重难点08 函数零点问题的常考类型-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

重难点08 函数零点问题的常考类型 1．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知函数，方程有三个解，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数的图象在区间上连续不断，则“”是“在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数，如果方程有三个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（18-19高一·山东菏泽·期中）已知，函数，若函数恰有2个零点，则a的取值范围是　　 A．， B． C． D． 6．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则方程解的个数为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 7．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知函数的零点，则整数的值为（    ） A． B． C． D． 8．（18-19高一上·山东潍坊·期中）已知函数，若函数恰有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（23-24高一上·山东枣庄·期中）函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．函数在区间上单调递减 B．关于的不等式的解集为 C．关于的方程有三个实数解 D．，， 10．（多选题）（23-24高一上·山东烟台·期中）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．为偶函数 B．的值域为 C．方程只有一个实根 D．对，，有 11．（多选题）（23-24高一上·山东日照·期中）对于定义在区间D上的函数，对，，且时，都有，则称函数为区间D上的“非增函数”，若为定义在上的“非增函数”，且，，又当时，恒成立．则下列命题正确的是（    ）． A． B． C．函数最多有三个零点 D．图像与坐标轴围成图形的面积为定值 12．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数，，下列说法正确的是（    ） A．若函数与图象有一个交点，则 B．若函数与图象有两个交点，则 C．若函数与图象有三个交点，则 D．若函数与图象有四个交点，则 13．（多选题）（23-24高一上·山东济宁·期中）符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数：，则下列命题正确的是　　 A．函数的值域为 B． C．方程有无数个根 D．函数在定义域上是单调递增函数 14．（23-24高一上·山东德州·期中）已知函数，则 ；函数，函数有6个零点，则实数的取值范围是 . 15．（23-24高一上·山东烟台·期中）设，，用表示，中较小者，记为，则 ；若方程恰有三个不同的实数解，则实数c的取值范围为 . 16．（23-24高一上·山东·期中）函数的零点个数为 . 17．（23-24高一上·山东济南·期中）设函数，，（其中）， （1） ； （2）若函数与的图象有3个交点，则实数的取值范围为 ． 18．（23-24高一上·山东枣庄·期中）设 若互不相等的实数满足，则的取值范围是 ． 19．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数，若函数恰有四个不同的零点，则实数的取值范围为 ． 20．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数，函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是 ． 21．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是 ． 22．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数，若方程有两个不同的实数根，则的取值范围是 ；若且，则的取值范围是 . 23．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知（）． (1)当时，求不等式的解集； (2)若时，有实数解，求a的范围． 24．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数. (1)当时，求函数的零点； (2)设函数区间上有三个不同零点，，，且，求的取值范围； (3)当时，若在上存在2023个不同的实数，，使得，求实数的取值范围. 25．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知． (1)求的最大值； (2)若关于x的方程有两个不等实根，求实数m的取值范围； (3)若a，b，c均为正实数，，证明：． 26．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数. (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程有两个实根，其中一个实根在区间内，另一个实根在区间内，求实数的取值范围. 27．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数有两个不同的零点． (1)求实数m的取值范围； (2)甲同学在探究“若恰有一个在区间内，求实数的取值范围”这一问题时，经过分类讨论研究后甲同学给出了如下解答： 由，解得. 据此他得出实数的取值范围为．请你评判甲同学的解答完整吗？ 如果不够完整．请你补充甲同学遗漏的情况，并给出满足题意的实数的取值范围． 28．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)证明：； (2)证明：； (3)设，求S的最大值． 29．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数，． (1)当时，解不等式； (2)若函数在区间上恰有一个零点，求a的取值范围． 