专题01一元二次方程的有关概念及其应用（6基础题型+2提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（天津专用）

专题01 一元二次方程的有关概念及其应用 一元二次方程的有关概念 1．（23-24九年级上·天津红桥·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·天津红桥·期中）将一元二次方程化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，3， B．1，，2 C．，，2 D．1，， 3．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）方程是关于x的一元二次方程，则 ． 4．（22-23九年级上·天津西青·期中）将一元二次方程化成的形式则 ． 5．（23-24九年级上·天津宁河·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为 ，则m的值为 ． 6．（22-23九年级上·天津宝坻·期中）若 是关于x的方程的一根则k的值为 ． 用配方法解一元二次方程 1．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）用配方法解方程： 正确的变形为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·天津·期中）用配方法解方程时，配方所得的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·天津和平·期中）用配方法解一元二次方程时，首先把化成（a、b为常数）的形式，则的值为（    ） A．8 B．11 C．14 D．17 4．（23-24九年级上·天津河西·期中）用配方法解一元二次方程，则配方后得到的方程是(    ) A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·天津宝坻·期中）将一元二次方程式配方化成的形式，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．（23-24九年级上·天津红桥·期中）解一元二次方程． 7．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）解下列方程： (1)； (2)． 用公式法解一元二次方程 1．（23-24九年级上·天津宁河·期中）下列所给方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·天津·期中）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 3．（23-24九年级上·天津西青·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 4．（21-22九年级上·天津红桥·期中）若m≠0，则关于x的一元二次方程mx2＋x－3m＝0的实数根的个数为 ． 5．（22-23九年级上·天津武清·期中）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 6．（23-24九年级上·天津·期中）解下列关于x的方程． (1)； (2)． 7．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）（1）解方程；     （2）解方程； 用因式分解法解一元二次方程 1．（21-22九年级上·天津·期中）方程的两个根是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）若，则的值是（    ） A．2 B．3 C．或3 D．2或 3．（23-24九年级上·天津东丽·期中）一元二次方程的解为 ． 4．（22-23九年级上·天津·期中）若的两边长分别为3和4，第三边的长是方程的根，则的周长是 ． 5．（23-24九年级上·天津西青·期中）用适当方法解方程． (1) (2) 6．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）用适当的方法解下列方程： (1) ； (2)． 根与系数的关系 1．（23-24九年级上·天津宁河·期中）若一元二次方程的两个根是， 则 的值是（  ） A．8 B． C． D．16 2．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·天津南开·期中）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·天津红桥·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则原方程可化为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·天津红桥·期中）若一元二次方程的两个实数根分别为，，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．2 D．10 6．（23-24九年级上·天津西青·期中）一元一次方程的两根为，则 ． 7．（22-23九年级上·天津宝坻·期中）设、是一元二次方程的两实数根，则 ． 8．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）关于的一元二次方程的实数解是和． (1)求的取值范围； (2)如果且k为整数，求k的值． 9．（23-24九年级上·天津·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 实际问题与一元二次方程 1．（23-24九年级上·天津河西·期中）一个矩形的长比宽多2，面积是80，则矩形的两边长分别为（    ） A．3和5 B．5和7 C．6和8 D．8和10 2．（23-24九年级上·天津河东·期中）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年植树400棵，第三年植树625棵，设该校植树棵数的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）流感是一种传染性极高的疾病，我们要加强预防和治疗．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有100个人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为 ． 4．（22-23九年级上·天津津南·期中）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是 ． 5．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）淄博烧烤风靡全国．某烧烤店今年5月份的盈利额为万元，7月份的盈利额达到万元，如果每月增长的百分率相同，求该烧烤店这两个月的月均增长率． 