重难点04 集合新定义、不等式新定义与函数新定义问题-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

重难点04 集合新定义、不等式新定义与函数新定义问题 1．（23-24高一上·山东聊城·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如，．若不等式成立，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东淄博·期中）函数定义域为，对任意的都有，则称函数为“函数”，已知函数是“函数”，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山东临沂·期中）在实数的原有运算法则中，定义新运算“⊕”，规定当时，；当时，，则函数，的最大值等于（“·”和“+”仍为通常的乘法和加法）（    ） A．5 B．6 C．10 D．12 4．（23-24高一上·山东德州·期中）设函数的定义域为，如果对任意的，存在，使得成立，则称函数为“呆呆函数”，下列为“呆呆函数”的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·山东日照·期中）高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，.设函数，则使不等式恒成立的实数的最小值为（    ） A．0 B． C． D．1 6．（23-24高一上·山东·期中）高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，当时，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·山东聊城·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若的对称中心为（m，n），则（    ） A．4 B．8 C．12 D．2022 8．（23-24高一上·山东潍坊·期中），表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”. 例如：，，若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 9．（多选题）（23-24高一上·山东德州·期中）如图，集合是全集，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，则可表示为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（23-24高一上·山东烟台·期中）给定集合，定义且，若，，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（23-24高一上·山东临沂·期中）给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（    ） A．集合为闭集合 B．整数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合为闭集合，则为闭集合 12．（多选题）（23-24高一上·山东菏泽·期中）对于集合，，我们把集合叫作集合与的差集，记作．例如，，，则有，．下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若是高一（1）班全体同学组成的集合，是高一（1）班全体女同学组成的集合，则 D．若，则2一定是集合中的元素 13．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）对任意两个实数a，b，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．方程有三个解 C．函数在区间上单调递增 D．函数有4个单调区间 14．（多选题）（23-24高一上·山东烟台·期中）德国数学家康托尔是集合论的创立者，为现代数学的发展作出了重要贡献．某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间上的函数，且满足：①任意，；②；③，则（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于点对称 C．当时， D．当时， 15．（多选题）（23-24高一上·山东临沂·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，则下列命题正确的是（    ） A．， B．， C． D．的解集为 16．（多选题）（23-24高一上·山东德州·期中）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．在上为增函数 D．函数在区间有10个零点 17．（多选题）（23-24高一上·山东·期中）对于定义域为的函数，若同时满足下列条件： ①，；②，，，则称函数为“函数”.则（    ） A．若为“函数”，则其图像恒过定点 B．定义在上的函数上不是“函数” C．定义在上的函数上是“函数”（表示不大于的最大整数） D．若为“函数”，则一定是上的增函数 18．（多选题）（23-24高一上·山东济南·期中）设函数的定义域为，对于任意给定的正数，定义函数，则称为的“界函数”.若函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域为 C．在上单调递减 D．函数为偶函数 19．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）已知符号函数，下列选项正确的是（    ） A．