专题09 圆中各类最值类型专项训练（含隐圆、阿氏圆问题）（11大题型）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题09 圆中各类最值类型专项训练（含隐圆、阿氏圆问题）（11大题型） 题型一 90度隐圆最值 题型二 45度、120度与135度隐圆最值 题型三 圆中线段最值问题 题型四 圆中线段和最值问题 题型五 圆中周长、面积最值问题 题型六 圆中勾股定理型最值（含切线证明） 题型七 利用三角形的中位线求圆中最值 题型八 圆中旋转最值问题 题型九 圆中翻折最值问题 题型十 运动路径长最值问题 题型十一 阿氏圆最值问题（含相似证明） 【经典例题一 90度隐圆最值】 1．如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，以 为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与 轴交于两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，点D是其内部一动点，且，则C，D两点的最小距离为（    ）    A．3 B．4 C． D． 4．如图，正方形的边长为4，点E是边上的一动点，点F是边上的一动点，且，与相交于点P，连接，在F运动的过程中，的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，正方形的边长为，点分别在、上，且，与相交于点，连接，则的最小值为 ． 6．如图，正方形的边长为4，E，F分别是边，上的点，连接，交于点G，且，连接并延长交于点H，则的最小值是 ． 7．如图，在边长为1的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，交于点． （1）连接，则线段的最小值是 ； （2）取的中点，连接，则线段的最小值是 ． 8．如图，是半的直径，点在半上，，，是上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值为 ． 【经典例题二 45度、120度与135度隐圆最值】 1．如图，正方形的边长为，点是正方形外一动点，且点在的右侧， ，为的中点，当运动时，线段的最大值为（  ） A． B． C． D． 2．如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，且，点为的内心，点为边中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，，点A、B分别在射线、射线上运动，四边形是矩形，且，，则的最大值为（    ） A． B． C． D．无最大值 5．如图，在中，，，，点是边上一动点不与、重合，以为直径的交于点，连接交于点，连接，当点在边上移动时，则的最小值为 ． 6．如图，在等边中，，D，E 分别是边上的动点（不与的顶点重合），连接相交于点F，连接，若，则的最小值为 ．    7．如图，等边三角形边长为2，点D在边上，且，点E在边上且，连接，交于点F，在线段上截取，连接，则线段的最小值是 ． 8．如图，为等边三角形，，若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为 ． 【经典例题三 圆中线段最值问题】 1．如图，在矩形中，，点E、F分别是上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到中点P的过程中，线段的最大值（    ） A． B．4 C． D． 2．如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为1，则线段长度的最小值是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，的三边的长度分别用表示，且满足，点在边上，将沿折叠，使点落在点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，是中的两条弦，相交于点，且，点为劣弧上一动点，为中点，若，连接，则最小值为 ．    6．如图，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为上一动点，Q为弦上一点，．若点D的坐标为，则的最小值为 ． 7．如图，在平面内有四点，，，，其中，，若，则的最大值是 ．    8．如图，在矩形中，，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到；当射线交线段于点P时，连接，则的最大值为 ． 【经典例题四 圆中线段和最值问题】 1．如图，已知正方形的边长为2，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，等边边长为，E、F分别是边上两个动点且．分别连接，交于P点，点M为的中点，N为上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 3．如图，矩形中，，，以A为圆心，1为半径画圆， E是上一动点，P是上的一动点，则的最小值是（     ）    A．2 B．3 C．4 D． 4．如图，，，点，分别在，的另一边上运动，并保持2，点在边上，，点是的中点，若点为上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，，，现有长为3的小木棒紧贴、边滑动（即的两个端点始终落在、边上），为的中点，为边上一动点，则的最小值为 ． 6．如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连接，则的最小值为 ． 7．如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点．则的最小值为 ． 8．如图，点为正方形的对称中心，点为边上的动点，连接，作交于点，连接，为的中点，为边上一点，且，连接，，则的最小值为 ． 【经典例题五 圆中周长、面积最值问题】 1．如图，等腰内接于，直径，D是圆上一动点，连接，且交于点G．下列结论：①平分；②；③当时，四边形的周长最大；④当，四边形的面积为．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，四边形中，，，，，则四边形的面积最小值为(    ) A． B． C． D． 3．如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心、半径为1的圆上的一动点，连接、．则面积的最大值是（    ）    A．21 B．33 C． D．42 4．如图，中，，在的同侧作正，正和正，则四边形面积最大值是（    ） A．1 B．2 C． D． 5．如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为 ．    6．如图，正方形的边长为4，点E为对角线上任意一点（不与B，D重合），连接，过点作，交线段于点，以，为邻边作矩形，连接．