重难点06 函数的性质：单调性、对称性、奇偶性-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

重难点06 函数的性质：单调性、对称性、奇偶性 1．（23-24高一上·山东·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知定义在上的函数在上单调递增，且是偶函数，则满足的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山东烟台·期中）若在上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山东烟台·期中）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·山东·期中）设是定义域为的偶函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山东·期中）已知函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数为奇函数，且对任意的，当时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·山东德州·期中）若函数满足：（1），（2），（3）则的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域为B，函数的定义域为，若，使得恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（    ） A． B． C．2021 D．0 11．（多选题）（23-24高一下·山东淄博·期中）以下命题正确的有（    ） A．为偶函数 B．为奇函数，则 C．已知函数，a，b，．若，则 D．函数，为偶函数 12．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）关于函数性质描述，正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的图象关于对称 D．在定义域上是增函数 13．（多选题）（23-24高一上·山东淄博·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为R C．在区间上单调递增 D．的值为 14．（多选题）（23-24高一上·山东潍坊·期中）对于任意实数，函数满足：当时，，则（    ） A． B．的值域为 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称 15．（多选题）（23-24高一上·山东德州·期中）已知函数的定义域是，且，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上是减函数 C． D．不等式的解集为 16．（多选题）（23-24高一上·山东泰安·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的对称中心为 B．的值域为R C．在区间上单调递减 D．的值为 17．（多选题）（23-24高一上·山东济宁·期中）若函数，定义域为，下列结论正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．，使 C．在和上单调递减 D．的值域为 18．（23-24高一上·山东德州·期中）函数在上单调递减，且是偶函数，若，则的取值范围是 . 19．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知函数若使得成立，则实数t的取值范围是 ． 20．（23-24高一上·山东·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是 . 21．（21-22高一上·山东济南·期中）已知函数，，，若对于任意，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 22．（23-24高一上·山东日照·期中）若不等式对一切实数x均成立，则实数m的取值范围为 .若存在实数b，使得关于m的方程在上述范围有解，则实数b的取值范围为 . 23．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数． (1)若时，求函数的定义域； (2)若对时，函数均有意义，求实数a的取值范围； (3)若函数在区间上为减函数，求实数a的取值范围． 24．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有． (1)令，求的定义域 (2)解不等式． 25．（23-24高一上·山东淄博·期中）若是定义在上的奇函数，当时， (1)求时，的解析式 (2)若，求满足不等式的取值范围. 26．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知函数是定义在上的偶函数. (1)求实数的值； (2)若，证明不等式：. 27．（23-24高一上·山东·期中）已知函数． (1)判断在区间上的单调性并证明； (2)令，对，，使得成立，求的取值范围． 28．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数. (1)若，判断并证明在上的单调性； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 29．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 30．（23-24高一上·山东德州·期中）已知定义在上的函数满足：①对，，；②当时，；③. (1)求，判断并证明的单调性； (2)若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 31．（23-24高一上·山东青岛·期中）设函数的定义域是，且对任意的正实数x、y都有恒成立，已，且时， (1)求与的值； (2)求证：函数在上单调递减； (3)解不等式 32．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，据此结论求图象的对称中心． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点06 函数的性质：单调性、对称性、奇偶性 1．（23-24高一上·山东·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为时，， 所以时，， 当时，， 当时，， 因为是定义在上的奇函数，图像关于原点对称， 画出图象， 由，， 即图象向右平移个单位后的图象总在图象下方， 故，则． 故选：D 2．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知定义在上的函数在上单调递增，且是偶函数，则满足的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数是偶函数，得函数的图象关于y轴对称， 而函数的图象可由函数的图象向左平移2个单位而得， 因此函数的图象关于直线对称，又函数在上单调递增， 于是，即，整理得，解得， 所以所求x的取值范围为. 