方程的解集为 B． C．关于的不等式的解集为 D．函数的值域为 20．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（    ） A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为0 C．方程有无数个根 D．函数是增函数 21．（23-24高一上·山东烟台·期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为 . 22．（23-24高一上·山东聊城·期中）对于任意实数a，b，定义设函数，，则函数的最小值为 ． 23．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知“取整数”函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，.当时，函数的解析式为 ；定义：尾数函数，，那么，尾数函数的值域为 . 24．（23-24高一上·山东·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，． ①若函数，则的值域为 ； ②若函数，则方程所有的解为 ． 25．（23-24高一上·山东青岛·期中）设在上有定义，对于给定的实数K，定义函数，设函数，若对于，恒有，则的取值范围为 . 26．（23-24高一上·山东临沂·期中）对于区间，，若函数同时满足：①在上是单调函数；②函数在的值域是，则称区间为函数的“保值”区间． (1)求函数的所有“保值”区间； (2)函数是否存在“保值”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 27．（23-24高一上·山东菏泽·期中）定义：若函数在其定义域内存在实数，使，则称是的一个不动点.已知函数. (1)当，时，求函数的不动点； (2)若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值. 28．（23-24高一上·山东聊城·期中）函数的函数值表示不超过的最大整数，如，． (1)若，求实数的取值范围； (2)当时，写出函数的解析式． 29．（23-24高一上·山东·期中）给定，若存在实数使得成立，则定义为的点．已知函数． (1)当，时，求的点； (2)设，，若函数在上存在两个相异的点，求实数t的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得函数存在两个相异的点，求实数t的取值范围． 30．（23-24高一上·山东聊城·期中）若存在常数，使得对定义域D内的任意，都有成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数”． (1)判断函数是不是“2-利普希兹条件函数”，若是，请证明；若不是，说明理由； (2)若函数是“k-利普希兹条件函数”，求常数k的最小值； (3)若是定义在[1，2]上的“2-利普希兹条件函数”，求最小的实数m，使得对任意的都有． 31．（23-24高一上·山东潍坊·期中）对于函数， 若存在，使得，则称为函数的 “不动点”;若存在，使得，则称为函数 的“稳定点”.记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即 (1)设函数，求A和B； (2)请探究集合A和B的关系，并证明你的结论； (3)若，且，求实数a的取值范围. 32．（23-24高一上·山东济南·期中）定义两种新的运算：，，已知函数． (1)求的值； (2)求函数的定义域； (3)判断函数的奇偶性，并用函数奇偶性的定义证明． 33．（23-24高一上·山东青岛·期中）对于定义域为D的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“黄金区间”． (1)判断函数和函数是否存在“黄金区间”，如果存在，请写出符合条件的一个“黄金区间”（直接写出结论，不要求证明）；如果不存在，请说明理由． (2)如果是函数的一个“黄金区间”，求的最大值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点04 集合新定义、不等式新定义与函数新定义问题 1．（23-24高一上·山东聊城·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如，．若不等式成立，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由不等式，可得，解得，则，根据取整函数定义可知． 故选：D. 2．（23-24高一上·山东淄博·期中）函数定义域为，对任意的都有，则称函数为“函数”，已知函数是“函数”，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对任意的都有， 合并同类项得，即“函数”是在R上单调递增的函数. 由已知是“函数”，所以为R上的递增函数. 又函数的定义域为R， =， 所以为奇函数. 因为，即， 即，所以，即. 关于的不等式的解集为为. 故选：A. 3．（23-24高一上·山东临沂·期中）在实数的原有运算法则中，定义新运算“⊕”，规定当时，；当时，，则函数，的最大值等于（“·”和“+”仍为通常的乘法和加法）（    ） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】C 【解析】当时，，，故，函数单调递增， ； 当时，，，故，函数单调递增， ； 综上所述：函数的最大值为. 故选：C. 4．