解：设该烧烤店这两个月的月均增长率为， (1)填空：（用含的代数式表示） ①6月份的盈利额为________元； ②7月份的盈利额为________元； (2)列出方程，并求出问题的解． 6．（22-23九年级上·天津津南·期中）某水果商店销售一种进价为元/千克的优质水果，若售价为元/千克，则一个月可售出千克；若售价在元/千克的基础上每涨价元，则月销售量就减少千克． (1)当售价为元/千克时，每月销售水果多少千克？ (2)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？ 7．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了55份合同，共有多少家公司参加商品交易会？ 设共有x家公司参加商品交易会． (1)用含x的代数式表示： 每家公司与其他______家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了______份合同； (2)列出方程并完成本题解答． 实际问题与一元二次方程—与图形有关问题 1．（23-24九年级上·天津和平·期中）如图，要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的三分之一，应如何设计彩条的宽度？ 若设每个横彩条的宽度为，则每个竖彩条的宽度为，则根据题意，列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22九年级上·天津红桥·期中）一个直角三角形的两直角边之和为14cm，面积是24cm2，则斜边的长度为（    ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 3．（22-23九年级上·天津西青·期中）如图，利用一面墙（墙的长度为15m），用26m长的篱笆，怎样围成一个面积为80的矩形场地？ 4．（21-22九年级上·天津津南·期中）如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．如图②，地毯中央的矩形图案长6m、宽3m，整个地毯的面积是40m2，求花边的宽． （1）设花边的宽为xm，用含x的代数式表示： 矩形地毯ABCD的长为 m； 矩形地毯ABCD的宽为 m； 矩形地毯ABCD的面积为 m2； （2）列出方程，并求出问题的解． 实际问题与一元二次方程—其他问题 1．（22-23九年级上·天津宝坻·期中）某校九年级各班进行篮球比赛（单循环赛），每两班之间共比赛了10场，求九年级有几个班（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（21-22九年级上·天津和平·期中）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 解决方案：设应邀请x个队参赛、 (1)每个队要与其他______个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共______场； (2)根据题意，列出相应方程为______； (3)解这个方程，得______； (4)检验：______； (5)答：比赛组织者应邀请______个队参赛． 3．（20-21九年级上·天津河西·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 若设每个支干长出x个小分支． （Ⅰ）分析：根据问题中的数量关系，填表： ①主干的数目为______； ②从主干中长出的支干的数目为______；（用含x的式子表示） ③又从上述支干中长出的小分支的数目为______；（用含x的式子表示） （Ⅱ）完成问题的求解． 4．（22-23九年级上·天津津南·期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为． (1)用含x的式子表示： 　　， 　　， 　　， (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程的有关概念及其应用 一元二次方程的有关概念 1．（23-24九年级上·天津红桥·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义：形如为常数且，即可解答． 【详解】A、，未知数最高次数是1次，是一元一次方程，该选项不符合题意； B、，是一元二次方程，该选项符合题意； C、，有两个未知数，是二元一次方程，该选项不符合题意； D、，是分式方程，该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2．（23-24九年级上·天津红桥·期中）将一元二次方程化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，3， B．1，，2 C．，，2 D．1，， 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义化方程为的形式解答． 【详解】解：， 移项得：， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，，， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，正确掌握一元二次方程的一般形式的结构是解题的关键． 3．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）方程是关于x的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的概念可得，再解答即可． 【详解】解：方程是关于x的一元二次方程， ， 解得：． 故答案为：． 4．（22-23九年级上·天津西青·期中）将一元二次方程化成的形式则 ． 【答案】1 【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式之后，变为， 故， ， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键． 5．（23-24九年级上·天津宁河·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为 ，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程中得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为 ， ∴， 解得：， 故答案为：． 6．（22-23九年级上·天津宝坻·期中）若 是关于x的方程的一根则k的值为 ． 【答案】5 【分析】根据方程的解满足方程直接代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵ 是关于x的方程的一根， ∴， 解得， 故答案为5． 【点睛】本题考查方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值． 用配方法解一元二次方程 1．