专题07双曲线、抛物线及其方程（7基础题型+4提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（天津专用）

专题07 双曲线、抛物线及其方程 双曲线定义及其应用 1．（23-24高二上·天津·期中）双曲线C：（，）的一条渐近线过点，，是C的左右焦点，且，若双曲线上一点M满足，则（    ） A．或 B． C． D． 2．（23-24高二上·天津和平·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为 ． 3．（23-24高二上·天津·期中）椭圆与双曲线有相同的焦点，点是椭圆与双曲线的一个交点，则的面积是（   ） A．4 B．2 C．1 D． 4．（23-24高二上·天津和平·期中）已知O为坐标原点，设，分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则 . 双曲线的标准方程 1．（23-24高二上·天津·期中）与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津·期中）已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津·期中）已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津·期中）如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线C的一部分，若C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率，且点在C上，则双曲线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·天津·期中2020·天津·高考真题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·天津·期中）与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·天津·期中）与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程为 . 8．（23-24高二上·天津红桥·期中）双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点坐标是，则该双曲线的标准方程是 ． 双曲线的几何性质 1．（23-24高二上·天津·期中）双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津·期中）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为（ ）． A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津·期中）以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津·期中）设双曲线=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为 A． B．5 C． D． 5．（23-24高二上·天津·期中）已知双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·天津·期中）已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于两点.若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 7．（23-24高二上·天津·期中）双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支在第一象限的交点为，与轴的交点为，且为的中点，若的周长为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·天津·期中）双曲线，点A，B均在E上，若四边形为平行四边形，且直线OC，AB的斜率之积为3，则双曲线E的渐近线的倾斜角为（   ） A． B．或 C． D．或 9．（23-24高二上·天津·期中）已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·天津·期中）已知双曲线，则双曲线的焦距是 11．（23-24高二上·天津和平·期中）双曲线的虚轴长为 ，焦点坐标为 12．（23-24高二上·天津·期中）若圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为 . 13．（22-23高二上·天津河西·期末）已知双曲线C：，其右焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为 ． 14．（23-24高二上·天津·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为 ． 由双曲线方程、几何性质求参数 1．（23-24高二上·天津·期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津和平·期中）已知双曲线（）的焦距为4，则 . 抛物线及其几何性质 1．（23-24高二上·天津·期中）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津·期中）抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津红桥·期中）抛物线x2=－4y的准线方程为（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．y＝1 D．y＝2 4．（23-24高二上·天津·期中）抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（    ） A．6 B．2 C．5 D．8 5．（23-24高二上·天津红桥·期中）设O为坐标原点，直线与抛物线C: 交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的标准方程为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·天津·期中）抛物线的焦点到准线的距离是 ． 7．（23-24高二上·天津红桥·期中）抛物线上一点到焦点的距离为8，则点到轴的距离为 ． 抛物线中几何图形的面积问题 1．（23-24高二上·天津·期中）已知抛物线的焦点为为坐标原点，为抛物线上一点，且满足，则的面积为 . 抛物线关于直线的对称问题 1．（23-24高二上·天津红桥·期中）抛物线关于直线对称之后的抛物线焦点坐标是 ． 双曲线、抛物线最值范围问题 1．（23-24高二上·天津·期中）已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是 . 