专题01三角形的概念及其应用（6基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（天津专用）

专题01 三角形的概念及其应用 三角形的边 1．（23-24八年级上·天津东丽·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（22-23八年级上·天津滨海新·期中）由下列长度组成的各组线段中，不能组成三角形的是（    ） A．1，3，3 B．2，5，6 C．8，6，4 D．14，7，7 3．（23-24八年级上·天津宁河·期中）一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（23-24八年级上·天津静海·期中）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长为偶数，则第三边长可能为（　　） A．4或6 B．2或4 C．4 D．6或2 5．（22-23八年级上·天津和平·期中）已知三角形三边分别为2，，5，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（21-22八年级上·天津西青·期中）已知三角形两边长分别是2和4，第三边长是奇数，则第三边长为 ． 三角形的高、中线与角平分线 1．（23-24八年级上·天津静海·期中）在中，，分别是，的中点，且的面积是4，则的面积是（    ） A．2 B．1 C．0.5 D．0.25 2．（23-24八年级上·天津河东·期中）如图，在中，点是的中点，点是的中点，且，则阴影部分的面积为 （　　）． A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·天津南开·期中）如图，点B，C，D在一条直线上，，的面积为12，则的面积为（　　）    A．6 B．12 C．18 D．24 4．（22-23八年级上·天津西青·期中）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C均在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)直接写出的面积为___． 三角形的稳定性 1．（22-23八年级上·天津津南·期中）下列图形中，具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（    ） A．一条 B．两条 C．三条 D．四条 3．（22-23八年级上·天津河西·期中）如图，要使五边形木架不变形，需要再钉上木条的根数至少为（  ） A．1 B．2 C．3 D．6 4．（21-22八年级上·天津河西·期中）下面图形中具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 三角形内角和定理的应用 1．（23-24八年级上·天津津南·期中）在中，若，则（    ）． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 2．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在中，的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·天津西青·期中）在中，若，比大，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·天津河东·期中）中，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如下图，乐乐将分别沿、翻折，顶点A、B均落在点O处，且与重合于线段，若，则 ． 6．（22-23八年级上·天津·期中）如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处．如果，那么的度数为 ． 7．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 8．（23-24八年级上·天津东丽·期中）如图，AD是的高，平分交于点E．若．求的度数．    三角形外角的定义及性质 1．（22-23八年级上·天津和平·期中）如图，在中，是延长线上一点，，，则 （度）． 2．（23-24八年级上·天津南开·期中）如图①②③，，，，则 度．    3．（22-23八年级上·天津和平·期中）如图，中，是的外角的平分线，交的延长线于点F，是的外角的平分线，交的延长线于点G，若，则的大小= （度）． 4．（22-23八年级上·天津·期中）如图，已知中，于D，于E，交于点F，的平分线交于点O，则的度数为 ． 5．（22-23八年级上·天津宁河·期中）在中，，此三角形中最大的外角为 ． 6．（22-23八年级上·天津津南·期中）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．若，，求的度数． 7．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，直线交的边、于，交延长线于，若，，，求的度数．    多边形及其内角和的应用 1．（23-24八年级上·天津河西·期中）边形的每个外角都为，则边数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（22-23八年级上·天津南开·期中）正多边形的一个外角不可能是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·天津·期中）一个多边形的内角和比四边形的外角和多，并且这个多边形的各内角都相等，则这个多边形的每个内角等于（　　） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·天津宁河·期中）从n边形的一个顶点出发共有对角线的条数是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·天津宁河·期中）如图，已知在中，，若沿图中虚线剪去，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·天津武清·期中）如图，已知，则等于 度． 7．（22-23八年级上·天津西青·期中）若一个正多边形的内角和为1800°，则边数为 ，它的每一个外角等于 ． 8．（23-24八年级上·天津河东·期中）已知一个正多边形的边数为．若这个多边形的内角和为其外角和的倍，求的值． 9．（23-24八年级上·天津和平·期中）已知，在四边形中，为、的角平分线交点，求证：．    三角形内角和定理的综合应用 1．（23-24八年级上·天津和平·期中）已知：在中，，平分交于点．    (1)如图，于点D，若，，求的度数； (2)如图，于点D，若，，求的度数（用含、的式子表示）． 2．