30．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数. (1)若当时，恒成立，求实数的取值范围； (2)已知方程的两根满足，求实数的取值范围. 31．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数， (1)若方程在上有实数根，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意的总存在使成立，求实数的取值范围. 32．（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且 (1)求和的表达式； (2)若关于的方程在区间内恰有两个不等实数根，求实数的取值范围. 33．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知． (1)求； (2)若，求a的取值范围； (3)若其图像与有三个交点，求b的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点08 函数零点问题的常考类型 1．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知函数，方程有三个解，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】，，即，即， 设，函数定义域为，， 函数为奇函数，， 不妨取，则，，. 故选：B. 2．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数的图象在区间上连续不断，则“”是“在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当在上存在零点时，不一定能得到，例如， 此时的零点为，但，所以必要性不满足； 当时， 若三个值中存在，则在上显然存在零点， 若三个值均不为，不妨假设， 因为，所以，取等号时不满足条件， 所以，则，根据零点的存在性定理可知在上存在零点， 所以充分性满足； 所以“”是“在上存在零点”的充分不必要条件， 故选：A. 3．（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得或， 当时，；当时，. 作出函数、、的图象如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程只有解， 所以，方程有解，即直线与曲线有个交点，则. 故选：A. 4．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数，如果方程有三个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数图像，如下图所示： 方程有三个不相等的实数解， 不妨设，与有三个交点， 所以时，且， ， 令是减函数， 所以， 即的取值范围是. 故选:D. 5．（18-19高一·山东菏泽·期中）已知，函数，若函数恰有2个零点，则a的取值范围是　　 A．， B． C． D． 【答案】A 【解析】函数，若函数恰有2个零点， 若为一个零点，即有， 由题意可得即或3，即有， 即为； 若不为的零点，则和3为的两个零点， 可得． 综上可得a的范围是，． 故选A． 6．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则方程解的个数为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【解析】依题意，是偶函数，定义域为， 时，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当，， ， 以此类推可知当时，. 由此画出在区间上的图象如下图所示， 由图可知，与的图象有个交点，所以方程解的个数为. 故选：A 7．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知函数的零点，则整数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数， 因为，， 又函数在R上为单调递增函数， 所以存在唯一的零点， 又零点， 所以． 故选：D． 8．（18-19高一上·山东潍坊·期中）已知函数，若函数恰有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数恰有一个零点 所以图像只有一个交点 如图 所以或 故 故选：A 9．（多选题）（23-24高一上·山东枣庄·期中）函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．函数在区间上单调递减 B．关于的不等式的解集为 C．关于的方程有三个实数解 D．，， 【答案】BD 【解析】设,则, ，， ，故，故A错误， 当时,， 此时，，， 根据反比例函数的平移易得此时单调递增， 结合和为奇函数可知， 在上单调递增，且值域为 函数为奇函数,不等式即, 根据函数在上单调递增, 故不等式等价于,解得，故B正确; 当时,即,解得,不合题意, 即方程在区间上没有实数根, 由对称性可知函数在上也没有实数根, 当，方程成立，故只有一个实数解0，故C错误， 根据函数的值域为,故, 选项D正确. 故选：BD. 10．（多选题）（23-24高一上·山东烟台·期中）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．为偶函数 B．的值域为 C．方程只有一个实根 D．对，，有 【答案】BD 【解析】的定义域为R，且， 所以为奇函数，A错误； 当时，， 又，故， 当时，， 又，故， 综上：的值域为，B正确； 即， 显然是方程的一个根， 令，当时，，解得：， 由于，所以， 当时，，化简得，由于，无解， 综上：方程有2个实根，C错误； 当时，， 任取且， 则， 因为且， 所以， 故，即， 故在上单调递减， 由A选项知为奇函数，故在R上单调递减， 从而，，有，D正确. 故选：BD 11．（多选题）（23-24高一上·山东日照·期中）对于定义在区间D上的函数，对，，且时，都有，则称函数为区间D上的“非增函数”，若为定义在上的“非增函数”，且，，又当时，恒成立．则下列命题正确的是（    ）． A． B． C．函数最多有三个零点 D．