2．（22-23高二上·天津·期末）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为 ． 3．（23-24高二上·天津·期中）已知抛物线的AB弦过它的焦点，直线AB的斜率为1，则弦AB的长为 . 4．（23-24高二上·天津·期中）已知抛物线C：的焦点为F，O为原点，点M是抛物线C准线上的一动点，点A在抛物线C上，且，则的最小值为 . 5．（23-24高二上·天津·期中）已知动点在抛物线上，过点引圆的切线，切点分别为，，则的最小值为 ． 双曲线与圆、椭圆综合问题 6．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则　　 A．4 B． C．2 D．3 7．（23-24高二上·天津·期中）已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，过的直线与圆：相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则离心率为（    ） A．3 B． C． D．2 8．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的值为（    ）    A． B． C． D．4 9．（23-24高二上·天津·期中）已知，是椭圆和双曲线的左右顶点，，分别为双曲线和椭圆上不同于，的动点，且满足，设直线、、、的斜率分别为、、、，则 ． 10．（23-24高二上·天津红桥·期中）已知双曲线与椭圆有公共的焦点，它们的离心率之和为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线l与双曲线交于线段恰被该点平分，求直线l的方程． 椭圆、抛物线综合问题 11．（23-24高二上·天津·期中2017·天津·高考真题）设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为. （I）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程. 双曲线、抛物线综合问题 12．（23-24高二上·天津·期中）已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 双曲线、抛物线及其方程 双曲线定义及其应用 1．（23-24高二上·天津·期中）双曲线C：（，）的一条渐近线过点，，是C的左右焦点，且，若双曲线上一点M满足，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】 先根据已知条件求解出双曲线的方程，然后根据在双曲线的左右支上进行分类讨论，由此确定出的值. 【详解】因为，，所以，所以或（舍）， 又因为双曲线的渐近线过点，所以，所以， 所以，所以，所以， 若在左支上，，符合要求，所以， 若在右支上，，不符合要求， 所以， 故选：B. 2．（23-24高二上·天津和平·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为 ． 【答案】/ 【知识点】双曲线定义的理解、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据双曲线的定义求解. 【详解】因为双曲线的实轴长，解得， 所以双曲线方程为，则， 根据双曲线的定义可知，， 所以， 解得，， 所以的周长为, 故答案为: . 3．（23-24高二上·天津·期中）椭圆与双曲线有相同的焦点，点是椭圆与双曲线的一个交点，则的面积是（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据椭圆与双曲线定义解得再根据解三角形得面积. 【详解】由题意得，， 所以，因此为直角三角形，的面积是，选C. 4．（23-24高二上·天津和平·期中）已知O为坐标原点，设，分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则 . 【答案】 【知识点】双曲线定义的理解 【分析】利用几何关系结合双曲线定义，以及中位线性质可得. 【详解】如图所示，    延长交于点，由为的平分线及， 易知≌，所以， 根据双曲线的定义，得，即，从而. 在中，分别为，的中点，则. 故答案为： 双曲线的标准方程 1．（23-24高二上·天津·期中）与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求共焦点的双曲线方程 【分析】根据椭圆方程先求解出焦点坐标，然后根据定义求解出的值，结合可求的值，则双曲线方程可求. 【详解】因为椭圆的焦点坐标为，即，所以， 记，所以， 所以，所以， 所以双曲线的标准方程为， 故选：C. 2．（23-24高二上·天津·期中）已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的顶点坐标、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】设双曲线方程为，由题意算出即可. 【详解】椭圆：，上、下顶点分别为，，上、下焦点分别为，. 因为双曲线的焦点与的上、下顶点相同，且经过的焦点， 设双曲线方程为，则有，，， 所以双曲线的方程为. 故选：C 3．（23-24高二上·天津·期中）已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】首先求出椭圆的焦点坐标，由双曲线的渐近线及焦点坐标得到方程组，解得、，即可得解. 【详解】解：椭圆的焦点为， 又双曲线：的一条渐近线方程为， 所以，解得，所以双曲线方程为. 故选：C 4．（23-24高二上·天津·期中）如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线C的一部分，若C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率，且点在C上，则双曲线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】设出双曲线方程，半焦距c，根据给定条件建立方程求解作答. 【详解】依题意，设双曲线C的标准方程为，半焦距c， 则离心率，有， 而点在C上，即，即，解得， 所以双曲线C的标准方程为. 故选：B 5．（23-24高二上·天津·期中2020·天津·高考真题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程． 【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为， 又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得． 故选：． 6．（23-24高二上·天津·期中）与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求共焦点的双曲线方程 【分析】根据椭圆方程先求解出焦点坐标，然后根据定义求解出的值，结合可求的值，则双曲线方程可求. 