重难点02 玩转基本不等式求最值问题-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

重难点02 玩转基本不等式求最值问题 1．（23-24高一上·山东·期中）已知，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·山东济南·期中）已知，，且，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．19 D．22 3．（23-24高一上·山东青岛·期中）设正实数a、b满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知，，且；则下列结论正确的是（    ） A．xy的最小值是1 B．的最小值是2 C．的最小值是8 D．的最大值是 5．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知正数，满足，那么的最小值是（    ） A．1 B． C．9 D．2 6．（23-24高一上·山东滨州·期中）已知,,且,则的最小值为(    ) A． B． C． D． 7．（23-24高一上·山东青岛·期中）若是正数，且，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 8．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 9．（多选题）（23-24高一上·山东德州·期中）已知，且，下列正确的有（    ） A．的最小值为9 B． C．的最小值为0 D．若，则 10．（多选题）（23-24高一上·山东济南·期中）下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最小值是 C．的最小值是2 D．的最大值是 11．（多选题）（23-24高一上·山东·期中）对任意x，y，，则（    ）． A． B． C． D． 12．（多选题）（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知，且，满足，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 13．（多选题）（23-24高一上·山东聊城·期中）若正实数a，b满足，则下列选项中正确的是（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．的最小值是10 D． 14．（多选题）（23-24高一上·山东聊城·期中）设，，且，则下列说法中正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 15．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）设正实数a，b满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值1 16．（多选题）（23-24高一上·山东东营·期中）下列命题中正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最小值是2 C．的最大值是 D．最小值是5 17．（多选题）（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知，，则的值可能为（     ） A．6 B． C． D． 18．（多选题）（23-24高一上·山东淄博·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值为4 B．，则的最小值是4 C．当取得最大值 D．的最小值为 19．（多选题）（23-24高一上·山东·期中）已知，是两个正实数，满足，则（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为1 20．（23-24高一上·山东青岛·期中）若，则的最小值为 ． 21．（23-24高一上·山东德州·期中）已知，则的最小值为 . 22．（23-24高一上·山东·期中）已知，且，则的最小值为 ． 23．（23-24高一上·山东烟台·期中）已知，，，则的最小值为 ． 24．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知，且，则的最小值为 . 25．（23-24高一上·山东日照·期中）设实数满足，则的最小值为 . 26．（23-24高一上·山东·期中）若，且，则的最小值是 . 27．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知，，且，则的最小值是 . 28．（23-24高一上·山东济南·期中）若正数，满足，则的最大值为 ． 29．（23-24高一上·山东聊城·期中）学习与探究问题：正实数x，y，满足，求的最小值．求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当，即，而时，即，且时取等号成立．这种解题方法叫作“1”的代换． (1)利用上述求解方法解决下列问题：若实数a，b，x，y满足，试比较与的大小，并注明等号成立的条件； (2)利用（1）的结论，求的最小值，并注明使得T取得最小值时t的值． 30．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 31．（23-24高一上·山东临沂·期中）（1）已知，求函数的最大值； （2）已知，且，求的最小值． 32．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最大值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点02 玩转基本不等式求最值问题 1．（23-24高一上·山东·期中）已知，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由，且，易知，，则 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C. 2．（23-24高一上·山东济南·期中）已知，，且，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．19 D．