且，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将，，代入中，利用待定系数法即可求解； （2）设交轴与点，交于点，推出，得到，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标即可； （3）作，且使，连接，证明得到，共线时，的值最小，作于点，设，则，得到，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：将，，代入中， 得，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）设交轴与点，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， 联立，解得：或， ∴； （3）解：如图，作，且使，连接， ∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，，共线时，的值最小， 作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则，， ∴， 解得或(舍去)， ∴， ∴， ∴，， ∴， 则的最小值为． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、全等三角形的判定与性质、最值问题、勾股定理，综合性强，难度较大，属于压轴题，熟练掌握相关知识，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解是解题的关键． 【考点题型二】二次函数与图形面积综合 【例2】若直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过点，点，且与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)若点为直线下方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标； 【答案】(1) (2)当时，最大，最大为，这时点P的坐标为 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握的图像和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点P作轴交于点Q，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，然后根据计算即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点A的坐标为， 当时，，解得， ∴点B的坐标为， 设抛物线的解析式为，代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：过点P作轴交于点Q， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∴， ∴， 当时，最大，最大为，这时点P的坐标为． 【变式2-1】如图，抛物线过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且，当的面积是3时，求出点P的坐标； (3)抛物线的顶点为Q，直线与抛物线交于点E，F，M是线段的中点，当时，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)时，有最小值，最小值为 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键. （1）依据题意，把点代入 求出后即可求得解析式； （2）依据题意，先求出点C和点D的坐标，然后连接，设点P的坐标为， 根据列方程求出m值即可解题； （3）依据题意可得点的坐标是，又把与 联立方程组，得 可得, 连接, 有再结合二次函数的性质即可判断得解. 【详解】（1）由题意, 把点. 代入 得 ， ， ∴抛物线的解析式为 （2）解：当时，， ∴点C的坐标为， ∵x轴正半轴上有一点D，且， ∴点D的坐标为， 连接， 设点P的坐标为， 则， 解得：，， ∴点P的坐标为或； （3）解：∵点的坐标是, ∴. 又∵ ∴点的坐标是. 把与联立方程组，得 ， 如图, 连接. , 当时，有最小值，最小值为 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，拋物线与轴正半轴交于点，与轴于点，且过点，连接． (1)求的面积； (2)若点是抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（）先求出点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点坐标，最后利用即可求解； （）由可得抛物线的对称轴为直线，利用待定系数法可得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴相交于点，点坐标为，可得，进而得，再根据三角形的面积可得，据此即可求解； 本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得，， ∴， 把代入得，， ∴， 设直线的解析式为，直线与轴相交于点， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由可得抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴相交于点，点坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得或， ∴点的坐标为或． 【考点题型三】二次函数与角度问题综合 【例3】如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．A点坐标为，与y轴交于点，点M为抛物线顶点，点E为AB中点． AI (1)求二次函数的表达式； (2)在直线BC上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标； (3)已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点，若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，当D，E，F三点共线时，试判断的面积是否为定值，若是，请求出定值：若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的面积为定值 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）设，，设的解析式，联立抛物线解析式，可得，根据题意，设直线解析式为，直线的解析式为，求得到轴的距离是定值，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：对于，令，则 解得： ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； （3）解：设，， ∵点为中点，， ∴， ∵，，三点共线， ∴可设直线的解析式， 联立 消去得， ∴ ∵， ∴可设直线解析式为，直线的解析式为 联立 解得： ∴ ∵， ∴， ∴ 而不为定值， ∴在直线上运动， ∴到轴的距离为定值， ∴的面积是定值，且的面积为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是的中点，点E为x轴上一点，F为对称轴上一点，一动点P从点D出发，沿运动，若要使点P走过的路径最短，请求出点E、F坐标，并求出最短路径； (3)如图2，直线与抛物线交于点M，问抛物线上是否存在点Q（点M除外），使得？