（21-22七年级下·天津南开·期中）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动． (1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小． (2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数 ． 3．（21-22八年级上·天津红桥·期中）嘉琪在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究： （习题回顾） 已知：如图，在中，，角平分线、交于点．求的度数． （1）请直接写出______； （变式思考） （2）若，请猜想与的关系，并说明理由． 4．（23-24八年级上·天津南开·期中）在中，，是斜边上的高． (1)如图1，若是中线，，填空： ①则与的周长差为______； ②则高的长为_______； (2)如图2，若是角平分线，，求的度数． 三角形外角的性质的应用 1．（23-24八年级上·天津津南·期中）在中， (1)如下图所示，如果，和的平分线相交于点P，那么__________； (2)如下图所示，和的平分线相交于点P，试说明； (3)如下图所示， 和的平分线相交于点P，猜想与的关系，直接写出答案，不用证明． 2．（22-23八年级上·天津·期中）【概念认识】 如图①，在中，若，则叫做∠ABC的“三分线”，其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 (1)如图②，在中，，若的邻三分线交于点D，则的度数为___________； (2)如图③，在中，分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； 【延伸推广】 (3)如图④，在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点P．若是，，则的度数为___________，（用含m的代数式表示） 3．（22-23八年级上·天津和平·期中）[概念认识] 如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． (1)[问题解决]如图②，在中，，，若的邻三分线交于点，则的度数为______； (2)如图③，在中，，分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； (3)[延伸推广]如图④，在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若（），；则的度数为______（用含的代数式表示） 4．（22-23八年级上·天津滨海新·期中）如图所示，在中，平分． (1)当点P在线段上时，交的延长线于点E．如图1， ①若，，求的度数： ②设，，求的大小．（用含，的代数式表示） (2)当点P在线段的延长线上运动时，交直线于点E，请在图2中补全图形，设，，直接写出的大小，（用含，的代数式表示） 多边形内角和应用 1．（22-23八年级上·天津河西·期中）探究一：已知：如图1，与分别为的两个外角． 试探究与的数量关系_____(即列出一个含有，，的等式，直接写出答案即可)； 探究二：已知：如图2，在中，分别平分和，求：与的数量关系； 探究三：若将探究2中的改为任意四边形呢？ 即：如图3，在四边形中，分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系． 2．（19-20八年级上·天津和平·期中）已知，在四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若，， (1)如图①，当＞180°时，=_________(用含，的式子表示)； (2)如图②，当＜180°时，请在图②中，画出，且______(用含，的式子表示)； (3)当，满足条件_______时，不存在． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形的概念及其应用 三角形的边 1．（23-24八年级上·天津东丽·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边是解题的关键． 【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意； B、，不能组成三角形，不符合题意； C、，不能组成三角形，不符合题意 D、，能够组成三角形，符合题意； 故选：D． 2．（22-23八年级上·天津滨海新·期中）由下列长度组成的各组线段中，不能组成三角形的是（    ） A．1，3，3 B．2，5，6 C．8，6，4 D．14，7，7 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边对各项逐一判断即可． 【详解】A．，故可以组成三角形； B．，故可以组成三角形； C．，故可以组成三角形； D．，故不能组成三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查根据三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，做题的关键是掌握两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定三条线段能构成一个三角形． 3．（23-24八年级上·天津宁河·期中）一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值． 【详解】设第三边为， 根据三角形的三边关系，得：， 即， ∵为整数， ∴的最小值为6． 故选：B． 4．（23-24八年级上·天津静海·期中）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长为偶数，则第三边长可能为（　　） A．4或6 B．2或4 C．4 D．6或2 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，再根据第三边的长是偶数即可得到答案． 【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为3和5， ∴第三边的长，即第三边的长， ∵第三边长是偶数， ∴第三边长可能为4或6， 故选：A． 5．（22-23八年级上·天津和平·期中）已知三角形三边分别为2，，5，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，求解即可． 【详解】解：依题意得：， 即：， 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系． 6．（21-22八年级上·天津西青·期中）已知三角形两边长分别是2和4，第三边长是奇数，则第三边长为 ． 