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）用配方法解方程： 正确的变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，根据其配方法步骤解题即可． 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同时加上25， 得． ∴ 故选：A． 2．（23-24九年级上·天津·期中）用配方法解方程时，配方所得的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先将常数项移到等腰右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式，进行配方即可． 【分析】解：， ， ， ， 故选：A． 3．（23-24九年级上·天津和平·期中）用配方法解一元二次方程时，首先把化成（a、b为常数）的形式，则的值为（    ） A．8 B．11 C．14 D．17 【答案】D 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 4．（23-24九年级上·天津河西·期中）用配方法解一元二次方程，则配方后得到的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 5．（22-23九年级上·天津宝坻·期中）将一元二次方程式配方化成的形式，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】先将常数项移到等式右边，再将方程两边同时加上9，根据完全平方公式即可进行配方． 【详解】解：， ， ， ， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查的是配方法的应用，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键． 6．（23-24九年级上·天津红桥·期中）解一元二次方程． 【答案】，． 【分析】首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式，然后开方求解即可． 【详解】 ∴ 解得，． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 7．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据配方法一化，二移，三配，四开方即可得到答案； （2）根据配方法一化，二移，三配，四开方即可得到答案． 【详解】（1）解：二次项系数化为一得， ， 移项得， ， 两边同时加 即， 两边开平方可得， 解得： ，； （2）解：移项得， ． 两边同时加 ， 即， 两边开平方可得， 解得： ， 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是运用自己熟练的解法进行求解即可． 用公式法解一元二次方程 1．（23-24九年级上·天津宁河·期中）下列所给方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式，直接根的判别式对四个选项逐一进行判断． 【详解】解：A、中，，故方程有两个不相等的实数根； B、中，，故方程有两个不相等的实数根； C、变形为，则，故方程有两个不相等的实数根； D、中，，故方程无实数根． 故选：D． 2．（23-24九年级上·天津·期中）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 【详解】解：， ，即， ，，， ， 一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．（23-24九年级上·天津西青·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出且，求出即可； 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， 故选：D； 【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程的应用，能运用知识点进行计算是解此题的关键，注意：一元二次方程（a、b、c为常数，），当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当时，一元二次方程有两个相等的实数根，当时，一元二次方程没有实数根． 4．（21-22九年级上·天津红桥·期中）若m≠0，则关于x的一元二次方程mx2＋x－3m＝0的实数根的个数为 ． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解： 实数根的个数为2 故答案为：2． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，当Δ大于0时，有两个不同的实根；当Δ等于0时，有两个相同的实根；当Δ小于0时，无实根，正确理解根的判别式是解题的关键． 5．（22-23九年级上·天津武清·期中）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】//2.25 【分析】根据题意可得：判别式，求解即可． 【详解】解：根据题意可得：判别式， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 6．（23-24九年级上·天津·期中）解下列关于x的方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直接开平方法解方程； （2）利用公式法解方程． 【详解】（1）解： ∴， ∴，             ∴； （2）解： ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法及根据每个一元二次方程的特点恰当选择解法是解题的关键． 7．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）（1）解方程；     （2）解方程； 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）先整理成一般式，再用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， （2）解：整理得： ∵，，， ∴， ∴ ∴， 【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，正确计算是解题的关键． 用因式分解法解一元二次方程 1．（21-22九年级上·天津·期中）方程的两个根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵， ∴，． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 2．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）若，则的值是（    ） A．2 B．3 C．或3 D．