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)、，最短路径长6.5 (3)存在， 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）作点关于抛物线对称轴的对称点，，作点关于轴的对称点，连接交轴于点交抛物线对称轴于点，则此时，点、符合题设要求，此时点运动的路径最小，进而求解； （3）先求出点，由，得到，根据勾股定理列式计算，进而求解． 此题主要考查了反比例函数解析式求法以及待定系数法求二次函数解析式以及利用对称求最小值问题以及相似三角形的判定与性质等知识，利用相似得出点坐标是解题关键． 【详解】（1）解：∵已知抛物线与x轴交于点，， ∴设抛物线的表达式为：， ∵ ∴， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：如图1，由抛物线的表达式知， 其对称轴为直线， ∵ ∴ 则 作点关于抛物线对称轴的对称点， ∴ ∵点D是的中点 ∴ 作点关于轴的对称点， ∴ 连接交轴于点交抛物线对称轴于点 则此时，点、符合题设要求，此时点运动的路径最小， 理由：∵点关于轴的对称点，点关于抛物线对称轴的对称点 ∴，， 则， 此时的长度满足点P走过的路径最短 设直线的表达式为 把，分别代入 得， 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点，， 令，则， 则点，， ∵， ∴， 即点、坐标分别为：、， ∴最短路径长6.5； （3）解：存在，理由： 依题意 ∴ 解得：（舍去）或3， 则点， 设直线交于点， 由点、知， ∴， 而直线和轴正半轴的夹角为， ∴ 则， ，则， 则， 解得：（舍去）或1， 则点， 设直线的表达式为 把点、分别代入 得， 解得 直线的表达式为：， 依题意，得 解得：（舍去）或7， 则点． 【变式3-2】如图1，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线． (1)求a的值． (2)如图1，将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P在抛物线上，且请直接写出直线的表达式． 【答案】(1) (2)存在，点D的坐标为 (3)存在点P在抛物线上，且，直线的表达式为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，由平移的性质得出直线的解析式为，设，作轴，交于点，作于，设直线交轴于，则，，证明是等腰直角三角形，得出，再根据二次函数的性质即可得解； （3）分两种情况：当在的下方时，在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点；当在的上方时，作点关于直线的对称点，连接，，直线交抛物线于，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴， 解得：； （2）解：存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大， ∵， ∴当时，， ∴， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点， ∴直线的解析式为， 设， 如图，作轴，交于点，作于，设直线交轴于， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点D的坐标为； （3）解：当在的下方时，在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点， ， ∵，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），， ∴； 当在的上方时，作点关于直线的对称点，连接，，直线交抛物线于， ， 由对称得：，，， ∴， ∴， 同理可得：直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），， ∴， 综上所述，存在点P在抛物线上，且，直线的表达式为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质、直线的平移、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【考点题型四】二次函数与特殊三角形综合 【例4】如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求的值； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)9 (2)存在，或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）求出、的坐标，将点、的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解； （2）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）直线，令，则，令，则， 故点、的坐标分别为、， 将点、的坐标分别代入抛物线表达式得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 则点坐标为，顶点的坐标为， ∴； （2）设， 当时，如图， 则点纵坐标与中点的纵坐标相同， ， ， 解得：， 故此时点坐标为； ②当时，如图， ， ， 故此时点的坐标为或； ③当时，如图， , , 解得：， 故此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或； 【变式4-1】综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． 　备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为，； (3)或或． 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，即可． （1）把点，的坐标代入函数解析式，即可； （2）设直线的解析式为，根据点，的坐标求出解析式，过点P作x轴的垂线交AB于点H，求出，根据，即可； （3）根据函数平移的性质，则平移的函数解析式：，根据点为点的对应点，求出点的坐标，平移后的抛物线与轴交于点，求出点的坐标，根据两点间的距离公式，求出，，，分类讨论等腰三角形的形状，即可． 