重难点03 一元二次不等式恒成立与有解问题、二次函数最值问题-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

重难点03 一元二次不等式恒成立与有解问题、二次函数最值问题 1．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知，均为正实数，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 2．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知不等式组的解集是关于的不等式解集的子集，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山东滨州·期中）若函数在区间内存在最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山东烟台·期中）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·山东烟台·期中）已知命题，为真命题，则实数的取值范围为 ． 6．（23-24高一上·山东青岛·期中）命题：，.若为真命题，则实数的取值范围是 . 7．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知，，则的最小值是 .当取最小值时，恒成立，则的取值范围是 . 8．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知关于的不等式，其解集为. (1)求该不等式的解集； (2)对，不等式恒成立，试求实数的取值范围. 9．（23-24高一上·山东聊城·期中）设函数（为实数），若且对任意实数均有成立， (1)求的解析式； (2)设在时是单调函数，求实数的取值范围. 10．（23-24高一上·山东济南·期中）（1）对任意，函数的值恒大于0，求实数的取值范围； （2）不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 11．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知实数a，b满足，，且. (1)求的最小值； (2)若不等式恒成立，求实数x的取值范围. 12．（23-24高一上·山东·期中）已知二次函数的图象经过点和，且函数在上的最大值为4. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对于一切实数x均成立，求实数m的取值范围. 13．（23-24高一上·山东德州·期中）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)解关于的不等式； (3)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 14．（23-24高一上·山东·期中）已知函数，． (1)设，解关于不等式. (2)设，若当时的最小值为，求的值． 15．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知是二次函数，的解集是，且． (1)求函数的解析式；并求当时，函数的最值； (2)令．若函数在区间上不是单调函数，求实数m的取值范围． 16．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数，的解集为或． (1)求实数，的值； (2)，，当时，有成立，求实数的取值范围． 17．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知二次函数，． (1)若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围． (2)解关于的不等式． 18．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知二次函数． (1)若的解集为或，解关于x的不等式； (2)若不等式对恒成立，求的最大值． 19．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数． (1)若函数在上是增函数，求实数的取值范围； (2)若不等式的解集为，求的值； (3)若时，求时的最小值． 20．（23-24高一上·山东东营·期中）设二次函数， (1)若，求不等式的解集； (2)若时，，求的最小值. 21．（23-24高一上·山东德州·期中）已知不等式的解集为. (1)求的值，并求不等式的解集； (2)设函数的图象与轴交点的横坐标分别为，若，求实数的取值范围. 22．（23-24高一上·山东·期中）已知函数. （1）在上恒成立，求的取值范围； （2）当时，解不等式. 23．（23-24高一上·山东烟台·期中）已知函数，不等式的解集为，，． （1）求和的值； （2）若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围． 24．（23-24高一上·山东济南·期中）已知函数f（x）=ax2+2x+c，若不等式f（x）<0的解集是{x|-4<x<2}. （1）求f（x）的解析式； （2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明； （3）若函数f（x）在区间[m，m+2]上的最小值为-5，求实数m的值. 25．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数． （1）解关于x的不等式； （2）若，恒成立，求实数x的取值范围． 26．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知函数. （Ⅰ）若，解关于的不等式； （Ⅱ）若对于，恒成立，求实数的取值范围. 27．（23-24高一上·山东潍坊·期中）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. (1)当时，求函数的不动点； (2)若对任意实数n，函数恒有两个相异的不动点，求实数m的取值范围； (3)若的两个不动点为，且，当时，求实数n的取值范围. 28．（23-24高一上·山东威海·期中）已知函数 (1)解关于x的不等式； (2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围 (3)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围． 