第二单元线与角·思维素养篇·第二部分【从课内到奥数】-2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 18 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9月 22 日 2 / 18 目 录 【课内精选一】角的认识与数角 ............................................................................................ 3 【课内精选二】角的度量与画角 ............................................................................................ 5 【课内精选三】角的分类 ........................................................................................................ 7 【课内精选四】拼角 .................................................................................................................8 【奥数拓展一】量角问题 ...................................................................................................... 11 【奥数拓展二】角度计算问题（一） .................................................................................. 12 【奥数拓展三】角度计算问题（二） .................................................................................. 12 【奥数拓展四】角度计算问题（三） .................................................................................. 14 【奥数拓展五】角度计算问题（四） .................................................................................. 16 【奥数拓展六】角度计算问题（五） .................................................................................. 17 3 / 18 2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列 第二单元线与角·思维素养篇·第二部分【从课内到奥数】 【课内精选一】角的认识与数角。 填出角的各部分名称。 【答案】见详解 【分析】根据角的概念：由一点引出的两条射线所围成的图形，叫做角；其中这 一点叫做顶点，引出的两条射线，叫做边；据此解答即可。 【详解】据分析填空如下： 【专项训练】 1．下面的图形中共有多少个角？ 【答案】14个 【分析】 图形如下图所示： 4 / 18 单个的角有：∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8、∠9总的 9个角。两 个角组成的大角有：∠1和∠2；∠2和∠3，∠5和∠6，∠7和∠8，总的有 4 个角；三个角组成的大角有：∠1、∠2和∠3，有 1个角，总的角就是分别把它 们相加即可。 【详解】9＋4＋1＝14（个） 答：图形中共有 14个角。 2．数一数，下图中各有几个角？ 【答案】3个；8个 【分析】从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，依此计算出角的个数即可。 【详解】 1＋2＝3（个），即此图有 3个角； 4＋4＝8（个），即此图有 8个角。 【点睛】熟练掌握角的特点是解答此题的关键。 3．数一数，下面图形中一共有几个角。 5 / 18 【答案】图一：9个 图二：6个 【分析】第一个图形三角形有 3个角，长方形有 4个角，长方形和三角形相接处 有 2个角，共 9个角；图 2小角 3个，大角 1个，两个小角组成的一个角，有 2 个，共 6个角；据此即可解答。 【详解】图一：3＋4＋2 ＝7＋2 ＝9（个） 图二：3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（个） 【点睛】熟练掌握角的概念是解答此题的关键。 【课内精选二】角的度量与画角。 用量角器度量下面角的度数。 