【详解】因为椭圆的焦点坐标为，即，所以， 记，所以， 所以，所以， 所以双曲线的标准方程为， 故选：C. 7．（23-24高二上·天津·期中）与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程为 . 【答案】 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据给定条件，设出所求双曲线的方程，利用待定系数法求解作答. 【详解】依题意，设双曲线方程为：， 于是得，则有， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 8．（23-24高二上·天津红桥·期中）双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点坐标是，则该双曲线的标准方程是 ． 【答案】 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据已知条件求得，从而求得双曲线的标准方程. 【详解】由于双曲线的一个焦点坐标是， 所以且双曲线的焦点在轴， 设双曲线的标准方程为， 依题意，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 双曲线的几何性质 1．（23-24高二上·天津·期中）双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】直接根据双曲线的方程和几何性质可得答案． 【详解】根据双曲线的方程可得焦点在轴，可得， ∴渐近线方程为，即. 故选：A．    2．（23-24高二上·天津·期中）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求双曲线的焦点坐标 【详解】试题分析：双曲线方程变形为焦点为 3．（23-24高二上·天津·期中）以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】求出双曲线的焦点和顶点，即可由此求出椭圆方程. 【详解】双曲线的焦点为，顶点为， 设所求椭圆方程为， 则由题可得，则， 故所求椭圆方程为. 故选：A. 4．（23-24高二上·天津·期中）设双曲线=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为 A． B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】双曲线＝1的一条渐近线设为y＝x，由方程组消去y，得x2－x＋1＝0，由题意知该方程有唯一解，所以Δ＝－4＝0，所以e＝＝＝＝. 5．（23-24高二上·天津·期中）已知双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【解析】首先由条件求得，再求，最后根据双曲线的渐近线方程，直接求解. 【详解】由条件可知双曲线的焦点在轴，并且直线中，当时，，所以，那么，解得：，且， 所以双曲线的渐近线方程是. 故选：A 6．（23-24高二上·天津·期中）已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于两点.若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据已知条件及点到直线的距离公式，结合双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于两点. 当时，可得点到渐近线的距离为， 即，整理可得，即 所以的离心率为 故选：A. 7．（23-24高二上·天津·期中）双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支在第一象限的交点为，与轴的交点为，且为的中点，若的周长为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】由的周长为，结合双曲线的定义和对称性得到，，再由为的中点，得到为等边三角形求解. 【详解】如图所示： 由对称性可知，因为的周长为， 所以， 又， 所以，． 因为为的中点， 所以， 则为等边三角形， 所以，，． 又因为， 所以在中，． 所以，， 即双曲线的渐近线方程为． 故选：B 8．（23-24高二上·天津·期中）双曲线，点A，B均在E上，若四边形为平行四边形，且直线OC，AB的斜率之积为3，则双曲线E的渐近线的倾斜角为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】利用点差法，结合双曲线渐近线方程、平行四边形的性质、中点坐标公式进行求解即可. 【详解】设，显然线段的中点坐标为， 因为四边形为平行四边形， 所以线段的中点坐标和线段的中点坐标相同，即为， 因此点坐标为， 因为直线OC，AB的斜率之积为3， 所以， 因为点A，B均在E上， 所以， 两式相减得：， 所以两条渐近线方程的倾斜角为或， 故选：B    9．（23-24高二上·天津·期中）已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由，令且，，则，根据题设有、、，进而有，将它们整理为关于的齐次方程求离心率即可. 【详解】由题设，令且，，则，且①，    由，即②， 由，即， 又C在双曲线上，则③， 由①得：，代入③并整理得：， 由①②及得：， 所以，即， 显然，则. 故选：B 10．（23-24高二上·天津·期中）已知双曲线，则双曲线的焦距是 【答案】 【知识点】根据双曲线方程求a、b、c、求双曲线的焦距 【分析】根据双曲线的标准方程求出即可求出. 【详解】已知双曲线，即， 则，. 所以双曲线的焦距为. 故答案为：. 11．（23-24高二上·天津和平·期中）双曲线的虚轴长为 ，焦点坐标为 【答案】 【知识点】求双曲线的焦点坐标、求双曲线的实轴、虚轴 【分析】根据双曲线的定义求解. 【详解】由题可得，， 所以虚轴长为， 焦点坐标为. 故答案为: ;. 12．（23-24高二上·天津·期中）若圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】求得双曲线的渐近线方程为，由于渐近与圆相切，所以圆心到渐近线的距离为1，列方程可求出，从而可求出双曲线的离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为 圆的圆心为，半径为1，由直线和圆相切， 可得，解得， 则离心率.， 故答案为： 13．（22-23高二上·天津河西·期末）已知双曲线C：，其右焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】2 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据点到直线的距离公式求出，并根据离心率公式求解即可. 【详解】由于对称性，右焦点到两条渐近线的距离都为， 由题可知，过一三象限的渐近线为，即， 所以右焦点到渐近线的距离为， 又，∴， ∴． 