第二章 一元二次方程（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记.巧练（北师大版，贵州专用）

第二章 一元二次方程（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．方程x2＝4的解是（　　） A．x1＝4，x2＝﹣4 B．x1＝x2＝2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝4 2．一元二次方程x2﹣1＝0的根的情况（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　） A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x﹣1）2＝16 D．（x+1）2＝16 4．明明在解关于x的方程ax2﹣3x+2＝0（a≠0）时，抄错了a的符号，解出其中一个根是x＝1．则原方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有一个实数根是x＝﹣1 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 5．设a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2024 B．2021 C．2023 D．2022 6．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个实根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≤1 B．k＜1 C．k≤1且k≠0 D．k＜1且k≠0 7．学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了36场比赛，有（　　）人参加了选拔赛． A．8 B．9 C．10 8．2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（dá），欣欣家园”，“龘”这个字引发一波热门关注，据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某服装店购进一款印有“鬣”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为320件，3月份销售量为500件，则该款上衣销售量的月平均增长率为（　　） A．20% B．22% C．25% D．26% 9．平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 10．祁县是“中国酥梨之乡”，某超市将进价为每千克5元的酥梨按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了尽快减少库存并且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降x元，超市每天销售酥梨的利润为120元，则可列方程为（　　） A．（3+x）（50+10x）＝120 B．（3﹣x）（50+10x）＝120 C．（3+x）（50﹣10x）＝120 D．（3﹣x）（50﹣10x）＝120 11．从﹣1，5，10三个数中任意选取两个数作为方程x2+bx+c＝0的根，可得到三个方程：x2+b1x+c1＝0，x2+b2x+c2＝0，x2+b3x+c3＝0．分别计算b1+c1，b2+c2，b3+c3的值，其中最大的值是（　　） A．9 B．19 C．35 D．65 12．阅读理解：我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现：当a≥0，b≥0时，有，得，当且仅当a＝b时等号成立，即a+b有最小值是．请利用这个结论解答问题：当x＞0时，的最小值为（　　） A． B．2 C． D．3 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值是 　 　． 14．一元二次方程x2﹣2x+3＝0的两根分别为x1和x2，则x1+x2﹣2x1x2为 　 　． 15．如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，根据题意可列方程　 　． 16．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：5（x﹣6）2+7＝0与6（x﹣6）2+7＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”，则代数式mx2+nx+2025的最小值是 　 　． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）解方程： （1）（x﹣2）2﹣9＝0； （2）x2+2x＝3． 18．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值． 19．（10分）已知：α，β是方程x2+2x﹣4＝0有两个实数根．求出下列代数式的值． （1）α+β（α+1）； （2）α2+4α+2β． 20．（10分）已知整式（a2+ab）﹣（★ab﹣b2﹣5），其中“★”处的系数被墨水污染了．当a＝3，b＝﹣2时，该整式的值为30． （1）则★所表示的数字是多少？ （2）嘉淇说该代数式的值一定是正的，你认为嘉淇的说法对吗？说明理由． 21．（12分）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （3）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 22．（10分）梅兰竹菊，被称为“四君子”，在中国文化中具有非常重要的象征意义，代表着高尚的品德和精神追求．在我校第十三届艺术节活动中，某班同学在长90cm、宽30cm的展板上展出了四幅书画作品．每幅作品面积为520cm2（作品尺寸均相同），如图所示，作品与展板外沿、作品之间均贴有宽度相同的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 23．（12分）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 24．（12分）配方法是中学数学中非常重要的内容．如，若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值时，可以用配方法： 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n）+（n2﹣8n+16）＝0， ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值； （2）已知a﹣b＝4，c2﹣6c+ab+13＝0，求a+b+c的值． 