【答案】60° 【分析】把角的顶点与量角器的中心点重合，角的一边与量角器的零刻度线重合， 找到角的另一边对应量角器上的度数，即为这个角的度数。 【详解】 ，这个角的度数是 60°。 【专项训练】 1．用量角器分别画出下列度数的角。 180° 45° 150° 【答案】见详解 【分析】画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。 6 / 18 在量角器 180°刻度线的地方点一个点。以画出的射线的端点为端点，通过刚画 的点，再画一条射线。据此画出 180°的角。同理画出 45°和 150°的角。 【详解】 2．量出角的度数 【答案】见详解 【分析】用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的 一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。据此解 答。 【详解】根据分析，图中 4个角的度数如图： 3．用适当的方法分别画出 120°、145°和 65°的角。 【答案】见详解 【分析】用量角器画角的一般方法：先确定一个端点，引出一条射线，使量角器 的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合；再在量角器上对准要画角的度 数的刻度线，并点上一个点；然后以已画出的射线的端点为端点，通过刚画的点， 再画一条射线，这两条射线所成的夹角就是所要画的角度；据此画出各角即可解 答。 【详解】 7 / 18 【课内精选三】角的分类。 下列度数的角中，( )是锐角，( )是钝角，( )是周角。（有 的答案不止一个） ①108°②42°③18°④65°⑤90°⑥150°⑦360°⑧19°⑨98° 【答案】 ②③④⑧ ①⑥⑨ ⑦ 【分析】小于 90°的角叫做锐角，等于 90°的角是直角，大于 90°小于 180°的角叫 做钝角，180°的角叫做平角，360°的角叫做周角，据此解答。 【详解】②③④⑧是锐角，①⑥⑨是钝角，⑦是周角。 【专项训练】 1．把锐角，平角，钝角、直角、周角按下列顺序排列。 ( )＜( )＜( )＜( )＜( )。 【答案】 锐角 直角 钝角 平角 周角 【分析】根据锐角、钝角、直角、平角、周角的含义进行解答：锐角是大于 0° 而小于 90°的角；直角是 90°的角；钝角是大于 90°而小于 180°的角；平角是 180° 的角；周角是 360°的角，据此解答。 【详解】把锐角，平角，钝角、直角、周角按下列顺序排列。 （锐角）＜（直角）＜（钝角）＜（平角）＜（周角）。 2．一个平角等于( )度，89°的角是( )角，110°的角再加上 ( )度的角得到一个周角。 【答案】 180 锐 250 【分析】平角为 180°，锐角是大于 0°小于 90°的角，周角为 360°。 【详解】一个平角等于 180度，89°的角是锐角，110°的角再加上 250度的角得 到一个周角。 3．如图中，有( )条线段，( )个锐角，( )个直角， ( )个钝角。 8 / 18 【答案】 6 5 1 1 【分析】线段有两个端点，有限长。据此可知，图中有 6条线段。小于 90°的角 叫做锐角，90°的角叫做直角，大于 90°小于 180°的角叫做钝角，据此可知，图 中有 5个锐角，1个直角，1个钝角。 【详解】有 6条线段，5个锐角，1个直角，1个钝角。 【课内精选四】拼角。 动手拼一拼，算出指定角的度数。 ( ) ( ) ( ) ( ) 【答案】 135° 75° 105° 60° 【分析】三角尺角的度数分别为：30°，45°，60°，90°，左起图 1中，三角尺的 90°角和 45°角拼在了一起，角的度数是这两个角的度数和；左起图 2中，三角尺 的 45°角和 30°角拼在了一起，角的度数是这两个角的度数和；左起图 3中，三 角尺的 45°角和 60°角拼在了一起，角的度数是这两个角的度数和；左起图 4中， 三角尺的 90°角和 30°角拼在了一起，角的度数是这两个角的度数差，据此解答 即可。 【详解】90°＋45°＝135° 45°＋30°＝75° 45°＋60°＝105° 90°－30°＝60° 【专项训练】 9 / 18 1．用一副三角尺，能拼成的最大角的度数是( )°（平角除外），能拼成 的最小角的度数是( )°。 【答案】 150 15 【分析】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、 45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°；要使拼成的角 的度数最大，选择两个三角尺中最大的两个角来拼即可。题目中说明平角除外， 也就是不能同时选两个直角；要使拼成的角的度数最小，选择两个三角尺中角度 相差最小的两个角来拼即可。 【详解】90°＞60°＞45°＞30° 90°＋60°＝150°，即用一副三角尺，能拼成的最大角的度数是 150°。 45°－30°＝15°，即用一副三角尺，能拼成的最小角的度数是 15°。 