【详解】（1）∵抛物线经过，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）设直线的解析式为， ∵直线经过， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点作轴的垂线交于点，设， ∴， ∴， ∵面积， ∴， ∴当时，面积最大值为， 此时． （3）抛物线整理得：， ∴平移后的抛物线表达式为：， ∵点为点的对应点，， ∴点， ∵平移后的抛物线与轴交于点， ∴当时，， ∴点， 设点， ∴，，， 当时，则，解得：， ∴点的坐标为：； 当时，则，解得：， ∴点的坐标为：， 检验得点，点，点三点不共线． 综上所述，点的坐标为：或或． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为． (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为， (2), (3)，，或 【分析】（1）设，将，代入两个函数解析式即可求出答案； （2）设，，根据，则，即可解答； （3）设，分当时； ，三种情况依次进行讨论即可． 【详解】（1）解：设，将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线经过点，两点，将，代入， ， 解得， ； （2）设，，，则， 当时 ∵ ， 整理得， ，（舍去） ； 当时 ∵ ， 整理得， ∴（舍去）或； ∴ 当时 ∴不存在 综上所述：, （3）设，则 ，，， ①当时，即， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ②时，即， ， ， ， 而， ， ， ③时，即， ， ， （舍去）或 ， 或， 或， 综上所述：，，或 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【考点题型五】二次函数与特殊四边形综合 【例5】如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C． (1)求的值； (2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值； (3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，此时 (3)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）方法一：连接，，通过表示出函数关系，利用函数的性质进行求解；方法二：作于Q，交于点D，，求得函数关系式，进行求解即可； （3）分两种情况，当四边形为平行四边形时或当四边形为平行四边形时，利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把点和点代入， 得， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， ∴， 方法一：如图1， 连接， 设点， ∴， ∴ ， ∴当时，，此时； 方法二：如图2， 作于Q，交于点D，设解析式为： ∵，则，解得 ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，此时； （3）解：如图3， 当四边形为平行四边形时，， ∵抛物线对称轴为直线：， ∴点的坐标： 如图4，当四边形为平行四边形时，， 作于G， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 当时，， ∴，， ∴，， 综上所述：或或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数与面积问题，二次函数与特殊的平行四边形，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 【变式5-1】综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）因为抛物线经过点，两点，所以由待定系数法即可求解； （2）先待定系数法求出直线的表达式为：，再由四边形的面积，即可求解； （3）分两种情况：①当为边，为对角线时；②当为边，为对角线时，根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）抛物线经过点，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：由抛物线的表达式知，点，其对称轴为直线，点， 连接交直线于点， 设直线的表达式为 把，代入 得 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点， 则， 则四边形的面积 ； （3）解：由（2）得抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， ①当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或； ②当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或， 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，为原点，直线与轴交于点，与直线交于点，点关于原点的对称点为点． (1)求过点三点的抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，它关于原点的对称点为．当四边形为菱形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当四边形为菱形时，点的坐标或 【分析】（1）根据直线与坐标系的交点，两直线交点与解二元一次方程组，关于原点对称点的特点分别求值点的坐标，再运用待定系数法即可求解抛物线解析式； （2）当四边形为菱形，，则，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，可得是等腰直角三角形，即，设，可知点在第一、三象限，可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：已知直线与轴交于点， ∴令时，， ∴， ∵直线与直线交于点， ∴， 解得，， ∴， ∵点关于原点的对称点为点， ∴， 设过点三点的抛物线的解析式为， ∴， 解得，， ∴过点三点的抛物线的解析式为； （2）解：当四边形为菱形，，则，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 设，且， ∴点在第一、三象限， ∴， 解得，，， ∴，； ∵点关于原点的对称点为点，点关于原点的对称点为，即， ∴此时，四边形为菱形， ∴当四边形为菱形时，点的坐标或． 【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点，两直线交点与二元一次方程组，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 1．