【答案】3或5/5或3 【分析】首先根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是奇数求解即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得第三边大于4-2=2，而小于4+2=6． 当第三边是奇数时，则第三边是3或5； 故答案为：3或5． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．注意掌握已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和． 三角形的高、中线与角平分线 1．（23-24八年级上·天津静海·期中）在中，，分别是，的中点，且的面积是4，则的面积是（    ） A．2 B．1 C．0.5 D．0.25 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积、三角形中线的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的中线的性质． 【详解】解：设的面积为， 是的中点， ， ， ， 是的中点， ， ， ， 解得：， 的面积为3． 故选：B． 2．（23-24八年级上·天津河东·期中）如图，在中，点是的中点，点是的中点，且，则阴影部分的面积为 （　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据三角形中线的性质可得，，最后求阴影部分的面积即可；掌握三角形的中线平分三角形成为解题的关键． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 同理：， ∴． 故选B． 3．（22-23七年级下·天津南开·期中）如图，点B，C，D在一条直线上，，的面积为12，则的面积为（　　）    A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】过点A作于点H，根据三角形的面积公式结合即可求出的面积． 【详解】解：过点A作于点H， ∵的面积为12， ∴， ∵， ∴的面积． 故选：D．    【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，掌握与有相同的高是解决问题的关键． 4．（22-23八年级上·天津西青·期中）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C均在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)直接写出的面积为___． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）结合网格图，直接利用三角形高线作法得出答案； （2）结合网格图，直接利用三角形的面积求法得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了应用设计与作图以及三角形面积求法，正确得出三角形高线的位置是解题关键． 三角形的稳定性 1．（22-23八年级上·天津津南·期中）下列图形中，具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，再确定各图形中多边形的形态进行解答即可． 【详解】解：A、三角形下方是四边形，不具有稳定性，故A不符合题意， B、对角线两侧是三角形，具有稳定性，故B符合题意， C、连线两侧是四边形，不具有稳定性，故C不符合题意， D、连线两侧是四边形，不具有稳定性，故D不符合题意， 故选：B． 2．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（    ） A．一条 B．两条 C．三条 D．四条 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性可得结论． 【详解】根据三角形的稳定性可得：至少要再钉上1根木条（过四边形的对角线钉上1根木条）． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，掌握三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性是解答本题的关键． 3．（22-23八年级上·天津河西·期中）如图，要使五边形木架不变形，需要再钉上木条的根数至少为（  ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：如图， 根据三角形的稳定性可知，要使五边形木架不变形，至少要再钉上2根木条， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 4．（21-22八年级上·天津河西·期中）下面图形中具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的稳定性即可得． 【详解】解：A、图形中的长方形不具有稳定性，则此项不符题意； B、图形是由两个三角形组成，具有稳定性，则此项符合题意； C、图形中的长方形不具有稳定性，则此项不符题意； D、图形中的四边形不具有稳定性，则此项不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，掌握理解三角形的稳定性是解题关键． 三角形内角和定理的应用 1．（23-24八年级上·天津津南·期中）在中，若，则（    ）． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形形状的判定，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理，结合得出即可判断． 【详解】解：在中，， ∵， ，即， 即是直角三角形， 故选：D． 2．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在中，的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和是，列出方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：， ， 解得：， ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和等于是解答此题的关键． 3．（23-24八年级上·天津西青·期中）在中，若，比大，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵比大， ∴， 又∵ ∴， 解得：， 故选D． 【点睛】本题考查三角形的内角和，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 4．（23-24八年级上·天津河东·期中）中，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形的内角和，把和用表示，再列出方程求出即可． 