故答案为: . 14．（23-24高二上·天津·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】数形结合可知，，且，利用中边的关系即可求得离心率. 【详解】如图所示： 由题可知，，，则， 又，， 又，则， 作交于点， 可得，，则. 在中，， 即，得， 又，化简可得， ，双曲线的离心率为. 故答案为：. 由双曲线方程、几何性质求参数 1．（23-24高二上·天津·期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据题意得到，再解不等式即可. 【详解】依题意，，则或. 故选：A 2．（23-24高二上·天津和平·期中）已知双曲线（）的焦距为4，则 . 【答案】 【知识点】求双曲线的焦距 【分析】根据结合题意即可得解. 【详解】因为双曲线（）的焦距为4， 所以，解得（舍去）. 故答案为：. 抛物线及其几何性质 1．（23-24高二上·天津·期中）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】将抛物线转化成标准式，由定义求出准线. 【详解】由得，故抛物线的准线方程为. 故选：D 2．（23-24高二上·天津·期中）抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】将抛物线化为标准形式，根据焦点坐标公式即可解出． 【详解】得到，则焦点坐标为． 故选：D. 3．（23-24高二上·天津红桥·期中）抛物线x2=－4y的准线方程为（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．y＝1 D．y＝2 【答案】C 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据抛物线的方程即可求出准线方程. 【详解】， ， 抛物线的准线方程为. 故选：C. 4．（23-24高二上·天津·期中）抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（    ） A．6 B．2 C．5 D．8 【答案】A 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】求出抛物线的焦点坐标，再利用圆的性质求解作答. 【详解】拋物线的焦点为，    圆C：的圆心为，半径，， 所以F到圆C上点的距离的最大值为. 故选：A 5．（23-24高二上·天津红桥·期中）设O为坐标原点，直线与抛物线C: 交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、求直线与抛物线的交点坐标 【分析】求出两点坐标，根据垂直得到方程，求出，得到答案. 【详解】令中得，解得，    不妨设， 因为OD⊥OE，所以，解得， 故C的标准方程为. 故选：B 6．（23-24高二上·天津·期中）抛物线的焦点到准线的距离是 ． 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】化方程为标准方程，求焦点到准线的距离即可. 【详解】抛物线化为标准方程为， 则其焦点到准线的距离为，即焦点到准线的距离是． 故答案为：. 7．（23-24高二上·天津红桥·期中）抛物线上一点到焦点的距离为8，则点到轴的距离为 ． 【答案】7 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】设，抛物线的焦点为， 则由抛物线的定义可得，所以， 故点到轴的距离为7， 故答案为：7.    抛物线中几何图形的面积问题 1．（23-24高二上·天津·期中）已知抛物线的焦点为为坐标原点，为抛物线上一点，且满足，则的面积为 . 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】根据抛物线方程求出抛物线焦点坐标和准线方程，根据，结合抛物线定义可求点的横坐标，代入抛物线方程，求出点的纵坐标，再用三角形面积公式计算即可. 【详解】由抛物线的方程为，所以，可得， 所以焦点为，准线方程为， 又为抛物线上一点，且，所以点到准线的距离为， 所以点的横坐标，所以，所以， 所以. 故答案为： 抛物线关于直线的对称问题 1．（23-24高二上·天津红桥·期中）抛物线关于直线对称之后的抛物线焦点坐标是 ． 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据抛物线方程得到焦点坐标为，然后求对称点即可. 【详解】抛物线关于直线对称则两抛物线的焦点也关于直线对称， 抛物线的焦点坐标为， 设对称后的抛物线的焦点坐标为，则，解得， 所以抛物线关于直线对称后的抛物线焦点坐标为. 故答案为：. 双曲线、抛物线最值范围问题 1．（23-24高二上·天津·期中）已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用双曲线定义求方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】曲线上存在点满足，等价于与以A、B为焦点的双曲线右支相交，根据双曲线渐近线性质即可求解． 【详解】若，，且， 则点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，且，， ∴，，∴双曲线方程为， 其渐近线方程为， 则曲线上存在点满足， 等价于与双曲线相交，∴． 故答案为：． 2．（22-23高二上·天津·期末）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点的距离及最值、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】根据抛物线的定义，利用三点共线即可求解. 【详解】设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义可知, 所以,要使最小，只需要最小即可， 由于在抛物线内，故当三点共线时，此时最小，故最小值为， 故答案为：2 3．（23-24高二上·天津·期中）已知抛物线的AB弦过它的焦点，直线AB的斜率为1，则弦AB的长为 . 【答案】8 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】由抛物线以及直线的方程，联立方程组，由韦达定理结合抛物线的定义求解即可． 【详解】 设,，,，抛物线的焦点为点，准线方程为， 则直线AB方程为如图： 由方程组得：，则：； 设，到准线的距离分别为，； 由抛物线定义可知； 即弦的长为8． 故答案为：8． 4．（23-24高二上·天津·期中）已知抛物线C：的焦点为F，O为原点，点M是抛物线C准线上的一动点，点A在抛物线C上，且，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据条件先确定点坐标和准线方程，然后通过作关于准线的对称点结合三点共线求解出线段和的最小值. 