故选：C 3．（23-24高一上·山东烟台·期中）若在上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得在上单调递减， 当时，的开口向上，对称轴， 当时，，得， 所以得：，解得：，故D项正确. 故选：D. 4．（23-24高一上·山东烟台·期中）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】是定义在上的奇函数，则， 又在上单调递增，， 则在上单调递增，，， 所以，当时，；当时，， 可化为， 可得或， 即或， 解得. 故选：C. 5．（23-24高一上·山东·期中）设是定义域为的偶函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是偶函数，且， 所以 所以 所以 又因为，且是偶函数， 所以， 故选：C. 6．（23-24高一上·山东·期中）已知函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上是单调增函数，且. 所以 解得 故选：D. 7．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数为奇函数，且对任意的，当时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，因为， 所以此时，所以在上单调递减， 又因为为奇函数且定义域为， 所以，所以不等式为， 所以，解得或者， 故选：B 8．（23-24高一上·山东德州·期中）若函数满足：（1），（2），（3）则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为对，都有，所以函数在区间上单调递增， 又，所以函数为奇函数，且知函数在区间上单调递增， 又，所以，当时，，当时，， 又，所以解为， 故选：C. 9．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域为B，函数的定义域为，若，使得恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，即， 所以，所以的定义域， 由于，， 所以在区间上恒成立， 由于，当且仅当时等号成立， 所以，即的取值范围是. 故选：C 10．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（    ） A． B． C．2021 D．0 【答案】A 【解析】因为为偶函数，所以，所以， 所以且不恒为，所以， 又因为，所以，所以，所以， 又因为， 所以， 故选：A. 11．（多选题）（23-24高一下·山东淄博·期中）以下命题正确的有（    ） A．为偶函数 B．为奇函数，则 C．已知函数，a，b，．若，则 D．函数，为偶函数 【答案】BC 【解析】对于A，得定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故A错误. 对于B，令，则，，， 因为为奇函数，，则，所以，故B正确. 对于C，，易知为奇函数， 所以，，所以，故C正确. 对于D，令，，所以为奇函数； 令，显然为非奇非偶函数，即为非奇非偶函数，故D错误. 故选：BC. 12．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）关于函数性质描述，正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的图象关于对称 D．在定义域上是增函数 【答案】AC 【解析】对于函数， 由解得或或， 若，则，不符合，所以， 若，则，符合， 若，则，符合， 由，解得或， 此时， 综上所述，的定义域是，A选项正确. 由上述分析得， 由于，所以是奇函数，图象关于原点对称， 所以的图象关于对称，C选项正确. 当时，，单调递增. 当时，，单调递增. 所以的值域为，所以B选项错误. 的单调递增区间是、， 但不能说在定义域上单调递增，所以D选项错误. 故选：AC 13．（多选题）（23-24高一上·山东淄博·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为R C．在区间上单调递增 D．的值为 【答案】ACD 【解析】对于A，由，得函数的定义域为，A正确； 对于B，由，得，即的值域为，B错误； 对于C，在区间上单调递增，C正确； 对于D，，又， 则，D正确. 故选：ACD 14．（多选题）（23-24高一上·山东潍坊·期中）对于任意实数，函数满足：当时，，则（    ） A． B．的值域为 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称 【答案】AB 【解析】对于A，当时， 则， 所以，故A正确； 对于B，当时， 则，即， 故的值域为，故B正确； 对于C，当时，，时，， 则在上单调递增； 当时，，时，， 则在上单调递增， 则， 故在区间上不具有单调性，故C错误； 对于D，当时，， 则， 当当时，， 所以， 则，所以不关于对称，故D错误， 故选：AB. 15．（多选题）（23-24高一上·山东德州·期中）已知函数的定义域是，且，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上是减函数 C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】A.令，得，所以，故A正确； B.令，得，所以， 任取，且，则， 因为，所以，所以， 所以在上是减函数，故B正确； C. ，故C错误； D.因为，且，所以 所以不等式等价于， 即， 又在上单调递减，所以，解得 所以不等式的解集为，故D正确. 故选：ABD 16．（多选题）（23-24高一上·山东泰安·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的对称中心为 B．的值域为R C．在区间上单调递减 D．的值为 【答案】AD 【解析】因为， 所以，所以的对称中心为，故A正确； 因为，所以，故B错误； 当时，单调递减，所以单调递增，故C错误； 因为， 所以，又， 所以，故D正确. 故选：AD 17．（多选题）（23-24高一上·山东济宁·期中）若函数，定义域为，下列结论正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．，使 C．在和上单调递减 D．的值域为 【答案】AC 【解析】对于A，，定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数，关于轴对称，故A正确； 对于B， ，则，即，解得，与定义域矛盾， 所以不存在，使，故B错误； 对于C，， 因为当和，单调递增，所以单调递减，即单调递减，故C正确； 对于D，， 因为且，则且， 所以且，即且， 所以的值域为，故D错误， 故选：AC. 18．