【详解】在中，， ∵， ∴， ∴， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和得出关于的方程是解题关键． 5．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如下图，乐乐将分别沿、翻折，顶点A、B均落在点O处，且与重合于线段，若，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查折叠的性质，三角形内角和定理，正确理解折叠的性质得到是解题的关键．根据折叠得，，利用求出，再根据三角形的内角和求出的度数． 【详解】解：由折叠得，， ∵, ∴， ∴， 故答案为：． 6．（22-23八年级上·天津·期中）如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处．如果，那么的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】由翻折的性质可知：，，再根据三角形的内角和定理求解即可； 【详解】解：由翻折的性质可知： ．． ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的翻折变换，三角形内角和定理等知识；熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 7．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角、垂直定义、三角形内角和定理等知识点，根据平行线的性质得出，求出，即可求出，根据垂直求出，即可求出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（23-24八年级上·天津东丽·期中）如图，AD是的高，平分交于点E．若．求的度数．    【答案】． 【分析】由已知条件可得，然后根据直角三角形两锐角互余及角平分线的定义求出，再利用三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∴． 三角形外角的定义及性质 1．（22-23八年级上·天津和平·期中）如图，在中，是延长线上一点，，，则 （度）． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·天津南开·期中）如图①②③，，，，则 度．    【答案】 【分析】图①②③中，分别根据三角形的内角和、外角性质及互补关系推导出的度数，再相加即可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴图①中 ∴ 图②中，， 图③中， ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 3．（22-23八年级上·天津和平·期中）如图，中，是的外角的平分线，交的延长线于点F，是的外角的平分线，交的延长线于点G，若，则的大小= （度）． 【答案】48 【分析】设度，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得到度，根据角平分线的性质得到度，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质和对顶角相等得到度，度，度，度，根据角平分线的性质得到度，再根据平角的定义可求得x，进而求得． 【详解】解：设度， ， 度， 是的外角的平分线， 度， 度， ， 度， 度， 度， 是的外角的平分线， 度， ，解得 ∴． 故答案为：48． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、三角形内角与外角的关系等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答本题的关键． 4．（22-23八年级上·天津·期中）如图，已知中，于D，于E，交于点F，的平分线交于点O，则的度数为 ． 【答案】/ 【分析】根据垂直定义可得：，然后根据三角形外角的性质，分别求出和，然后根据三角形的内角和求出，然后根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵、的平分线交于点O ∴，， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是三角形外角的性质、三角形的内角和和角平分线，掌握三角形外角的性质、三角形的内角和定理和角平分线的定义是解决此题的关键． 5．（22-23八年级上·天津宁河·期中）在中，，此三角形中最大的外角为 ． 【答案】/150度 【分析】根据三角形内角和定理列出方程，解方程求出最小的内角，即可求出最大的外角． 【详解】解：设、、分别为、、， 由三角形内角和定理得到，， 解得，， 则三角形最小的角是， ∴三角形中最大的外角为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和三角形的外角，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． 6．（22-23八年级上·天津津南·期中）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．若，，求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形外角性质求出，即可求出和，根据三角形内角和求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 7．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，直线交的边、于，交延长线于，若，，，求的度数．    【答案】 【详解】根据三角形内角和定理可求出中的值，再结合三角形外角的定义和性质，由求出的度数即可． 【分析】解：∵，， ∴在中，， 又∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，解题关键是熟练运用三角形内角和定理和三角形外角的性质． 多边形及其内角和的应用 1．（23-24八年级上·天津河西·期中）边形的每个外角都为，则边数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据边形外角和除以外角的度数即可． 【详解】解：多边形的边数：， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了多边形的外角，掌握边形的外角和是是本题的关键． 2．（22-23八年级上·天津南开·期中）正多边形的一个外角不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】多边形的外角和等于，正多边形的外角和一定能被一个外角的度数整除． 