专题06直线与椭圆的位置关系（4基础题型+4提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（天津专用）

专题06 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆位置关系的判断 1．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆，直线l：（），直线l与椭圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 2．（23-24高二上·天津·期中）椭圆上的点P到直线的最大距离是 ；距离最大时点P坐标为 . 椭圆的弦中点、中点弦问题 1．（23-24高二上·天津和平·期中）设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，且与椭圆相交于，两点，为线段的中点.下列说法正确的个数（    ） ①直线与垂直 ②若点的坐标为，则直线方程为 ③若直线方程为，则点的坐标为 ④若直线方程为，则 A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　) A．－ B． C．－2 D．2 3．（23-24高二上·天津·期中）过点的直线与椭圆交于A、B两点，且满足.若M为直线上任意一点，O为坐标原点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（23-24高二上·天津·期中）如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·天津·期中）椭圆的弦被平分，则此弦所在的直线方程为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·天津·期中）已知直线与椭圆相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为1，则k的值为 . 7．（23-24高二上·天津和平·期中）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则 8．（23-24高二上·天津·期中）已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，为的中点，为坐标原点.若△是以为底边的等腰三角形，且△外接圆的面积为，则椭圆的长轴长为 . 9．（23-24高二上·天津·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求中点坐标及的长. 10．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆C：的离心率为，其两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点M恰为线段AB的中点，求直线l的方程． 椭圆的焦点弦问题 1．（23-24高二上·天津·期中）过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（    ） A． B． C． D．与弦斜率有关 2．（23-24高二上·天津·期中）椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津和平·期中）已知椭圆：过点，且短轴长为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)倾斜角为的直线过椭圆的右焦点交椭圆于、两点，求 4．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的左焦点且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，求. 由直线与椭圆位置关系研究几何性质 1．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2.（23-24高二上·天津·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. （1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程； （2）若求椭圆离心率的值. 直线与椭圆位置关系综合问题 1．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆过点，且离心率为 （1）求椭圆的方程； （2）若过原点的直线与椭圆交于两点，且在直线上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程. 2．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的左，右顶点分别为 ，上顶点M与左，右顶点连线 的斜率乘积为，焦距为. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆C交于两点，O为坐标原点，若，求直线的方程. 3．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切. (1)求椭圆的方程； (2)过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若，求实数的值及的面积. 4．（23-24高二上·天津·期中）设椭圆（）的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，，. (1)求椭圆的方程； (2)已知P为椭圆上一动点（不与端点重合），直线交y轴于点Q，O为坐标原点，若四边形与三角形的面积之比为，求点P坐标. 5．（23-24高二上·天津·期中）设椭圆的左右顶点分别为，左右焦点.已知，. (1)求椭圆方程及离心率. (2)若斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，与以为直径的圆交于C，D两点.若，求直线的方程. 6．（23-24高二上·天津河北·期中）已知椭圆的一个顶点为分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，过椭圆右焦点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点. (1)求椭圆C的方程； (2)若，（为原点），求直线 的方程； (3)过原点作直线的垂线，垂足为P，若 ，求 的值. 7．