函数的图像如图所示且其对称轴为直线，E为x轴上方抛物线上一点，在抛物线AE段上有一点F使得三角形AEF面积最大，同理做出M、N使得三角形EFM与三角形AFN面积最大，则下列结论正确的有（    ） ① ②连接则 ③ ④当的最大值为时抛物线定过、 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据开口方向和与y轴交点的位置可得，再由对称轴计算公式得到，据此可判断①；设，，直线解析式为，联立得：，则；设在直线上方且平行于直线的直线解析式为，当直线与抛物线只有一个交点时，直线到直线的距离最大（二者有交点的情况下），即此时点A，点B和直线与抛物线的交点组成的三角形面积最大，联立得：，则可得，即，，同理可得，；求出，则可得到，再证明表示的是直线的一次项系数，同理表示的是直线的一次项系数，则直线与直线的一次项系数相同，据此可判断②；当抛物线解析式为时，且点E坐标为时，则，由②可得，分别求出三个三角形的面积即可判断③；求出的最大值为则，推出，当时，解得或，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴抛物线解析式为 设，，直线解析式为， 联立得：， ∴； 设在直线上方且平行于直线的直线解析式为， 当直线与抛物线只有一个交点时，直线到直线的距离最大（二者有交点的情况下），即此时点A，点B和直线与抛物线的交点组成的三角形面积最大， 联立得：， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴，， ∵点A是抛物线与x轴的交点， ∴， ∴， ∴ ； ， ∴， ∵， ∴， ∴表示的是直线的一次项系数， 同理表示的是直线的一次项系数， ∴直线与直线的一次项系数相同， ∴，故②正确； 当抛物线解析式为时，且点E坐标为时，则， 由②可得， ∴， ∴， ∴， ∴此时有，故③错误； 在中，当时，， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴的最大值为 当的最大值为时，则， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，解得或 ∴此时抛物线定过、，故④正确； ∴正确的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解题的关键在于确定． 2．如图，点是抛物线上第一象限内一动点，，，过点分别作轴、轴的平行线，分别交直线于，两点，过点作的垂线，垂足为．下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．周长的最大值为 【答案】D 【分析】首先求出直线解析式；设，则可得点H的坐标，从而可求得及其最大值；由已知可得，，由勾股定理得，周长为，因而可作出判断． 【详解】解：设直线解析式为，则有，解得， ∴直线解析式为； 设，则点H的坐标为， ∴， 配方得：， 当时，有最大值； ∵，， ∴； ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为，故选项C错误； ∴由勾股定理得； ∵， ∴，由勾股定理得， 即 ∴的最大值均为， 故选项A、B错误； ∵周长为， ∴当最大时，周长也最大，且最大值为：， 故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，求一次函数解析式等知识，善于转化是解题的关键． 3．如图，抛物线交轴分别于点，交轴正半轴于点，抛物线顶点为．下列结论：①；②；③时，；④当是等腰直角三角形时；⑤点是抛物线对称轴上的一点，若，则周长的最小值为．其中，错误的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质，勾股定理，根据对称性先求出抛物线对称轴为直线，再由对称性计算公式得到，由此可判断①；根据当时，即可判断②；当时，有最大值，最大值，则，据此可判断③；当是等腰直角三角形时，则 ，设，则，解方程求出点C坐标，进而利用待定系数法求出a的值即可判断④；如图，连接交抛物线的对称轴于，连接，由对称性可得，则当三点共线时，最小，即此时的周长最小，利用勾股定理求出的长即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线交轴分别于点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，即，故①正确； ∵当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，称轴为直线， ∴时，有最大值，最大值， ∵， ∴， ∴，故③正确， 当是等腰直角三角形时，则 ， 设， ∴， ∴（负值舍去）； ∴， ∴抛物线的解析式为， 把代入得到，故④错误， 如图，连接交抛物线的对称轴于，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小， ∴的周长最小值， ∵，， ∴周长最小值为，故⑤错误． 故选：C． 4．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于1，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（    ）    A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；当，抛物线与轴有两个交点；当，抛物线与轴有一个交点；当，抛物线与轴没有交点．根据抛物线的顶点坐标即可判断①；由可得到点坐标为，点坐标为，把它们代入解析式解得，即可判断②；由得出，，根据三角形面积公式求得，即可判断③；根据交点坐标和系数的关系即可判断④． 【详解】解：抛物线的顶点 在第一象限， ， ，故①正确； ， 点坐标为，点坐标为， 把代入得， ，故②正确； ，， ， 设，， ∵开口向下，对称轴在y轴右边， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ，故③正确； ∵，， ，故④正确； 故选：D． 5．如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了二次函数和三角形的基本性质，由二次函数求出、两点坐标，再求出点的坐标，即可求出、的值，然后根据面积公式即可得出答案．求出三点坐标是解题的关键． 【详解】解：当时，，解得或3，则，， 当时，，则， ∴，， ∴， 故答案为：15． 6．如图，抛物线的图象与轴交于点，点与点关于该抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点．点在线段上（不含端点）的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．    （1）当时，点横坐标为 ． （2）在直线下方的抛物线上存在点，使（点不与点重合）．则点的坐标为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）先求出抛物线的解析式为，的函数解析式为，则可设，，得出，根据，列出方程求解即可； （2）过点B作的平行线，交抛物线于点Q，易得的平行线解析式为，联立该直线与抛物线的解析式，求出其交点坐标即可． 【详解】解：（1）把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 把代入得：， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴的函数解析式为， 设，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：（舍去）， ∴点P的横坐标为2； 故答案为：2； （2）∵， ∴点Q作过点B且平行于的直线上， 过点B作的平行线，交抛物线于点Q， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， 设的平行线解析式为， ∵的函数解析式为， ∴，即， 把代入得：， 解得：， ∴的平行线解析式为， 联立得：， 解得：，（舍）， ∴点Q的坐标为， 故答案为：．    