25．（12分）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下： 首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．因此，可得新方程（x+x+2）2＝144．因为x表示边长，所以2x+2＝12，即x＝5．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程x2﹣4x﹣12＝0（x＞0）的正确构图是 　 　.（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x2+3x﹣2＝0，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x（ 　 　）＝1； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 　 　，解得原方程的一个根为 　 　； 【拓展应用】一般地，对于形如x2+ax＝b的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a＝　 　，b＝　 　，求得方程的正根为 　 　． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次方程（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．方程x2＝4的解是（　　） A．x1＝4，x2＝﹣4 B．x1＝x2＝2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝4 【解答】解：∵x2＝4， ∴x＝2或x＝﹣2， 故选：C． 2．一元二次方程x2﹣1＝0的根的情况（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【解答】解：∵a＝1，b＝0，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　） A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x﹣1）2＝16 D．（x+1）2＝16 【解答】解：原方程化为：x2﹣2x+1﹣1﹣3＝0， 所以（x﹣1）2＝4， 故选：A． 4．明明在解关于x的方程ax2﹣3x+2＝0（a≠0）时，抄错了a的符号，解出其中一个根是x＝1．则原方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有一个实数根是x＝﹣1 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【解答】解：将x＝1代入方程得， a﹣3+2＝0， 解得a＝1， 所以a的正确值为﹣1， 则原方程为﹣x2﹣3x+2＝0， 所以Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）×2＝17＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 5．设a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2024 B．2021 C．2023 D．2022 【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2023＝0的实数根， ∴a2+a﹣2023＝0， ∴a2＝﹣a+2023， ∴a2+2a+b＝﹣a+2023+2a+b＝2023+a+b， ∵a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣1， ∴a2+2a+b＝2023+（﹣1）＝2022． 故选：D． 6．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个实根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≤1 B．k＜1 C．k≤1且k≠0 D．k＜1且k≠0 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个实根， ∴， 解得：k≤1且k≠0． 故选：C． 7．学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了36场比赛，有（　　）人参加了选拔赛． A．8 B．9 C．10 【解答】解：设有x人参加了选拔赛， 由题意得：x（x﹣1）＝36， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）， 即有9人参加了选拔赛， 故选：B． 8．2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（dá），欣欣家园”，“龘”这个字引发一波热门关注，据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某服装店购进一款印有“鬣”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为320件，3月份销售量为500件，则该款上衣销售量的月平均增长率为（　　） A．20% B．22% C．25% D．26% 【解答】解：设该款上衣销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：320（1+x）2＝500， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）． ∴该款上衣销售量的月平均增长率为25%， 故选：C． 9．平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：把x＝2代入原方程得，4﹣2m+﹣＝0， 解得：m＝， ∴原方程为x2﹣x+1＝0， ∴AB+AD＝， ∴▱ABCD的周长是2（AB+AD）＝2×＝5． 故选：C． 10．祁县是“中国酥梨之乡”，某超市将进价为每千克5元的酥梨按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了尽快减少库存并且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降x元，超市每天销售酥梨的利润为120元，则可列方程为（　　） A．