专题05椭圆、方程及其几何性质（4基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（天津专用）

专题05 椭圆、方程及其几何性质 椭圆的定义及其应用 1．（23-24高二上·天津红桥·期中）设是椭圆上一点，、是椭圆的焦点，则三角形的周长等于（　　） A．26 B．36 C．50 D．52 2．（23-24高二上·天津·期中）若椭圆上一点P到焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（23-24高二上·天津·期中）已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为(　　) A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津·期中）是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则三角形的面积为（    ） A．7 B． C． D． 5．（23-24高二上·天津·期中2013·全国·高考真题）已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且，则的方程为（ ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·天津·期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，，且的周长为8．则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·天津·期中）某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，，分别为该椭圆的两个焦点，为该椭圆过点的一条弦，且的周长为.若该椭球横截面的最大直径为2米，则该椭球的高为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 8．（23-24高二上·天津北辰·期中）已知椭圆上一点到其一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为 ． 9．（23-24高二上·天津·期中）已知分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上的一点，且，则的面积为 ． 10．（23-24高二上·天津·期中）椭圆（为非零常数）的焦点分别为，点在椭圆上.如果线段的中点在轴上，那么等于 ． 椭圆的标准方程 1．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D．或 2．（23-24高二上·天津·期中）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高二上·天津·期中）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津·期中）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·天津·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为48的矩形截某圆锥得到椭圆C，且椭圆C与矩形的四边相切.设椭圆C在平面直角坐标系中的方程为，则下列选项中满足题意的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为26，则该椭圆方程为 . 7．（23-24高二上·天津·期中）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为 . 8．（23-24高二上·天津·期中）写出适合下列条件的椭圆的标准方程， (1)焦点在轴上，焦距为2，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4； (2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点； (3)经过点，焦点坐标分别为； (4)焦点在轴上，经过点，焦距为． 9．（23-24高二上·天津和平·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点的坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 10.（23-24高二上·天津和平·期中）在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是. (1)求动点的轨迹方程. (2)若为动点的轨迹上一点，且，求三角形的面积. 椭圆的几何性质 1．（23-24高二上·天津·期中）若椭圆经过原点，且焦点分别为则其离心率为 A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津北辰·期中）已知椭圆，焦点在轴上，且焦距为4，则短轴长为（    ） A． B．4 C． D．8 4．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的左右焦点分别，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·天津和平·期中）椭圆的两焦点为，，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·天津·期中2017·全国·高考真题）（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 A． B． C． D． 7．（23-24高二上·天津河西·期中）已知椭圆的焦距是2，则该椭圆的长轴长为 . 8．（23-24高二上·天津红桥·期中）如图，，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，是边长为2的正三角形，则的值是 ． 9．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的三个顶点构成等边三角形，则椭圆的离心率是 . 10．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的左焦点是，、分别是椭圆上顶点和右顶点，为直角三角形，则椭圆的离心率为 ． 由椭圆方程及其性质求参数问题 1．（23-24高二上·天津和平·期中）直线被椭圆截得的弦长为（    ） A． B． C．3 D． 2．（23-24高二上·天津·期中）椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 3．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．81 4．（23-24高二上·天津·期中）“ "是“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高二上·天津·期中）在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（    ）    A． B． C．2 D．3 6．