给出下列四个结论：①；②；③四边形的周长最小值为；④当时，的面积为3，其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号） 7．如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．    8．在平面直角坐标系中，已知点，点，若点P是y轴正半轴上的点，且满足，则点P的坐标为 ；若点P是坐标平面内任一点，且满足，则面积的最大值为 ．    【经典例题六 圆中勾股定理型最值（含切线证明）】 1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线长PQ的最小值是（　　） A． B． C．2 D．3 2．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A（4，0）、B（0，4），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．2 ﹣1 C．2 D．3 3．（2024·江苏宿迁·二模）如图，等边三角形的边长为4，的半径为，P为边上一动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 4．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线，为切点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，．的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，点D为切点，则线段长的最小值为 ． 6．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，是直线：上的一个动点，的半轻为1，过点作的切线，切点为，则长度的最小值为 ． 7．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 8．（2024·河南南阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，过点作的切线，切点为，则长度的最小值为 ．    【经典例题七 利用三角形的中位线求圆中最值】 1．如图，中，于点是半径为4的上一动点，连接，若是的中点，连接，则长的最大值为（    ）    A．8 B． C．9 D． 2．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 3．如图，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点．当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是（    ） A． B． C． D．2 4．如图，点半径为2，，点M是上的动点，点C是的中点，则的最大值是（　　） A． B． C． D． 5．如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 6．在矩形中，，，且满足，点M是平面内一点，且满足N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，点M 为边上一点，以点M为圆心，为半径作， 交x轴于点 D， 连接交于点E， 连接， 点 F 为中点，则的最小值为 ． 8．如图，中，，，，E是的中点，M、N分别是边上的动点，D也是边上的一个动点，以为直径作，连接交于F，连接，则的最小值为 ． 【经典例题八 圆中旋转最值问题】 1．如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ） A．3 B． C． D．2 2．如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点B旋转一周，连接，点M为的中点，点N为的中点连接，则线段的最大值是（    ） A．3 B．6 C． D． 3．如图，线段绕点旋转，线段的位置保持不变，在的上方作等边，若，，则在线段旋转过程中，线段的最大值是（    ） A． B．4 C． D． 4．如图，已知边长为2的正顶点A的坐标为，的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中的最小值为（　　） A．3 B． C．4 D． 5．已知，均是边长为4的等边三角形，点D是边的中点． （Ⅰ）如图①，这两个等边三角形的高为 ； （Ⅱ）如图②，直线相交于点M，当绕点D旋转时，线段长的最小值是 ． 6．直线分别与轴、轴相交于点、，边长为2的正方形的一个顶点在坐标系的原点，直线与相交于点，若正方形绕着点旋转一周，则点到点长度的最小值是 ． 7．如图，已知正方形、正方形的边长分别为4，1，将正方形绕点A旋转，连接，点M是的中点，连接，则线段的最大值为 ． 8．如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，，绕点A旋转过程中，的最大值为 ． 【经典例题九 圆中翻折最值问题】 1．（23-24秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，设的长为，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点D是边的中点，点E是边上的任意一点（点E不与点B重合），沿翻折使点B落在点F处，连接，则线段长的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（2023·河北·模拟预测）如图，正方形的边长为4，E是边的中点，F是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当的长最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，四边形为矩形，，，点P为边上一点，以为折痕将翻折，点A的对应点为点，连接交于点M，点Q为线段上一点，连接，，则的最小值为 ． 5．（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，，M是边上的一点，且，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是 ． 6（23-24秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，则的长的最小值是 ． 【经典例题十 运动路径长最值问题】 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，，动点分别从点同时出发，以相同的速度分别沿向终点移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，在这个移动过程中点经过的路径长是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东珠海·二模）边长为2的等边三角形中，于H，E为线段上一动点，连接．