（23-24高一上·山东德州·期中）设函数的定义域为，如果对任意的，存在，使得成立，则称函数为“呆呆函数”，下列为“呆呆函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A选项，因为定义域为R，且， 故对任意的，存在，使得成立，A正确； B选项，，不存在，使得，故不满足要求，B错误； C选项，，当时，，但不存在，使得， 故不满足要求，C错误； D选项，，当时，， 不存在，使得，不满足要求，D错误. 故选：A 5．（23-24高一上·山东日照·期中）高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，.设函数，则使不等式恒成立的实数的最小值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【解析】，，即， 当时，不等式成立； 当时，，，故，； 当时，，，故，； 综上所述：. 故选：C 6．（23-24高一上·山东·期中）高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，当时，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，则， 当时，，当时，， 当时，，所以函数的值域为. 故选：D 7．（23-24高一上·山东聊城·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若的对称中心为（m，n），则（    ） A．4 B．8 C．12 D．2022 【答案】C 【解析】，则 ，为奇函数，则， 故，解得，即函数关于对称. . 故选：C 8．（23-24高一上·山东潍坊·期中），表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”. 例如：，，若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，故， 所以，则，故. 故选：A 9．（多选题）（23-24高一上·山东德州·期中）如图，集合是全集，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】，故A选项错误； 表示的集合韦恩图为如图1，显然B选项错误； 通过画出CD选项的韦恩图，与题干中的相同，故选项CD正确. 故选：CD 10．（多选题）（23-24高一上·山东烟台·期中）给定集合，定义且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】∵，∴，∴， 当且仅当时取等号，则，故A正确； ∵，， 由新定义可知，，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 11．（多选题）（23-24高一上·山东临沂·期中）给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（    ） A．集合为闭集合 B．整数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合为闭集合，则为闭集合 【答案】AD 【解析】对于A：由于，但是，故集合不为闭集合，故A错误； 对于B：由于整数加上整数或减去整数，所得结果仍是整数，所以整数集是闭集合，故B正确； 对于C：任取，则，则， 所以，， 所以集合为闭集合，故C正确； 对于D：由C可得为闭集合，同理为闭集合， 所以，则有，但，则不为闭集合，故D错误； 故选：AD． 12．（多选题）（23-24高一上·山东菏泽·期中）对于集合，，我们把集合叫作集合与的差集，记作．例如，，，则有，．下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若是高一（1）班全体同学组成的集合，是高一（1）班全体女同学组成的集合，则 D．若，则2一定是集合中的元素 【答案】AC 【解析】对于A：或，又， 所以，故A正确； 对于B：令，，则，显然，故B错误； 对于C：表示高一（1）班全体同学中去除全体女同学后剩下的全体同学的集合， 即为高一（1）班全体男同学的集合，则必有，故C正确； 对于D：令，，则，，此时，故D错误； 故选：AC 13．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）对任意两个实数a，b，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．方程有三个解 C．函数在区间上单调递增 D．函数有4个单调区间 【答案】ABD 【解析】由题意，，函数， 由于， 则时，； 时，， 则，作出其图象如图： 对于A，结合图像可知，的图象关于y轴对称，则为偶函数，A正确； 对于B，结合以及图象可知有3个解， 即，B正确； 对于C，结合图像可知函数在区间上单调递减，在上单调递增，C错误； 对于D，由图像可知区间上单调递减，在上单调递增， 即函数有4个单调区间，D正确， 故选：ABD 14．（多选题）（23-24高一上·山东烟台·期中）德国数学家康托尔是集合论的创立者，为现代数学的发展作出了重要贡献．某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间上的函数，且满足：①任意，；②；③，则（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于点对称 C．当时， D．当时， 【答案】BCD 【解析】由②得，即， 得，而，得， ∴，故A错误； 由③可知，，即， 则的图象关于点对称，故B正确； 由②得，则， 由③得，即， 由，得，故C正确； 由，得，则， ∵任意，， ∴当时，，即， ∴，即，则，故D正确. 