2或 【答案】C 【分析】先设，则方程即可变形为，解方程即可求得即的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 即， 解得：或， ∴或， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 3．（23-24九年级上·天津东丽·期中）一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】直接利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 4．（22-23九年级上·天津·期中）若的两边长分别为3和4，第三边的长是方程的根，则的周长是 ． 【答案】12 【分析】先根据已知条件求出第三边的长为取值的范围，然后再求解一元二次方程的根，即可得到答案． 【详解】解：的两边长分别为3和4，设第三边的长为， ， ， ， 或， ， ， 的周长是； 故答案为：12． 【点睛】此题考查三角形的三边的关系、三角形的周长以及一元二次方程的解法，熟练运用三角形三边的关系与准确求解一元二次方程是解答此题的关键． 5．（23-24九年级上·天津西青·期中）用适当方法解方程． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）直接利用因式分解法求解； （2）移项后，利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ， 则或， 解得：，； （2）， ， ， 则或， 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 6．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）用适当的方法解下列方程： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ∴或， 解得，． 根与系数的关系 1．（23-24九年级上·天津宁河·期中）若一元二次方程的两个根是， 则 的值是（  ） A．8 B． C． D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查根与系数的关系的关系：是一元二次方程的两根时，，．利用根与系数的关系得，然后整体代入求解即可． 【详解】解：一元二次方程的两个根是， ∴， ∴． 故选：D． 2．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：由题意得：，， 故选：A． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系的应用，注意：如果是一元二次方程（a，b，c为常数，）的两个解，则，． 3．（23-24九年级上·天津南开·期中）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根的和为，根据菱形的面积得到两根乘积为，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案． 【详解】解：设方程的两个实根分别为， ∴， ∵分别是一个菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为， ∴，即， ∵菱形对角线垂直且互相平分， ∴该菱形的边长为： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得到两根和是解题的关键． 4．（23-24九年级上·天津红桥·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则原方程可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根与系数的关系求出，得到方程，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∴， ∴原方程为， ∴ 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解方程，正确掌握一元二次方程的解法及根与系数的关系是解题的关键． 5．（23-24九年级上·天津红桥·期中）若一元二次方程的两个实数根分别为，，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．2 D．10 【答案】A 【分析】直接根据根与系数的关系求出，，再把变形为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是将原式合理变形并灵活运用根与系数的关系，． 6．（23-24九年级上·天津西青·期中）一元一次方程的两根为，则 ． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得出，，再代入计算即可． 【详解】解：、是方程的两根， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 7．（22-23九年级上·天津宝坻·期中）设、是一元二次方程的两实数根，则 ． 【答案】 1 13 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：1，，13． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握，． 8．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）关于的一元二次方程的实数解是和． (1)求的取值范围； (2)如果且k为整数，求k的值． 【答案】(1) (2)1或2 【分析】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系． （1）方程有两个实数根，必须满足，从而求出实数的取值范围； （2）先由一元二次方程根与系数的关系，得，，再代入不等式，即可求得的取值范围，然后根据为整数，求出的值． 解决问题的关键在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式． 【详解】（1）解：∵方程有实数解是和， ∴，解得， 故的取值范围是； （2）∵一元二次方程的实数解是和， ∴，， 则， ∵ ∴，解得， 又由（1）知， ∴， ∵为整数， ∴的值为1或2． 9．（23-24九年级上·天津·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据方程的判别式Δ>0可得关于k的不等式，解不等式即得答案； （2）根据一元二次方程根与系数关系，，列式计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得； （2）解：∵， ∴， ． ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 实际问题与一元二次方程 1．（23-24九年级上·天津河西·期中）一个矩形的长比宽多2，面积是80，则矩形的两边长分别为（    ） A．3和5 B．5和7 C．6和8 D．