7．已知抛物线与直线交于，两点，，点在线段上，且．若线段上满足条件的点有两个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】联立解析式，求出二次函数与一次函数的交点坐标，根据题意画出一次函数的图象，设一次函数图象与坐标轴的两个交点分别为，连接，易得为等边三角形，得到，以为圆心，的长为半径画圆，交直线于点，连接，易得为等边三角形，得到，进而得出点跟重合或在的右侧时，满足题意，即的横坐标大于等于的横坐标，求出的取值范围即可． 【详解】解：联立，解得：或， 令， 设直线与轴交于点，当时，， ∴， 如图，连接， ∵， 则：， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴； 以为圆心，的长为半径画圆，交直线于点，连接， 则：， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴； 过点作，则， ∴， ∴； ∴只要点跟重合或在的右侧，即可满足线段上满足的点有两个，即：和两点， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，同时考查了一次函数与坐标轴的交点，等边三角形的判定和性质．根据题意，正确的画出图象，确定出点的两个位置，是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-1的顶点为A，直线l过点P（0，m）且平行于x轴，与抛物线交于点B和点C．若AB=AC，∠BAC=90°，则m= ． 【答案】3 【分析】设直线l与对称轴的交点为点D，则根据等腰直角三角形的性质可得BD=AD，根据韦达定理可表示出x1+x2与x1x2，进而表示出BC的长度和BD的长度，根据BD=AD可列出方程求出m的值. 【详解】设直线l与对称轴的交点为点D，则根据等腰直角三角形的性质可得BD=AD，抛物线的顶点坐标为A（3，-1）， 由题意得直线l的表达式为直线y=m， 当y=m时，可得方程 原方程整理可得， 由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=6，x1x2=， （x1-x2）2=（x1+x2）2-4 x1x2=36-20+16m=16+16m ∵直线l与抛物线交于点B和点C， 故m＞-1， ∵BC2=16+16m，AD=m+1,BD==AD, ∴BC=2AD，BC2=4AD2， 16+16m =4（m+1）2 整理得，m2-2m-3=0 解得m=3或m=-1（舍去） 即m=3. 故答案为3. 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系和等腰三角形的性质，解题的关键是运用韦达定理正确表示出BC的长度. 9．如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展设问：点为平面内一点，直线上方的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，点的坐标为或或或； 拓展设问：存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由题意，根据抛物线的交点式列方程求解即可得到答案； （2）求出及对称轴，设，由两点之间距离公式得到，，，根据题意，由等腰三角形性质分三种情况：当时；当时；当时；分类讨论求解即可得到答案； 拓展设问：设点的坐标为，根据坐标两点的距离公式，得到，，，根据题意，分三种情况：当为菱形的对角线时；当为菱形对角线时；当为对角线时，由菱形性质列方程求解即可得到答案． 【详解】解：（1）抛物线与轴交于点和点， ， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）存在，点的坐标为或或或，理由如下： 由（1）知， ∴，，抛物线的对称轴为直线， 设点，其中， 点、、， ，，， 当时，则，解得，则点或； 当时，则，解得或（负值舍去），则点； 当时，则，解得，则点； 综上，点的坐标为或或或； 拓展设问：存在，点F的坐标为或或，理由如下： 抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为, 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴设点的坐标为，此时， ∵，， ∴，， ， ①当为菱形的对角线时，如图所示： 此时， ∴，解得， ∴； ②当为菱形对角线时，如图所示： 此时， ∴，解得或（不合题意，舍去）， ∴； ③当为对角线时，如图所示： 此时， ∴，解得或（不合题意，舍去）， ∴； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、待定系数法确定函数解析式、等腰三角形性质、菱形性质、两点之间距离公式、解二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质，等腰三角形性质及菱形性质是解决问题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线与轴交于、，与轴交于点，其顶点为点． (1)求点坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)连接、，动点的坐标为．为抛物线上的一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；，或，或，或， 【分析】（1）将带入抛物线的解析式里求出点的纵坐标，即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）求得顶点，分两种情况讨论，当为对角线时，当为对角线时，根据平行四边形以及平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得：， 点的坐标为； （2）抛物线与轴交于、， ，解得：， 抛物线的解析式为； （3）解：， ， 当为对角线时，根据平行四边形的性质，相当于向上平移个单位， ，，点向上平移个单位为点， 点向上平移个单位为点，则点的纵坐标为，解方程，得或， 当时，，即点向上平移个单位，向左平移个单位， 点向上平移个单位，向左平移个单位，得到点， 当时，同理，， 即，或，； 当为对角线时，根据平行四边形的性质，相当于向上平移个单位， ， 点的纵坐标为，解方程，得，或； 同理得，或，； 综上，，或，或，或，． 【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴交点的坐标、利用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线的顶点式、平行四边形的性质、平移的性质以及解一元二次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 11．