29．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数，且不等式对一切实数恒成立. （1）求函数的解析式； （2）在（1）的条件下，设函数，关于的不等式，在有解，求实数的取值范围. 30．（23-24高一上·山东青岛·期中）一次函数是R上的增函数，，已知． (1)求； (2)当时，有最大值13，求实数的值． 31．（23-24高一上·山东济宁·期中）设二次函数满足下列条件：①当时，的最小值为，且图象关于直线对称；②当时，恒成立． （1）求的值； （2）求的解析式； （3）若在区间上恒有，求实数的取值范围. 32．（23-24高一上·山东淄博·期中）设函数. (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在成立，求实数的取值范围. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点03 一元二次不等式恒成立与有解问题、二次函数最值问题 1．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知，均为正实数，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【解析】由题设，，当且仅当时等号成立， 要使恒成立，则，可得. 故选：D 2．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知不等式组的解集是关于的不等式解集的子集，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先求出一元二次不等式组的解集，再由题意利用二次函数的性质求得实数的取值范围．不等式组解得，所以不等式组的解集是， 关于的不等式解集包含，令， ，解得， 故选：． 3．（23-24高一上·山东滨州·期中）若函数在区间内存在最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数在区间内存在最小值，则函数的对称轴满足求解.函数的对称轴为：， 因为函数在区间内存在最小值， 所以， 解得. 故选：B 4．（23-24高一上·山东烟台·期中）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先分离参数可得，然后结合对勾函数的性质求得，从而可确定的取值范围．因为不等式对一切恒成立， 所以在区间上恒成立， 由对勾函数的性质可知函数 在区间上单调递增， 且当时，，所以 故实数的取值范围是． 故选：． 5．（23-24高一上·山东烟台·期中）已知命题，为真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意得：当时，，不符题意； 当时，的对称轴为， 所以，只需，解得：， 当时，显然满足题意， 综上，的取值范围为， 故答案为： 6．（23-24高一上·山东青岛·期中）命题：，.若为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，为真命题， 则在上恒成立， 令，， 则，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 7．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知，，则的最小值是 .当取最小值时，恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 1 【解析】因为 所以， 当且仅当即时等号成立， 当时，，所以当时取得最大值4 所以由恒成立可得，解得 故答案为：1； 8．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知关于的不等式，其解集为. (1)求该不等式的解集； (2)对，不等式恒成立，试求实数的取值范围. 【解析】（1）不等式等价于，即， 所以，解得， 故所求不等式的解集. （2）令， 对， 不等式恒成立等价， 即，解得. 所求实数的取值范围是. 9．（23-24高一上·山东聊城·期中）设函数（为实数），若且对任意实数均有成立， (1)求的解析式； (2)设在时是单调函数，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意，得，即， 又对任意实数均有成立， 所以，则，即， 所以，故. 所以 （2）由（1）可知， 则， 则的对称轴为，开口向上， 由于在上是单调函数， 故或，即或. 即实数的取值范围是. 10．（23-24高一上·山东济南·期中）（1）对任意，函数的值恒大于0，求实数的取值范围； （2）不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意，当时，恒成立， 则， 因为，所以， 所以，由单调递减，知当时，， 即. （2）因为对于任意的成立， 所以对于任意的成立. 即恒成立， 由二次不等式的性质可得， ， 所以，解得. 故实数入的取值范围为. 11．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知实数a，b满足，，且. (1)求的最小值； (2)若不等式恒成立，求实数x的取值范围. 【解析】（1）解法一：因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 解法二：由，，且，得， ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. （2）由可得， 由（1）可得， 所以要使不等式恒成立，只需， 即，解得， 所以实数x的取值范围为. 12．（23-24高一上·山东·期中）已知二次函数的图象经过点和，且函数在上的最大值为4. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对于一切实数x均成立，求实数m的取值范围. 【解析】（1）因为二次函数的图象经过点和， 所以函数的对称轴为， 又函数在上的最大值为4，所以函数的顶点坐标为，开口向下， 设（），把点代入得，解得， 所以. （2）依题意：不等式对于一切实数x均成立， 即，即对于一切实数x均成立， 所以，即， 即，解得或， 所以m的取值范围为. 13．