专题04 指数函数与对数函数（8大基础题7大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

专题04 指数函数与对数函数 指数运算 1．（23-24高一上·山东泰安·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. 2．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知实数a，，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山东淄博·期中）（1）已知，则 ； （2）若，，则 ； （3） ． 4．（23-24高一上·山东枣庄·期中） ． 5．（23-24高一上·山东泰安·期中）计算： . 指数函数的定义与图像 6．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，满足，则 ． 7．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知函数，则 . 8．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知指数函数的图象经过点，则 ． 9．（23-24高一上·山东·期中）函数的图象必经过点（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·山东潍坊·期中）函数的图象大致形状是 A． B． C． D． 11．（23-24高一上·山东青岛·期中）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则可以是（    ） A．2 B． C． D． 12．（多选题）（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知函数，，且，则（    ） A．， B．， C． D． 指数函数的定义域与值域 13．（23-24高一上·山东济南·期中）函数的定义域为 . 14．（23-24高一上·山东青岛·期中）函数的值域是 . 15．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·山东德州·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·山东青岛·期中）求函数，的值域． 18．（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知函数，. (1)若，求的值域； (2)若函数的最小值为，求的值. 19．（23-24高一上·山东·期中）设a是实数，函数. （1）时，求函数的值域； （2）求证：函数不是奇函数. 指数函数的单调性 20．（23-24高一上·山东枣庄·期中）若函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·山东济南·期中）下列四个函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 22．（16-17高一上·山东聊城·期中）已知定义域为R的函数是奇函数． (1)求a，b的值． (2)判断函数的单调性，并用定义证明． 对数运算 23．（23-24高一上·山东泰安·期中）计算： (1)； (2) 24．（23-24高一上·山东淄博·期中）化简求值： (1) (2) 25．（23-24高一上·山东济南·期中）求下列各式的值． (1)； (2)． 26．（23-24高一上·山东泰安·期中）（1）化简：； （2）求值：. 27．（23-24高一上·山东淄博·期中） ． 对数函数的定义与图像 28．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知对数函数y＝f（x）的图象经过点，且f（x0）＝2，则x0＝ . 29．（23-24高一·山东枣庄·期中）函数图象恒过定点，(其中且)，则的坐标为 . 30．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，，则函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知，则函数与函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知幂函数的图象过函数且的图象所经过的定点，则的值等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 对数函数的定义域与值域 33．（23-24高一上·山东烟台·期中）函数的定义域为 . 34．（16-17高一上·山东聊城·期中）若函数的值域为，则的取值范围是 ． 35．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数（且）的图象过点. (1)求的值及的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由. 对数函数的单调性 36．（23-24高一上·山东济南·期中）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一上·山东滨州·期中）已知是上的减函数，则的取值范围是 . 38．（23-24高一上·山东枣庄·期中）函数的单调递减区间为 ． 指对幂比较大小 39．（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高一上·山东青岛·期中）下列大小关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 指数型函数性质的综合应用 43．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数是上的单调函数，那么实数的取值范围是 . 44．（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知函数，且对任意，，当时都有成立，那么的取值范围是 . 45．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 46．（多选题）（23-24高一上·山东泰安·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．