（23-24高二上·天津·期中）椭圆＋＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m等于（    ） A．1 B． C． D．2 7．（23-24高二上·天津·期中）若焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则 ． 8．（23-24高二上·天津·期中）椭圆的焦距长为 ． 9．（23-24高二上·天津·期中）若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是 . 10．（23-24高二上·天津·期中）椭圆的焦距是2，则的值是 . 11．（23-24高二上·天津·期中）已知焦点在y轴的椭圆的离心率为，则k的值为_________． 12．（23-24高二上·天津·期中）椭圆C：（）的焦点为，，短轴端点为P，若，则 . 椭圆离心率的最值（范围）问题 1．（23-24高二上·天津·期中）设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆：（）的左焦点为，经过原点的直线与交于，两点，总有，则椭圆离心率的取值范围为 . 4．（23-24高二上·天津·期中）在平面直角坐标系中,记椭圆的左右焦点分别为，若该椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是 . 椭圆的最值、范围问题 5．（23-24高二上·天津·期中）如图，圆O与离心率为的椭圆T：(a>b>0)相切于点M(0，1)，过点M引两条互相垂直的直线l1，l2，两直线与两曲线分别交于点A，C与点B，D(均不重合)．若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1，d2，则的最大值是（    ） A．4 B．5 C． D． 6．（23-24高二上·天津和平·期中）椭圆上的点到焦点的距离最大值为 ，一个圆经过该椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 7．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2，点P为椭圆上任意一点，则的最小值是 . 椭圆及其几何性质综合问题 8．（23-24高二上·天津·期中）给定椭圆，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为． (1)求椭圆C和其“准圆”的方程； (2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 椭圆、方程及其几何性质 椭圆的定义及其应用 1．（23-24高二上·天津红桥·期中）设是椭圆上一点，、是椭圆的焦点，则三角形的周长等于（　　） A．26 B．36 C．50 D．52 【答案】B 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据椭圆的定义可知三角形的周长为，再由椭圆的方程可得. 【详解】   由得，， 所以，， 三角形的周长为， 故选：B 2．（23-24高二上·天津·期中）若椭圆上一点P到焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】利用椭圆的定义可得. 【详解】根据椭圆的定义知，，因为，所以． 故选：B. 3．（23-24高二上·天津·期中）已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用椭圆定义求方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】由题得c=1,再根据△MF2N的周长＝4a＝8得a＝2，进而求出b的值得解. 【详解】∵F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，∴c＝1，又根据椭圆的定义，△MF2N的周长＝4a＝8，得a＝2，进而得b＝，所以椭圆方程为. 故答案为A 4．（23-24高二上·天津·期中）是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则三角形的面积为（    ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】由椭圆的定义结合余弦定理求得，再由三角形面积公式求解即可. 【详解】由已知，，设，则，由余弦定理得， 解得，则三角形的面积. 故选：C． 5．（23-24高二上·天津·期中2013·全国·高考真题）已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据题意结合椭圆的定义运算求解即可. 【详解】如图所示：，， 由椭圆定义得.① 在中，.② 由①②得，则， 所以椭圆C的方程为. 故选：C.    6．（23-24高二上·天津·期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，，且的周长为8．则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据已知所给的面积公式，结合椭圆的定义进行求解即可. 【详解】因为的周长为8， 所以， 由椭圆的定义可知： 所以， 由题意可得：，解得， 因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为． 故选：C 7．（23-24高二上·天津·期中）某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，，分别为该椭圆的两个焦点，为该椭圆过点的一条弦，且的周长为.若该椭球横截面的最大直径为2米，则该椭球的高为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据题意，画出椭圆，根据椭圆的相关性质可得. 【详解】根据题意，画出该椭球的过横截面圆心的纵截面如下，    根据椭圆的定义的周长为， 即① 由该椭球横截面的最大直径为2米，可知米，得 又因为，所以② ②联立可得，， 所以该椭球的高为米. 故选：B 8．（23-24高二上·天津北辰·期中）已知椭圆上一点到其一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为 ． 【答案】 【知识点】椭圆定义及辨析、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】根据椭圆的定义计算可得. 【详解】椭圆，则，所以， 根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为， 因为椭圆上点到其一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为. 故答案为： 9．（23-24高二上·天津·期中）已知分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上的一点，且，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】结合椭圆定义求得可得面积． 【详解】由椭圆方程知，， 因为，所以，所以， 所以． 故答案为：4． 10．（23-24高二上·天津·期中）椭圆（为非零常数）的焦点分别为，点在椭圆上.如果线段的中点在轴上，那么等于 ． 