（22-23高二上·天津·期中）已知椭圆：的左右焦点分别为，上顶点为，长轴长为，若为正三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交两点，求的长； (3)过点的直线与椭圆相交于两点，，求直线的方程. 8．（23-24高二上·天津·期中）设椭圆的左焦点为F，上顶点为B，离心率为，O是坐标原点，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C在第一象限内的交点为P，，直线BF与直线l的交点为Q，求的面积． 9．（23-24高二上·天津·期中2019·天津·高考真题）设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率. 椭圆的最值、范围问题 10．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆（）的长轴长是短轴长的2倍. (1)求椭圆的离心率； (2)直线过点且与椭圆有唯一公共点，为坐标原点，当的面积最大时，求椭圆的方程. 11．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，. （1）求椭圆的方程； （2）求面积的最大值，并求此时直线的方程. 12．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的离心率为，圆：与轴交于点，为椭圆上的动点，，面积最大值为．　 （1）求圆与椭圆的方程； （2）圆的切线交椭圆于点，求的取值范围． 13．（23-24高二上·天津和平·期中）如图，已知椭圆的左右顶点分别是，，焦点，其中，设点，连接交椭圆于点，坐标原点是． (1)求椭圆的离心率； (2)证明：； (3)设三角形的面积为，四边形的面积为，若的最小值为1，求椭圆的标准方程． 14．（23-24高二上·天津·期中）在平面直角坐标系中，设为椭圆的左焦点，直线与轴交于点，为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点、，设直线、的斜率分别为、. ①求证：为定值； ②求面积的最大值. 15．（23-24高二上·天津·期中）如图，已知椭圆G：的、右两个焦点分别为、，设，，，若为正三角形且周长为6． (1)求椭圆G的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，是否存在实数k使成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由； (3)若过点的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，记△PMQ、△PNQ的面积记为、，求的取值范围． 直线与椭圆位置关系定值问题 16．（23-24高二上·天津·期中）如图，椭圆经过点，且离心率为. (I)求椭圆的方程； (II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点）， 问：直线与的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由． 17．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆：： 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为.，是椭圆的两个焦点. (1)求椭圆的方程； (2)设为E的左顶点，过点作两条互相垂直的直线分别与E交于，两点，证明：直线经过定点，并求这个定点的坐标． (3)设是椭圆上一点，直线与椭圆交于另一点，点满足：轴且，求证：是定值. 直线与椭圆位置关系探索性问题 18．（23-24高二上·天津北辰·期中）已知椭圆经过点，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆相交于A，B两点，线段AB的中点为，是否存在常数，使恒成立，并说明理由． 19．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的一个焦点为，上顶点为，原点O到直线的距离为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点T在圆上，点A为椭圆的右顶点，是否存在过点A的直线l交椭圆C于点B（异于点A），使得成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆位置关系的判断 1．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆，直线l：（），直线l与椭圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【知识点】讨论椭圆与直线的位置关系 【分析】由题得直线过定点（0，1），而该定点在椭圆内部，所以直线和椭圆相交. 【详解】由题意知l：（）恒过点， 因为，所以点（0,1）在椭圆内部， 所以直线l与椭圆相交． 故选：C 2．（23-24高二上·天津·期中）椭圆上的点P到直线的最大距离是 ；距离最大时点P坐标为 . 【答案】 【知识点】求点到直线的距离 【分析】联立直线方程和椭圆方程，两者间距转化为两平行线的间距即可 【详解】设直线与椭圆相切． 由消去x整理得. 由得. 当时符合题意(舍去) 此时，，即切点为 即与椭圆相切, 椭圆上的点到直线的最大距离即为两条平行线之间的距离: 故答案为：； 椭圆的弦中点、中点弦问题 1．（23-24高二上·天津和平·期中）设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，且与椭圆相交于，两点，为线段的中点.下列说法正确的个数（    ） ①直线与垂直 ②若点的坐标为，则直线方程为 ③若直线方程为，则点的坐标为 ④若直线方程为，则 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的弦长、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】设，利用点差法可得，判断①错误；利用点差法的结论可以求出直线方程，进而判断②正确；利用点差法的结论可以求出，判断③错误；结合弦长的求解方法求出，判断④正确； 【详解】不妨设坐标为，则，两式作差可得： ，设，则. 