的值域为 D．，且，恒成立 47．（多选题）（23-24高一上·山东枣庄·期中）对任意实数，函数的图象必过定点，的定义域为，，则下列说法正确的为（    ） A．， B．， C．的值域为 D．的值域为 48．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数（，且），则下列结论正确的是（    ） A．函数恒过定点 B．函数的值域为 C．函数在区间上单调递增 D．若直线与函数的图像有两个公共点，则实数a的取值范围是 49．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数（） (1)判断函数在内的单调性，并证明你的结论； (2)是否存在m，使得为偶函数？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 50．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知函数． (1)若，求的单调区间 (2)若有最大值3，求的值 对数型函数性质的综合应用 51．（23-24高一上·山东泰安·期中）函数. (1)如果时，有意义，求实数的取值范围； (2)当时，值域为，求实数的值； (3)在（2）条件下，.解关于的不等式. 52．（16-17高一上·山东烟台·期中）已知函数，函数． ⑴若的定义域为，求实数的取值范围； ⑵当时，求函数的最小值； ⑶是否存在非负实数、，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出、的值；若不存在，则说明理由． 53．（23-24高一上·山东日照·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)解关于x的不等式． 54．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并利用定义证明； (2)解不等式． 55．（23-24高一上·山东济南·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，，. （1）求出在上的解析式； （2）求出在上的最小值. 56．（23-24高一上·山东青岛·期中）设为奇函数， 为常数． (1)求的值； (2)证明在区间上单调递增． 恒成立与有解问题 57．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数，且的解集为. (1)求函数的解析式； (2)解关于x的不等式（其中）； (3)设，若对任意的，，都有，求t的取值范围. 58．（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知函数，（，）. (1)若为奇函数，求的值和此时不等式的解集； (2)若不等式对恒成立，求的取值范围. 59．（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)若时，关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围. 60．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知函数是定义域为的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断的单调性（不需要证明）； (3)若存在，使成立，求的取值范围. 61．（23-24高一上·山东济宁·期中）设函数，是定义域为的奇函数. (1)确定的值. (2)若，判断并证明的单调性； (3)若，使得对一切恒成立，求出的范围. 62．（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知，，若对，，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 63．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知函数是奇函数且. (1)求的值. (2)判断在区间上的单调性. (3)当时，若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求的取值范围. 64．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知二次函数，． (1)若关于x的不等式对恒成立，求a的取值范围； (2)已知函数若对，使不等式成立，求a的取值范围． 65．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数， (1)若方程在上有实数根，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意的总存在使成立，求实数的取值范围. 指对函数解不等式问题 66．（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知函数，并且，那么的值为 ；不等式的解集是 ． 67．（23-24高一上·山东泰安·期中）不等式的解集为 . 68．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知函数为R上的奇函数，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 69．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 实际应用问题 70．（23-24高一上·山东青岛·期中）李华自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，李华对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元． ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 71．（23-24高一上·山东青岛·期中）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率（单位：）与管道半径（单位：cm）的四次方成正比．若气体在半径为2cm的管道中，流量速率为，当该气体通过半径为3cm的管道时，其流量速率为 ． 72．