8和10 【答案】D 【分析】设矩形的宽为x，则长应该是，根据面积公式列方程求解即可． 【详解】设矩形的宽为x，根据题意得， 解得（不合题意舍去），， ∴矩形的长和宽分别是10和8． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据矩形的面积公式列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 2．（23-24九年级上·天津河东·期中）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年植树400棵，第三年植树625棵，设该校植树棵数的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，根据第三年的植树棵数第一年的植树棵数（平均增长率）2，即可解答，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设该校植树棵数的年平均增长率为， 根据题意得：， 故选：B． 3．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）流感是一种传染性极高的疾病，我们要加强预防和治疗．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有100个人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为 ． 【答案】9 【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为，则第一轮传染后的感染人数为，第二轮传染的人数为，根据两轮共有100人患流感建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为， 根据题意得, 即， ∴， ∴或(舍去)， 故每轮传染中平均一个人传染的人数为9． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立方程． 4．（22-23九年级上·天津津南·期中）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是 ． 【答案】98 【分析】设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，根据“个位数字与十位数字的乘积等于72，”列出方程，即可求解． 【详解】解∶设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去），， ∴． 故答案为：98 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键． 5．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）淄博烧烤风靡全国．某烧烤店今年5月份的盈利额为万元，7月份的盈利额达到万元，如果每月增长的百分率相同，求该烧烤店这两个月的月均增长率． 解：设该烧烤店这两个月的月均增长率为， (1)填空：（用含的代数式表示） ①6月份的盈利额为________元； ②7月份的盈利额为________元； (2)列出方程，并求出问题的解． 【答案】(1)①元，②， (2) 【分析】（1）根据当月盈利额×（1+增长率）=次月盈利额列式即可； （2）根据“今年5月份的盈利额为万元，7月份的盈利额达到万元”列方程求解． 【详解】（1）解：①6月份的盈利额为元②7月份的盈利额为元， 故答案为：①元，②， （2）解：设该烧烤店这两个月的月均增长率为， 则：， 解得：，或（不合题意，舍去）， 答：该烧烤店这两个月的月均增长率． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 6．（22-23九年级上·天津津南·期中）某水果商店销售一种进价为元/千克的优质水果，若售价为元/千克，则一个月可售出千克；若售价在元/千克的基础上每涨价元，则月销售量就减少千克． (1)当售价为元/千克时，每月销售水果多少千克？ (2)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？ 【答案】(1)每月销售水果千克 (2)每千克水果售价为元时，利润最大为元 【分析】（1）根据题意列出算式即可求解； （2）设每千克水果售价为元，总利润为元，根据题意列出二次函数关系，根据二次函数的性质求得最值即可求解． 【详解】（1） (千克)． 答：每月销售水果千克； （2）设每千克水果售价为元，总利润为元， 由题意可得， ∵-， ∴当时，有最大值为， 答：每千克水果售价为元时，利润最大为元 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 7．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了55份合同，共有多少家公司参加商品交易会？ 设共有x家公司参加商品交易会． (1)用含x的代数式表示： 每家公司与其他______家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了______份合同； (2)列出方程并完成本题解答． 【答案】(1)； (2)共有11家公司参加商品交易会 【分析】（1）用x表示出每家公司与其他公司签订的合同数，则用x表示出所有公司共签订的合同数； （2）利用所有公司共签订的合同数列方程得到，然后解方程、检验、作答． 【详解】（1）解∶ 每家公司与其他家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了份合同； （2）解：根据题意列方程得：， 解得，， 检验：不合题意舍去， 所以， 答：共有11家公司参加商品交易会． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用：列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 实际问题与一元二次方程—与图形有关问题 1．（23-24九年级上·天津和平·期中）如图，要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的三分之一，应如何设计彩条的宽度？ 若设每个横彩条的宽度为，则每个竖彩条的宽度为，则根据题意，列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据横竖彩条宽度间的关系，可得出竖彩条的宽为，进而可得出除彩条部分外的九块区域可合成长为，宽为的长方形，再结合彩条所占面积是图案面积的三分之一，即可得出关于的一元二次方程，即可得到答案． 