已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B左侧）．与y轴交于点，抛物线顶点为D． (1)求抛物线解析式以及点D的坐标； (2)若抛物线上有两点，当时，均有，求t的取值范围； (3)将抛物线L沿直线平移得到顶点为的抛物线G，设的横坐标为m，若抛物线G与直线交于两点，且，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，点的坐标为 (2) (3) 【分析】（1）先求出坐标，再求出的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据增减性得到开口向下时，离对称轴越远，所对应的函数值就越小，所以点在到范围内都存在，再根据范围列出不等式即可； （3）先根据题意得到坐标，再用含有的式子表示出二次函数表达式，求其与直线交点的长度，然后分别利用和求出的值即可得到最终范围. 【详解】（1）， 令 或， ， ， ， 即， 将代入抛物线解析式得， ∴抛物线解析式为， ∴点的坐标为 ； （2）∵抛物线解析式为 ∴抛物线开口向下，对称轴 根据二次函数增减性可以判断，开口向下时，离对称轴越远，所对应的函数值就越小， ， 且点关于对称轴对称的为 ， ∵当时，均有 ， 解得：， ∴的取值范围为 （3）抛物线沿着平移得到抛物线， 的横坐标为， 则抛物线的表达式为 令 整理得： ， ∴， 作于点， 则， 当时，， 即 解得 或(舍去)， 当时，此时 ， 或 (舍去)， 综上， 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数顶点坐标、二次函数的图象与性质、抛物线与直线交点问题、根与系数的关系等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键. 12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H． (1)求点A、P的坐标； (2)连接，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等 【分析】（1）令代入解析式求出A，将函数化成顶点式求解即可得到P，即可得到答案； （2）本题考查二次函数综合运用题，先根据题意求出H点坐标，从而求出，，设点，根据得到，从而得到，最后根据三角形全等分类讨论列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）， 令，即，解得，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：存在，理由如下， ∵点H在二次函数的对称轴上且交于x轴， ∴， ∵， ∴，， 设点， ∵DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点， ∴， ∴， ∵以点D，E，F为顶点的三角形与全等， ∴当时，， ∴，解得，（舍）， ∴； 当时，， ∴，解得，（舍）， ∴， 综上所述，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等. 13．如图，顶点坐标为的抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点，D是直线上方抛物线上的一个动点，连接交抛物线的对称轴于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，当的周长最小时，求点D的坐标； (3)过点D作轴于点H，交直线于点F，连接．在点D运动过程中，是否存在使为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)D的坐标为： (3)存在，点F的坐标为：或或 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）由待定系数法即可求解； （2）作点C关于抛物线对称轴得对称点D，连接交于点E，此时的周长最小，即可求解； （3）当时，列出等式即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）如下图，作点C关于抛物线对称轴得对称点D，连接交于点E，此时的周长最小， 理由：为最小， 对称轴为，由点的对称性知，点的对称点D的坐标为：； （3）存在，理由： 令，则， 解得或， ∴点，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点， 由点A、C、F的坐标得，， 同理可得：， 当时， 则， 解得：（舍去）或2， 即点； 当或时， 同理可得：或， 解得：（舍去）或或； 综上，点F的坐标为：或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数与几何图形综合（考点梳理+题型解读+提升训练） 【考点题型一】二次函数与线段长度综合 【例1】如图，抛物线经过两点，与轴负半轴相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)为抛物线的顶点．为对称轴右侧抛物线上一点，连接交于点，若，求点的坐标： (3)点为轴上方抛物线上一动点，点是抛物线对称轴与轴的交点．直线分别交抛物线的对称轴于点． 以下两个结论： ①为定值：②为定值． 请找出正确的结论，并求出该定值． 【变式1-1】综合探究 如图，在平面直角坐标系中．直线与抛物线交于两点，点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线，与直线交于点C．连接，设点的横坐标为． ①若点在轴上方，当为何值时，； ②若点在轴下方，求周长的最大值． 【变式1-2】已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点D在y轴负半轴上，且，点P，Q为抛物线上的点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当时，求点P的坐标； (3)如图2，若，点E，F分别为的边上的动点，且，连接，求的最小值． 【考点题型二】二次函数与图形面积综合 【例2】若直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过点，点，且与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)若点为直线下方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标； 【变式2-1】如图，抛物线过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且，当的面积是3时，求出点P的坐标； (3)抛物线的顶点为Q，直线与抛物线交于点E，F，M是线段的中点，当时，求四边形面积的最小值． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，拋物线与轴正半轴交于点，与轴于点，且过点，连接． (1)求的面积； (2)若点是抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标． 