（23-24高一上·山东德州·期中）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)解关于的不等式； (3)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 所以， 解得或， 即不等式的解集为. （2）因为函数， 所以不等式，等价于， 即， 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得， 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）当时，， 因为，所以函数的值域是， 因为对任意的，总存在，使成立， 所以的值域是的值域的子集， 当时，在区间上单调递增，得， 则，解得； 当时，在区间上单调递减，得， 则，解得， 当时，，不满足题意. 综上，实数的取值范围. 14．（23-24高一上·山东·期中）已知函数，． (1)设，解关于不等式. (2)设，若当时的最小值为，求的值． 【解析】（1）不等式即，即， 当时，即，解得， 当时，由得：，， （ⅰ）若，则开口向上，，原不等式解得， （ⅱ）若，则开口向下，，原不等式解得或， 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． （2）由知开口向上，对称轴是， 当，即时，函数在上单调递增， 最小值为，解得； 当，即时， 函数在单调递减，在上单调递增， 最小值为，解得或（舍）， 综上，的值为或． 15．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知是二次函数，的解集是，且． (1)求函数的解析式；并求当时，函数的最值； (2)令．若函数在区间上不是单调函数，求实数m的取值范围． 【解析】（1）是二次函数，的解集是且， 所以设，，， ， ，， （2），其对称轴为， 因为在区间上不是单调函数，所以，.解得， 所以的取值范围是． 16．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数，的解集为或． (1)求实数，的值； (2)，，当时，有成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题设是的两个实根，故，可得. （2）由（1）知：，，当时成立， 而， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，可得或. 17．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知二次函数，． (1)若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围． (2)解关于的不等式． 【解析】（1）不等式在实数集上恒成立， 即为在实数集上恒成立. ①当时，即时，可变形为，解得，不成立； ②当时，即时，要使原不等式恒成立， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. （2）不等式，等价于， 即. ①当时，解原不等式可得或； ②当时，不等式整理为，解得； ③当时，方程的两根为，， （i）当时，因为，解原不等式得； （ii）当时，因为，原不等式的解集为； （iii）当时，因为，解原不等式得， 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 18．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知二次函数． (1)若的解集为或，解关于x的不等式； (2)若不等式对恒成立，求的最大值． 【解析】（1）因为的解集为或， 所以，且方程的解为， 则，， ∴，， 由，得，即， 得，即，解得或， 所以不等式的解集为； （2）因为恒成立，即恒成立， 所以， 得， 所以， 所以， 令， 因为， 所以，从而， 所以， 令 当时，； 当时，，当且仅当即时，取等号， 所以， 综上所述的最大值为. 19．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数． (1)若函数在上是增函数，求实数的取值范围； (2)若不等式的解集为，求的值； (3)若时，求时的最小值． 【解析】（1）∵函数的对称轴为，且在上是增函数， ∴，解得， ∴实数a的取值范围是． （2）若不等式的解集为， 则0，2是方程的两个实数根， ∴，∴． （3）若，则，对称轴为， 当，即时，函数在到单调递增， 则， 当，即时， 函数在单调递减，在单调递增， 则， 当，即时，函数在单调递减， 则， 综上，． 20．（23-24高一上·山东东营·期中）设二次函数， (1)若，求不等式的解集； (2)若时，，求的最小值. 【解析】（1），由，即为，即， 当时， ，由解得或， 当时， ，由解得， 当时， 由可得， 当时， ，由解得， 综上可得， 当时，解集为， 当时， 解集为， 当时， 解集为 当时， 解集为， （2）时，，可得， ，有， 当时， ，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立; 当时， ，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立; 所以的最小值为 21．（23-24高一上·山东德州·期中）已知不等式的解集为. (1)求的值，并求不等式的解集； (2)设函数的图象与轴交点的横坐标分别为，若，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意得， 解得， 由，解得或， 故不等式解集为或； （2），方程恒有两解， 由解得，， 所以， 所以，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 22．（23-24高一上·山东·期中）已知函数. （1）在上恒成立，求的取值范围； （2）当时，解不等式. 【解析】（1）由题意得，在上恒成立，且. ①当时，，符合题意； ②当时，即， 令，，则，故， 解得：； ③当时，，故只需，解得：. 综上：的取值范围是； （2）解不等式即， ∵，当时，恒成立，此时，原不等式的解集是； 当时，，即，，原不等式的解集是； 当时，，解得：，故原不等式的解集是； 当时，，即，， 令，解得：，故原不等式的解集是. 综上：当时，原不等式的解集是； 当时，原不等式的解集是， 当时，原不等式的解集是. 23．