于点F，分别交于点D，G．①当E为中点时，；②；③点E从点B运动到点H，点F经过路径长为1；④的最小值．正确结论是（    ） A．②③ B．②④ C．①②④ D．①③④ 3．（2023·江苏镇江·一模）如图，菱形的边长为，，点为边的中点．点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，连接，过点作于点．当点到达点时，点也停止运动，则点的运动路径长是（    ） A． B．12 C． D． 4．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点．当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是（    ） A． B． C． D．2 5．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在矩形中，，，动点为矩形边上的一点，点沿着的路径运动（含点和点，则的外接圆的圆心的运动路径长是 ． 6．（23-24九年级下·黑龙江大庆·阶段练习）四边形中，，，且，．以为圆心，为半径作弧，交的延长线于点，若点为弧上的动点，过点作于点，设点I为的内心，连接，当点Q从点C运动到点E时，则内心I所经过的路径长为 ．    7．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）如图，为的直径，且，点C在半圆上，，垂足为点O，P是 上任意一点，过P点作于点E，M是的内心，连接，当点P在弧上从点B运动到点C时，求内心M所经过的路径长 ． 8．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知点是第一象限内的一个定点，点是以为圆心、1个单位长为半径的圆上的一个动点，连接，以为边在右侧作等边三角形．当点在上运动一周时，点运动的路径长是 ． 【经典例题十一 阿氏圆最值问题（含相似证明）】 1．（23-24·江苏常州·一模）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 2．（23-24九年级上·浙江·专题练习）如图所示，，半径为的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ．    3．（23-24九年级上·浙江·专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ． 4．（23-24九年级·全国·专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ． 5．（23-24九年级·全国·专题练习）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为 ． 6．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ． 7．（23-24·广西·中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 ． 8．（23-24·江苏南京·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .    学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 圆中各类最值类型专项训练（含隐圆、阿氏圆问题）（11大题型） 题型一 90度隐圆最值 题型二 45度、120度与135度隐圆最值 题型三 圆中线段最值问题 题型四 圆中线段和最值问题 题型五 圆中周长、面积最值问题 题型六 圆中勾股定理型最值（含切线证明） 题型七 利用三角形的中位线求圆中最值 题型八 圆中旋转最值问题 题型九 圆中翻折最值问题 题型十 运动路径长最值问题 题型十一 阿氏圆最值问题（含相似证明） 【经典例题一 90度隐圆最值】 1．如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质、直径所对的圆周角是直角、 勾股定理, 熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据矩形的性质，证明，故可得在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动，连接交弧于点，此时取最小值，利用勾股定理算出，即可算出． 【详解】解：∵，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动， 如图所示，连接交弧于点，此时取最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为， 故选． 2．如图，以 为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与 轴交于两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识连接， 作 ，连接，可知点在以为直径的圆上移动，当点在的延长线上时，的长最小，根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求解，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】连接， 作 ，连接， ， ∴， ∵为圆心，半径为， ∴，， 在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴点在以为直径的圆上移动， 当点在的延长线上时，的长最小，最小值为， 故选：． 3．如图，在中，，，，点D是其内部一动点，且，则C，D两点的最小距离为（    ）    A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点D位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．首先证明点D在以为直径的上，连接与交于点D，此时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：∵在中，，，，    ∴由勾股定理，得， 如图，取的中点O，连接，交圆于点， ∵，， ∴， ∴， ∴E点在以O为圆心，半径为的圆上运动，当O，D，C三点在同一直线上时，最短， 此时， 在中， 由勾股定理，得， 故的最小值为： ， 故选：C． 4．如图，正方形的边长为4，点E是边上的一动点，点F是边上的一动点，且，与相交于点P，连接，在F运动的过程中，的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，圆的性质，勾股定理，三角形全等的判定性质，利用证明，确定点P在以的中点O为圆心，以为半径的正方形内部的圆弧上，根据圆的性质确定最值，利用勾股定理计算即可． 