【详解】解：横、竖彩条的宽度比为，且横彩条的宽为，则每个竖彩条的宽度为 除彩条部分外的九块区域可合成长为，宽为的长方形， 根据题意可得：， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（21-22九年级上·天津红桥·期中）一个直角三角形的两直角边之和为14cm，面积是24cm2，则斜边的长度为（    ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【答案】C 【分析】设两条直角边的长度分别为xcm和(14-x)cm，根据题意列出方程求出x的值，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设两条直角边的长度分别为xcm和(14-x)cm 面积是24cm2 解得 两条直角边的长度分别为6cm和8cm 斜边的长度 故选：C． 【点睛】此题考查了直角三角形斜边长的问题，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法和勾股定理． 3．（22-23九年级上·天津西青·期中）如图，利用一面墙（墙的长度为15m），用26m长的篱笆，怎样围成一个面积为80的矩形场地？ 【答案】当的长为8 m时，可以围城一个80的矩形场地． 【分析】设m，则m，根据矩形场地的面积为80，即可得出关于x的一元二次方程，即可求解出x的值，再结合墙长15m，即可确定的长． 【详解】解：设m，则m， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 当 时， ，不合题意，舍去； 当 时， ，符合题意； 答：当的长为8 m时，可以围城一个80的矩形场地． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决此题的关键． 4．（21-22九年级上·天津津南·期中）如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．如图②，地毯中央的矩形图案长6m、宽3m，整个地毯的面积是40m2，求花边的宽． （1）设花边的宽为xm，用含x的代数式表示： 矩形地毯ABCD的长为 m； 矩形地毯ABCD的宽为 m； 矩形地毯ABCD的面积为 m2； （2）列出方程，并求出问题的解． 【答案】（1）；；；（2）花边的宽度为1米. 【分析】（1）由地毯中央的矩形图案长6m、宽3m，分别加上花边宽度的2倍即可得到矩形地毯ABCD的长与宽，再利用矩形的面积公式可得答案； （2）由整个地毯的面积是40m2，可得：再解方程即可. 【详解】解：（1）设花边的宽为xm，则 矩形地毯ABCD的长为m； 矩形地毯ABCD的宽为m； 矩形地毯ABCD的面积为m2； 故答案为：；； （2） 整个地毯的面积是40m2， 解得：（负根不合题意，舍去） 所以花边的宽度为1米， 答：花边的宽度为1米. 【点睛】本题考查的是列代数式，一元二次方程的应用，掌握“利用一元二次方程解决图形面积问题”是解题的关键. 实际问题与一元二次方程—其他问题 1．（22-23九年级上·天津宝坻·期中）某校九年级各班进行篮球比赛（单循环赛），每两班之间共比赛了10场，求九年级有几个班（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，找出等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：设九年级有x个班， ， ， ， （舍）， ∴九年级有5个班． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． 2．（21-22九年级上·天津和平·期中）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 解决方案：设应邀请x个队参赛、 (1)每个队要与其他______个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共______场； (2)根据题意，列出相应方程为______； (3)解这个方程，得______； (4)检验：______； (5)答：比赛组织者应邀请______个队参赛． 【答案】(1)； (2) (3)（不符合题意，舍去）， (4)将代入原方程，左边＝右边 (5)8 【分析】设应邀请x个队参赛，则每个队要与其他个队各赛1场，利用组织比赛的总场次数＝参赛球队数×（参赛球队数），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设应邀请x个队参赛、 每个队要与其他个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场； 故答案为：；； （2）根据题意，列出相应方程为； 故答案为：； （3）解这个方程，得x1＝﹣7（不符合题意，舍去），x2＝8； 故答案为：（不符合题意，舍去），； （4）检验：将代入原方程，左边＝右边； 故答案为：将代入原方程，左边＝右边； （5）答：比赛组织者应邀请8个队参赛． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（20-21九年级上·天津河西·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 若设每个支干长出x个小分支． （Ⅰ）分析：根据问题中的数量关系，填表： ①主干的数目为______； ②从主干中长出的支干的数目为______；（用含x的式子表示） ③又从上述支干中长出的小分支的数目为______；（用含x的式子表示） （Ⅱ）完成问题的求解． 【答案】（Ⅰ）①1；②x；③；（Ⅱ）过程见解析，9个小分支 【分析】（Ⅰ）根据主干为1及每个小支干长出个小分支即可得出个小问的结论 （Ⅱ）根据主干支干数目支干数目支干数目，即可得出关于的一元二次方程，解方程取其正值即可 【详解】解：（Ⅰ）根据题意得：①主干的数目为1； ②从主干中长出的支干的数目为x； ③又从上述支干中长出的小分支的数目为； 故答案为：①1；②x；③； （Ⅱ）依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 所以每个支干长出9个小分支． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键． 4．（22-23九年级上·天津津南·期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为． (1)用含x的式子表示： 　　， 　　， 　　， (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 【答案】(1)；； (2)2或4 (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）由题意可得，，从而可以解决问题； （2）表示出，，解方程即可； （3）表示出，，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵ ， 故答案为：2x；；4x； （2）解：， ， ∴， 解得：或4， 当的面积为时，或4； （3）解：四边形的面积不能等于172，理由如下： ， ∴， 解得或， ， 四边形的面积不可能等于． 【点睛】本题是动点问题，主要考查了图形的面积，一元二次方程的解法，解决问题的关键是能够化动为静，并且注意的取值范围，属于常考题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$