故用一副三角尺，能拼成的最大角的度数是 150°（平角除外），能拼成的最小 角的度数是 15°。 2．我们可以用一副三角尺上( )°的角和( )°的角拼在一起画出 150°的角。 【答案】 90 60 【分析】一副三角尺的度数是 90°、45°、45°，90°、30°、60°，将 90°与 60°的角 拼在一起，组成的大角是 150°。 【详解】90°＋60°＝150° 我们可以用一副三角尺上 90°的角和 60°的角拼在一起画出 150°的角。 3．用一副三角板可以拼成不同度数的角，写出下面角的度数和类型。 ( )°( )角 ( )°( )角 ( )°( )角 【答案】 135 钝 180 平 75 锐 【分析】三角板上的各角的度数：90°，30°，60°；90°，45°，45°；观察第一个 图形，是 90°角和 45°角的和；观察第二个图形，是 90°角和 90°角的和；观察第 三个图形，是 30°角和 45°角的和；据此计算后再根据小于 90°的角是锐角，90° 的角是直角，大于 90°且小于 180°的角是钝角，180°的角是平角填空即可。 10 / 18 【详解】90°＋45°＝135°； 90°＋90°＝180°； 30°＋45°＝75°； 如下所示： 11 / 18 【奥数拓展一】量角问题。 1. 小刚有一把被磨损的量角器，大多数的刻度已经看不清了，只留下 4根刻度 线，分别是刻度线 10、30、70、110，小刚用这把量角器可以一次性量出多少种 大小不等的角? 解析： 可将 10 度刻度线看作零刻度线，这样可以量出的角是 30－10=20(度)、70－ 10=60(度)、110－10=100(度)，再将 30度刻度线看作零刻度线，可以量出的角是 70－30=40(度)、110－30=80(度)，将 70度这条刻度线看作零刻度线，可以量出 的角是 110－70=40(度)，所以用这把量角器可以一次性量出 20 度、40 度、60 度、80度、100度这 5个角。 【专项训练】 1. 将一个 15度的角放在能放大 10倍的放大镜下，那么在放大镜下看到的这个 角是多少度? 解析：15°的角在放大镜下，在放大镜上看这个角，角的两条射线被放大了，角 的大小不变，仍然是 15°。 2. 小丁丁用两根小木棒搭出了一个 80 度的角，如果将两根小木棒分别旋转 30 度，现在形成的角最大是多少度?最小是多少度? 解析： 当角的两条射线分别向角的外侧旋转 30°，此时形成的角最大，为 80°+30°×2=140°；当角的两条射线分别角的内侧旋转 30°，此时形成的角最小， 为 80°－30°×2=20°。 3. 一把被磨损的量角器，大多数的刻度已经看不清了，只留下 7根刻度线，分 别是刻度线 0、4、10、16、23、43、89，用这把量角器可以一次性量出多少个 大小不等的角? 解析：20种。 12 / 18 【奥数拓展二】角度计算问题（一）。 如图，∠3=30度，∠1=∠2，求∠2的度数。 解析：从图中可以看出∠1、∠2与∠3三个角的和是 360度，已知∠3=30度， 可以计算∠1 与∠2 的度数之和为 360—30=330(度)，又因为∠1=∠2，所以 ∠2=330÷2=165(度)。 【专项训练】 1. 图中∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，求∠1的度数。 解析：1=360°÷5=72° 2. 图中∠2与∠3的和为 125度，求∠1的度数。 解析：∠1=360°－90°－125°=145°。 3. 图中∠1+∠2+∠3=180度，求∠4+∠5+∠6的度数。 解析：∠1+∠4=∠2+∠6=∠3+∠5=180°，∠4+∠5+∠6=180°×3－180°=360°。 【奥数拓展三】角度计算问题（二）。 在右图中，∠AOD=∠BOE=∠COF=90，∠AOB=30°，∠EOF=45°，求∠COD 13 / 18 的度数。 解析： 根据题意，可知∠AOB+∠BOD =∠BOD+∠DOE=90°，则∠AOB=∠DOE=30°， 又根据∠COD+∠DOE+∠EOF=90°，可得∠COD=90°－45°－30°=15°。 【专项训练】 1. 如图∠1+∠2=∠3，∠1+∠2的和是多少度? 解析：根据∠1+∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1+∠2=180°÷2 =90。 2. 三个正方形的位置如下图所示，计算∠1的度数。 解析： 如下图所示，根据∠1+∠2+40°=∠1+∠2+∠3，可知∠3=40°，那么∠1=90°－30° －40°=20°。 3. 某公园地面是用型号相同的五边形地砖拼铺而成的，图中是拼铺图案的一部 分，如果每个五边形的 5个内角只有 2种不同的角度，这两种角各是多少度? 14 / 18 解析： 根据图示，可知有 3个相同的角组成 360°和 4个相同的角组成 360°这两种情况， 360°÷3=120°，360°÷4=90°，所以两种角的度数是 90°和 120°。 