【详解】解：正多边形的外角和一定能被一个外角的度数整除， 而不能被整除， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形的有关知识，关键是掌握：正多边形的外角和一定能被一个外角的度数整除． 3．（22-23八年级上·天津·期中）一个多边形的内角和比四边形的外角和多，并且这个多边形的各内角都相等，则这个多边形的每个内角等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比四边形的外角和多720°，由此列出方程解出边数，进一步可求出它每一个内角的度数，即可解答． 【详解】解：设这个多边形边数为n，则 ， 解得：， ∴这个多边形是八边形， ∵这个多边形的每个内角都相等， ∴它每一个内角的度数为： ． 故选：D 【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据题意列出方程从而解决问题． 4．（22-23八年级上·天津宁河·期中）从n边形的一个顶点出发共有对角线的条数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据从n边形的一个顶点出发，可以与个顶点连接得到对角线，即可得到答案． 【详解】解：从n边形的一个顶点出发，可以与个顶点连接得到对角线，共有对角线的条数是条， 故选：C 【点睛】此题主要考查了多边形的对角线：连接不相邻两个顶点的线段是多边形的对角线，熟练掌握多边形对角线的定义是解题的关键． 5．（22-23八年级上·天津宁河·期中）如图，已知在中，，若沿图中虚线剪去，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用四边形内角和为和直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴ 故选：D． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质和四边形的内角和，解题关键在于根据四边形内角和为和直角三角形的性质求解． 6．（23-24八年级上·天津武清·期中）如图，已知，则等于 度． 【答案】 【分析】连接．由四边形的内角和定理可推得，然后证明，则可证． 【详解】解：连接．设与相交于点O．    由四边形的内角和可得：， ∵， ∴． 在与中， ， ∴ ， 即 即． 故答案为：． 7．（22-23八年级上·天津西青·期中）若一个正多边形的内角和为1800°，则边数为 ，它的每一个外角等于 ． 【答案】 12 30° 【分析】根据题意求得正多边形的边数，进而求得答案 【详解】解：∵一个正多边形的内角和为1800°，即 ∴ 由 故答案为：   【点睛】本题考查了正多边形的内角和和外角和公式，根据内角和公式求得边数是解题的关键． 8．（23-24八年级上·天津河东·期中）已知一个正多边形的边数为．若这个多边形的内角和为其外角和的倍，求的值． 【答案】的值为10 【分析】利用多边形的内角和及外角和列得方程求解即可．掌握多边形的内角和公式和外角和为是解题的关键． 【详解】解：由题意可得． 解得：． 9．（23-24八年级上·天津和平·期中）已知，在四边形中，为、的角平分线交点，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角和定理及角平分线的定义．利用四边形内角和是可以求得．然后由角平分线的性质及邻补角的定义求得,由三角形内角和得，由以上两式可得证． 【详解】如图，∵， ∴． 又∵的角平分线与的外角平分线相交于点， ∴ , ∵， ∴， ∴ 三角形内角和定理的综合应用 1．（23-24八年级上·天津和平·期中）已知：在中，，平分交于点．    (1)如图，于点D，若，，求的度数； (2)如图，于点D，若，，求的度数（用含、的式子表示）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的定义求出，根据直角三角形的性质求出，即可求解； （）利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的定义求出，根据直角三角形的性质求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，三角形角平分线，三角形的高和直角三角形的两锐角互余，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 2．（21-22七年级下·天津南开·期中）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动． (1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小． (2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数 ． 【答案】(1)不变，135° (2)不变，67.5° (3)60°或72° 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的意义求解； （2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB＝90°，进而得出∠OAB+∠OBA＝90°，故∠PAB+∠MBA＝270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F＝45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE＝112.5°，进而得出结论； （3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF＝90°，在△AEF中，由两个角度数的比是3：2分四种情况进行分类讨论． 【详解】（1）∠AEB的大小不变， ∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， ∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线， ∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO， ∴∠BAE+∠ABE= (∠OAB+∠ABO)＝45°， ∴∠AEB＝135°； （2）∠CED的大小不变． 