（23-24高一上·山东青岛·期中）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规定： （1）5km以内（含5km），票价2元； （2）5km以上，每增加5km，票价增加1元（不足5km的按5km算）． 如果某条线路总里程为20km，设票价为（元），乘客的里程为x（km），则 ． 73．（23-24高一上·山东淄博·期中）在经济学中，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产100台报警器，生产台台（）的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），记利润函数为（单位：元）．则当 台时（写出满足条件的一个值），利润函数取得最大值；边际利润函数的最大值为 元． 74．（23-24高一上·山东聊城·期中）某种物资实行阶梯价格制度，具体见表： 阶梯 年用量（千克） 价格（元/千克） 第一阶梯 不超过10的部分 6 第二阶梯 超过10而不超过20的部分 8 第三阶梯 超过20的部分 10 若某居民使用该物资的年花费为220元，则该户居民的年用量为 千克． 75．（23-24高一上·山东青岛·期中）某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格（每件元）在时，每天售出的件数，若要每天获得利润最多，则销售价格每件应定为 元. 新定义问题 76．（23-24高一上·山东青岛·期中）设在上有定义，对于给定的实数K，定义函数，设函数，若对于，恒有，则的取值范围为 . 77．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）已知符号函数，下列选项正确的是（    ） A．方程的解集为 B． C．关于的不等式的解集为 D．函数的值域为 78．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）对任意两个实数a，b，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．方程有三个解 C．函数在区间上单调递增 D．函数有4个单调区间 79．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）表示不超过x的最大整数，定义函数，则下列结论正确的有（    ） A．函数的值域为 B．方程有无数个解 C．函数在区间上单调递增 D．若直线与函数的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是 80．（23-24高一上·山东济南·期中）若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“和谐区间”．已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)当时，求的解析式； (2)求函数在内的“和谐区间”； (3)若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图象作为函数的图像，是否存在实数t，使集合恰含有2个元素．若存在，求出满足条件的所有实数t所构成的集合；若不存在，说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 指数函数与对数函数 指数运算 1．（23-24高一上·山东泰安·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【解析】（1）原式 ； （2）因为，所以， 所以. 2．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知实数a，，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对A，，A错误； 对B，，B错误； 对C，，C正确； 对D，，D错误； 故选:C. 3．（23-24高一下·山东淄博·期中）（1）已知，则 ； （2）若，，则 ； （3） ． 【答案】 【解析】（1）因为，所以，则， 所以，所以； （2）因为，， 所以 ； （3） . 故答案为：；； 4．（23-24高一上·山东枣庄·期中） ． 【答案】 【解析】 , 故答案为： 5．（23-24高一上·山东泰安·期中）计算： . 【答案】/-0.25 【解析】由题意 . 故答案为：. 指数函数的定义与图像 6．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，满足，则 ． 【答案】2 【解析】由①， 用替换，得②， ②×2－①，得，得. 所以，. 故答案为：2 7．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知函数，则 . 【答案】 【解析】，则. 故答案为：. 8．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知指数函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【解析】设（且），则，所以， 即，所以. 故答案为： 9．（23-24高一上·山东·期中）函数的图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为当时，无论取何值，， 所以函数且的图象必经过定点， 故选：A. 10．（23-24高一上·山东潍坊·期中）函数的图象大致形状是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数f（x）是奇函数，判断出B，D不符合题意； 当x＝1时，f（1），选项C不成立， 故选A． 11．（23-24高一上·山东青岛·期中）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则可以是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，直线与函数，且的图象有两个公共点， 当时，的图象如图所示， 由已知得，； 当时，的图象如图所示， 由已知可得， ，结合可得无解， 综上可知，的取值范围为， 故选：C 12．（多选题）（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知函数，，且，则（    ） A．