图像与坐标轴围成图形的面积为定值 【答案】AD 【解析】对于A，令，则，∴，故A正确； 对于B，又令，则，∴， 再令，则， 又当时，恒成立，∴， 又由定义知，，∴， 又由于为区间上的“非增函数”， 所以当时，． ∵，∴，故B错误； 对于C，当或时，函数与函数图像可能重合，即可能有无数多个交点． 此时有函数时，函数，， 满足当， 故函数在或上可以有无数个零点．故C错误． 对于D，因为的图像关于点对称，所以函数与坐标轴围成图形的面积即为函数的图像与坐标轴围成图形的面积为定值．故D正确． 故选：AD． 12．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数，，下列说法正确的是（    ） A．若函数与图象有一个交点，则 B．若函数与图象有两个交点，则 C．若函数与图象有三个交点，则 D．若函数与图象有四个交点，则 【答案】ABD 【解析】因为， 所以由二次函数和对数函数性质可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 由解析式可知，，，， 且共有3个零点：，，， 对于A：若函数与图象有一个交点，则，故A正确； 对于B：若函数与图象有两个交点，则，故B正确； 对于C：若函数与图象有三个交点，则或，故C错误； 对于D：若函数与图象有四个交点，则，故D正确. 故选：ABD. 13．（多选题）（23-24高一上·山东济宁·期中）符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数：，则下列命题正确的是　　 A．函数的值域为 B． C．方程有无数个根 D．函数在定义域上是单调递增函数 【答案】AC 【解析】画出函数的图象，如下图所示： 对A，函数定义域为全体实数时，，所以函数的值域为，故A正确 ； 对B，，，所以，故B错误； 对C，函数每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数，所以方程有无数个根，故C正确； 对D，，，，所以函数不是增函数，故D错误． 故选：AC． 14．（23-24高一上·山东德州·期中）已知函数，则 ；函数，函数有6个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 或 【解析】，， 令， 则，得或， 当时，，在上单调递减，在上单调递增，且，且当时，图象始终在的下方， 当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且， 作出函数的图象， 与的图象有4个交点，即有4个实数根， 所以只需有2个实数根据，即和的图象有2个交点， 观察可知，当或时，符合题意， 解得：或 故答案为：；或 15．（23-24高一上·山东烟台·期中）设，，用表示，中较小者，记为，则 ；若方程恰有三个不同的实数解，则实数c的取值范围为 . 【答案】 2 【解析】，，则； 由，解得， 由，解得或， 则，作出图象，如图， 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 此时方程恰有三个不同的实数解， 则实数c的取值范围为. 故答案为：2；. 16．（23-24高一上·山东·期中）函数的零点个数为 . 【答案】1 【解析】 画出函数与的图象可知只有一个交点. 故答案为：1. 17．（23-24高一上·山东济南·期中）设函数，，（其中）， （1） ； （2）若函数与的图象有3个交点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意，函数， 所以； 当时，则，可得； 当时，则，可得； 当时，则，可得； 当时，则，可得， 画出函数和的图象，如图所示， 由，可得；又由，可得， 由图象可知，若两个函数的图象有3个交点时，可得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：；. 18．（23-24高一上·山东枣庄·期中）设 若互不相等的实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设，则为方程的解，所以为函数的图象与函数的图象的交点的横坐标， 又作函数和的图象如下， 观察图象可得，不妨设，则，所以 ，，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是， 故答案为：. 19．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数，若函数恰有四个不同的零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】， 令，可得或. 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象只有一个交点， 所以，直线与函数的图象有三个交点，所以，，解得. 故答案为：. 20．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数，函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【解析】当时，，在上单调递减，在上单调递增，且，当时，图象始终在的下方； 当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且，. 作出函数的图象如下图所示： 令，解得或， 而和的图象有个交点，即有个实数根， 所以只需有个实数根即可，即和的图象有个交点， 观察可知，当或时，符合题意， 解得或. 故答案为：或. 21．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】作函数图象如图， 可以判断，，且， 根据对数的性质，，且， 故，且， 又由函数在递减，可知所求取值范围为 故答案为： 22．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数，若方程有两个不同的实数根，则的取值范围是 ；若且，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据分段函数的解析式可得图象如下： 由图知：要使有两个不同的实数根，则. 假设，则，且，由图知：， ∴. 故答案为：，. 23．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知（）． (1)当时，求不等式的解集； (2)若时，有实数解，求a的范围． 【解析】（1）当时，. 