对①：，故直线不垂直，则①错误； 对②：：若点M坐标为,则，则， 又过点，则直线的方程为，即，故②正确. 对③：若直线方程为，故可得，即，又， 解得，即，故③错误； 对④：若直线方程为，联立椭圆方程， 可得：，解得，故， 则，故④正确； 故选：C.    2．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　) A．－ B． C．－2 D．2 【答案】A 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆的中点弦 【分析】由于是弦的中点，根据点差法求出弦所在直线的斜率. 【详解】设以为中点的弦的两个端点分别为， 所以由中点坐标公式可得， 把两点坐标代入椭圆方程得 两式相减可得 所以，即所求的直线的斜率为. 故选A项. 3．（23-24高二上·天津·期中）过点的直线与椭圆交于A、B两点，且满足.若M为直线上任意一点，O为坐标原点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】求点到直线的距离、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】由，得点为线段的中点，然后利用点差法可求出直线的方程，则的最小值为点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可求出结果. 【详解】椭圆方程. 因为，则在椭圆内，可知直线与椭圆总有两个交点. 因为，即为线段的中点， 设，显然，则， ，可得， 则，即， 所以，即直线的斜率， 所以直线为，即， 因为M为直线上任意一点， 所以的最小值为点到直线的距离. 故选：B. 4．（23-24高二上·天津·期中）如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】判断点在椭圆内，再借助“点差法”求出这条弦所在直线的斜率即可计算作答. 【详解】依题意，点在椭圆内，设这条弦的两个端点， 由得：，又， 于是得弦AB所在直线斜率，方程为：，即， 所以这条弦所在的直线方程是. 故选：B 5．（23-24高二上·天津·期中）椭圆的弦被平分，则此弦所在的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】设以A（4，﹣2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），A（4，2）为EF中点，得到x1+x2＝8，y1+y2＝﹣4，利用点差法能够求出中点弦所在的直线方程． 【详解】设以为中点的椭圆的弦与椭圆交于，，∵为中点，∴，， 把，分别代入椭圆中， 得 则①－②得， ∴，∴， ∴以为中点的椭圆的弦所在的直线的方程为，整理得，. 故选：D 6．（23-24高二上·天津·期中）已知直线与椭圆相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为1，则k的值为 . 【答案】/-0.5 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】代入消元得关于一元二次方程，再用韦达定理即可. 【详解】设，把代入得，，因为AB中点的横坐标为1，所以，解得. 故答案为：. 7．（23-24高二上·天津和平·期中）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则 【答案】 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】利用椭圆的点差法求斜率即可求解. 【详解】设， 则，作差得，， 所以， 因为的中点坐标为，所以， 所以， 故答案为: . 8．（23-24高二上·天津·期中）已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，为的中点，为坐标原点.若△是以为底边的等腰三角形，且△外接圆的面积为，则椭圆的长轴长为 . 【答案】6 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】通过△外接圆的面积为，求出外接圆半径为，设设，则，利用正弦定理求解求出的值，求出，利用点差法求出，然后求解的值. 【详解】 因为△外接圆的面积为，所以其外接圆半径为， 又△是以为底边的等腰三角形， 设，则， 所以， 所以，所以或， 不妨设点在轴下方， 所以或. 设，， 则 作差得， 即， 所以或（此时焦点在轴上，舍去）， 因为为椭圆的右焦点，， 所以，长轴长为6， 故答案为：6. 9．（23-24高二上·天津·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求中点坐标及的长. 【答案】， 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求椭圆中的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】设直线方程与椭圆联立，利用韦达定理、中点坐标公式、弦长公式计算即可. 【详解】由可知，故可得直线的方程为：， 设 与椭圆方程联立， 故， 所以， 则中点坐标， 弦长. 10．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆C：的离心率为，其两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点M恰为线段AB的中点，求直线l的方程． 【答案】（1）（2）直线l的方程为 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求弦中点所在的直线方程或斜率 【解析】（1）根据椭圆的几何性质求得，； （2）联立直线与椭圆，由根与系数关系得到两根之和，再根据中点公式列式可求得斜率k，从而求得直线l的方程． 【详解】解：（1）椭圆C的离心率为，， ，即 椭圆C的两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为， ，，从而得， 椭圆C的方程为； （2）显然，直线l的斜率存在，设该斜率k， 直线l的方程为，即， 直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y得： 且该方程显然有二不等根， 记A，B两点的坐标依次为，， ，即， ，解得， 所求直线l的方程为． 