【奥数拓展四】角度计算问题（三）。 (1)用 9个相同的直角三角形可以拼成如图所示的图形，直角三角形的两个锐角 分别是多少度? 解析： 直角三角形的 2个锐角并不相等，如上右图所示：中间有 3个较大的锐角，另外 6个是较小的锐角.设较大角为 a，较小的角为 b。 因为三角形内角和等于 180°，所以直角三角形两个锐角的和等于 180°—90°=90°， 则 a+b=90°，根据题意，可知 3a+6b=360°， 则 3b=360°－90°×3=90°，b=90°÷3=30°，a=90°－30°=60°，因此两个锐角分别是 30°与 60°。 (2)在下图 2×2的正方形中，∠1+∠2+∠3的和是多少度? 15 / 18 解析： 图中有1条2×2的正方形的对角线，它将直角均分为 2份，即∠2=90°÷2=45°， 图中另有 2条 2×1的长方形的对角线，若将∠1与∠3合并，能拼成 1个直角， 因此∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°。 【专项训练】 1. 9张同样的直角三角形卡片，拼成了如图所示的平面图形，这种三角形卡片的 三个角中两个锐角分别是多少度? 解析： 设直角三角形的两个锐角分别∠α与∠β，且∠α+∠β=90°， 7∠α+2∠β=2(∠α+∠β)+5∠α=2×90°+5∠α=360°， 所以∠a=(360°－180°)÷5=36°，∠β=90°－36°=54°，这种三角形卡片的两个锐角 分别是 36°与 54°。 2. 如图所示，在由 9个相同的小正方形拼成的 3×3网格中，标出了 9个角，那 么∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9的度数是多少? 解析： ∠3=∠5=∠7=45°，∠1+∠9=∠2+∠6=∠4+∠8=90°， 16 / 18 所以∠1+∠2+∠3+…+∠9=45°×3+90°×3=405°。 3. 将长方形纸片 ABCD按如下方式折叠，使 B点落在 DC边上 F点的位置，已 知∠DAE=75°，计算∠CEF的度数。 解析： 由于∠DAE+∠BAE =90°，∠BAE+∠BEA=90°，则∠BEA=∠DAE =75°；又由 于∠BEA=∠AEF，所以∠CEF=180°－75°×2=30°。 【奥数拓展五】角度计算问题（四）。 (1)将一个挂钟的分针逆时针旋转 720°，则其所显示的时间为 19:00，那么这个挂 钟原来显示的时间是多少? 解析： 由于分针的旋转速度是时针的 12倍，所以在分针逆时针旋转 720°的同时，时针 也逆时针地旋转了 720°÷12=60°，即时针逆时针走了 2大格，指向 7，由此可知， 时针原来指向 7+2=9；由于分针逆时针旋转 720°，恰好旋转了 2圈，所以分针 的位置不变，仍然指向 12，因此，这个挂钟原来显示的时间是 21:00。 (2)下面钟面上时针与分针的夹角是多少度? 解析： 11时 20分，分针指向 4，时针指向 11与 12之间的某个位置，解题时，需要先 确定时针的具体位置。 从 11 时到 11 时 20 分，分针顺时针旋转了 30×4=120°，时针顺时针旋转了 120°÷12=10°，也就是说时针从刻度 11开始，顺时针旋转了 10°。 因此，从图中可以发现，11时 20分时，时针与分针的夹角是一个比 5个 30°小 10°的角，是 30°×5－10°=140°。 17 / 18 【专项训练】 1. 钟面上显示的时间为 12:50时，时针与分针的夹角是多少度? 解析： 从 12:00～ 12:50，分针顺时针旋转了 30°×10=300°，时针顺时针旋转了 300°÷12=25°，所以，12:50时，时针与分针的夹角是一个比 2个 30°大 25°的角， 是 30°×2+25°=85°。 2. 小胖的手表停了，显示的时间为 9:00，于是他赶紧上足发条，将分针顺时针 旋转了 420°后，恰好调准到了标准时间，这时的标准时间是多少?时针与分针的 夹角是多少度? 解析： 分针每分钟旋转 6°，旋转 420°需要 420°÷6°=70(分钟)，从 9:00开始，经过 70分 钟是 10:10，所以此时的标准时间是 10:10；从 10:00～10:10，分针顺时针旋转了 30°×2=60°，时针顺时针旋转了 60°÷12=5°，所以，10:10时，时针与分针的夹角 是一个比 4个 30°小 5°的角，是 30°×4－5°=115°。 3. 一块手表现在显示的时间为某月的 10号 12时整，当手表的时针与分针共旋 转了 39圈后，具体的时间是多少? 解析： 由于分针的旋转速度是时针的 12倍，因此，当时针与分针一共旋转 39圈时，时 针旋转了 39÷(1+12)=3(圈)；又由于时针一天 24小时旋转 2圈，所以时针旋转 3 圈，经过了 1.5天，即 12号凌晨 0时。 【奥数拓展六】角度计算问题（五）。 如图，直角的顶点 O在直线 AD上，则图中所有小于 180°的角之和是多少度? 