故选：BCD. 15．（多选题）（23-24高一上·山东临沂·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，则下列命题正确的是（    ） A．， B．， C． D．的解集为 【答案】BCD 【解析】对选项A：，错误； 对选项B：的整数部分为，则的整数部分为，即， 正确； 对选项C：的整数部分为，的整数部分为， 则的整数部分为或，即，正确； 对选项D：，则或， 解得，正确； 故选：BCD. 16．（多选题）（23-24高一上·山东德州·期中）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．在上为增函数 D．函数在区间有10个零点 【答案】AB 【解析】 如图画出函数的图象， 根据“高斯函数”的定义，故A正确； 由图象可知，函数的值域为，故B正确； 由图象可知，函数在上不是单调增函数，故C错误； 函数在区间有11个零点，故D错误. 故选：AB 17．（多选题）（23-24高一上·山东·期中）对于定义域为的函数，若同时满足下列条件： ①，；②，，，则称函数为“函数”.则（    ） A．若为“函数”，则其图像恒过定点 B．定义在上的函数上不是“函数” C．定义在上的函数上是“函数”（表示不大于的最大整数） D．若为“函数”，则一定是上的增函数 【答案】ABC 【解析】A选项，若为“函数”， 由②得，令得，，解得， 又由①得，故，则其图像恒过定点，A正确； B选项，，，取，则， 故，，不满足， 故定义在上的函数上不是“函数”，B正确； C选项，当时，，满足①， 不妨令，其中为整数部分，为小数部分，则， 再令，其中为整数部分，为小数部分，则， 若，则， 若，则， 从而有，满足②， 故定义在上的函数上是“函数”（表示不大于的最大整数），C正确； D选项，，满足①②，为“函数”，但不是上的增函数，D错误. 故选：ABC 18．（多选题）（23-24高一上·山东济南·期中）设函数的定义域为，对于任意给定的正数，定义函数，则称为的“界函数”.若函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域为 C．在上单调递减 D．函数为偶函数 【答案】BCD 【解析】根据题意，由，解得， ， 所以，故A错误； 当时， 且在上单调递减，在上单调递增，，， 所以，即的值域为，故B、C正确； 因为， 则的图象如下所示： 由图可知的图象关于轴对称，所以函数为偶函数，故D正确； 故选：BCD 19．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）已知符号函数，下列选项正确的是（    ） A．方程的解集为 B． C．关于的不等式的解集为 D．函数的值域为 【答案】BC 【解析】对于A，当时，方程化为，解得； 当时，方程化为，解得； 当时，方程化为，解得． 综上，方程的解集为，故A错误； 对于B，当时，，，则； 当时，，则； 当时，，，则， 综上可知，B正确； 对于C，， 当即时，不等式可化为，即，解得； 当即时，不等式可化为，不成立； 当即时，不等式可化为，即，解得； 综合可得，不等式的解集为，故C正确； 对于D，， 当时，；当时，；当时，， 综合可得：函数的值域为，故D错误， 故选：BC． 20．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（    ） A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为0 C．方程有无数个根 D．函数是增函数 【答案】BC 【解析】画出的图象，如下： 可以看出无最大值，最小值为0，在每一段上单调递增，但在R上不具有单调性， 故AD错误，B正确， 因为，在图中画出，与有无数个交点，故有无数个根，C正确. 故选：BC 21．（23-24高一上·山东烟台·期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为 . 【答案】 【解析】当时，，此时满足， 当时，，此时集合只能是“蚕食”关系， 所以当集合有公共元素时，解得， 当集合有公共元素时，解得， 故的取值集合为. 故答案为： 22．（23-24高一上·山东聊城·期中）对于任意实数a，b，定义设函数，，则函数的最小值为 ． 【答案】1 【解析】令，，即，，得， 当，，当，， 所以 当时，单调递减，当时，函数单调递增， 所以当时，． 故答案为： 23．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知“取整数”函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，.当时，函数的解析式为 ；定义：尾数函数，，那么，尾数函数的值域为 . 【答案】 【解析】由题意当时，， 当时，， 当时，， 故； 当为整数时，，此时， 当为非整数时，， 故的值域为 故答案为：； 24．（23-24高一上·山东·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，． ①若函数，则的值域为 ； ②若函数，则方程所有的解为 ． 【答案】 【解析】①，存在，使得，则，因此，所以函数的值域为； ②令，则，，由方程，得， 由解得，，而，于是得或， 当时，，当时，， 所以方程所有的解为. 故答案为：； 25．（23-24高一上·山东青岛·期中）设在上有定义，对于给定的实数K，定义函数，设函数，若对于，恒有，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由指数函数的性质可知，在上单调递减， 故， 若要，恒有，则只需， 从而的取值范围为. 