（23-24高一上·山东烟台·期中）已知函数，不等式的解集为，，． （1）求和的值； （2）若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为不等式的解集为， 所以1和为方程 的两根， 所以，解得． （2）由题意对于，恒有． 两边同除以得，． 令，则上述不等式等价于，． 即． 又， 所以当时，． 所以实数的取值范围为． 24．（23-24高一上·山东济南·期中）已知函数f（x）=ax2+2x+c，若不等式f（x）<0的解集是{x|-4<x<2}. （1）求f（x）的解析式； （2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明； （3）若函数f（x）在区间[m，m+2]上的最小值为-5，求实数m的值. 【解析】因为不等式f（x）<0的解集是{x|-4<x<2}.所以-4，2方程ax2+2x+c=0的两个是根，利用韦达定理：，解的：a=1,c=-8；故： 任取 则f（x1）-f（x2）=（x12+2x1-8）-（x22+2x2-8）=（x21- x22）+ 2（x1-x2） =（x1+x2）（x1-x2）+ 2（x1-x2）=（x1-x2）（x1+x2+2） 因为： 所以：x1-x2<0,x1+x2+2>0,故：f（x1）-f（x2）<0,因此：f（x1）<f（x2） 所以： f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数 （3）由（1）知：，对称轴：x=-1, 因为函数f（x）在区间[m，m+2]上的最小值为-5，故对称轴落在区间[m，m+2]外， 由于f(x)在区间 当m>-1时，f（x）在区间[m，m+2]上为递增，则最小值 解得：m=-3(舍)，m=1 当m<-3时，f（x）在区间[m，m+2]上为递减， 则最小值， 解得：m=-5或m=-1(舍) 故：答案为：m=1或m=-5 25．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数． （1）解关于x的不等式； （2）若，恒成立，求实数x的取值范围． 【解析】（1）不等式等价于 ， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （2）， 设， 要使在上恒成立， 只需， 即 解得或， 所以x的取值范围为或． 26．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知函数. （Ⅰ）若，解关于的不等式； （Ⅱ）若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（Ⅰ）∵ ∴ ∴ ①当时，∴ ②当时，有两根，， ∴ ∴的解集为或 ③当时，有两根，， ∴ ∴的解集为 综上所述： 当时，解集为 当时，解集为或 当时，解集为 （Ⅱ） 记为 原问题转化为： ，恒成立 ∴即 解得 ∴的取值范围是 27．（23-24高一上·山东潍坊·期中）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. (1)当时，求函数的不动点； (2)若对任意实数n，函数恒有两个相异的不动点，求实数m的取值范围； (3)若的两个不动点为，且，当时，求实数n的取值范围. 【解析】（1）当时，， 设为不动点，因此， 解得或， 所以为函数的不动点. （2）因为恒有两个不动点， 即恒有两个不等实根， 整理为， 所以且恒成立. 即对于任意恒成立. 令， 则， 解得. （3）因为， 所以， 设，因为，所以， 由P函数性质得在上单调递增， 所以， 所以， 所以. 28．（23-24高一上·山东威海·期中）已知函数 (1)解关于x的不等式； (2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围 (3)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围． 【解析】（1）因为函数， 所以，即为，所以，         当时，解得，当时，解得，当时，解得，              综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 （2）因为对任意的恒成立，所以对任意的，恒成立， 当时，恒成立， 所以对任意的时，恒成立，             令，当且仅当，即时取等号， 所以，所以实数a的取值范围是 （3）当时，，因为，所以函数的值域是， 因为对任意的，总存在，使成立， 所以的值域是的值域的子集，              当时，，则，解得 当时，，则，解得， 当时，，不成立； 综上，实数m的取值范围. 29．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数，且不等式对一切实数恒成立. （1）求函数的解析式； （2）在（1）的条件下，设函数，关于的不等式，在有解，求实数的取值范围. 【解析】（1）∵二次函数，；∴①； 又∵不等式对一切实数恒成立； ∴对一切实数恒成立； 当时，不恒成立，∴不合题意，舍去； 当时，要使得对一切实数恒成立， 需要满足：；② ∴由①②解得； 故函数的解析式为：. （2）把代入函数，得； 则关于的不等式在有解， 整理得在有解； 只要使得； 设，， 则， ∴当时，； 所以， 解得；∴或； 故实数的取值范围为. 30．（23-24高一上·山东青岛·期中）一次函数是R上的增函数，，已知． (1)求； (2)当时，有最大值13，求实数的值． 【解析】（1）∵一次函数是R上的增函数， 可设，，∴， ，解得或(舍)， ∴． （2）， ∴是开口向上，对称轴为的二次函数， ①当，即时，，∴； ②当，即时，，∴； ∴实数m为或． 31．（23-24高一上·山东济宁·期中）设二次函数满足下列条件：①当时，的最小值为，且图象关于直线对称；②当时，恒成立． （1）求的值； （2）求的解析式； （3）若在区间上恒有，求实数的取值范围. 【解析】（1）在②中令，有，所以； （2）由当时，的最小值为， 且图象关于直线对称，可得 ∵， ∴，∴． （3）， 由即，得， ∵在区间上恒有, ∴只须，解得 ∴实数的取值范围为． 32．（23-24高一上·山东淄博·期中）设函数. (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）若命题：是假命题，则是真命题， 即在上恒成立， 当时，，符合题意； 当时，需满足，解得； 综上所述，的取值范围为. （2）若存在成立， 即存在使得成立，故只需，， 因为，所以，则， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$