解析： 图中小于 180°的角共有三种，分别是锐角、直角、钝角，其中锐角有 2个：∠AOB 与∠COD；直角有 1个：∠BOC；钝角有 2个：∠AOC与∠BOD。 因为图中的每一个锐角，都能找到一个与之相对应的钝角，使得这两个角之和等 18 / 18 于 180°，如∠AOB+∠BOD=180°，∠COD+∠AOC=180°，所以这 5个角的 和为：(∠AOB+∠BOD)+(∠COD+∠AOC)+∠BOC=180°+180°+90°=450°。 【专项训练】 1. 钟面上几时整，时针与分针的夹角是钝角? 解析：4时整、5时整、7时整、8时整。 2. 图中所有钝角的度数和是多少度? 解析： 由题意可知：图中有 6个锐角，那么一定有相对应的 6个钝角，图中所有钝角的 度数和是 180°×6－360°=720°。 3. 下图中，O点在直线 AE上.已知∠BOD=110°，则图中所有小于 180°的角之和 是多少度? 解析： 图中小于 180°的角有 9个，分别是∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD、 ∠BOE、∠COD、∠COE、∠DOE，将和为 180°的两个角进行合起来计算，可 得∠AOB+∠BOE=∠AOC+∠COE=∠AOD+∠DOE =180°，又由于 ∠BOC+∠COD=∠BOD=110°，因此这 9个角的和为 180°×3+110°×2=760°。 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月22日 目 录 【课内精选一】角的认识与数角 3 【课内精选二】角的度量与画角 4 【课内精选三】角的分类 4 【课内精选四】拼角 5 【奥数拓展一】量角问题 6 【奥数拓展二】角度计算问题（一） 7 【奥数拓展三】角度计算问题（二） 8 【奥数拓展四】角度计算问题（三） 9 【奥数拓展五】角度计算问题（四） 10 【奥数拓展六】角度计算问题（五） 11 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列 第二单元线与角·思维素养篇·第二部分【从课内到奥数】 【课内精选一】角的认识与数角。 填出角的各部分名称。 【专项训练】 1．下面的图形中共有多少个角？ 2．数一数，下图中各有几个角？                           3．数一数，下面图形中一共有几个角。 【课内精选二】角的度量与画角。 用量角器度量下面角的度数。 【专项训练】 1．用量角器分别画出下列度数的角。 180°    45°    150° 2．量出角的度数 3．用适当的方法分别画出120°、145°和65°的角。 【课内精选三】角的分类。 下列度数的角中，( )是锐角，( )是钝角，( )是周角。（有的答案不止一个） ①108°②42°③18°④65°⑤90°⑥150°⑦360°⑧19°⑨98° 【专项训练】 1．把锐角，平角，钝角、直角、周角按下列顺序排列。 ( )＜( )＜( )＜( )＜( )。 2．一个平角等于( )度，89°的角是( )角，110°的角再加上( )度的角得到一个周角。 3．如图中，有( )条线段，( )个锐角，( )个直角，( )个钝角。 【课内精选四】拼角。 动手拼一拼，算出指定角的度数。 ( )    ( )    ( )     ( ) 【专项训练】 1．用一副三角尺，能拼成的最大角的度数是( )°（平角除外），能拼成的最小角的度数是( )°。 2．我们可以用一副三角尺上( )°的角和( )°的角拼在一起画出150°的角。 3．用一副三角板可以拼成不同度数的角，写出下面角的度数和类型。 ( )°( )角    ( )°( )角    ( )°( )角 【奥数拓展一】量角问题。 1. 小刚有一把被磨损的量角器，大多数的刻度已经看不清了，只留下4根刻度线，分别是刻度线10、30、70、110，小刚用这把量角器可以一次性量出多少种大小不等的角? 【专项训练】 1. 将一个15度的角放在能放大10倍的放大镜下，那么在放大镜下看到的这个角是多少度? 2. 小丁丁用两根小木棒搭出了一个80度的角，如果将两根小木棒分别旋转30度，现在形成的角最大是多少度?最小是多少度? 3. 一把被磨损的量角器，大多数的刻度已经看不清了，只留下7根刻度线，分别是刻度线0、4、10、16、23、43、89，用这把量角器可以一次性量出多少个大小不等的角? 【奥数拓展二】角度计算问题（一）。 如图，∠3=30度，∠1=∠2，求∠2的度数。 【专项训练】 1. 图中∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，求∠1的度数。 2. 图中∠2与∠3的和为125度，求∠1的度数。 3. 图中∠1+∠2+∠3=180度，求∠4+∠5+∠6的度数。 【奥数拓展三】角度计算问题（二）。 在右图中，∠AOD=∠BOE=∠COF=90，∠AOB=30°，∠EOF=45°，求∠COD的度数。 【专项训练】 1. 如图∠1+∠2=∠3，∠1+∠2的和是多少度? 