椭圆的焦点弦问题 1．（23-24高二上·天津·期中）过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（    ） A． B． C． D．与弦斜率有关 【答案】B 【知识点】椭圆的焦半径与焦点弦问题 【分析】不妨设为椭圆的右焦点，，，利用椭圆的右焦半径公式，， 联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，将式子化简整理可得． 【详解】令，设，， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 由，解得，则，所以； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，整理得：， 所以，， 又，，所以， 综上，. 故选：B. 2．（23-24高二上·天津·期中）椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由椭圆的离心率求参数的取值范围 【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出 【详解】解：设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又 , ，， ，，则， 即线段的长度的取值范围是， 故选：C 3．（23-24高二上·天津和平·期中）已知椭圆：过点，且短轴长为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)倾斜角为的直线过椭圆的右焦点交椭圆于、两点，求 【答案】(1) (2) 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆的长轴、短轴、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的弦长 【分析】（1）根据椭圆的性质求解； （2）利用直线与椭圆的位置关系，结合韦达定理，求弦长. 【详解】（1）由题可知，， 所以椭圆方程为. （2）右焦点为，所以倾斜角为的直线的方程为， 设， 联立，可得，， 所以， 所以. 4．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的左焦点且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，求. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的弦长 【分析】（1）根据离心率和短轴一个端点到右焦点的距离为，建立方程组，求解可得方程； （2）先联立方程，结合韦达定理和弦长公式可得. 【详解】（1）由题意知：，即   ① ∵短轴的一个端点到右焦点的距离为，即 ②       又    ③ 由①②③解得：，，∴椭圆的方程为：. (2)由(1)知：椭圆的左焦点，∴直线l的方程为：， 设，，联立： ，整理得：， ，， . 由直线与椭圆位置关系研究几何性质 1．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【详解】试题分析：设是椭圆的左焦点，由于直线过原点，因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，，设，则，所以，，即，又，所以，．故选A． 2.（23-24高二上·天津·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. （1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程； （2）若求椭圆离心率的值. 【答案】（1）；（2）． 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【详解】试题分析：（1）根据椭圆的定义，建立方程的关系式，求出的值，即可得到椭圆的方程；（2）求出点的坐标，利用建立斜率之间的关系，解方程即可求出的值. 试题解析：设椭圆的焦距为，则. （1），又,故, 点在椭圆上，，解得,故所求椭圆的方程为. （2）在直线上，直线的方程为, 解方程组得点的坐标为, 又垂直于轴，由椭圆的对称性，可得点的坐标为， 直线的斜率为， 直线的斜率为，且，,又， 整理得,故，因此. 直线与椭圆位置关系综合问题 1．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆过点，且离心率为 （1）求椭圆的方程； （2）若过原点的直线与椭圆交于两点，且在直线上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）方程为y=0或. 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【解析】（1）将点代入椭圆方程，由，结合，可得，即可求解. （2）讨论直线斜率或斜率时，将直线与椭圆方程联立，求出交点，设，可得，再将的垂直平分线方程与椭圆联立，求出，求出，根据即可求解. 【详解】（1）由题，解得，，，∴椭圆的方程为 （2）由题，当的斜率时，此时， 直线与轴的交点满足题意； 当的斜率时，设直线， 与椭圆联立得，， 设，则，， 又的垂直平分线方程为，由，解得， ，，∵为等边三角形， ，即， 解得(舍去)，，∴直线的方程为 综上可知，直线的方程为y=0或. 2．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的左，右顶点分别为 ，上顶点M与左，右顶点连线 的斜率乘积为，焦距为. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆C交于两点，O为坐标原点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数、椭圆中向量点乘问题 【分析】（1）根据题意列出关于的方程，求得其值，即得答案. （2）设直线方程，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系式，结合可得，化简求值，求得k的值，即得答案. 【详解】（1）由题意知，，，， ，∴， ∵，∴，，∴椭圆的方程为. （2）由已知过点满足题意的直线的斜率存在，设， 联立，消去得， ，令，解得. 