精品解析：四川省内江市第六中学2024-2025学年八年级上学期入学考试数学试题

2024-2025上学期八年级数学入学考试试卷 （考试时间：60分钟 总分：100分） 一、选择题（3×10=30分） 1. 下列等式变形，错误的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数，等式仍成立；等式的性质3：等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．根据等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，变形正确，故本选项不符合题意； B．∵，∴，变形正确，故本选项不符合题意； C．∵·，∴，变形正确，故本选项不符合题意； D．由能推出或，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，能正确根据等式的基本性质进行变形是解此题的关键． 2. 下列说法中，正确的是（　　） ①的立方根是4；②49的算术平方根是；③的立方根是：④的平方根是． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据立方根的定义，如，即可对①进行判断，同理判断③；再根据平方根及算术平方根的定义对②、④进行判断，即可得出答案． 【详解】解：根据立方根的定义可知：的立方根为，的立方根是，所以①错误，③正确； 根据平方根、算术平方根定义可知：49的算术平方根是7，的平方根是，所以②④错误； 综上分析可知，说法正确的只有1个，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查立方根与平方根的相关知识，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，如果，那么x叫作a的立方根；如果，那么x叫作a的平方根． 3. 下列运算错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由合并同类项可判断A，由同底数幂的乘法运算可判断B，由幂的乘方运算可判断C，由积的乘方运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，运算正确，故A不符合题意； ，运算正确，故B不符合题意； ，运算错误，故C符合题意； ，运算正确，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方运算，积的乘方运算，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方，同底数幂相乘，解题的关键是积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用．先将转化为，再逆用同底数幂相乘化成，再逆用积的乘方法则计算，即可求解． 【详解】解： ， 故选：D． 5. 若有一个外角是钝角，则一定是（ ） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 以上都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形的外角和相邻的内角互补即可得出答案． 【详解】解：∵三角形的外角和相邻的内角互补， ∴若有一个外角是钝角， 则△ABC有一个内角为锐角， ∴△ABC可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形，也可能是直角三角形， 故答案为：D． 【点睛】本题考查了三角形的内角与外角的性质，解题的关键是熟知三角形的外角和相邻的内角互补的性质． 6. 若代数式5﹣4x与的值相等，则x的值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：5-4x=， 去分母得：10-8x=2x-1， 移项合并得：-10x=-11， 解得：x=， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，最后移项，合并同类项，系数化为1． 7. 已知m+n=2，mn=-2，则（1-m）（1-n）的值为（　　） A. B. 1 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先化简（1-m）（1-n）整理，再将m+n=2，mn=-2代入即可得到答案. 【详解】∵m+n=2，mn=-2， ∴（1-m）（1-n）=1-n-m+mn=1-（n+m）+mn=1-2-2=-3； 故选C． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式，并用代入法进行求解. 8. 若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为（　　） A. ﹣1 B. 2 C. 3 D. ﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】先将式子（x2+2x+4）（x+k）展开，根据关于x多项式乘多项式（x2+2x+4）（x+k）的结果中不含有x的一次项，可以求得k的值． 【详解】解：（x2+2x+4）（x+k） ＝x3＋kx2+2x2+2kx+4x+4k ＝x3＋（k+2）x2+（2k+4）x+4k， ∵关于x的多项式乘多项式（x2+2x+4）（x+k）的结果中不含有x的一次项， ∴2k+4＝0， 解得，k＝−2， 故选D． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 9. 已知关于x的不等式只有两个正整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得，，由题意得到关于参数的不等式，求解得答案． 【详解】解：， 移项，得 ∵只有两个正整数解 ∴． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查不等式的求解，由题意转化为关于参数的不等式是解题的关键． 10. 如果a、b、c是三角形的三边长，那么代数式的值是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．解决本题的关键是熟练运用完全平方公式和平分差公式进行因式分解． 【详解】解： ∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，， ∴，即的值是负数， 故选：B． 二、填空题（4×8=32分） 11. “x的3倍与1的差大于0”用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列不等式，根据题意的数量关系列出相应不等式，注意关键字眼．将题目表述的和、差 、倍、大、小等关系转化为关系式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 12. 若关于x的不等式组的解集为，则的值_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，解出不等式组的解集，根据题意，可以求出，的值，代入即可求值．解题的关键是熟练掌握解不等式组． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为：， ∴，， 解得：，， 则， 故答案为：． 