第二章 实数（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记.巧练（北师大版，贵州专用）

第二章 实数（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列实数：，﹣3.14159，，，，，0.1010010001…（每两个1之间的0的个数依次增加1个）中，无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法中，正确的是（　　） A．1的任何次方根都是1 B．0的任何次方都是0 C．负数没有方根 D．正数的平方根互为相反数 3．下列各式中，不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 4．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2024 B．x C．x≥2024 D．x≤2024 5．如图所示的数轴被墨迹污染了，则下列选项中可能被覆盖住的数是（　　） A． B． C． D． 6．如图，根据尺规作图痕迹，判断数轴上点C所表示的数是（　　） A．2 B．3.7 C．3.8 D． 7．下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则 B．的平方根是±8 C．无限小数都是无理数 D．若a＜0，﹣1＜b＜0，则ab＞ab2 8．从“+，﹣，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“”的“□”中，使其运算结果为有理数，则应选择的运算符号是（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 9．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a+b＜0，则下列结论中一定成立的是（　　） A．a+c＜﹣1 B．a﹣c＞0 C．bc＜0 D． 10．{a}表示小于a的最大整数，[b]表示不小于b的最小整数，若整数x，y满足{x}＝2，[y]＝﹣1，则3x+2y的平方根为（　　） A． B．±1 C．±2 D． 11．如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近﹣的是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 12．对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，[（﹣2）⊕3]⊗2＝2，那么（⊕2）⊗的值为（　　） A．2 B． C．3 D．3 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．比较大小：8 　 　．（填“＞”或“＜”或“＝”） 14．有一个数值转换机，原理如下：当输入的x＝16时，输出的y＝　 　． 15．有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝　 　． 16．（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短．记得立契时，长阔争一半．今问俊明公，此法如何算．意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半．现在请你帮他算出它的长是 　 　步．（一亩＝240平方步） 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）把下列各数填入相应的集合里．（填序号） ①，②0，③﹣（﹣32），④0.1010010001…（两个1之间的0逐渐增加），⑤﹣3.2，⑥，⑦． 整数集合：{ 　 　…}； 负分数集合：{ 　 　…}； 正有理数集合：{ 　 　…}； 无理数集合：{ 　 　…}． 18．（10分）计算： （1）； （2）． 19．（10分）已知m，n都是实数，且满足，求2m﹣n的平方根． 20．（10分）如图，是一块长方形空地，小刚的爸爸按照图中的方式在空地上用栅栏围出两块面积分别为49m2和81m2的正方形区域ABCD和CEFG（AB、AD、BC、CG、CE、EF、FG均为栅栏）． （1）原长方形空地的长为 　 　m，宽为 　 　m； （2）求围成的两个正方形区域所需栅栏的总长度； （3）求长方形空地剩余部分（即阴影部分）的面积． 21．（10分）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，… （1）按照以上规律，写出第5个等式：　 　； （2）按照以上规律，写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的等式表示，n为正整数），并证明等式成立． 22．（12分）如图，半径为1个单位长度的圆上有一点A与数轴上﹣1这个点重合． （1）若圆从﹣1点沿数轴向右滚动一周，圆上的点A恰好与点B重合，设点B对应的实数是b，则b＝　 　．（结果保留π） （2）求的算术平方根．（结果保留π） （3）若圆从数轴上A点开始滚动，向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次运动的情况记录如下：+2，﹣4，+3，﹣2．