， B．， C． D． 【答案】BD 【解析】由题意.所以函数的图象如下图所示： 函数在上单调递增，因为，且， 所以，，的正负不能确定，，； 故A中，，不正确；B中，，正确；C中，的正负不能确定，故不正确；D中，，故正确. 故选：. 指数函数的定义域与值域 13．（23-24高一上·山东济南·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【解析】由已知得，解得 即函数的定义域为 故答案为： 14．（23-24高一上·山东青岛·期中）函数的值域是 . 【答案】 【解析】因为，所以， 故函数的值域为. 故答案为：. 15．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，易知是增函数，时，. 所以函数的定义域为. 于是函数的定义域为，即. 故选：C. 16．（23-24高一上·山东德州·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，由，则，所以，所以，又，所以函数的值域为. 故选：B 17．（23-24高一上·山东青岛·期中）求函数，的值域． 【解析】 令，因为，所以. 故，对称轴为，所以，. 所以函数的值域为. 18．（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知函数，. (1)若，求的值域； (2)若函数的最小值为，求的值. 【解析】（1）当时，， 设，得，， ，，所以的值域为； （2），，设，得，. 当时，，解得，不符合舍； 当时，，所以（不符合舍去）或 当时，，解得，不符合舍； 综上所述，实数的值为. 19．（23-24高一上·山东·期中）设a是实数，函数. （1）时，求函数的值域； （2）求证：函数不是奇函数. 【解析】（1）根据题意，时，， 令，，则在上单调递增， 所以， 所以函数的值域为； （2）证明：根据题意，，则， 则， 所以， 所以不满足奇函数的定义， 故不是奇函数. 指数函数的单调性 20．（23-24高一上·山东枣庄·期中）若函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】定义域为，， 为定义在上的偶函数，图象关于轴对称； 当时，，又，在上均为增函数， 在上为增函数，则在上为减函数； 由可得：，即， 解得：，即不等式的解集为. 故选：D. 21．（23-24高一上·山东济南·期中）下列四个函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，函数在区间上为减函数； 对于B选项，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 则函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，该函数在区间上不单调； 对于C选项，当时，，则函数在区间上为减函数； 对于D选项，函数在区间上为增函数. 故选：D. 22．（16-17高一上·山东聊城·期中）已知定义域为R的函数是奇函数． (1)求a，b的值． (2)判断函数的单调性，并用定义证明． 【解析】（1）因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴，又，即，∴． 则，由， 则当，原函数为奇函数． （2）由（1）知， 任取，设， 则， 因为函数在R上是增函数，，． 又， ，即，∴在上为减涵数． 对数运算 23．（23-24高一上·山东泰安·期中）计算： (1)； (2) 【解析】（1）原式 （2） . 24．（23-24高一上·山东淄博·期中）化简求值： (1) (2) 【解析】（1）原式； （2）原式=， . 25．（23-24高一上·山东济南·期中）求下列各式的值． (1)； (2)． 【解析】（1）根据指数幂的运算法则和运算性质，可得： . （2）由对数的运算法则和对数的运算性质，可得： . 26．（23-24高一上·山东泰安·期中）（1）化简：； （2）求值：. 【解析】（1）原式 . . （2）原式 . 27．（23-24高一上·山东淄博·期中） ． 【答案】1 【解析】. 故答案为：1． 对数函数的定义与图像 28．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知对数函数y＝f（x）的图象经过点，且f（x0）＝2，则x0＝ . 【答案】16. 【解析】设，点在函数图像上， ，解得. 故答案为:16. 29．（23-24高一·山东枣庄·期中）函数图象恒过定点，(其中且)，则的坐标为 . 【答案】 【解析】根据对数的性质，，由题中条件，即可求出结果.因为函数图象恒过定点，(其中且)， 所以只需，则，即，所以， 因此的坐标为. 故答案为：. 30．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，，则函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】∵a＞0，b＞0，且ab＝1，， ∴当时，，则函数与函数在同一坐标系中的图象是： ， 当时，，则函数与函数在同一坐标系中的图象是： 故选：AB． 31．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知，则函数与函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】lga+lgb＝0，即为lg（ab）＝0， 即有ab＝1， 当a＞1时，0＜b＜1， 函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝logbx 在同一坐标系中的图象不可能是C， 而A显然不成立，对数函数图象不可能在y轴的左边； D是0＜a＜1，0＜b＜1,不满足ab＝1； 当0＜a＜1时，b＞1， 函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝logbx 在同一坐标系中的图象可能是B， 故选B． 32．（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知幂函数的图象过函数且的图象所经过的定点，则的值等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】因为函数为幂函数，所以，得，即， 函数且的定点为， 即. 