22 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为， 故选：C. 3．（23-24高一上·山东青岛·期中）设正实数a、b满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A：由，则，仅当时等号成立，故，错误； B：由，仅当时等号成立，故，正确； C：由，仅当时等号成立，故，错误； D：由，仅当时等号成立，故，错误. 故选：B 4．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知，，且；则下列结论正确的是（    ） A．xy的最小值是1 B．的最小值是2 C．的最小值是8 D．的最大值是 【答案】B 【解析】由，当且仅当时等号成立， 即，又，，故，仅当时等号成立， 所以，故xy的最大值是1，A错误； 由，当且仅当时等号成立， 所以，即，又，， 则，仅当时等号成立，故的最小值是2，B正确； 由，，，可得，且， 所以， 当且仅当，即、时等号成立，故，C错误； 同上，， 当且仅当，即、时等号成立，故，D错误； 故选：B 5．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知正数，满足，那么的最小值是（    ） A．1 B． C．9 D．2 【答案】B 【解析】因为正数，满足， 所以，即. 所以（当且仅当，即时等号成立）. 所以的最小值是. 故选：B 6．（23-24高一上·山东滨州·期中）已知,,且,则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 当且仅当,取等号,即,结合, 可得时,取得最小值． 故选:A. 7．（23-24高一上·山东青岛·期中）若是正数，且，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 【答案】C 【解析】，当即时等号成立. 故选： 8．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【解析】由，，，得， 因此，则， 当且仅当，即时取等号，由，解得， 所以当时，取得最小值. 故选：B 9．（多选题）（23-24高一上·山东德州·期中）已知，且，下列正确的有（    ） A．的最小值为9 B． C．的最小值为0 D．若，则 【答案】ABD 【解析】对选项A：， 当且仅当，即，时等号成立，正确； 对选项B：，即， 当且仅当，即时等号成立，正确； 对选项C：. 当且仅当，即时成立，不成立，故等号不成立，错误； 对选项D：，，要证，即，即， 成立，正确； 故选：ABD 10．（多选题）（23-24高一上·山东济南·期中）下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最小值是 C．的最小值是2 D．的最大值是 【答案】AB 【解析】因为，所以，当且仅当时，即时等号成立，故A正确； 因为，当时等号成立，故最小值是，故B正确； 因为，当且仅当时，即，无解，等号不成立，故C错误； 因为中，令时，，所以的最大值不是，故D错误. 故选：AB 11．（多选题）（23-24高一上·山东·期中）对任意x，y，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】（），当且仅当时取等号， 对于AB，由可变形为，，解得， 当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 对于C，由可变形为，解得， 当且仅当时取等号，所以C正确； 对于D，因为，所以，当且仅当时取等号，所以D正确． 故选：BCD． 12．（多选题）（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知，且，满足，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由题设， 所以， 而，则， 综上，，又， ，又，即等号不成立，则，A对； ，又，即等号不成立，则，B错； ，又，即等号不成立，则，C错； ，又，即等号不成立，则，D对. 故选：AD 13．（多选题）（23-24高一上·山东聊城·期中）若正实数a，b满足，则下列选项中正确的是（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．的最小值是10 D． 【答案】AD 【解析】对于A，∵，且，∴，当且仅当时取到等号，∴，∴有最大值，∴选项A正确； 对于B，，∴， 当且仅当时取到等号，∴B错误； 对于C，， 当且仅当即时取到等号，所以C不正确； 对于D，∵，∴，∴D正确． 故选：AD. 14．（多选题）（23-24高一上·山东聊城·期中）设，，且，则下列说法中正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】AD 【解析】由于，，则，又得 所以，则， 解得（舍）或，当且仅当时，有最小值，故A正确，B不正确； 由，又得 所以，则， 解得（舍）或，当且仅当时，有最小值，故C不正确，D正确； 故选：AD. 15．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）设正实数a，b满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值1 【答案】ABC 【解析】对于A，正实数a，b满足，所以，则，即，当且仅当，即等号成立，所以有最大值，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时等号成立，则有最小值，故B正确； 对于C，正实数a，b满足，则，故，所以，则当时，有最小值，故C正确； 对于D，由A中得，所以，则，故有最小值64，故D错误. 故选：ABC. 16．（多选题）（23-24高一上·山东东营·期中）下列命题中正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最小值是2 C．的最大值是 D．最小值是5 【答案】ACD 【解析】对A，C，D结合基本不等式变形即可得证；对B，整理变形，由于等号不成立，所以取不到最小值.