【详解】如图，∵正方形的边长为4， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P在以的中点O为圆心，以为半径的正方形内部的圆弧上， 连接，交弧于点G， 当点P与点G重合时，取得最小值， ∵ ∴， 故选：A． 5．如图，正方形的边长为，点分别在、上，且，与相交于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握的圆周角所对的弦是直径是解答本题的关键．通过证明，可证，则点在以为直径的一段弧上运动，当点在与弧的交点处时，最短，然后根据勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解∶四边形是正方形， ， 在和中 ， ， ， ， ∴， 点在以为直径的一段弧上运动， 设的中点为，则当点在与弧的交点处时，最短， ， ， ∴， ， 故答案为：． 6．如图，正方形的边长为4，E，F分别是边，上的点，连接，交于点G，且，连接并延长交于点H，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查正方形的性质，圆的性质以及切线长定理，根据题意画出辅助圆是解题的关键． 证明得到，即可得到点G在以为直径的圆上，与相切时，最大，由勾股定理求出的最大值为1，设，则，，根据勾股定理得出x，即可得到答案． 【详解】解：∵ 四边形为正方形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 点G在以为直径的圆上， ∴ 与相切时，最大，如图所示， 此时，， 设，则，， 在中，， ∴ ， 解得， 的最大值为1，故的最小值为． 故答案为：3． 7．如图，在边长为1的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，交于点． （1）连接，则线段的最小值是 ； （2）取的中点，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】以所在的直线为对称轴，作正方形的对称正方形，可得，证明可得°，即点在以为直径的圆上，从而可得最短时点在上，利用勾股定理求得，继而求出和，的值． 【详解】解：以所在的直线为对称轴，作正方形的对称正方形，连接， ∴，，， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当最短时，最短， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∴当点在上时，最短，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，的圆周角所对的弦是直径，勾股定理等知识点，确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点． 8．如图，是半的直径，点在半上，，，是上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹是在以为直径的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题． 如图，取的中点为，连接、，在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动，当、E、B三点共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点为，连接、， ， ， ， 在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动， 是直径， ， 在中， ， ， 在中，， ， 当、E、B三点共线时，的值最小，最小值为：（cm）， 故答案为：． 【经典例题二 45度、120度与135度隐圆最值】 1．如图，正方形的边长为，点是正方形外一动点，且点在的右侧， ，为的中点，当运动时，线段的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，圆的基础知识，中位线的判定和性质的综合，掌握正方形的性质，四点共圆，圆周角定理，合理作出辅助线是解题的关键． 根据题意，连接交于点，可得四点共圆，根据圆周角定理可得点在圆上，连接，当点三点共线时，的值最大，根据正方形的边长，中位线的判定，圆的半径等知识可得，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，如图所示，连接交于点， ∴点四边共圆，即在上，为直径， ∴，根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得，点在上， ∵正方形的边长为，即， ∴， 如图所示，连接， ∵点是中点，点是中点， ∴， ∵点在上， ∴， 当点三点共线时，的值最大， ∴， 故选：C． 2．如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识，先求出，从而证明点P在以点A为圆心，为半径的圆上，从而得到，从而得到，得出点P在以点A为圆心，为半径的圆上是解题的关键． 【详解】解：连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 以点A为圆心，为半径作圆，延长交圆于点Q，连接， 则， ∴， ∴点P在上，， ∴． 故选：D． 3．如图，在中，且，点为的内心，点为边中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据三角形内心的性质，得出，得出点P在过A、B的圆弧上运动，此时圆心为点E，半径为，连接交于点F，交于点G，连接，，，先求出，根据垂径定理得出，，证明，得出，根据勾股定理求出，得出，求出结果即可． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵， ∴， ∵点为的内心， ∴、分别平分、， ∴，， ∴， ∴， ∴为定值， ∴点P在过A、B的圆弧上运动，此时圆心为点E，半径为，连接交于点F，交于点G，连接，，，如图所示： 当点P在点F时，最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴，， 根据旋转可知，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线定义，三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线，找出点P的运动轨迹，使取最小值时，点P的位置． 4．如图，，点A、B分别在射线、射线上运动，四边形是矩形，且，，则的最大值为（    ） A． B． C． D．