（23-24高一上·山东德州·期中）函数在上单调递减，且是偶函数，若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】记， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 又是偶函数，所以在上单调递增， 因为， 所以，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为： 19．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知函数若使得成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由，则，则， 由，则，则，且， 所以为奇函数， 令，则 ，而， 所以，即在上递增， 由奇函数的对称性知：在上递增，且在处连续， 综上，是在定义域上递增的奇函数， 由， 所以使能成立，即能成立， 故，即实数t的取值范围是. 故答案为： 20．（23-24高一上·山东·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】∵， ， 当时，，故 ， 当时，， 当，时， ， 当，时， ， 依次类推，画出函数图象如下： 令，解得，， 所以要使对任意，都有，则， . 故答案为： 21．（21-22高一上·山东济南·期中）已知函数，，，若对于任意，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】任取，且，则， 因为， 所以， 所以， 即在上单调递增. 同理，可证在上单调递增. 所以当时，；当时，. 故的值域为 设的值域为，当时，在上单调递增，此时，值域为， 依题意得，解得； 当时，在上单调递减，此时，值域为， 依题意得，解得； 当时，不符合题意， 故答案为：. 22．（23-24高一上·山东日照·期中）若不等式对一切实数x均成立，则实数m的取值范围为 .若存在实数b，使得关于m的方程在上述范围有解，则实数b的取值范围为 . 【答案】 【解析】由条件可知即为不等式恒成立， 当时不等式显然恒成立； 当时，由一元二次不等式恒成立可得， 即，， 综上可知：m的取值范围为； 因为，可知， 依题意，方程有解， 即方程有解， 所以求b的范围即转化为求函数的值域， ， 令，， 又对勾函数在上为增函数，且，， ，即，所以b的取值范围为， 故答案为：；. 23．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数． (1)若时，求函数的定义域； (2)若对时，函数均有意义，求实数a的取值范围； (3)若函数在区间上为减函数，求实数a的取值范围． 【解析】（1）若，要使函数有意义，由，解得， 即函数的定义域为. （2）由题意，，函数均有意义，即，，， 故只需，，即只需且即可. 综上所述，实数a的取值范围为. （3）当时，为常函数，不符合题意，再由（2）可知或或； 设，，且． ， 由，可得， 要使函数在区间上为减函数，只需，则， 解得，或， 综上所述，实数a的取值范围为. 24．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有． (1)令，求的定义域 (2)解不等式． 【解析】（1）因为定义域为， 所以有解得：， 所以的定义域为 （2）令，可得，即， 令，得， 即，是奇函数． 令，则， 且为奇函数， ， 在上单调递增． 由题意可知， ∴， 即不等式的解为． 25．（23-24高一上·山东淄博·期中）若是定义在上的奇函数，当时， (1)求时，的解析式 (2)若，求满足不等式的取值范围. 【解析】（1）令，则，又是定义在上的奇函数，且时， 所以. （2）由且定义域为，故为偶函数， 上且递增，则， 根据偶函数的对称性，上且递减，则， 故，即，可得或， 所以或. 26．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知函数是定义在上的偶函数. (1)求实数的值； (2)若，证明不等式：. 【解析】（1）因为是定义在上的偶函数，所以， 即对恒成立，所以， 即对恒成立，所以. （2）证明：方法一： 由（1）得， 不等式，即为，① 因为，所以不等式①等价于，② 因为， 所以②成立，故原不等式成立. 方法二： 由（1）得， 不等式即为：，① 因为，所以不等式①等价于，② 不等式等价于， 因为，所以②成立， 故原不等式成立. 方法三： 由（1）得， 不等式即为：，① 因为，所以不等式①等价于，② 不等式等价于基本不等式变式， 即，所以②成立， 故原不等式成立. 27．（23-24高一上·山东·期中）已知函数． (1)判断在区间上的单调性并证明； (2)令，对，，使得成立，求的取值范围． 【解析】（1）在上是单调递减. 证明：对任意，且， 有 ， ，，，， 由，得，所以在区间上单调递减； （2）化简得，即 ，，， 由（1）知， ， ，令， ， ， 令， 设，则 ， 因为，，， 所以， 在单调递增， ， . 28．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数. (1)若，判断并证明在上的单调性； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【解析】（1），则， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 证明：，且， ， ，故，， 当，时，，所以， 故，即，所以函数在上单调递减； 当，时，，所以， 故，即，所以函数在上单调递增. （2），即， 即，存在，使得成立. 令，，.所以存在，成立. 所以，. 又，所以当时，， 所以，即. 29．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 【解析】（1）当时，，则； （2）当当时，，则； 设，则，则， 则，即， 即函数为奇函数. （3）由（2）知，为奇函数，则 . 30．（23-24高一上·山东德州·期中）已知定义在上的函数满足：①对，，；②当时，；③. (1)求，判断并证明的单调性； (2)若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）令，得， 解得；在上的单调递增. 证明如下：任取，即， 则， 因为时，，所以时，， 所以在上的单调递增. （2）令，得， 因为，所以， 不等式等价于， 即； 因为在上单调递增，所以恒成立， ①时，，解得，不等式并非在上恒成立； ②时，只有满足条件，解得. 综上可得. 31．（23-24高一上·山东青岛·期中）设函数的定义域是，且对任意的正实数x、y都有恒成立，已，且时， (1)求与的值； (2)求证：函数在上单调递减； (3)解不等式 【解析】（1）令，，则，故 令，则可得， 令，得， （2）设，则 即， ∵，故， 即，故在上单调递减 （3）由于， 所以 所以，即． 因为在上单调递减， 所以，解得或， 所以不等式的解为：. 32．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，据此结论求图象的对称中心． 【解析】（1）由题可知：，则， 解得. （2）设图象的对称中心为，则函数为奇函数， 因为 ， 又因为，所以对任意恒成立， 则解得， 所以图象的对称中心为点. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$