（3+x）（50+10x）＝120 B．（3﹣x）（50+10x）＝120 C．（3+x）（50﹣10x）＝120 D．（3﹣x）（50﹣10x）＝120 【解答】解：当售价下降x元时，每千克酥梨的销售利润为8﹣x﹣5＝（3﹣x）元，平均每天的销售量为（50+10x）千克， 依题意得：（3﹣x）（50+10x）＝120． 故选：B． 11．从﹣1，5，10三个数中任意选取两个数作为方程x2+bx+c＝0的根，可得到三个方程：x2+b1x+c1＝0，x2+b2x+c2＝0，x2+b3x+c3＝0．分别计算b1+c1，b2+c2，b3+c3的值，其中最大的值是（　　） A．9 B．19 C．35 D．65 【解答】解：①当﹣1、5是方程x2+bx+c＝0的根时， ， 解得：b1＝﹣4，c1＝﹣5， b1+c1＝﹣9， ②当5、10是方程x2+bx+c＝0的根时， ， 解得：b2＝﹣15，c2＝50， b2+c2＝35， ③当﹣1、10是方程x2+bx+c＝0的根时， ， 解得：b3＝﹣9，c3＝﹣10， b3+c3＝﹣19， ∵﹣19＜﹣9＜35， ∴b2+c2的值最大为35， 故选：C． 12．阅读理解：我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现：当a≥0，b≥0时，有，得，当且仅当a＝b时等号成立，即a+b有最小值是．请利用这个结论解答问题：当x＞0时，的最小值为（　　） A． B．2 C． D．3 【解答】解：∵x＞0， ∴， ∴， 即， ∴， ∴当x＞0时，的最小值3． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值是 　﹣1　． 【解答】解：把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，解得m1＝1，m2＝﹣1， 而m﹣1≠0， 所以m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 14．一元二次方程x2﹣2x+3＝0的两根分别为x1和x2，则x1+x2﹣2x1x2为 　﹣4　． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+3＝0的两根， ∴x1+x2＝2，x1x2＝3， ∴x1+x2﹣2x1x2 ＝（x1+x2）﹣2x1x2 ＝2﹣6 ＝﹣4． 故答案为：﹣4． 15．如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，根据题意可列方程　（36﹣x）（25﹣x）＝840　． 【解答】解：由平移的性质可得，草坪面积可以看作是一个长为（36﹣x）米，宽为（25﹣x）米的矩形， 由题意得，（36﹣x）（25﹣x）＝840， 故答案为：（36﹣x）（25﹣x）＝840． 16．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：5（x﹣6）2+7＝0与6（x﹣6）2+7＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”，则代数式mx2+nx+2025的最小值是 　2020　． 【解答】解：∵（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”， ∴（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝（m+2）（x﹣1）2+1， ∴（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝（m+2）x2﹣2（m+2）x+m+3， ∴， 解得， ∴mx2+nx+2025 ＝5x2﹣10x+2025 ＝5（x﹣1）2+2020， 则代数式mx2+nx+2025的最小值是2020． 故答案为：2020． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．解方程： （1）（x﹣2）2﹣9＝0； （2）x2+2x＝3． 【解答】解：（1）方程整理得：（x﹣2）2＝9， 则x﹣2＝±3，即x﹣2＝3，或x﹣2＝﹣3， 解得：x1＝5，x2＝﹣1； （2）x2+2x＝3， 则x2+2x﹣3＝0， ∴（x+3）（x﹣1）＝0， ∴x+3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝1． 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值． 【解答】解： （1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根， ∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0， 解得m≤2； （2）∵p是方程的一个实数根， ∴p2﹣2p+m﹣1＝0， ∴p2﹣2p＝1﹣m， ∵（p2﹣2p+3）（m+4）＝7， ∴（1﹣m+3）（m+4）＝7，即m2＝9， 解得m＝3或m＝﹣3， 又由（1）可知m≤2， ∴m＝﹣3． 19．已知：α，β是方程x2+2x﹣4＝0有两个实数根．求出下列代数式的值． （1）α+β（α+1）； （2）α2+4α+2β． 【解答】解：∵α，β是方程x2+2x﹣4＝0有两个实数根， ∴α+β＝﹣2，α•β＝﹣4，α2+2α＝4， （1）α+β（α+1） ＝α+αβ+β ＝﹣2+（﹣4） ＝﹣6； （2）α2+4α+2β ＝α2+2α+2α+2β ＝α2+2α+2（α+β） ＝4+2×（﹣2） ＝4﹣4 ＝0． 20．已知整式（a2+ab）﹣（★ab﹣b2﹣5），其中“★”处的系数被墨水污染了．当a＝3，b＝﹣2时，该整式的值为30． （1）则★所表示的数字是多少？ （2）嘉淇说该代数式的值一定是正的，你认为嘉淇的说法对吗？说明理由． 【解答】解：（1）将a＝3，b＝﹣2代入（a2+ab）﹣（★ab﹣b2﹣5）得， （9﹣6）﹣[★（﹣6）﹣4﹣5]＝30， 即3+6★+9＝30， 解得★＝3； （2）嘉淇的说法是正确的，理由如下： 由（1）求得的结果可得该整式为 （a2+ab）﹣（3ab﹣b2﹣5）＝a2﹣2ab+b2+5＝（a﹣b）2+5， ∵（a﹣b）2≥0， ∴（a﹣b）2+5＞0， ∴嘉淇的说法是正确的． 21．