【答案】 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴，由此可得，结合椭圆的定义可得，进而可以求出结果. 【详解】由，可知，，所以， ∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点， 所以，所以轴， ，由椭圆的定义知，则 ∴. 故答案为：7 椭圆的标准方程 1．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据题意得到，，求得，再结合焦点位置，即可求得椭圆的标准方程. 【详解】由题意，椭圆的焦距是6，可得，即， 又由椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，可得，即， 则， 当焦点可以在轴上时，椭圆的方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的方程为. 故选：D． 2．（23-24高二上·天津·期中）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据方程表示椭圆求参数的范围 【解析】求出方程表示的曲线为椭圆的等价条件，再利用充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】若方程表示的曲线为椭圆则，解得：且， 因为推不出且， 而且可以推出， 故是方程表示的曲线为椭圆的必要不充分条件, 故选：B 3．（23-24高二上·天津·期中）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的长轴、短轴 【分析】由题知，，进而求得可得答案. 【详解】解：因为椭圆的焦点坐标为， 所以，所求椭圆的焦点坐标为，即， 因为，所求椭圆的短半轴长为， 所以， 所以，， 所以，所求椭圆的方程为：. 故选：A 4．（23-24高二上·天津·期中）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】 设出椭圆标准方程为，求得点纵坐标，列方程组求解． 【详解】设椭圆方程为， 代入得，， 所以，由于，故解得． 所以椭圆方程为， 故选：B． 5．（23-24高二上·天津·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为48的矩形截某圆锥得到椭圆C，且椭圆C与矩形的四边相切.设椭圆C在平面直角坐标系中的方程为，则下列选项中满足题意的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据题意判断出椭圆的长轴长度乘以短轴长度等于矩形的面积，然后逐项判断方程是否符合即可. 【详解】由题意可知：，所以， A：，不满足； B：，不满足； C：，满足； D：，不满足； 故选：C. 6．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为26，则该椭圆方程为 . 【答案】 【知识点】利用椭圆定义求方程 【分析】根据已知条件及椭圆定义求椭圆的标准方程. 【详解】由题意，椭圆的两个焦点坐标分别是，则椭圆的焦点在y轴上，且， 又椭圆上一点到两个焦点的距离之和为26，所以，即， 所以，所以该椭圆方程为. 故答案为： 7．（23-24高二上·天津·期中）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求共焦点的椭圆方程 【分析】方法一：由题意得椭圆的焦点坐标为，，由椭圆定义得，求出即可； 方法二：设所求椭圆的标准方程为，由题中条件，列出方程组求解即可； 方法三： 由条件设所求椭圆的标准方程为，将点P的坐标代入，求解即可. 【详解】方法一：由题意得. 因此所求椭圆的焦点坐标为，. 由椭圆定义得， 即，所以. 故所求椭圆的标准方程为. 方法二：因为所求椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且. 设所求椭圆的标准方程为，则①. 又点在所求椭圆上，所以，即②. 由①②得，，故所求椭圆的标准方程为. 方法三： 由条件设所求椭圆的标准方程为. 将点P的坐标代入，得，解得或（舍去）. 故所求椭圆的标准方程为. 故答案为：. 8．（23-24高二上·天津·期中）写出适合下列条件的椭圆的标准方程， (1)焦点在轴上，焦距为2，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4； (2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点； (3)经过点，焦点坐标分别为； (4)焦点在轴上，经过点，焦距为． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆的焦点、焦距 【分析】利用椭圆的定义及待定系数法计算即可. 【详解】（1）设椭圆焦距为，长轴长为，短轴长为， 由题意可知； （2）不妨设椭圆方程为， 将两点代入得，即椭圆方程为； （3）设椭圆焦距为，长轴长为，短轴长为， 由题意可设，则有， 故椭圆方程； （4）设椭圆焦距为，长轴长为，短轴长为， 则， 由题意可设，则有， 故椭圆方程. 9．（23-24高二上·天津和平·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点的坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）根据题意求出即可； （2）设椭圆的方程为，再利用待定系数法求解即可. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，长轴长为，短轴长为， 则，且焦点在轴上， ， 所以， 所以椭圆方程为； （2）设椭圆的方程为， 则，解得， 所以椭圆方程为. 10.（23-24高二上·天津和平·期中）在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是. (1)求动点的轨迹方程. (2)若为动点的轨迹上一点，且，求三角形的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】（1）设，再根据题意列出关于的等式，化简即可； （2）根据椭圆的定义结合余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1） 设， 则，即， 整理得， 所以动点的轨迹方程为； （2）由（1）得动点的轨迹为椭圆，且为其焦点， 则， 由余弦定理得， 即， 所以， 所以. 椭圆的几何性质 1．（23-24高二上·天津·期中）若椭圆经过原点，且焦点分别为则其离心率为 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【详解】由题意可知： . 本题选择C选项. 2．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，， 在中，由余弦定理得，化简得， 则，所以， 故选：C. 3．（23-24高二上·天津北辰·期中）已知椭圆，焦点在轴上，且焦距为4，则短轴长为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c 【分析】由题可得，后由，可得m，即可得答案. 【详解】设椭圆半焦距为c，半长轴为a，半短轴为b，则由题有， 则.