2. 三个正方形的位置如下图所示，计算∠1的度数。 3. 某公园地面是用型号相同的五边形地砖拼铺而成的，图中是拼铺图案的一部分，如果每个五边形的5个内角只有2种不同的角度，这两种角各是多少度? 【奥数拓展四】角度计算问题（三）。 (1)用9个相同的直角三角形可以拼成如图所示的图形，直角三角形的两个锐角分别是多少度? (2)在下图2×2的正方形中，∠1+∠2+∠3的和是多少度? 【专项训练】 1. 9张同样的直角三角形卡片，拼成了如图所示的平面图形，这种三角形卡片的三个角中两个锐角分别是多少度? 2. 如图所示，在由9个相同的小正方形拼成的3×3网格中，标出了9个角，那么∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9的度数是多少? 3. 将长方形纸片ABCD按如下方式折叠，使B点落在DC边上F点的位置，已知∠DAE=75°，计算∠CEF的度数。 【奥数拓展五】角度计算问题（四）。 (1)将一个挂钟的分针逆时针旋转720°，则其所显示的时间为19:00，那么这个挂钟原来显示的时间是多少? (2)下面钟面上时针与分针的夹角是多少度? 【专项训练】 1. 钟面上显示的时间为12:50时，时针与分针的夹角是多少度? 2. 小胖的手表停了，显示的时间为9:00，于是他赶紧上足发条，将分针顺时针旋转了420°后，恰好调准到了标准时间，这时的标准时间是多少?时针与分针的夹角是多少度? 3. 一块手表现在显示的时间为某月的10号12时整，当手表的时针与分针共旋转了39圈后，具体的时间是多少? 【奥数拓展六】角度计算问题（五）。 如图，直角的顶点O在直线AD上，则图中所有小于180°的角之和是多少度? 【专项训练】 1. 钟面上几时整，时针与分针的夹角是钝角? 2. 图中所有钝角的度数和是多少度? 3. 下图中，O点在直线AE上.已知∠BOD=110°，则图中所有小于180°的角之和是多少度? 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 12 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9月 22 日 2 / 12 目 录 【课内精选一】角的认识与数角 ............................................................................................ 3 【课内精选二】角的度量与画角 ............................................................................................ 4 【课内精选三】角的分类 ........................................................................................................ 4 【课内精选四】拼角 .................................................................................................................5 【奥数拓展一】量角问题 ........................................................................................................ 6 【奥数拓展二】角度计算问题（一） .................................................................................... 7 【奥数拓展三】角度计算问题（二） .................................................................................... 8 【奥数拓展四】角度计算问题（三） .................................................................................... 9 【奥数拓展五】角度计算问题（四） .................................................................................. 10 【奥数拓展六】角度计算问题（五） .................................................................................. 11 3 / 12 2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列 第二单元线与角·思维素养篇·第二部分【从课内到奥数】 【课内精选一】角的认识与数角。 