故选：D 对数函数的定义域与值域 33．（23-24高一上·山东烟台·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【解析】由题意可得，解得， 即函数的定义域为， 故答案为：. 34．（16-17高一上·山东聊城·期中）若函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，，所以函数的最小值为，即当时，；要使得函数的值域为，所以，且，解得，又，则，所以． 35．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数（且）的图象过点. (1)求的值及的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由. 【解析】（1）已知函数（且）的图象过点， ∴，即. 又，即, 解得. ∴的定义域为. （2）为奇函数，理由如下： 由（1）知：， 的定义域为，定义域关于原点对称， 又，即， ∴为奇函数. 对数函数的单调性 36．（23-24高一上·山东济南·期中）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A选项，函数为非奇非偶函数，且在定义域上为减函数，A不满足条件； 对于B选项，函数为奇函数，且在定义域上为减函数，B满足条件； 对于C选项，函数为奇函数，且在定义域上不单调，C不满足条件； 对于D选项，函数为非奇非偶函数，且在定义域上为减函数，D不满足条件. 故选：B. 37．（23-24高一上·山东滨州·期中）已知是上的减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据题意可得：，且，解得. 故答案为：. 38．（23-24高一上·山东枣庄·期中）函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【解析】由题意，函数满足，解得， 即函数的定义域为， 令， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， 再根据复合函数的单调性“同增异减”法则，可得函数的单调递减区间为. 故答案为： 指对幂比较大小 39．（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 所以. 故选：B 40．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵是减函数，， 所以， 又， ∴． 故选：C． 41．（23-24高一上·山东青岛·期中）下列大小关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项：，， 因为， 又因为指数函数在R上单调递增， 所以，即，故A正确； B选项：，因为，； 又因为指数函数在R上单调递减， 所以，故B正确； C选项：因为，，所以，故C错误； D选项：因为，，所，故D正确； 故选:C. 42．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵是减函数，，所以， 又， ∴． 故选：C． 指数型函数性质的综合应用 43．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数是上的单调函数，那么实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】∵函数是上的单调函数， ①是上的单调递增函数， 则，无解； ②是上的单调递减函数， 则，解得. 综上所述：的取值范围. 44．（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知函数，且对任意，，当时都有成立，那么的取值范围是 . 【答案】 【解析】整理得，∴f(x)在R上单调递减，则根据分段函数单调性的判断方法有：，解得， 故答案为： 45．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为函数均是减函数，所以是减函数， 又的定义域为， 所以函数是奇函数， 若，所以 所以，所以. 故答案为：. 46．（多选题）（23-24高一上·山东泰安·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．的值域为 D．，且，恒成立 【答案】ACD 【解析】函数的定义域为，，故A正确； 因为，故B错误； 由于，则，，所以， 即函数的值域为，故C正确； 由于在定义域上为增函数，故在定义域上为增函数， 即有时，， 将式子中的换为， 可得当时，， 故D正确. 故选:ACD 47．（多选题）（23-24高一上·山东枣庄·期中）对任意实数，函数的图象必过定点，的定义域为，，则下列说法正确的为（    ） A．， B．， C．的值域为 D．的值域为 【答案】AC 【解析】令得，即函数图象必过定点，所以，，故正确； ，，解得 ，令，所以，， 所以的值域.故正确， 故选：. 48．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数（，且），则下列结论正确的是（    ） A．函数恒过定点 B．函数的值域为 C．函数在区间上单调递增 D．若直线与函数的图像有两个公共点，则实数a的取值范围是 【答案】BC 【解析】已知函数（，且），则 对于A，，函数恒过定点，故A错误； 对于B，，则，所以，函数的值域为，故B正确； 对于C，任取，则，当时，函数单调递增，则，当，则恒成立，所以；当时，函数单调递减，则，当，则恒成立，所以，则恒成立，所以函数在区间上单调递增，故C正确； 对于D，的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到，分和两种情况分别作图，如图所示： 当时不合题意；时，需要，即，故D错误； 故选：BC. 49．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数（） (1)判断函数在内的单调性，并证明你的结论； (2)是否存在m，使得为偶函数？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）函数在内单调递减，理由如下： 任取，，且 则 由于，可得， 所以，，， 所以，即， 所以当m取任意实数时，函数在内单调递减 （2）假设存在m，使得函数为偶函数，的定义域为， 所以由，即，即， 可得，解得 因此，存在，使得为偶函数 50．