当圆结束运动时，点A运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？（结果保留π） 23．（12分）对于任意实数a，b，我们规定：G（a，b）＝a2+b2，H（a，b）＝ab，例如：G（1，2）＝12+22＝5，H（2，﹣3）＝2×（﹣3）＝﹣6． （1）填空： ①G（﹣4，2）＝　 　； ②若H（﹣5，x）＝20，则x＝　 　； （2）若x+y＝5，且G（x，2y）+H（3，﹣y2）＝20，求xy与（x﹣y）2的值． 24． （12分）观察下列等式：①； ②；③；…．回答下列问题： （1）仿照上列等式，写出第n个等式：　 　； （2）利用你观察到的规律，化简：＝　 　； （3）计算：． 25．（12分）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为14． （1）填空：点H在数轴上表示的数是 　 　，点A在数轴上表示的数是 　 　． （2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN＝EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为x秒，原点为O．当OM＝2ON时，求x的值． （3）若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为t（t＞0）秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S＝12时，求此时t的值． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 实数（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列实数：，﹣3.14159，，，，，0.1010010001…（每两个1之间的0的个数依次增加1个）中，无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：， 无理数有，，0.1010010001……（每两个1之间的0的个数依次增加1个），共3个． 故选：C． 2．下列说法中，正确的是（　　） A．1的任何次方根都是1 B．0的任何次方都是0 C．负数没有方根 D．正数的平方根互为相反数 【解答】解：A．∵1的平方根是±1，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； B．∵0的任何正整数次方都等于0，0的0次方没有意义，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； C．∵负数的立方根是负数，负数没有平方根，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； D．∵正数的平方根是不为0的一对互为相反数，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 3．下列各式中，不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、＝2能与合并，故A不符合题意； B、＝能与合并，故B不符合题意； C、＝5能与合并，故C不符合题意； D、＝不能与合并，故D符合题意； 故选：D． 4．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2024 B．x C．x≥2024 D．x≤2024 【解答】解：由题可知， 2024﹣x≥0， 解得x≤2024． 故选：D． 5．如图所示的数轴被墨迹污染了，则下列选项中可能被覆盖住的数是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：数轴被墨迹污染的数介在1与2之间， ∵12＝1，22＝4，32＝9， ∴1＜＜2，2＜＜3，2＜＜3，2＜＜3， 故选：A． 6．如图，根据尺规作图痕迹，判断数轴上点C所表示的数是（　　） A．2 B．3.7 C．3.8 D． 【解答】解：∵点A表示的数为3， ∴点A到原点的距离为3， 由图可得AB＝3﹣1＝2， ∴点B到原点的距离＝＝， ∵点C到原点的距离和点B到原点的距离相等， ∴点C到原点的距离为， ∴点C表示的数为， 故选：D． 7．下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则 B．的平方根是±8 C．无限小数都是无理数 D．若a＜0，﹣1＜b＜0，则ab＞ab2 【解答】解：若a＝1，b＝﹣1，a＞b，而＞，则A不符合题意； ＝8，其平方根为±＝±2，则B不符合题意； 无限不循环小数是无理数，则C不符合题意； 若a＜0，﹣1＜b＜0，那么ab＞0，ab2＜0，故ab＞ab2，则D符合题意； 故选：D． 8．从“+，﹣，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“”的“□”中，使其运算结果为有理数，则应选择的运算符号是（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 【解答】解：从“+，﹣，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“”的“□”中，使其运算结果为有理数，则应选择的运算符号是+． 故选：A． 9．