无最大值 【答案】A 【分析】首先判断出点O在经过点A，B的圆E上，求出圆的半径，过E作于G并延长，与交于点F，利用矩形的判定和性质和勾股定理求出，分析得出当O，E，D三点共线时，最大，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴点O在经过点A，B的圆E上，且， ∴，即圆E的半径为， 过E作于G并延长，与交于点F， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 当O，E，D三点共线时，最大，且最大值为， 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径，本题属于运动型问题，解题时要用动态的眼光审题，动中有静，学会构造圆，利用圆的性质分析题意． 5．如图，在中，，，，点是边上一动点不与、重合，以为直径的交于点，连接交于点，连接，当点在边上移动时，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、含角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 连，，，得为定角，由此可得在以为弦所对圆心角为的圆弧上运动，设该圆圆心为，连，，，，由两点之间线段最短知：，进而可求的最小值． 【详解】解：在中，，， ，，， 连，，， 为的直径， ， ， 为定角， 在以为弦所对圆心角为的圆弧上运动， 设该圆圆心为，连，，，，则，， 为等边三角形， ，， ， ， 又， 由两点之间线段最短知：， ， 当、、在一直线时．有最小值为：． 故答案为：． 6．如图，在等边中，，D，E 分别是边上的动点（不与的顶点重合），连接相交于点F，连接，若，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】根据等边三角形的性质，结合，得到，对顶角相等，得到，进而得到点在以为圆心，的长为半径，且的圆弧上运动，连接，则：，证明，得到为含30度角的直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：∵等边， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，的长为半径，且的圆弧上运动，如图，连接，则：，    ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，即：的最小值为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求圆外一点到圆上一点的最值，解题的关键是确定点的运动轨迹． 7．如图，等边三角形边长为2，点D在边上，且，点E在边上且，连接，交于点F，在线段上截取，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】先根据等边三角形的性质证明，得出，进而得到，从而得到点G在以AC为弦、所对圆周角为的一段弧上运动，然后作辅助线图如图，得到（当且仅当三点共线时取=），得出的最小值即为，再求出即得答案． 【详解】解：∵等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴点G在以为弦、所对圆周角为的一段弧上运动， 设这段弧所在的圆心为O，连接，如图， 则（当且仅当三点共线时取）， ∴的最小值即为， 设交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为；． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理以及圆的相关知识，得出点G取最小值的位置是解题的关键． 8．如图，为等边三角形，，若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正三角形的性质、勾股定理的应用，三角形的外接圆的含义，圆周角定理的应用，菱形的判定与性质，难度较大．如图，作的外接圆，当三点在同一直线上时最小．连接交于点M，在优弧上找一点D，连接，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，作的外接圆，    ∴当三点在同一直线上时最小．连接交于点M，在优弧上找一点D， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵为等边三角形， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：； 【经典例题三 圆中线段最值问题】 1．如图，在矩形中，，点E、F分别是上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到中点P的过程中，线段的最大值（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，点的轨迹等知识，连接与交于点O，连接证明点O是的中点，求出，再判断出点G的运动轨迹为，即可求出绪论． 【详解】解：连接与交于点O，连接 ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴点O为的中点， 连接则与交于点O， 由折叠得， 又 ∴， ∴ 又， ∴ ∴G在以O为圆心，为半径的圆弧上运动，E在A处时，G与C重合，E在P处时，G与B重合， ∴G的运动轨迹为， ∴连接并延长，交于时，最大， 当共线时，即G与重合时，最大， ∴， ∵P为的中点，O为的中点， ∵， ∴, 即的最大值为， 故选：C 2．如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为1，则线段长度的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，由角的和差得 ，取的中点，连接，的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆，当、、三点共线时，最小，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， 在和中， ， （）， ， ， ， ， 如下图，取的中点，连接，   ， 的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆， 如图，    当、、三点共线时，最小， ， ； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，圆外一点到圆上任一点距离的最值等；能找出动点的运动轨迹及取得最小值的条件，熟练利用勾股定咯求解是解题的关键． 3．如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，为的中点，可得，则在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当四点共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵正方形，， ∴，， ∵分别，的中点， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 当四点共线时，最小， 此时，， ∴， ∴， 即的最小值为：， 故选B 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的确定，熟练的确定P的运动轨迹是解本题的关键． 