设，，则，， ∵，∴，即， ∴，∴， 解得，满足， ∴直线的方程为. 3．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切. (1)求椭圆的方程； (2)过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若，求实数的值及的面积. 【答案】(1) (2)，的面积为 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由题意列方程组求，得椭圆的方程； （2）设出直线方程，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理和，求出实数的值，再利用弦长公式和点到直线距离得到的底和高，求出面积. 【详解】（1）由题意知离心率，所以，即. 以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切，有， 所以，故椭圆的方程为. （2）设直线的方程为 由，消去得， ∴ ， ，解得. ∴， 所以， 点到直线的距离， 所以的面积 4．（23-24高二上·天津·期中）设椭圆（）的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，，. (1)求椭圆的方程； (2)已知P为椭圆上一动点（不与端点重合），直线交y轴于点Q，O为坐标原点，若四边形与三角形的面积之比为，求点P坐标. 【答案】(1) (2)或. 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据已知线段长度求解出的值，然后根据求解出的值，则椭圆方程可求； （2）根据条件将问题转化为三角形与三角形的面积比，由此得到关于的关系式，通过联立直线与椭圆方程求得对应坐标，然后求解出参数值则的坐标可求. 【详解】（1）因为，，所以， 所以，所以， 所以椭圆方程为； （2）如下图所示： 因为四边形与三角形的面积之比为， 所以三角形与三角形的面积比为， 所以，所以， 显然直线的斜率不为，设直线的方程为， 联立，所以， 所以，， 所以，解得， 当时，，， 所以，所以， 当时，，， 所以，所以， 综上可知，点坐标为或. 5．（23-24高二上·天津·期中）设椭圆的左右顶点分别为，左右焦点.已知，. (1)求椭圆方程及离心率. (2)若斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，与以为直径的圆交于C，D两点.若，求直线的方程. 【答案】(1)，离心率 (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的弦长 【分析】（1）根据椭圆的几何性质列式计算得，，，得解； （2）设直线为，由圆心到直线的距离小于半径得出的范围，由圆的性质求出弦的长，将直线的方程与椭圆方程联立得出韦达定理，求出弦的长，由条件得出方程，可得答案. 【详解】（1）由题意，，，解得，， ， 所以椭圆方程为，离心率为. （2）设直线为，，，由题意，以为直径的圆的方程为， 则圆心到直线的距离，即，所以， 由，消去，整理得， ，解得，又，所以， ，， ， 因为，所以，解得，又，所以， 所以直线的方程为：或.    6．（23-24高二上·天津河北·期中）已知椭圆的一个顶点为分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，过椭圆右焦点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点. (1)求椭圆C的方程； (2)若，（为原点），求直线 的方程； (3)过原点作直线的垂线，垂足为P，若 ，求 的值. 【答案】(1)； (2)或者； (3) 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的弦长、椭圆中向量点乘问题 【分析】（1）先直接求出，再根据离心率求出即可； （2）先设出过右焦点的直线，然后联立得到韦达定理，再把转化为进而代入韦达定理即可； （3）先求出，再由韦达定理求出弦长，最后代入求解即可. 【详解】（1）因为椭圆焦点在轴上且经过点，所以， 又因为，所以，又， 解得， 所以椭圆方程为； （2）如图所示，    由（1）知，所以直线，设， 联立，可得， 易得，所以， 所以， 而， 解得，所以直线方程为或者； （3）如图所示，    过作交于点，所以为点到直线的距离， 即，所以， 又 ， 所以， 所以. 7．（22-23高二上·天津·期中）已知椭圆：的左右焦点分别为，上顶点为，长轴长为，若为正三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交两点，求的长； (3)过点的直线与椭圆相交于两点，，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题干条件求出即可得到椭圆标准方程； （2）联立直线和椭圆方程，直接利用弦长公式进行求解； （3）联立直线和椭圆方程，结合韦达定理，列方程组求解. 【详解】（1） 依题意，，则，由为正三角形，则，故，于是，故椭圆的标准方程为：； （2）由（1）知，，故该直线为：，和椭圆联立： ，整理可得，故，由弦长公式， （3）显然的斜率存在（否则轴，根据对称性，，与题设矛盾），设直线为：，和椭圆方程联立得，， ，则，故， 由韦达定理可得：，， 于是，，故， 即， 化简可得，解得， 故直线为： 8．（23-24高二上·天津·期中）设椭圆的左焦点为F，上顶点为B，离心率为，O是坐标原点，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C在第一象限内的交点为P，，直线BF与直线l的交点为Q，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）由得到，结合离心率为及解出，即可求得椭圆C的方程； （2）先求出直线BF方程，再由及P在椭圆上求出P点坐标，进而求得直线方程，联立求得点Q坐标，再由求解即可. 【详解】（1）由题意得：，则，解得，则椭圆C的方程为：； （2） 由（1）得，则直线BF方程，又可得P在线段OB垂直平分线上，则， 又P在椭圆上，解得，则，直线，联立和线BF可得， 解得，则，则. 9．（23-24高二上·天津·期中2019·天津·高考真题）设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或. 