已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （3）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 【解答】解：（1）∵x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0， ∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×3（m﹣2） ＝m2+2m+1﹣12m+24 ＝m2﹣10m+25 ＝（m﹣5）2≥0； ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）由题意，得：AC+AB＝m+1，AC•AB＝3（m﹣2）， ∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AC•AB ＝（m+1）2﹣2×3（m﹣2） ＝m2﹣4m+13＝25， 解得：m＝6或m＝﹣2（不合题意，舍去）； ∴m＝6； （3）①当BC为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得： 25﹣5（m+1）+3（m﹣2）＝0， ∴m＝7， ∴方程为：x2﹣8x+15＝0， 解得：x1＝3，x2＝5， ∴等腰三角形的三边为：5，5，3， ∴周长为：5+5+3＝13； ②当BC为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴Δ＝（m﹣5）2＝0， ∴m＝5， ∴方程为：x2﹣6x+9＝0， 解得：x1＝x2＝3， ∴等腰三角形的周长为：3+3+5＝11； 综上：周长为11或13． 22．梅兰竹菊，被称为“四君子”，在中国文化中具有非常重要的象征意义，代表着高尚的品德和精神追求．在我校第十三届艺术节活动中，某班同学在长90cm、宽30cm的展板上展出了四幅书画作品．每幅作品面积为520cm2（作品尺寸均相同），如图所示，作品与展板外沿、作品之间均贴有宽度相同的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 【解答】解：设彩色纸带的宽为x cm， 根据题意，得90•2x+5x•（30﹣2x）＝90×30﹣520×4， 整理，得x2﹣33x+62＝0． 解方程，得x1＝2，x2＝31（不合题意，舍去）． 答：彩色纸带的宽为2cm． 23．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得： 256（1+x）2＝400， 解得：x1＝，x2＝﹣（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为25%； （2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得： （40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250， 解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意舍去）． 答：当商品降价5元时，商场获利4250元． 24．配方法是中学数学中非常重要的内容．如，若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值时，可以用配方法： 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n）+（n2﹣8n+16）＝0， ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值； （2）已知a﹣b＝4，c2﹣6c+ab+13＝0，求a+b+c的值． 【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1＝（x+y）2+（y+1）2＝0， ∴x＝1，y＝﹣1． ∴2x+y＝2﹣1＝1； （2）∵a﹣b＝4， ∴a＝b+4， ∵c2﹣6c+ab+13＝c2﹣6c+b（b+4）+13＝c2﹣6c+b2+4b+13＝（c﹣3）2+（b+2）2＝0， ∴c＝3，b＝﹣2， ∴a＝2， ∴a+b+c＝2+（﹣2）+3＝3． 25．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下： 首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．因此，可得新方程（x+x+2）2＝144．因为x表示边长，所以2x+2＝12，即x＝5．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程x2﹣4x﹣12＝0（x＞0）的正确构图是 　②　.（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x2+3x﹣2＝0，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x（ 　x+　）＝1； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 　（x+x+）2＝4×1+（）2　，解得原方程的一个根为 　　； 【拓展应用】一般地，对于形如x2+ax＝b的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a＝　±2　，b＝　3　，求得方程的正根为 　1或3　． 【解答】解：【理解应用】∵x2﹣4x﹣12＝0， ∴x（x﹣4）＝12， ∴很容易观察出构图是②， 故答案为：②； 【类比迁移】2x2+3x﹣2＝0， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：； 解得原方程的一个根为； 故答案为：x+，（x+x+）2＝4×1+（）2，； 【拓展应用】∵x2+ax＝b， ∴x2+ax＝b， ∴x（x+a）＝b， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是（x+x+a）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×4×b+a2， ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴b＝3，a2＝4， 解得：b＝3，a＝±2， 当a＝2时，（x+x+2）2＝4×3+4，2x+2﹣4，x＝1，方程的一个正根为1； 当a＝﹣2时，（x+x﹣2）2＝4×3+4，2x﹣2＝4，x＝3，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3， 故答案为：±2，3，1或3． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$