如图，延长AD、BC交于点F． ∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， ∴∠PAB+∠MBA＝270°， ∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线， ∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM， ∴∠BAD+∠ABC= (∠PAB+∠ABM)＝135°， ∴∠F＝45°， ∴∠FDC+∠FCD＝135°， ∴∠CDA+∠DCB＝225°， ∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线， ∴∠CDE+∠DCE＝112.5°， ∴∠CED＝67.5°； （3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E， ∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ， ∴∠E＝∠EOQ−∠EAO= (∠BOQ−∠BAO)= ∠ABO， ∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线， ∴∠EAF＝90°． 在△AEF中， ∵有两个角度数的比是3：2，故有： ∠EAF：∠E=3：2，∠E＝60°，∠ABO＝120°（舍去）； ∠EAF：∠F=3：2，∠E＝30°，∠ABO＝60°； ∠F：∠E=3：2，∠E＝36°，∠ABO＝72°； ∠E：∠F=3：2，∠E＝54°，∠ABO＝108°（舍去）． ∴∠ABO为60°或72°． 故答案为：60°或72°． 【点睛】本题考查三角形内角和与角平分线的综合应用，熟练掌握三角形内角和定理、平角的意义、角平分线的意义和比例的性质是解题关键． 3．（21-22八年级上·天津红桥·期中）嘉琪在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究： （习题回顾） 已知：如图，在中，，角平分线、交于点．求的度数． （1）请直接写出______； （变式思考） （2）若，请猜想与的关系，并说明理由． 【答案】（1）110°；（2）．理由见解析． 【分析】①利用内角和和角平分线性质，可求得角度大小， ②将定角换成动角，同样利用内角和和角平分线性质，将角之间关系表示出来， 【详解】解：（1）110° 理由为∵∠A=40°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°， ∵角平分线BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=70°， 在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=110°， 故答案为：110°， （2）∠BOC=90°+， 理由为∵∠A=α， ∴∠ABC+∠ACB=180°-α， ∵角平分线BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB=∠ABC++∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-α）=90°-， 在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90+， 故答案为：∠BOC=90°+， 【点睛】本题考查了三角形内角和和角平分线性质综合应用，解题的关键是灵活运用三角形内角和和角平分线性质． 4．（23-24八年级上·天津南开·期中）在中，，是斜边上的高． (1)如图1，若是中线，，填空： ①则与的周长差为______； ②则高的长为_______； (2)如图2，若是角平分线，，求的度数． 【答案】(1)①2；② (2) 【分析】本题考查了三角形中线的性质、角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解此题的关键． （1）①根据是中线可得，分别表示出出与的周长，作差即可得到答案； ②根据代入数据进行计算即可； （2）由角平分线的定义可得，再由直角三角形的两锐角互余得出，最后根据进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①在中，，是中线， ， 的周长，的周长， 与的周长差， 故答案为：2； ②， ， ， 故答案为：； （2）解：，平分， ， 是斜边上的高， ， ， ， ． 三角形外角的性质的应用 1．（23-24八年级上·天津津南·期中）在中， (1)如下图所示，如果，和的平分线相交于点P，那么__________； (2)如下图所示，和的平分线相交于点P，试说明； (3)如下图所示， 和的平分线相交于点P，猜想与的关系，直接写出答案，不用证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义与性质，角平分线的定义， （1）根据角平分线的定义可得，，根据三角形内角和定理有，问题随之得解； （2）根据角平分线的定义可得，，根据三角形外角的定义与性质有：，，问题随之得解； （3）结合三角形内角和定理，三角形外角的定义与性质，角平分线的定义，按照（1）、（2）方法即可作答． 【详解】（1）是的角平分线， ． 又是的平分线， ， ，， ， ； ； （2）是的角平分线， ． 又是的平分线， ， ，， ； （3）是的角平分线， ． 又是的平分线， ， ，， ， ， ， ， ， ． 2．（22-23八年级上·天津·期中）【概念认识】 如图①，在中，若，则叫做∠ABC的“三分线”，其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 (1)如图②，在中，，若的邻三分线交于点D，则的度数为___________； (2)如图③，在中，分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； 【延伸推广】 (3)如图④，在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点P．若是，，则的度数为___________，（用含m的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意可是“邻三分线”可求得的度数，再利用三角形外角的性质可求解； （2）结合（1）根据、分别是邻三分线和邻三分线，且，即可求的度数； （3）分2种情况进行画图计算：情况一：如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得，可求解；情况二：如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得可求解． 【详解】（1）解：的邻三分线交于点，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：在中，， ， 又、分别是邻三分线和邻三分线， ，， ， ， 在中， ； （3）解：如图所示，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， ，，， ， 即， ，， ； 如图所示，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， ，，， ， 即， ，， ． 