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、求直线与椭圆的交点坐标、椭圆中的定值问题 【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程； (Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率. 【详解】(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，b=2，c=1. 所以，椭圆方程为. (Ⅱ)由题意，设.设直线的斜率为， 又，则直线的方程为，与椭圆方程联立， 整理得，可得， 代入得， 进而直线的斜率， 在中，令，得. 由题意得，所以直线的斜率为. 由，得， 化简得，从而. 所以，直线的斜率为或. 椭圆的最值、范围问题 10．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆（）的长轴长是短轴长的2倍. (1)求椭圆的离心率； (2)直线过点且与椭圆有唯一公共点，为坐标原点，当的面积最大时，求椭圆的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）依题意可得，即可得到，从而求出离心率； （2）由（1）可得椭圆方程为，设直线为，联立直线与椭圆方程，由得到、的关系，再求出，由利用基本不等式求出面积最大值，即可求出此时的，从而求出，即可得解. 【详解】（1）依题意，即， 所以离心率. （2）由（1）可得椭圆方程为，即， 直线的斜率存在且不为，设斜率为，则直线为， 由，消去整理得， 所以，即， 又， 所以， 当且仅当，即时取等号， 此时，解得， 所以椭圆方程为，即. 11．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，. （1）求椭圆的方程； （2）求面积的最大值，并求此时直线的方程. 【答案】（1）；（2）1，. 【知识点】基本不等式求积的最大值、根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的弦长、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）由顶点坐标、离心率以及椭圆参数的关系即可求椭圆方程； （2）由直线与椭圆关系，联立方程应用韦达定理得到交点横坐标数量关系，再利用弦长公式及点线距离公式表示出的面积，然后利用基本不等式即可求出三角形面积的最值及此时的直线方程. 【详解】（1）由题意得， 解得， ∴ 所以椭圆C的方程为. （2）由得，. 设，，则，， ∴， 又点到直线的距离为. 所以的面积为， 当且仅当即时，的面积有最大值为1， 此时直线的方程为. 12．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的离心率为，圆：与轴交于点，为椭圆上的动点，，面积最大值为．　 （1）求圆与椭圆的方程； （2）圆的切线交椭圆于点，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）. 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的参数及范围 【解析】（1）由离心率公式和的关系，结合椭圆的定义可得 即为椭圆的焦点，可得 ，再由 位于椭圆短轴端点时，的面积取得最大值 ，解方程即可得到 的值，即有圆和椭圆的方程； （2）讨论直线的斜率不存在时，求得切线的方程，代入椭圆方程可得交点和弦长；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，运用直线和圆相切的条件，再由直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，化为 的函数式，运用换元法和二次函数的最值求法，即可得到所求弦长的范围． 【详解】（1）由题意得，解得，① 因为，所以，点、为椭圆的焦点，所以， 设，则，所以， 当时，，代入①解得，所以，， 所以，圆的方程为，椭圆的方程为． （2）①当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，， 因为直线与圆相切，所以，即， 联立消去可得， ， ，， ， 令，则， 所以，， 所以，所以； ②当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 解得，，． 综上，的取值范围是． 13．（23-24高二上·天津和平·期中）如图，已知椭圆的左右顶点分别是，，焦点，其中，设点，连接交椭圆于点，坐标原点是． (1)求椭圆的离心率； (2)证明：； (3)设三角形的面积为，四边形的面积为，若的最小值为1，求椭圆的标准方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据题意，由条件可得，再由离心率的公式，即可得到结果； （2）根据条件可得，联立直线与椭圆的方程即可求出点的坐标，从而可得直线的斜率，再根据直线的斜率，即可证明； （3）根据题意，表示出，再由的最小值为1，即可求出的值，从而求出椭圆的标准方程. 【详解】（1）因为，则，所以，则. （2）因为，则，∴椭圆的方程为， 由，整理得：， 由 可得，则点的坐标是，故直线的斜率为， ∵直线的斜率为 ∴，∴. （3）由（2）知， ， ∴. ∴当时，，∴ ， ∴椭圆方程为. 14．（23-24高二上·天津·期中）在平面直角坐标系中，设为椭圆的左焦点，直线与轴交于点，为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点、，设直线、的斜率分别为、. ①求证：为定值； ②求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由长轴长和.求出得椭圆方程； （2）①当的斜率为0时，直接求得，当的斜率不为0时，设，，设，代入椭圆方程，应用韦达定理得，计算可得；②由求得面积表达式，变形后由基本不等式得最值． 【详解】（1）因为，所以，又， 所以，所以，，所以椭圆的标准方程为. （2）①当的斜率为0时，显然，. 当的斜率不为0时，设， 由得， 设，，故有，， 所以. 因为， 所以.综上所述，恒有为定值. ②， 即， 当且仅当，即时取等号（此时适合）， 所以面积的最大值为. 15．