填出角的各部分名称。 【专项训练】 1．下面的图形中共有多少个角？ 2．数一数，下图中各有几个角？ 3．数一数，下面图形中一共有几个角。 4 / 12 【课内精选二】角的度量与画角。 用量角器度量下面角的度数。 【专项训练】 1．用量角器分别画出下列度数的角。 180° 45° 150° 2．量出角的度数 3．用适当的方法分别画出 120°、145°和 65°的角。 【课内精选三】角的分类。 下列度数的角中，( )是锐角，( )是钝角，( )是周角。（有 的答案不止一个） ①108°②42°③18°④65°⑤90°⑥150°⑦360°⑧19°⑨98° 5 / 12 【专项训练】 1．把锐角，平角，钝角、直角、周角按下列顺序排列。 ( )＜( )＜( )＜( )＜( )。 2．一个平角等于( )度，89°的角是( )角，110°的角再加上 ( )度的角得到一个周角。 3．如图中，有( )条线段，( )个锐角，( )个直角， ( )个钝角。 【课内精选四】拼角。 动手拼一拼，算出指定角的度数。 ( ) ( ) ( ) ( ) 【专项训练】 1．用一副三角尺，能拼成的最大角的度数是( )°（平角除外），能拼成 的最小角的度数是( )°。 2．我们可以用一副三角尺上( )°的角和( )°的角拼在一起画出 150°的角。 3．用一副三角板可以拼成不同度数的角，写出下面角的度数和类型。 ( )°( )角 ( )°( )角 ( )°( )角 6 / 12 【奥数拓展一】量角问题。 1. 小刚有一把被磨损的量角器，大多数的刻度已经看不清了，只留下 4根刻度 线，分别是刻度线 10、30、70、110，小刚用这把量角器可以一次性量出多少种 大小不等的角? 【专项训练】 1. 将一个 15度的角放在能放大 10倍的放大镜下，那么在放大镜下看到的这个 角是多少度? 2. 小丁丁用两根小木棒搭出了一个 80 度的角，如果将两根小木棒分别旋转 30 度，现在形成的角最大是多少度?最小是多少度? 3. 一把被磨损的量角器，大多数的刻度已经看不清了，只留下 7根刻度线，分 别是刻度线 0、4、10、16、23、43、89，用这把量角器可以一次性量出多少个 大小不等的角? 7 / 12 【奥数拓展二】角度计算问题（一）。 如图，∠3=30度，∠1=∠2，求∠2的度数。 【专项训练】 1. 图中∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，求∠1的度数。 2. 图中∠2与∠3的和为 125度，求∠1的度数。 3. 图中∠1+∠2+∠3=180度，求∠4+∠5+∠6的度数。 8 / 12 【奥数拓展三】角度计算问题（二）。 在右图中，∠AOD=∠BOE=∠COF=90，∠AOB=30°，∠EOF=45°，求∠COD 的度数。 【专项训练】 1. 如图∠1+∠2=∠3，∠1+∠2的和是多少度? 2. 三个正方形的位置如下图所示，计算∠1的度数。 3. 某公园地面是用型号相同的五边形地砖拼铺而成的，图中是拼铺图案的一部 分，如果每个五边形的 5个内角只有 2种不同的角度，这两种角各是多少度? 9 / 12 【奥数拓展四】角度计算问题（三）。 (1)用 9个相同的直角三角形可以拼成如图所示的图形，直角三角形的两个锐角 分别是多少度? (2)在下图 2×2的正方形中，∠1+∠2+∠3的和是多少度? 【专项训练】 1. 9张同样的直角三角形卡片，拼成了如图所示的平面图形，这种三角形卡片的 三个角中两个锐角分别是多少度? 2. 如图所示，在由 9个相同的小正方形拼成的 3×3网格中，标出了 9个角，那 么∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9的度数是多少? 10 / 12 3. 将长方形纸片 ABCD按如下方式折叠，使 B点落在 DC边上 F点的位置，已 知∠DAE=75°，计算∠CEF的度数。 【奥数拓展五】角度计算问题（四）。 (1)将一个挂钟的分针逆时针旋转 720°，则其所显示的时间为 19:00，那么这个挂 钟原来显示的时间是多少? (2)下面钟面上时针与分针的夹角是多少度? 【专项训练】 1. 钟面上显示的时间为 12:50时，时针与分针的夹角是多少度? 11 / 12 2. 小胖的手表停了，显示的时间为 9:00，于是他赶紧上足发条，将分针顺时针 旋转了 420°后，恰好调准到了标准时间，这时的标准时间是多少?时针与分针的 夹角是多少度? 3. 一块手表现在显示的时间为某月的 10号 12时整，当手表的时针与分针共旋 转了 39圈后，具体的时间是多少? 【奥数拓展六】角度计算问题（五）。 如图，直角的顶点 O在直线 AD上，则图中所有小于 180°的角之和是多少度? 【专项训练】 1. 钟面上几时整，时针与分针的夹角是钝角? 2. 图中所有钝角的度数和是多少度? 12 / 12 3. 下图中，O点在直线 AE上.已知∠BOD=110°，则图中所有小于 180°的角之和 是多少度?