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知函数． (1)若，求的单调区间 (2)若有最大值3，求的值 【解析】（1）当时， 令，则在上单调递增，在单调递减， 且在R上为减函数， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）令，则， 因为的最大值为3，且在R上为减函数， 所以的最小值为， 当时，无最大值，不合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数a的值为1. 对数型函数性质的综合应用 51．（23-24高一上·山东泰安·期中）函数. (1)如果时，有意义，求实数的取值范围； (2)当时，值域为，求实数的值； (3)在（2）条件下，.解关于的不等式. 【解析】（1），，即， 令，，则恒成立， ，，故， a的取值范围为. （2）令，的值域包含， ①时，，其值域为，满足条件； ②时，，令，，， 函数为开口向下的抛物线，的值域为，不满足条件； 综上所述：. （3），定义域为，，函数单调递增， ，即， 即，且， ①当时，解集为或； ②当时，解集为； ③当时，解集为或； ④当时，解集为； 52．（16-17高一上·山东烟台·期中）已知函数，函数． ⑴若的定义域为，求实数的取值范围； ⑵当时，求函数的最小值； ⑶是否存在非负实数、，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出、的值；若不存在，则说明理由． 【解析】⑴定义域为． 所以对一切成立． ……………………1分 当时，不可能对一切成立． ……………………2分 所以，即解得． 综上． ……………………4分 ⑵， 令， 所以 ……………………5分 当时，． ……………………6分 当时，． ……………………7分 当时，． ……………………8分 所以 ……………………9分 ⑶在上是增函数， 若存在非负实数、满足题意，则，………………………………10分 即、是方程的两非负实根，且， 所以． 即存在满足题意………………………………12分． 53．（23-24高一上·山东日照·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)解关于x的不等式． 【解析】（1）由，得函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又, 所以函数奇函数； （2）因为， 所以不等式可化为， 因为在是增函数，所以有， 又，所以，解得，又， 因此不等式的解集为． 54．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并利用定义证明； (2)解不等式． 【解析】（1）函数在上单调递减． 证明：设，则， 由，可得， 所以， 即有，即， 所以在上单调递减. （2）由，解得或，定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数． 不等式即为， 而，， 由在上单调递减，可得， 即为，解得或． 所以原不等式的解集为或. 55．（23-24高一上·山东济南·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，，. （1）求出在上的解析式； （2）求出在上的最小值. 【解析】（1）当时，. 当时，则， 则， 由于函数是定义在上的偶函数，则， 因此，当时，； （2）当，令，则， 令，其中，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线. ①当时，即当时，则函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，则； ②当时，即当时，函数在区间上为减函数， 则. 综上所述，. 56．（23-24高一上·山东青岛·期中）设为奇函数， 为常数． (1)求的值； (2)证明在区间上单调递增． 【解析】（1）因为为奇函数，所以， 所以．所以， 即，所以或， 当时，，此时不成立，故； （2）证明：由（1）可知， 令，，，且， 则． 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在上是减函数． 又因为函数在上是减函数， 所以在上为增函数． 恒成立与有解问题 57．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数，且的解集为. (1)求函数的解析式； (2)解关于x的不等式（其中）； (3)设，若对任意的，，都有，求t的取值范围. 【解析】（1）由的解集为可得是方程的两个根， 所以，解得， 所以； （2），化简有即， 可整理得， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； （3）由题意，， 对任意的，都有， 则当时，， 因为当时，单调递增，所以，， 所以， 所以，即t的取值范围为 58．（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知函数，（，）. (1)若为奇函数，求的值和此时不等式的解集； (2)若不等式对恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）为奇函数，对恒成立， 即对恒成立，. 此时，即， 或（舍），解得：，不等式的解集为. （2）由得：，即， 当时，令，原问题等价对恒成立， 即对恒成立， 令，， 在上单调递增，在上单调递减，，， 即的取值范围为. 59．（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)若时，关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）是奇函数，且定义域为，所以，即，解得. ，，所以是奇函数， 故. （2），，恒成立，得， 因为，所以，则，所以， 设， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 又，所以，故， 所以，即. 60．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知函数是定义域为的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断的单调性（不需要证明）； (3)若存在，使成立，求的取值范围. 