13. 已知 ，那么______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，先对等式进行整理，可得到，再对所求的式子进行变形，，如此分子可运用完全平方公式进行因式分解进行求解．熟记公式是解题关键． 【详解】解：∵， ∴，即：， 则， 故答案为：． 14. 若则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂除法和幂的乘方，熟练掌握相关法则是解题关键； 熟练逆用同底数幂的除法、乘法和幂的乘方公式，对代数式进行变形，即可整体代入求值．解片段 【详解】解：， ， 因为， 所以原式=， 故答案为： 15. 等腰三角形一外角为110°，则其顶角的度数为___________． 【答案】70°或40° 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当这个的外角是顶角的外角，当这个的外角是底角的外角，从而可得答案. 【详解】解：当这个的外角是顶角的外角，则等腰三角形的顶角是 当这个的外角是底角的外角，则等腰三角形的底角是 所以等腰三角形的顶角为 故答案为：70°或40° 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握“等腰三角形的两底角相等”是解本题的关键. 16. 如图，在等边三角形中，是角平分线，P为线段上一动点，M为的中点，连接，若的最小值为15cm，则______cm． 【答案】15 【解析】 【分析】如图所示，连接，先证明在线段垂直平分线上，则，进而推出当三点共线时，的值最小，即的值最小，再由等边三角形的性质即可得到答案． 【详解】解；如图所示，连接， ∵是等边三角形，是角平分线， ∴在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即的值最小， ∴， 又∵M是的中点，是等边三角形， ∴， 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，确定当三点共线时，的值最小，即的值最小是解题的关键． 17. 如图，在△ABC中，BD、BE 分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F；②∠BEF＝（∠BAF+∠C）；③∠FGD＝∠ABE+∠C；④∠F＝ （∠BAC﹣∠C）；其中正确的是 _____． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，证明结论正确；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；④证明∠DBE=∠BAC-∠C，根据①的结论，证明结论正确； 【详解】解：①∵BD⊥FD， ∴∠FGD+∠F=90°， ∵FH⊥BE， ∴∠BGH+∠DBE=90°， ∵∠FGD=∠BGH， ∴∠DBE=∠F，故①正确； ②∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∠BEF=∠CBE+∠C， ∴2∠BEF=∠ABC+2∠C， ∠BAF=∠ABC+∠C ∴2∠BEF=∠BAF+∠C，即∠BEF=（∠BAF+∠C），故②正确； ③∵∠AEB=∠EBC+∠C， ∵∠ABE=∠CBE， ∴∠AEB=∠ABE+∠C， ∵BD⊥FC，FH⊥BE， ∴∠FGD=∠FEB， ∴∠FGD＝∠BGH=∠ABE+∠C，故③正确， ④∠ABD=90°-∠BAC， ∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC， ∵∠CBD=90°-∠C， ∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE， 由①得，∠DBE=∠F， ∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE， ∴∠F=（∠BAC-∠C）；故④正确； 故答案为①②③④， 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键． 18. 我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：是正整数，，在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：．根据以上条件，可得 ______若一个两位正整数为正整数，交换其个位上的数字与十位上的数字，得到的新数减去原数所得的差为，则的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的加减法，求代数式的值，依题意，根据即可求出的值；首先根据已知得，据此得，然后根据，，为正整数可求出，，或，，或，，进而可求出的值，即可得出此题的答案．理解题意，熟练掌握整式的加减法运算，分解质因数是解答此题的关键． 【详解】解：， 又，，，， ； ，交换其个位上的数字与十位上的数字，得到的新数减去原数所得的差为， ， 整理得：， ，，为正整数， ，，或，，或，， 当，时，，或当，时，，或当，时，， 当时，， ，， ， 当时，， ，，， ， 当时，， ， ， 的最大值为． 三、解答题 19. 计算： （1）． （2）； （3）解方程：． （4）解不等式组：并写出它的所有整数解． 【答案】（1） （2） （3） （4），其所有整数解为：0，1 【解析】 【分析】（1）先计算乘方与开方，再计算绝对值，最后计算加减即可； （2）根据单项式的乘法、除法及乘方计算即可； （3）根据解一元一次方程的步骤计算节课； （4）先解不等式组求不等式组的解集，再写出整数解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 【小问4详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式的整数解为，其所有整数解为：0，1． 【点睛】本题考查实数的混合运算，单项式的乘除法，解一元一次方程，解不等式组，求不等式组的整数解，熟练掌握相关运算法则和解题方法是解题的关键． 20. 学校为了奖励在“诗词大赛”中获奖同学，准备购买甲、乙两种奖品，已知购买1件甲奖品、4件乙奖品，共需240元；购买2件甲奖品、1件乙奖品，共需165元． （1）求每件甲奖品和每件乙奖品各多少元？ （2）如果学校准备购买甲、乙两种奖品共40件，总费用不超过2140元，那么至少购买多少件乙奖品？ 【答案】（1）每件甲奖品的价格是60元，每件乙奖品的价格是45元 （2）18件 【解析】 【分析】（1）设每件甲奖品的价格是x元，每件乙奖品的价格是y元，根据“购买1件甲奖品、4件乙奖品，共需240元；购买2件甲奖品、1件乙奖品，共需165元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m件乙奖品，则购买件甲奖品，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过2140元，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【小问1详解】 设每件甲奖品的价格是x元，每件乙奖品的价格是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件甲奖品的价格是60元，每件乙奖品的价格是45元； 【小问2详解】 设购买m件乙奖品，则购买件甲奖品， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m的最小值为18． 