4．如图，的三边的长度分别用表示，且满足，点在边上，将沿折叠，使点落在点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，折叠的性质，点和圆的位置关系，三角形的三边关系，由非负数的性质可得，，进而由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，又由折叠可得，，由此判断出点在以点为圆心，为半径的圆上，由三角形三边关系可得，即可求解，判断出点在以点为圆心，为半径的圆上是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴为直角三角形，， 由折叠可得，，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 5．如图，是中的两条弦，相交于点，且，点为劣弧上一动点，为中点，若，连接，则最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查的重点是垂径定理，解直角三角形，中位线等知识，难点是找点的运动轨迹，当找到点的运动轨迹以后再利用两点之间直线最短就可以计算出的最小值． 连接，过点作，交于点，，交于点，构造正方形，计算圆的半径，然后作的中点，连接，连接，推导出点的运动轨迹是以为圆心的圆，连接与圆的交点就是的最小值． 【详解】解：如图所示，连接，过点作，交于点，，交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 如图所示，作的中点，连接，连接，    ∵点是的中点，为中点， ∴， ∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动， 连接交于点，过点作， ∴当点三点共线时，即点和点重合时，的值最小， ∵点是的中点，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴的最小值为 ， 故答案为：． 6．如图，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为上一动点，Q为弦上一点，．若点D的坐标为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，勾股定理，关键是作出辅助圆，当Q与重合时，最小．连接，过Q作，交于M，以M为圆心，为半径作圆，连接交于，得到，求出的长，推出，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接，过Q作，交于M，以M为圆心，为半径作圆，连接交于， ∴， ∵， ∴， ∵D的坐标是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴P， ∴， ∴， ∴Q在M上， ∴当Q与重合时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 7．如图，在平面内有四点，，，，其中，，若，则的最大值是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，圆周角定理，证明是等边三角形，得，由，可得点在以为直径的圆上运动，连接并延长交于点，当点与点重合时，有最大值，最大值为的长，由等边三角形的性质及勾股定理可求解．确定点的运动轨迹是解题的关键． 【详解】如图，连接，取的中点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴点在以为直径的圆上运动， 连接并延长交于点， ∴ ∴当点与点重合时，有最大值，最大值为的长， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值是． 故答案为：．    8．如图，在矩形中，，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到；当射线交线段于点P时，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】的运动轨迹为为圆心为半径的圆，由勾股定理得，当取得最大值时，取得最大值，当与相切时，取得最大值，此时与重合，设，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，的运动轨迹为为圆心为半径的圆， 四边形是矩形， ， ， ， ， 与相切， 当取得最大值时，取得最大值， 如上图，当与相切时，取得最大值， 此时与重合， 设， ， 由翻折得：， ， ， ， 在中 ， 解得：， 的最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握性质，能找出取得最值的条件是解题的关键． 【经典例题四 圆中线段和最值问题】 1．如图，已知正方形的边长为2，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质得到，推出，得到点F在以为直径的半圆上移动，如图，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是B，连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是B， 连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长度最小值为， 故选：A． 【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，点的运动轨迹，勾股定理，最小值问题，正确理解点的运动轨迹是解题的关键． 2．如图，等边边长为，E、F分别是边上两个动点且．分别连接，交于P点，点M为的中点，N为上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理和直角三角形的性质．以为边在外作等边，取的外心为，求得点在上运动，作点关于的对称点，连接交于点，当点在同一直线上时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：∵等边边长为，点M为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 以为边在外作等边，取的外心为，连接， ∵， ∴点在上运动， 作点关于的对称点，连接交于点， 当点在同一直线上时，有最小值，最小值为的长， 过点作直线的垂线，垂足为，如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∵是的外心， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 在中，， ∴， ∴的最小值为：， 故选：B． 3．如图，矩形中，，，以A为圆心，1为半径画圆， E是上一动点，P是上的一动点，则的最小值是（     ）    A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】过点D作关于直线的对称点F，连接，交于点P，交于点E，此时最小，等于，利用勾股定理计算即可． 