【解析】（1）函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以. 因为，所以， 将代入，整理得. 当时，有，即， 又因为当时，有，所以，所以. ，函数定义域为，，函数为奇函数 所以. （2）函数， 在上单调递增，且，在上单调递减， 故函数在上是减函数. （3）函数是定义在上的奇函数，故. 函数在上是减函数，所以，所以. 令，由题意可知，问题等价转化为， 又因为，所以，即. 61．（23-24高一上·山东济宁·期中）设函数，是定义域为的奇函数. (1)确定的值. (2)若，判断并证明的单调性； (3)若，使得对一切恒成立，求出的范围. 【解析】（1）因为是定义域为的奇函数， 则， 而，解得， 所以的值是. （2）由（1）得，是定义域为的奇函数， 又，则，即，又，解得， 则 所以函数在上单调递增，证明如下： 设且， 则， 因为，则，即，， 于是得，即， 所以函数在定义域上单调递增. （3）当时，， 因为，， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，解得，所以的取值范围为. 62．（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知，，若对，，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，使得，所以 因为在时，单调递减，在时，单调递增，故，而在上单调递减，，故 ，解得：， 故选：. 63．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知函数是奇函数且. (1)求的值. (2)判断在区间上的单调性. (3)当时，若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）是奇函数， 在其定义域内恒成立，即， 恒成立， 或（舍去），即. （2）由（1）得， 令，则在上为减函数， 当时，在上是减函数； 当时，在上是增函数. （3）对于上的每一个的值， 不等式恒成立， 则在上恒成立， 令， 由（2）知，在上是单调递增函数， 所以， 即的取值范围是. 64．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知二次函数，． (1)若关于x的不等式对恒成立，求a的取值范围； (2)已知函数若对，使不等式成立，求a的取值范围． 【解析】（1）关于x的不等式对恒成立等价于对恒成立， ∵，当且仅当即时等号成立，∴. 所以实数a的取值范围为； （2）∵对，不等式成立，∴， ∵在上单调递增，∴. 令，对称轴为，∴. ∴，则. 故a的取值范围为 65．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数， (1)若方程在上有实数根，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意的总存在使成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）方程在上有实数根，即在上有实数根，   即函数的图像与直线 在上有交点， 在单调递减，所以，                     所以，解得，        故所求实数的取值范围是 . （2）若对任意的，总存在使成立， 只需函数的值域为函数的值域的子集. 的值域为                   下求的值域. 当时，为常数，不符合题意舍去； 当时，需，解得 ， 当时，需，解得 ，   综上，的取值范围为 指对函数解不等式问题 66．（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知函数，并且，那么的值为 ；不等式的解集是 ． 【答案】 4 【解析】 ， 所以，即， 设，函数的定义域为，且， 即函数为奇函数， ，显然在上，增大，减小，则减小，所以在上是减函数，函数又是奇函数， 所以函数在上都是减函数， 即在上也是减函数， 不等式，等价于， 即，得，解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为：4； 67．（23-24高一上·山东泰安·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由题意可得：， 即，， 解得， 所以原不等式的解集为：. 故答案为： 68．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知函数为R上的奇函数，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数为R上的奇函数， 所以， 又当时，， 当时，，则， 所以时，， 则由可得，或或， 解得或或， 综上可得，不等式的解集为． 故选：C． 69．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.因为，所以等价于， 在同一直角坐标系中作出和的图象如图： 两函数图象的交点坐标为， 不等式的解为. 所以不等式的解集为. 故选：C. 实际应用问题 70．（23-24高一上·山东青岛·期中）李华自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，李华对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元． ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 【答案】 90 10 【解析】（1）顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，由草莓40元/盒，西瓜60元/盒， 得总价为元. 因为一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付10元，所以支付元（元）； （2）设订单总价为， 若，没有优惠，符合题意； 若，则，，而， 所以，最大值为． 故答案为：（1）90；（2）10. 71．（23-24高一上·山东青岛·期中）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率（单位：）与管道半径（单位：cm）的四次方成正比．