答：至少购买18件乙奖品． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确列出方程组是解（1）的关键，正确列出一元一次不等式是解（2）的关键． 21. 上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ， 当时，的值最小，最小值是0． ． 当时，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）知识再现：当__________时，代数式最小值是__________； （2）知识运用：若，当__________时，有最__________值（填“大”或“小”），这个值是__________； （3）知识拓展：若，求的最小值． 【答案】（1）3，3 （2）1，大， （3） 【解析】 【分析】（1）配方后即可确定最小值； （2）将所给式子配方后即可确定当取何值时能取到最大值； （3）首先表示出，然后配方确定最小值即可． 【小问1详解】 解：， 当时，有最小值3； 故答案为：3，3． 【小问2详解】 ， 当时有最大值； 故答案为：1，大，． 【小问3详解】 ， ， ， ， 当时，的最小值为． 【点睛】本题考查了完全平方公式及非负数的性质，解题的关键是能够对二次三项式进行配方，难度不大． 22. 如图1，在与中，，，，把绕点C顺时针方向旋转得． （1）在旋转过程中，当时，求的度数； （2）如图2，在旋转过程中，若边与边相交于点E，与边相交于点F，连接，设，，，试探究的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由； （3）在旋转过程中，当与的一边垂直时，直接写出的度数． 【答案】（1） （2）不变， （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，旋转的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）根据题意得，求出旋转角即可； （2）利用三角形内角和定理以及三角形的外角的性质列式解决问题即可； （3）分三种情形分别画出图形求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 当时，， 即， 【小问2详解】 的值不变． ∵是的外角， ∴， 又∵是的外角， ∴， 在中，， 即， ∴； 【小问3详解】 ①当时，如图， ∵，， ∴， 即； ②当时，如图， ∵，， ∴， ∴，即； ③当时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 综上所述，满足条件的或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025上学期八年级数学入学考试试卷 （考试时间：60分钟 总分：100分） 一、选择题（3×10=30分） 1. 下列等式变形，错误的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 下列说法中，正确的是（　　） ①的立方根是4；②49的算术平方根是；③的立方根是：④的平方根是． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列运算错误的是（　　） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3 5. 若有一个外角是钝角，则一定是（ ） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 以上都有可能 6. 若代数式5﹣4x与值相等，则x的值是（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知m+n=2，mn=-2，则（1-m）（1-n）的值为（　　） A B. 1 C. D. 5 8. 若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为（　　） A. ﹣1 B. 2 C. 3 D. ﹣2 9. 已知关于x的不等式只有两个正整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如果a、b、c是三角形三边长，那么代数式的值是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数 二、填空题（4×8=32分） 11. “x3倍与1的差大于0”用不等式表示为______． 12. 若关于x的不等式组的解集为，则的值_____． 13. 已知 ，那么______________． 14. 若则___________． 15. 等腰三角形一外角为110°，则其顶角的度数为___________． 16. 如图，在等边三角形中，是角平分线，P为线段上一动点，M为的中点，连接，若的最小值为15cm，则______cm． 17. 如图，在△ABC中，BD、BE 分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F；②∠BEF＝（∠BAF+∠C）；③∠FGD＝∠ABE+∠C；④∠F＝ （∠BAC﹣∠C）；其中正确的是 _____． 18. 我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：是正整数，，在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：．根据以上条件，可得 ______若一个两位正整数为正整数，交换其个位上的数字与十位上的数字，得到的新数减去原数所得的差为，则的最大值为______． 三、解答题 19. 计算： （1）． （2）； （3）解方程：． （4）解不等式组：并写出它的所有整数解． 20. 学校为了奖励在“诗词大赛”中获奖同学，准备购买甲、乙两种奖品，已知购买1件甲奖品、4件乙奖品，共需240元；购买2件甲奖品、1件乙奖品，共需165元． （1）求每件甲奖品和每件乙奖品各多少元？ （2）如果学校准备购买甲、乙两种奖品共40件，总费用不超过2140元，那么至少购买多少件乙奖品？ 21. 上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ， 当时，的值最小，最小值是0． ． 当时，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）知识再现：当__________时，代数式的最小值是__________； （2）知识运用：若，当__________时，有最__________值（填“大”或“小”），这个值是__________； （3）知识拓展：若，求的最小值． 22. 如图1，在与中，，，，把绕点C顺时针方向旋转得． （1）在旋转过程中，当时，求度数； （2）如图2，在旋转过程中，若边与边相交于点E，与边相交于点F，连接，设，，，试探究的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由； （3）在旋转过程中，当与的一边垂直时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$