故答案为：. 26．（23-24高一上·山东临沂·期中）对于区间，，若函数同时满足：①在上是单调函数；②函数在的值域是，则称区间为函数的“保值”区间． (1)求函数的所有“保值”区间； (2)函数是否存在“保值”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 【解析】（1）函数在上的值域是，且在的值域是， 所以，所以，     而函数在区间上单调递增，故有，又，所以，     所以函数的“保值”区间为． （2）若函数存在“保值”区间， ①若，此时函数在区间上单调递减， 所以，消去m得，整理得．     因为，所以，即． 又，所以． 因为，，所以．     ②若，此时函数在区间上单调递增， 所以消去m得，整理得， 因为，所以，即，又，所以． 因为，，所以 综合①、②得，函数存在“保值”区间， m的取值范围是． 27．（23-24高一上·山东菏泽·期中）定义：若函数在其定义域内存在实数，使，则称是的一个不动点.已知函数. (1)当，时，求函数的不动点； (2)若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值. 【解析】（1），由，解得或， 所以所求的不动点为或. （2）令，则①， 由题意，方程①恒有两个不等实根，所以， 即恒成立，则，故. （3）设，，， 又是的不动点，∴，， ∴、的中点为. 又的中点在上 ∴， ∴， 而是方程的两个根， ∴ 即 ∴， ∴当，即时，. 28．（23-24高一上·山东聊城·期中）函数的函数值表示不超过的最大整数，如，． (1)若，求实数的取值范围； (2)当时，写出函数的解析式． 【解析】（1）若，则 ，表示不超过的最大整数知. （2）当时， 29．（23-24高一上·山东·期中）给定，若存在实数使得成立，则定义为的点．已知函数． (1)当，时，求的点； (2)设，，若函数在上存在两个相异的点，求实数t的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得函数存在两个相异的点，求实数t的取值范围． 【解析】（1）当，时，，依题意，，即，解得或， 所以当，时，的点为1和3. （2）当，时，，依题意，在上有两个不同实数解， 即在上有两个不同实数解，令， 因此函数在上有两个零点，而，因此，解得， 所以实数t的取值范围是． （3）因函数总存在两个相异的点，则方程，即恒有两个不等实根， 依题意，对任意的，总存在使成立， 即对任意的，总存在使成立，而恒成立， 于是得存在，不等式成立，而， 从而得不等式在上有解，又二次函数开口向上， 因此或，解得或， 解得，或，则有或， 所以实数t的取值范围是或． 30．（23-24高一上·山东聊城·期中）若存在常数，使得对定义域D内的任意，都有成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数”． (1)判断函数是不是“2-利普希兹条件函数”，若是，请证明；若不是，说明理由； (2)若函数是“k-利普希兹条件函数”，求常数k的最小值； (3)若是定义在[1，2]上的“2-利普希兹条件函数”，求最小的实数m，使得对任意的都有． 【解析】（1）函数不是“2—利普希兹条件函数”．理由如下： 取可得， 所以函数不是“2-利普希兹条件函数”. （2）由题意∀，，都有成立， 即都有成立， 由，可得，因为 所以，进一步有，所以． 故常数的最小值为. （3）若是定义在[1，2]上的“2-利普希兹条件函数”则，且，都有成立， 因为，所以，所以所以最小的实数m为2． 31．（23-24高一上·山东潍坊·期中）对于函数， 若存在，使得，则称为函数的 “不动点”;若存在，使得，则称为函数 的“稳定点”.记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即 (1)设函数，求A和B； (2)请探究集合A和B的关系，并证明你的结论； (3)若，且，求实数a的取值范围. 【解析】（1）令，可得，故； 令，可得，故. （2），证明如下： 由题意，不动点为与的交点横坐标，稳定点为与的交点横坐标， 若与有交点，则横纵坐标相等，则， 所以. （3）由，则： 令，即有实根， 当时，，符合题设； 当时，，可得. 令，即有实根， 所以， 因为，则无实根，或有与相同的实根， 当无实根，有且，可得且； 当有实根，此时，即， 所以，则，代入得：，可得. 综上，. 32．（23-24高一上·山东济南·期中）定义两种新的运算：，，已知函数． (1)求的值； (2)求函数的定义域； (3)判断函数的奇偶性，并用函数奇偶性的定义证明． 【解析】（1）因为，， 所以， 所以； （2）因为，则且， 解得且， 则函数的定义域为. （3）函数为奇函数， 证明：由（2）可知函数的定义域为，定义域关于原点对称， 当时，，所以， 又，所以函数为奇函数. 33．（23-24高一上·山东青岛·期中）对于定义域为D的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“黄金区间”． (1)判断函数和函数是否存在“黄金区间”，如果存在，请写出符合条件的一个“黄金区间”（直接写出结论，不要求证明）；如果不存在，请说明理由． (2)如果是函数的一个“黄金区间”，求的最大值． 【解析】（1）在上单调递增，令得：或1，存在黄金区间是； 由于是增函数，若存在黄金区间，则无解， 因此，不存在黄金区间． （2）在和上都是增函数， 因此黄金区间或， 由题意，所以有两个同号的不等实根， 令，整理得． 所以，故，解得或， 又，故、同号，满足题意，， 因为或，所以即时，. 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