代入原不等式：，即， 移项通分，解得. ∴原不等式的解集为 （2）由于在上有解， 所以， 即求在值域， 由于在单调递增，所以， 于是，即. 所以． 24．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数. (1)当时，求函数的零点； (2)设函数区间上有三个不同零点，，，且，求的取值范围； (3)当时，若在上存在2023个不同的实数，，使得，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，令， 当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得或（舍去）； 所以函数的零点是1和2. （2）令， 且，可得， 记， 作出的图象，如图所示： 由的图象得，易知，，是方程的两根， 即方程的两根，可得， 所以. （3）， 当时，在上单调递减，则， 可得 ，所以，得，即. 25．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知． (1)求的最大值； (2)若关于x的方程有两个不等实根，求实数m的取值范围； (3)若a，b，c均为正实数，，证明：． 【解析】（1）由题知：，，所以的定义域为， 令，则， 令，，因为开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即的最大值为0. （2）因为关于x的方程有两个不等实根， 所以，即在有两个不等实根， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且，， 所以实数m的取值范围是. （3）由（1）知：当时，， 不妨设，则，即， 所以 ， 即. 26．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数. (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程有两个实根，其中一个实根在区间内，另一个实根在区间内，求实数的取值范围. 【解析】（1）函数满足，， 所以函数的解析式为. （2），整理得， 又因为方程有两个实根，且， 设，由二次函数的图象与性质，可得， 解得，则实数的取值范围为. 27．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数有两个不同的零点． (1)求实数m的取值范围； (2)甲同学在探究“若恰有一个在区间内，求实数的取值范围”这一问题时，经过分类讨论研究后甲同学给出了如下解答： 由，解得. 据此他得出实数的取值范围为．请你评判甲同学的解答完整吗？ 如果不够完整．请你补充甲同学遗漏的情况，并给出满足题意的实数的取值范围． 【解析】（1）由题设，，可得. （2）甲同学解答不完整，补充如下： 由恰有一个在区间内， 所以（不能同时为0）， 解得，经检验或满足题意， 所以. 28．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)证明：； (2)证明：； (3)设，求S的最大值． 【解析】（1）证明：因为关于x的方程有两个不相等的实数根， 所以， 则， 所以； （2）证明：由题意得， 因为， 所以， 因为，所以， 所以； （3）由题意， 则 ， 因为， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以S的最大值为. 29．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数，． (1)当时，解不等式； (2)若函数在区间上恰有一个零点，求a的取值范围． 【解析】（1）时，， 由，即， 解得：或，故不等式的解集是． （2），，函数图像的对称轴是， 故在上单调，若函数在区间上恰有一个零点， 则，即，解得：． 30．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数. (1)若当时，恒成立，求实数的取值范围； (2)已知方程的两根满足，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为当时，恒成立， 需，即， 解得， 所以的取值范围是； （2）由题意可知，二次函数开口向上，过点，对称轴为， 只需满足，即， 解得， 所以实数的取值范围为. 31．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数， (1)若方程在上有实数根，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意的总存在使成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）方程在上有实数根，即在上有实数根，   即函数的图像与直线 在上有交点， 在单调递减，所以，                     所以，解得，        故所求实数的取值范围是 . （2）若对任意的，总存在使成立， 只需函数的值域为函数的值域的子集. 的值域为                   下求的值域. 当时，为常数，不符合题意舍去； 当时，需，解得 ， 当时，需，解得 ，   综上，的取值范围为 32．（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且 (1)求和的表达式； (2)若关于的方程在区间内恰有两个不等实数根，求实数的取值范围. 【解析】（1）由已知①，所以， ，分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以②， ①－②得，，同理可得； （2）方程为（*）， 设， 是奇函数，且在上是增函数，因此时，， 所以，在时，，且当时，关于的方程在上有两个不等实根． 方程（*）化为，此方程在上有一个解． ， 由复合函数单调性知在是减函数，时，， 所以． 33．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知． (1)求； (2)若，求a的取值范围； (3)若其图像与有三个交点，求b的取值范围． 【解析】（1）根据题意，， 则， 则； （2）对于， 当时，，即，符合题意； 当时，，解得； 综上可得； （3）作出的图象，如图， 由图象可知，当时，与y=b有三个交点. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$