（23-24高二上·天津·期中）如图，已知椭圆G：的、右两个焦点分别为、，设，，，若为正三角形且周长为6． (1)求椭圆G的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，是否存在实数k使成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由； (3)若过点的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，记△PMQ、△PNQ的面积记为、，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3). 【知识点】斜率公式的应用、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据给定的三角形周长，求出半焦距c及a，b作答. （2）设出直线MN的方程，与椭圆方程联立，假定存在符合要求的k，借助斜率并结合韦达定理计算推理作答. （3）由（2），求出点M，N的纵坐标绝对值的比值范围作答. 【详解】（1）令椭圆G的半焦距为c，因，且正的周长为6，则，解得，，， 所以椭圆C的标准方程为. （2）显然直线MN的斜率存在且不为0，设直线MN：，点、，则， 由消去x并整理得：，则，， 由（1）知，，假定存在实数k使，则直线的斜率满足， 而 ，解得，与矛盾， 所以不存在实数k使成立. （3）显然直线MN不垂直于y轴，由（2）得直线MN：，， 由（2）得，设，有，于是得， 因此有，， ，显然，当且仅当时取等号， 因此，解得，则， 所以的取值范围是. 直线与椭圆位置关系定值问题 16．（23-24高二上·天津·期中）如图，椭圆经过点，且离心率为. (I)求椭圆的方程； (II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点）， 问：直线与的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由． 【答案】(1) (2)2 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题 【详解】（Ⅰ）由题意知，综合，解得，所以，椭圆的方程为. （Ⅱ）由题设知，直线的方程为，代入，得 ， 由已知，设， 则， 从而直线与的斜率之和 . 17．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆：： 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为.，是椭圆的两个焦点. (1)求椭圆的方程； (2)设为E的左顶点，过点作两条互相垂直的直线分别与E交于，两点，证明：直线经过定点，并求这个定点的坐标． (3)设是椭圆上一点，直线与椭圆交于另一点，点满足：轴且，求证：是定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 (3)证明见解析 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的直线过定点问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据离心率结合菱形面积求椭圆方程； （2）分斜率存在不存在两种情况讨论直线经过定点问题，联立直线方程与曲线方程利用韦达定理求两根和与积的表达式，结合确定直线过定点并求出定点坐标； （3）根据已知条件设出，，三点坐标，由，可得，求出，联立直线与椭圆方程，求出，进而确定为定值. 【详解】（1）    由题意可得，得，，椭圆； （2）由（1）知：； 当直线斜率存在时，设，，， 由得：， 则，解得：， ，， ，， 即， ， 即， 整理可得：，或； 当时，直线恒过点，不合题意； 当时，直线，恒过定点； 当直线斜率不存在且恒过时，即， 由得：，，满足题意； 综上所述：直线恒过定点. （3）由题意可得，， 设，，，则， 由，可得， ； 直线的方程为，得， 与椭圆方程联立， 可得， 所以， 即有， 所以． 所以，是定值． 直线与椭圆位置关系探索性问题 18．（23-24高二上·天津北辰·期中）已知椭圆经过点，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆相交于A，B两点，线段AB的中点为，是否存在常数，使恒成立，并说明理由． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由题可得，结合可得，即可得答案； （2）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，后由题意可的答案. 【详解】（1）由题意知， 又因为解得．所以椭圆方程为． ． （2）存在常数，使恒成立．证明如下： 由得，且． 设，，则    ，  ． 又因为，， ，   所以.又因为线段的中点为，所以，所． 所以存在常数，使恒成立.    19．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的一个焦点为，上顶点为，原点O到直线的距离为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点T在圆上，点A为椭圆的右顶点，是否存在过点A的直线l交椭圆C于点B（异于点A），使得成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 存在满足条件的直线，其方程为. 【知识点】直线与椭圆的位置关系 【分析】（1）根据条件列方程组，解得即可，（2）设直线方程，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理解得B点坐标，再根据条件得T点坐标，代入圆方程，解得直线斜率，即得结果. 【详解】解：（1）由椭圆的一个焦点为知:，即.①. 又因为直线的方程为，即，所以. 由①解得. 故所求椭圆的标准方程为. （2）假设存在过点的直线适合题意，则结合图形易判断知直线的斜率必存在， 于是可设直线的方程为， 由，得.（*） 因为点是直线与椭圆的一个交点，且 所以，所以， 即点. 所以，即. 因为点在圆上，所以， 化简得，解得，所以. 经检验知，此时（*）对应的判别式，满足题意. 故存在满足条件的直线，其方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$