故，则短轴长为. 故选：A 4．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的左右焦点分别，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】首先根据题意得到，根据得到，再计算离心率即可. 【详解】由题知：，因为， 所以，整理得， 所以，得，. 故选：A 5．（23-24高二上·天津和平·期中）椭圆的两焦点为，，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，易得，，由此建立a，c的齐次式，进而可得结果. 【详解】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B， 易得，， ∴，∴， ∴， 故选：D. 6．（23-24高二上·天津·期中2017·全国·高考真题）（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【详解】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为， 直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即， 整理可得，即即， 从而，则椭圆的离心率， 故选A. 7．（23-24高二上·天津河西·期中）已知椭圆的焦距是2，则该椭圆的长轴长为 . 【答案】或 【知识点】求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据焦点在轴或轴上分类讨论． 【详解】焦点在轴时，，，长轴长为, 焦点在轴时，，，长轴长为, 故答案为：或． 8．（23-24高二上·天津红桥·期中）如图，，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，是边长为2的正三角形，则的值是 ． 【答案】 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c 【分析】 根据是边长为2的正三角形可得，同时可得到点P的坐标，将点P的坐标代入椭圆方程，再结合就是可以求出的值. 【详解】因为是边长为2的正三角形可得， 同时可得到点P的坐标为， 因为点P在椭圆上，所以， 又因为，即， 所以由方程组，解得. 故答案为： 9．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的三个顶点构成等边三角形，则椭圆的离心率是 . 【答案】/ 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】首先确定三个顶点的位置，再根据几何关系，建立方程，即可求离心率. 【详解】因为，所以三个顶点应是两个短轴端点，一个长轴端点， 即，即，则，得. 故答案为： 10．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的左焦点是，、分别是椭圆上顶点和右顶点，为直角三角形，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用题意的性质以及三角形是直角三角形，利用勾股定理，求解即可． 【详解】椭圆的左焦点是，、分别是椭圆上顶点和右顶点， 为直角三角形， 可得：， . 即，. 解得. 故答案为. 由椭圆方程及其性质求参数问题 1．（23-24高二上·天津和平·期中）直线被椭圆截得的弦长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】求椭圆中的弦长 【分析】求出交点得纵坐标即可得解. 【详解】令，得，解得， 所以直线被椭圆截得的弦长为. 故选：C. 2．（23-24高二上·天津·期中）椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【知识点】求椭圆的长轴、短轴 【分析】由题意可得关于的方程，解方程即可得解. 【详解】椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，，解得． 故选：A． 3．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．81 【答案】A 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 【分析】根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a，短半轴长b，半焦距c的关系列式计算即得. 【详解】由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2， 于是得，解得， 所以的值为1. 故选：A 4．（23-24高二上·天津·期中）“ "是“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的必要不充分条件、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 【分析】根据焦点在轴上的椭圆的条件，列出不等式组求出的范围，再利用集合法判断即可. 【详解】因为方程+=1表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得， 故“”是“方程+=1表示焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 5．（23-24高二上·天津·期中）在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（    ）    A． B． C．2 D．3 【答案】B 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆的其他应用 【分析】根据题意，建立坐标系得椭圆的标准方程为，再结合题意计算即可得答案. 【详解】解：根据题意，建立如图所示的坐标系， 因为窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状， 所以椭圆的标准方程为， 因为其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段， 所以当时，，所以最短窗棂的长度为． 故选：B    6．（23-24高二上·天津·期中）椭圆＋＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】由椭圆方程及焦点三角形的大小，应用余弦定理列方程求参数m即可. 【详解】由题设，，，故，， 在△中，则，又， 所以. 故选：C 7．（23-24高二上·天津·期中）若焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则 ． 【答案】4 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c 【分析】根据椭圆中基本量的关系得到关于m的方程，解方程得到m的值. 【详解】因为椭圆的焦点在x轴上且焦距为4， 所以， 解得. 故答案为：4. 8．（23-24高二上·天津·期中）椭圆的焦距长为 ． 【答案】2 【知识点】求椭圆的焦点、焦距 【分析】根据椭圆方程求出，进而可求出结果. 