对于A，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是，故A正确； 对于B，，因为，即无解，即等号不成立，所以取不到最小值2，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D，，当且仅当，即时，等号成立，所以最小值是5，故D正确； 故选：ACD. 17．（多选题）（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知，，则的值可能为（     ） A．6 B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由题意得原式 ，当且仅当时等号成立， 而，故A错误， ，，，B，C，D满足题意， 故选：BCD 18．（多选题）（23-24高一上·山东淄博·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值为4 B．，则的最小值是4 C．当取得最大值 D．的最小值为 【答案】CD 【解析】对于A中：由， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4，所以A错误； 对于B中：若，满足，可得，所以B不正确； 对于C中：当，可得， 当且仅当时，即，等号成立，所以C正确； 对于D中：由，当且仅当取等号， 即，显然该方程无实根，对勾函数最小值取，代入可得最小为，所以D正确. 故选：CD. 19．（多选题）（23-24高一上·山东·期中）已知，是两个正实数，满足，则（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为1 【答案】BC 【解析】对于选项A：由于，，且，从而，， 所以，，从而，从而，取不到1，从而A错误； 选项B：由， 当且仅当时等号成立，从而的最大值为，B正确； 选项C：因为， 当且仅当时取等号，从而C正确； 选项D：由，得，由，得， 从而， 从而当或1时取得最大值，但，从而无最大值，D错误， 故选：BC． 20．（23-24高一上·山东青岛·期中）若，则的最小值为 ． 【答案】24 【解析】 又因为， 所以， 故有，当且仅当即时等号成立， 则原式 . 当且仅当且即且时等号成立， 故的最小值为24. 故答案为：24. 21．（23-24高一上·山东德州·期中）已知，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由，可知，，得， 即 ， ， 当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 22．（23-24高一上·山东·期中）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由得：，又， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，则取得最小值. 故答案为： 23．（23-24高一上·山东烟台·期中）已知，，，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】根据题意，由，结合基本不等式，即可求解.由，，， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 24．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】将所求式子进行整理，然后利用基本不等式，即可求出结果.因为，所以，又， 所以， 即，当且仅当，即，时取等号． 故答案为：. 25．（23-24高一上·山东日照·期中）设实数满足，则的最小值为 . 【答案】9. 【解析】， ，当且仅当，等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为:9 26．（23-24高一上·山东·期中）若，且，则的最小值是 . 【答案】/ 【解析】因为，则由可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立. 故答案为：. 27．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知，，且，则的最小值是 . 【答案】3 【解析】由， 当且仅当即时取得最小值. 故答案为：3 28．（23-24高一上·山东济南·期中）若正数，满足，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为正数，满足，所以，即， 则， 当且仅当且，即时取等号， 此时取得最小值9，则的最大值为． 故答案为： 29．（23-24高一上·山东聊城·期中）学习与探究问题：正实数x，y，满足，求的最小值．求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当，即，而时，即，且时取等号成立．这种解题方法叫作“1”的代换． (1)利用上述求解方法解决下列问题：若实数a，b，x，y满足，试比较与的大小，并注明等号成立的条件； (2)利用（1）的结论，求的最小值，并注明使得T取得最小值时t的值． 【解析】（1）由，可得， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以， 当且仅当且x，y同号时等号成立， 此时x，y满足. （2）令且，由，即， 则，，解得，， 因为，所以，，则， 所以， 当且仅当，即等号成立，此时， 所以当时，有最小值． 30．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【解析】（1）方法一：， 令，则，得， ∴，当且仅当时取等号， 方法二：设 则，代入， 得即， 令得即， ∴， （2）∵，， ∴，当且仅当时取等， ∴ 31．（23-24高一上·山东临沂·期中）（1）已知，求函数的最大值； （2）已知，且，求的最小值． 【解析】（1），，故， 所以． ，， 当且仅当，即或（舍）时，等号成立，故当时，． （2）因为，且， ， 当且仅当，且时等号成立，取最小值， ， 当时，． 32．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最大值． 【解析】（1）因为，所以， 当且仅当，时取等号，所以的最小值为6． （2）因为，所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最大值为． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$