【考点题型三】二次函数与角度问题综合 【例3】如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．A点坐标为，与y轴交于点，点M为抛物线顶点，点E为AB中点． AI (1)求二次函数的表达式； (2)在直线BC上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标； (3)已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点，若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，当D，E，F三点共线时，试判断的面积是否为定值，若是，请求出定值：若不是，请说明理由． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是的中点，点E为x轴上一点，F为对称轴上一点，一动点P从点D出发，沿运动，若要使点P走过的路径最短，请求出点E、F坐标，并求出最短路径； (3)如图2，直线与抛物线交于点M，问抛物线上是否存在点Q（点M除外），使得？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，说明理由． 【变式3-2】如图1，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线． (1)求a的值． (2)如图1，将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P在抛物线上，且请直接写出直线的表达式． 【考点题型四】二次函数与特殊三角形综合 【例4】如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求的值； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-1】综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． 　备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为． (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点题型五】二次函数与特殊四边形综合 【例5】如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C． (1)求的值； (2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值； (3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，为原点，直线与轴交于点，与直线交于点，点关于原点的对称点为点． (1)求过点三点的抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，它关于原点的对称点为．当四边形为菱形时，求点的坐标． 1．函数的图像如图所示且其对称轴为直线，E为x轴上方抛物线上一点，在抛物线AE段上有一点F使得三角形AEF面积最大，同理做出M、N使得三角形EFM与三角形AFN面积最大，则下列结论正确的有（    ） ① ②连接则 ③ ④当的最大值为时抛物线定过、 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2．如图，点是抛物线上第一象限内一动点，，，过点分别作轴、轴的平行线，分别交直线于，两点，过点作的垂线，垂足为．下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．周长的最大值为 3．如图，抛物线交轴分别于点，交轴正半轴于点，抛物线顶点为．下列结论：①；②；③时，；④当是等腰直角三角形时；⑤点是抛物线对称轴上的一点，若，则周长的最小值为．其中，错误的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于1，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（    ）    A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 5．如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则的面积为 ． 6．如图，抛物线的图象与轴交于点，点与点关于该抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点．点在线段上（不含端点）的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．    （1）当时，点横坐标为 ． （2）在直线下方的抛物线上存在点，使（点不与点重合）．则点的坐标为 ． 7．已知抛物线与直线交于，两点，，点在线段上，且．若线段上满足条件的点有两个，则的取值范围是 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-1的顶点为A，直线l过点P（0，m）且平行于x轴，与抛物线交于点B和点C．若AB=AC，∠BAC=90°，则m= ． 9．如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展设问：点为平面内一点，直线上方的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线与轴交于、，与轴交于点，其顶点为点． (1)求点坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)连接、，动点的坐标为．为抛物线上的一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 11．已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B左侧）．与y轴交于点，抛物线顶点为D． (1)求抛物线解析式以及点D的坐标； (2)若抛物线上有两点，当时，均有，求t的取值范围； (3)将抛物线L沿直线平移得到顶点为的抛物线G，设的横坐标为m，若抛物线G与直线交于两点，且，请直接写出m的取值范围． 12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H． (1)求点A、P的坐标； (2)连接，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，顶点坐标为的抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点，D是直线上方抛物线上的一个动点，连接交抛物线的对称轴于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，当的周长最小时，求点D的坐标； (3)过点D作轴于点H，交直线于点F，连接．在点D运动过程中，是否存在使为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$