综上所述：的度数为：或． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角三等分线的定义，正确理解题意是解题的关键． 3．（22-23八年级上·天津和平·期中）[概念认识] 如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． (1)[问题解决]如图②，在中，，，若的邻三分线交于点，则的度数为______； (2)如图③，在中，，分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； (3)[延伸推广]如图④，在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若（），；则的度数为______（用含的代数式表示） 【答案】(1)； (2)45°； (3)或或或． 【分析】（1）根据是“邻三分线”可求得的度数，再利用三角形外角的性质可求解； （2）根据、分别是邻三分线和邻三分线；可得，，求出，然后根据三角形内角和定理可得答案； （3）分4种情况进行画图计算：①当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，②当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，③当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，和的反向延长线交于点P，④当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，分别根据三分线的定义和三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：的邻三分线交于点，， ， ， ， 故答案为：80°； （2）解：、分别是邻三分线和邻三分线， ，， ， ， ， ； （3）解：①如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， ，，， ，即， ，， ； ②如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， ，，， ， 即， ，， ； ③如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，和的反向延长线交于点P， ∵，，， ∴ ； ④如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， ∵，， ∴ 综上所述：的度数为：或或或， 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握分类讨论的思想是解决本题的关键． 4．（22-23八年级上·天津滨海新·期中）如图所示，在中，平分． (1)当点P在线段上时，交的延长线于点E．如图1， ①若，，求的度数： ②设，，求的大小．（用含，的代数式表示） (2)当点P在线段的延长线上运动时，交直线于点E，请在图2中补全图形，设，，直接写出的大小，（用含，的代数式表示） 【答案】(1)； (2)，图见解析 【分析】（1）①若，，根据三角形内角和等于，可得的度数，平分，从而得到，进而求得，由，可以求得的度数；②根据①的推导，可以用含，的代数式表示； （2）与（1）同理可得， ，且始终， 所以． 【详解】（1）解：①，， ， 平分， ， ， 由，得， ； ②，， ， 平分， ， ， 由，得， ； （2） 因为，由（1）可得， 所以． 【点睛】本题考查三角形内角和及外角定理，熟练掌握其定理是解题的关键． 多边形内角和应用 1．（22-23八年级上·天津河西·期中）探究一：已知：如图1，与分别为的两个外角． 试探究与的数量关系_____(即列出一个含有，，的等式，直接写出答案即可)； 探究二：已知：如图2，在中，分别平分和，求：与的数量关系； 探究三：若将探究2中的改为任意四边形呢？ 即：如图3，在四边形中，分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系． 【答案】探究一：；探究二：；探究三： 【分析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据三角形内角和定理整理即可得解； 探究二：根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解 探究三：根据四边形的内角和定理表示出，然后同理探究二解答即可． 【详解】解：探究一：∵，， ∴； 故答案为：； 探究二：∵分别平分和， ∴，， ∴ ； 探究三：∵分别平分和， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用三角形内角和定理解决问题． 2．（19-20八年级上·天津和平·期中）已知，在四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若，， (1)如图①，当＞180°时，=_________(用含，的式子表示)； (2)如图②，当＜180°时，请在图②中，画出，且______(用含，的式子表示)； (3)当，满足条件_______时，不存在． 【答案】(1)90°；(2)画图见解析；90°－；(3)180°． 【分析】（1）与（2）先根据四边形内角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB=360°－（α+β），再根据邻补角的定义与三角形外角的性质定理和角平分线的定义整理即可得出结论； （3）当∠F=0°时不存在，代入（1）或（2）题得出的结论即可得出α，β满足的关系式． 【详解】解：（1）∵∠ABC+∠DCB=360°－（α+β）， ∴∠ABC+（180°－∠DCE）=360°－（α+β）=2∠FBC+（180°－2∠ECF） =180°－2（∠ECF－∠FBC）=180°－2∠F， ∴360°－（α+β）=180°－2∠F， ∴； （2）画出的∠F如图所示，∵∠ABC+∠DCB=360°－（α+β）， ∴∠ABC+（180°－∠DCE）=360°－（α+β）=2∠GBC+（180°－2∠HCE） =180°+2（∠GBC－∠HCE）=180°+2（∠GBC－∠BCF）=180°+2∠F， ∴360°－（α+β）=180°+2∠F， ∴； （3）由以上两题的结论知：当α+β=180°时，∠F=0°，故不存在∠F． 所以当α+β=180°时，不存在∠F． 【点睛】综合考查了邻补角的定义、四边形的内角和、角平分线的定义和三角形的外角性质定理，根据四边形的内角和、角平分线的定义和三角形的外角性质得出360°－（α+β）=180°－2∠F与360°－（α+β）=180°+2∠F是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$