若气体在半径为2cm的管道中，流量速率为，当该气体通过半径为3cm的管道时，其流量速率为 ． 【答案】1620 【解析】依题意可设，则，解得， 所以，当时. 故答案为： 72．（23-24高一上·山东青岛·期中）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规定： （1）5km以内（含5km），票价2元； （2）5km以上，每增加5km，票价增加1元（不足5km的按5km算）． 如果某条线路总里程为20km，设票价为（元），乘客的里程为x（km），则 ． 【答案】5 【解析】，所以 故答案为：5 73．（23-24高一上·山东淄博·期中）在经济学中，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产100台报警器，生产台台（）的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），记利润函数为（单位：元）．则当 台时（写出满足条件的一个值），利润函数取得最大值；边际利润函数的最大值为 元． 【答案】 （或） 【解析】由题意有：且， 利润函数 （且）， 函数的对称轴为，开口向下，又且 所以当或时利润函数取得最大值； 边际利润函数 （且）， 显然在定义域上单调递减， 所以当时取得最大值，且最大值为， 即边际利润函数的最大值为元； 故答案为：（或）； 74．（23-24高一上·山东聊城·期中）某种物资实行阶梯价格制度，具体见表： 阶梯 年用量（千克） 价格（元/千克） 第一阶梯 不超过10的部分 6 第二阶梯 超过10而不超过20的部分 8 第三阶梯 超过20的部分 10 若某居民使用该物资的年花费为220元，则该户居民的年用量为 千克． 【答案】28 【解析】因为，，， 故该户居民的年用量超过千克，设其为， 则，解得，故该户居民的用量为千克. 故答案为：. 75．（23-24高一上·山东青岛·期中）某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格（每件元）在时，每天售出的件数，若要每天获得利润最多，则销售价格每件应定为 元. 【答案】70 【解析】由题意可知，利润，， 不妨令， 则利润， 由基本不等式可知，， 当且仅当时，即时，不等式取等号， 故， 当且仅当，即时，利润最大. 故销售价格每件应定为70元. 故答案为：70. 新定义问题 76．（23-24高一上·山东青岛·期中）设在上有定义，对于给定的实数K，定义函数，设函数，若对于，恒有，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由指数函数的性质可知，在上单调递减， 故， 若要，恒有，则只需， 从而的取值范围为. 故答案为：. 77．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）已知符号函数，下列选项正确的是（    ） A．方程的解集为 B． C．关于的不等式的解集为 D．函数的值域为 【答案】BC 【解析】对于A，当时，方程化为，解得； 当时，方程化为，解得； 当时，方程化为，解得． 综上，方程的解集为，故A错误； 对于B，当时，，，则； 当时，，则； 当时，，，则， 综上可知，B正确； 对于C，， 当即时，不等式可化为，即，解得； 当即时，不等式可化为，不成立； 当即时，不等式可化为，即，解得； 综合可得，不等式的解集为，故C正确； 对于D，， 当时，；当时，；当时，， 综合可得：函数的值域为，故D错误， 故选：BC． 78．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）对任意两个实数a，b，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．方程有三个解 C．函数在区间上单调递增 D．函数有4个单调区间 【答案】ABD 【解析】由题意，，函数， 由于， 则时，； 时，， 则，作出其图象如图： 对于A，结合图像可知，的图象关于y轴对称，则为偶函数，A正确； 对于B，结合以及图象可知有3个解， 即，B正确； 对于C，结合图像可知函数在区间上单调递减，在上单调递增，C错误； 对于D，由图像可知区间上单调递减，在上单调递增， 即函数有4个单调区间，D正确， 故选：ABD 79．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期中）表示不超过x的最大整数，定义函数，则下列结论正确的有（    ） A．函数的值域为 B．方程有无数个解 C．函数在区间上单调递增 D．若直线与函数的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是 【答案】BCD 【解析】显然，所以 所以， 所以是周期为1的函数， 当时， 所以函数的值域为，故A错误，同时得C正确； 因为是周期为1的函数，所以方程有无数个解，故B正确； 作出函数的图象，作直线， 直线，过点时，，过点时，，过点时，，过点时，， 直线横过定点（－1，0），要使与恰有三个交点， 由图可知，或，D正确. 故选：BCD． 80．（23-24高一上·山东济南·期中）若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“和谐区间”．已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)当时，求的解析式； (2)求函数在内的“和谐区间”； (3)若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图象作为函数的图像，是否存在实数t，使集合恰含有2个元素．若存在，求出满足条件的所有实数t所构成的集合；若不存在，说明理由． 【解析】（1）当时，，，又， 即，所以当时，； （2）当时，，函数为单减函数，，， 解得，所以在内的“和谐区间”为； （3）由“和谐区间”定义可知，当，，则同号， 当时，，解得，故， 若两交点全落在对应图像上，必满足在有两解， 的对称轴为，故不可能有两解， 要使与恰有两交点，则一交点必落在对应图象上， 另一交点必落在对应图像上，令， 当时，， 必满足，解得； 当时，，必满足， 解得； 综上，则只有一个实数满足，故实数构成的集合为. 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