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a+b＜0，则下列结论中一定成立的是（　　） A．a+c＜﹣1 B．a﹣c＞0 C．bc＜0 D． 【解答】解：由数轴知a＜c＜b， ∴a﹣c＜0， 故B选项错误； ∵a+b＜0， ∴a＜0，b≥0，且|a|＞|b|或a＜0，b＜0， 当a＜0，b≥0，且|a|＞|b|时，c＜0， ∴a+c＜﹣1无法判断，bc≤0，， ∴A、C选项错误，D选项正确； 当a＜0，b＜0时，c＜0， ∴a+c＜﹣1无法判断，bc＞0，， ∴A、C选项错误，D选项正确； 综上，D选项正确， 故选：D． 10．{a}表示小于a的最大整数，[b]表示不小于b的最小整数，若整数x，y满足{x}＝2，[y]＝﹣1，则3x+2y的平方根为（　　） A． B．±1 C．±2 D． 【解答】解：由题意得，x＝3，y＝﹣1， ∴3x+2y＝3×3+2×（﹣1）＝9﹣2＝7， ∵7的平方根是±， ∴3x+2y的平方根为±， 故选：D． 11．如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近﹣的是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【解答】解：因为9＜10＜16， 所以3＜＜4． 所以﹣4＜﹣＜﹣3． 所以，这四点中所表示的数最接近﹣的是点N． 故选：B． 12．对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，[（﹣2）⊕3]⊗2＝2，那么（⊕2）⊗的值为（　　） A．2 B． C．3 D．3 【解答】解：由题意可得：（⊕2）⊗ ＝⊗3 ＝． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．比较大小：8 　＞　．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【解答】解：∵， 而64＞32， ∴， 故答案为：＞． 14．有一个数值转换机，原理如下：当输入的x＝16时，输出的y＝　　． 【解答】解：第1次计算得，，而4是有理数， 因此第2次计算得，，而2是有理数， 因此第3次计算得，是无理数，则输出． 故答案为：． 15．有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝　3a+c　． 【解答】解：由图可知，c＜a＜0＜b， ∴b﹣c＞0，c+a＜0，a﹣b＜0， 则 ＝|b﹣c|﹣2|c+a|﹣|a﹣b| ＝b﹣c﹣2[﹣（c+a）]﹣（b﹣a） ＝b﹣c+2c+2a﹣b+a ＝3a+c， 故答案为：3a+c． 16．（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短．记得立契时，长阔争一半．今问俊明公，此法如何算．意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半．现在请你帮他算出它的长是 　60　步．（一亩＝240平方步） 【解答】解：设此矩形田的宽为x步， 依据题意，可列方程为x⋅2x＝240×7.5， 解得x＝30（负值舍去）， 则长为60步， 故答案为：60． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．把下列各数填入相应的集合里．（填序号） ①，②0，③﹣（﹣32），④0.1010010001…（两个1之间的0逐渐增加），⑤﹣3.2，⑥，⑦． 整数集合：{ 　②③　…}； 负分数集合：{ 　⑤⑦　…}； 正有理数集合：{ 　③⑥　…}； 无理数集合：{ 　①④　…}． 【解答】解：整数集合：②③． 负分数集合：⑤⑦． 正有理数集合：③⑥． 无理数集合：①④． 故答案为：②③；⑤⑦；③⑥；①④． 18．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式＝2+﹣2+2 ＝3； （2）原式＝1+1+﹣2 ＝． 19．已知m，n都是实数，且满足，求2m﹣n的平方根． 【解答】解：由可得，m﹣7≥0， ∴m≥7， ∴|3﹣m|＝m﹣3， ∵， ∴（2+n）2+＝0， ∴2+n＝0，m﹣7＝0， ∴m＝7，n＝﹣2， ∴2m﹣n＝14+2＝16， ∴2m﹣n的平方根是±4． 20．如图，是一块长方形空地，小刚的爸爸按照图中的方式在空地上用栅栏围出两块面积分别为49m2和81m2的正方形区域ABCD和CEFG（AB、AD、BC、CG、CE、EF、FG均为栅栏）． （1）原长方形空地的长为 　16　m，宽为 　9　m； （2）求围成的两个正方形区域所需栅栏的总长度； （3）求长方形空地剩余部分（即阴影部分）的面积． 【解答】解：（1）根据题意得：正方形ABCD的边长分别为， 正方形CEFG的边长分别为， ∴BG＝BC+CG＝7+9＝16m，FG＝9m， 故答案为：16，9； （2）根据题意得：围成的两个正方形区域所需栅栏的总长度为： （EF+FG+GC+CE）+（AB+BC+DA）＝4×9+7×3＝57（m）； （3）根据题意得：AD＝7m，ED＝CE﹣CD＝9﹣7＝2m， ∴长方形空地剩余部分（即阴影部分）的面积为＝7×2＝14m2． 21．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，… （1）按照以上规律，写出第5个等式：　　； （2）按照以上规律，写出你猜想的第n个等式：　　（用含n的等式表示，n为正整数），并证明等式成立． 