【详解】因为，所以，所以，所以， 不妨取，，准线， 作关于准线的对称点，则， 所以的最小值即为， 当且仅当三点共线时取最小值， 所以的最小值为， 故答案为：. 5．（23-24高二上·天津·期中）已知动点在抛物线上，过点引圆的切线，切点分别为，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】设圆心为，由四边形的面积得，利用转化为，再由距离公式求的最小值即可. 【详解】 设圆心为，半径为2，则四边形的面积， 所以， 又在中，， 所以， 设，则， 所以当时，有最小值， 此时有最小值 故答案为： 双曲线与圆、椭圆综合问题 6．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则　　 A．4 B． C．2 D．3 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆的离心率、双曲线的离心率 【分析】设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长a2，焦距2c．结合椭圆与双曲线的定义,得， ,在△F1PF2中,根据余弦定理可得到与c的关系式,变形可得的值. 【详解】如图所示: 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义： ，， ∴，， 设，，则 在中由余弦定理得，， ∴化简得，该式可变成． 故选A． 7．（23-24高二上·天津·期中）已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，过的直线与圆：相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则离心率为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】首先求出的坐标，设直线与圆相切于点，即可求出，，，，再由锐角三角函数得到，即可求出离心率. 【详解】圆：的圆心为，半径， 对于双曲线，令，解得，则， 设直线与圆相切于点，则，又，，， 所以， 所以，则，所以， 即，解得或（舍去）. 故选：C 8．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的值为（    ）    A． B． C． D．4 【答案】D 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理即可求解. 【详解】不妨设在第一象限，由椭圆和双曲线的定义可得：，所以， 在中，由余弦定理可得， 化简得，所以，即， 故选：D 9．（23-24高二上·天津·期中）已知，是椭圆和双曲线的左右顶点，，分别为双曲线和椭圆上不同于，的动点，且满足，设直线、、、的斜率分别为、、、，则 ． 【答案】0 【知识点】双曲线中的定值问题 【分析】依题意可得，即点，，三点共线，设，，即可得到与，从而得解. 【详解】解：依题意、为椭圆和双曲线的公共顶点， 、分别为双曲线和椭圆上不同于、的动点， 由，， 即， 可得，则点，，三点共线． 设，， 则， 同理可得， ，，， ， ． 故答案为：． 10．（23-24高二上·天津红桥·期中）已知双曲线与椭圆有公共的焦点，它们的离心率之和为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线l与双曲线交于线段恰被该点平分，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求共焦点的双曲线方程、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）先根据椭圆方程求出椭圆的离心率，再根据椭圆和双曲线离心率之和为求出双曲线的离心率，依据椭圆和双曲线有公共焦点，以及双曲线基本量的关系就可以得到双曲的方程. （2）先考虑直线l斜率不存在时，点不为的中点，所以设直线l的方程为，将直线和双曲线联立得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系结合的中点为列方程，解方程得到k的值就可以得到直线l的方程. 【详解】（1）设椭圆和双曲线的离心率分别是和，椭圆的方程为，双曲线方程为； 椭圆中，即，，， 由已知，所以； 又因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以； 因此，双曲线中， 所以 即， 又， 故双曲线方程为. （2）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，根据椭圆的对称性可知此时的中点为而不是点，故直线l的斜率一定存在； 因此，设直线l的方程为即，，， 将直线和双曲线的方程联立， 整理得，得， 又因为为中点，所以，即， 所以，解得， 将代入方程即， 此时判别式，方程有两个实数根， 所以直线l的方程为，即. 椭圆、抛物线综合问题 11．（23-24高二上·天津·期中2017·天津·高考真题）设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为. （I）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程. 【答案】（Ⅰ）， .（Ⅱ），或. 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【详解】试题分析：由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则，设直线方程为设，解出两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出 所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为解方程求出，得出直线的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是. 所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为. （Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以. 所以，直线的方程为，或. 双曲线、抛物线综合问题 12．（23-24高二上·天津·期中）已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则 . 【答案】 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据抛物线方程求焦点或准线 【详解】试题分析：有得所以双曲线的渐近线为又抛物线的准线方程为联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得在中，到的距离为.. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$