【详解】因为椭圆中，，所以， 所以焦距为. 故答案为2 9．（23-24高二上·天津·期中）若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】由椭圆的标准方程的特征列方程组求解可得. 【详解】因为椭圆的焦点在y轴上， 所以，解得，即实数k的取值范围为. 故答案为： 10．（23-24高二上·天津·期中）椭圆的焦距是2，则的值是 . 【答案】 【知识点】求椭圆的焦点、焦距 【分析】直观根据焦距为2，得到，再根据，计算可得； 【详解】解：因为椭圆的焦距是2，所以，即，因为，所以，解得 故答案为： 11．（23-24高二上·天津·期中）已知焦点在y轴的椭圆的离心率为，则k的值为_________． 【答案】21 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】根据椭圆方程得出，再根据和离心率，即可求出. 【详解】由题可知，，， 而， 所以， 又因为， 所以， 即：，解得. 故答案为：. 12．（23-24高二上·天津·期中）椭圆C：（）的焦点为，，短轴端点为P，若，则 . 【答案】 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距 【分析】先根据椭圆方程求解出的值，再根据的值求解出的值，由此求解出结果. 【详解】记坐标原点为， 因为，所以焦点在轴上，且， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 故答案为：. 椭圆离心率的最值（范围）问题 1．（23-24高二上·天津·期中）设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】先设出点的坐标，再由题目条件得到，利用两点间的距离公式列出式子，借助化简式子，得到关于离心率的式子，结合离心率的范围解出不等式即可. 【详解】设点， 因为线段的中垂线过点，所以，即， 化简得， 因为，所以，即， 所以， 又因为，所以，解得. 故选：D. 2．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，，求出的最大值，由这个最大值不大于得关于齐次式，变形后可求得的范围． 【详解】设，则，，， ， 因为，所以，又， 所以时，取得最大值， 恒成立，则，变形得，又，故解得， 故选：D． 3．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆：（）的左焦点为，经过原点的直线与交于，两点，总有，则椭圆离心率的取值范围为 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设椭圆右焦点为，由对称性知，，从而有，设，，由椭圆定义结合基本不等式得，在焦点三角形中应用余弦定理，代入，结合余弦函数性质可得离心率的范围． 【详解】如图，设椭圆右焦点为，由对称性知是平行四边形，， ∵，∴， 设，，由椭圆定义知，则，当且仅当时等号成立， 在中，由余弦定理得， 又，，∴，解得． 故答案为：． 4．（23-24高二上·天津·期中）在平面直角坐标系中,记椭圆的左右焦点分别为，若该椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【详解】分析：椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，要注意分情况讨论 详解：椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称， 设P在第一象限，，当时， ， 即，解得 又因为，所以 当时， ， 即且 解得： 综上或 椭圆的最值、范围问题 5．（23-24高二上·天津·期中）如图，圆O与离心率为的椭圆T：(a>b>0)相切于点M(0，1)，过点M引两条互相垂直的直线l1，l2，两直线与两曲线分别交于点A，C与点B，D(均不重合)．若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1，d2，则的最大值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【知识点】求椭圆中的最值问题 【分析】依据题意可得椭圆方程，假设点P(x0，y0)并得到＋＝|PM|2，然后根据椭圆方程以及－1≤y0≤1，计算即可. 【详解】由题可知： 所以椭圆C的方程为＋y2＝1，圆O的方程为x2＋y2＝1， 设P(x0，y0)，因为l1⊥l2，则＋＝|PM|2＝＋(y0－1)2， 因为＋＝1，所以＋=4－4＋(y0－1)2＝－3＋， 因为－1≤y0≤1，所以当y0＝－时，＋取得最大值， 此时点P． 故选：C． 6．（23-24高二上·天津和平·期中）椭圆上的点到焦点的距离最大值为 ，一个圆经过该椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 【答案】 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、椭圆上点到焦点的距离及最值、求椭圆的焦点、焦距 【分析】设椭圆上一点，表达出到焦点的距离，结合求出最大值；设出圆心，利用半径相等列出方程，求出圆心和半径，得到答案. 【详解】由题意得，故的焦点为， 设椭圆上一点，，则， 则到焦点的距离为 ， 因为，所以当时，取得最大值， 最大值为； 一个圆经过该椭圆的三个顶点，如图，， 设圆心，则，即， 解得， 故该圆的圆心为，半径为， 则该圆的标准方程为. 故答案为：， 7．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2，点P为椭圆上任意一点，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】求椭圆中的最值问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据离心率以及短轴长，求得，再利用均值不等式，即可求得和的最小值. 【详解】据题意，，解得，，于是， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立. 故答案为：. 椭圆及其几何性质综合问题 8．（23-24高二上·天津·期中）给定椭圆，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为． (1)求椭圆C和其“准圆”的方程； (2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围， 【答案】(1)椭圆C的方程为，其“准圆”方程为 (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的参数及范围 【分析】（1）依题意可得、，即可求出，从而得解； （2）设则，即可表示出、，再根据数量积的坐标表示及二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）解：由题意知，且，可得， 故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为． （2）解：由题意，可设、， 则有，又点坐标为，所以，， 所以 ， 又，所以， 所以的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$