【解答】解：（1）第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，… 第5个等式为：， 故答案为：； （2）∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … ∴第n个等式为， 故答案为：． 证明：∵n为正整数， ∴左边＝＝右边， ∴结论成立． 22．如图，半径为1个单位长度的圆上有一点A与数轴上﹣1这个点重合． （1）若圆从﹣1点沿数轴向右滚动一周，圆上的点A恰好与点B重合，设点B对应的实数是b，则b＝　﹣1+2π　．（结果保留π） （2）求的算术平方根．（结果保留π） （3）若圆从数轴上A点开始滚动，向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次运动的情况记录如下：+2，﹣4，+3，﹣2．当圆结束运动时，点A运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？（结果保留π） 【解答】解：（1）∵半径为1个单位长度的圆的周长为2π， ∴向右滚动一周，即向右滚动2π个单位长度， ∵点A从﹣1向右滚动一周与B重合， ∴b＝﹣1+2π， 故答案为：﹣1+2π； （2）由（1）可得，b＝﹣1+2π， ∴， ∴4﹣π的算术平方根为； （3）由题意得，点A运动路程为|+2|+|﹣4|+|+3|+|﹣2|＝11（周）， 即11×2π＝22π个单位长度， ∵+2﹣4+3﹣2＝﹣1， ∴点A向左滚动一周，即2π的单位长度， ∴此时，点A表示的数为﹣1﹣2π． 23．对于任意实数a，b，我们规定：G（a，b）＝a2+b2，H（a，b）＝ab，例如：G（1，2）＝12+22＝5，H（2，﹣3）＝2×（﹣3）＝﹣6． （1）填空： ①G（﹣4，2）＝　20　； ②若H（﹣5，x）＝20，则x＝　﹣4　； （2）若x+y＝5，且G（x，2y）+H（3，﹣y2）＝20，求xy与（x﹣y）2的值． 【解答】解：（1）①由题知， G（﹣4，2）＝（﹣4）2+22＝20． 故答案为：20． ②由H（﹣5，x）＝20得， ﹣5x＝20， 解得x＝﹣4． 故答案为：﹣4． （2）由G（x，2y）+H（3，﹣y2）＝20得， x2+（2y）2+3×（﹣y2）＝20， 整理得，x2+y2＝20． 又因为x+y＝5， 所以xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）]＝＝， （x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝52﹣＝25﹣10＝15． 24．观察下列等式：①；②；③；…．回答下列问题： （1）仿照上列等式，写出第n个等式：　　； （2）利用你观察到的规律，化简：＝　　； （3）计算：． 【解答】解：（1）由题意得：第n个等式为； 故答案为：； （2）原式＝ ＝ ＝， 故答案为：； （3）原式＝ ＝ ＝10﹣1 ＝9． 25．如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为14． （1）填空：点H在数轴上表示的数是 　15　，点A在数轴上表示的数是 　﹣15　． （2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN＝EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为x秒，原点为O．当OM＝2ON时，求x的值． （3）若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为t（t＞0）秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S＝12时，求此时t的值． 【解答】解：（1）由题意可得，点H在数轴上表示的数为：5+10＝15； 点A在数轴上表示的数为：5﹣14﹣6＝﹣15． 故答案为：15；﹣15． （2）∵点M是线段AD的中点， ∴点M表示的数为5﹣14﹣＝﹣12， 又∵EN＝EH， ∴点N在数轴上表示的数为：5+（15﹣5）＝， 由题意可得，x秒时， 点M在数轴上表示的数为：﹣12+4x， 点N在数轴上表示的数为：﹣3x， ∴OM＝|4x﹣12|，ON＝|3x﹣|， ∵OM＝2ON， ∴|4x﹣12|＝2|3x﹣| ∴4x﹣12＝2（3x﹣）或4x﹣12＝﹣2（3x﹣）， 解得x＝或x＝． 故答案为：或． （3）当CD与EF重合时，所用时间为＝7秒， 由题意得：AD与EH重合的部分为＝4，如图1所示， 设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t1秒， ∴t1＝＝2， ∴第一次重叠面积为12时，时间t为2+7＝9（秒）； 当AD与EH重叠部分为4时，如图2所示， 设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t2秒， ∴t2＝＝6， ∴第二次重叠面积S＝12时，时间t为6+7＝13（秒）； ∴当长方形ABCD与长方形EFGH重叠部分的面积为12时，t的值为9或13． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$