【详解】如图，过点D作关于直线的对称点F，    连接，交于点P，交于点E，此时最小，等于， 因为四边形是矩形，，， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以的最小值为4， 故选∶C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，轴对称求线段和最小值，熟练掌握矩形的性质，轴对称性质是解题的关键． 4．如图，，，点，分别在，的另一边上运动，并保持2，点在边上，，点是的中点，若点为上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长，，交于点，作点关于的对称点，连接，，交于点，交于点，利用轴对称的性质可得，利用直角三角形斜边中线的性质可得，即可判断点在以为圆心，半径为1的圆位于的内部的弧上运动，从而得出当、、、四点在同一条直线上时，最小，然后利用勾股定理求出，即可得出结论． 【详解】如图，延长，，交于点，作点关于的对称点， 连接，，交于点，交于点，则， ， ， ，是的中点，连接， ， 点在以为圆心，半径为1的圆位于的内部的弧上运动， ， 当、、、四点在同一条直线上时，最小， 即最小， 点、关于对称， 垂直平分， ，， ， ，， ， 的最小值为． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 5．如图，在矩形中，，，现有长为3的小木棒紧贴、边滑动（即的两个端点始终落在、边上），为的中点，为边上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、最短距离问题、勾股定理、矩形的性质等知识点，判断出G点的轨迹是解题的关键． 如图：连接，由直角三角形的性质可得，则点G是以D为圆心，以为半径的圆弧上的点，作A关于的对称点，连接交于P，交以D为圆心，以为半径的圆于G，此时的值最小，最小值为的长；根据勾股定理求得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵，点为的中点， ∴， ∴点G是以D为圆心，以为半径的圆弧上的点，， 如图：作A关于的对称点，连接交于P，交以D为圆心，以为半径的圆于G，此时的值最小，最小值为的长； ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 6．如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查最短路径问题，涉及到知识点有圆周角定理，正方形的性质，勾股定理．先证明得到点E在以为直径的半圆上移动，再作点D关于直线的对应点是F，即可得，求出的长度即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴点E在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O， 作正方形关于直线对称的正方形， 则点D的对应点是F， 连接交于，交半圆O于E'，连接，则， 根据对称性有：， 则有， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， 故的长度最小值为． 故答案为：． 7．如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，最短路径问题，熟练掌握圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，是解答本题的关键． 作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点，然后根据垂径定理得到，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点． 此时最小，且等于的长. 连接, ， ∴， ∴弧的度数是， 则弧的度数是 ， 根据垂径定理得弧的度数是：， 则 又， 则 故答案为：． 8．如图，点为正方形的对称中心，点为边上的动点，连接，作交于点，连接，为的中点，为边上一点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，由题意知，，由，得，，证明，则，是等腰直角三角形，由是中点，则，，，如图，过作于，过作于，由，可知四点共圆，由，可得，进而可得在线段上运动，如图，延长，作点关于对称的点，过作于，连接交于，连接，由题意知，，且，可知当三点共线时，值最小，在中，由勾股定理得，，计算求解的值即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵是中点， ∴， ∴，， 如图，过作于，过作于， ∴， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∴在线段上运动， 如图，延长，作点关于对称的点，过作于，连接交于，连接， 由题意知，， ∴， ∴三点共线时，值最小， ∵， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆的内接四边形，对称的性质，等腰三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识．解题的关键在于确定点的运动轨迹． 【经典例题五 圆中周长、面积最值问题】 1．如图，等腰内接于，直径，D是圆上一动点，连接，且交于点G．下列结论：①平分；②；③当时，四边形的周长最大；④当，四边形的面积为．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】证明，由圆周角定理以及三角形的外角性质即可证明①②正确；当时，四边形的周长最大，即可证明③正确；作，交延长线于M，证明，利用勾股定理以及三角形面积公式，可得四边形的面积，可得④错误，即可． 【详解】解：∵等腰内接于圆O，且为直径， ∴， ∴，即平分；故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵为直径， ∴， ∵， ∵， ∴要使四边形的周长最大，要最大， ∴当时，四边形的周长最大， 此时，，故③正确； 作，交延长线于M， ∵， ∴， ∵A、C、B、D四点共圆， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵直径，，， ∴，， ∴， 四边形的面积为 ，故④错误； 综上，①②③正确； 故选：C 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等知识点的综合运用，综合性比较强，难度偏大． 2．如图，四边形中，，，，，则四边形的面积最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转，勾股定理，圆的相关性质，先将逆时针旋转连接，得到，再由隐形圆可得，可求得，由，只需求面积最大即可． 【详解】解：如图，以为中心，将旋转， ∵， ∴与为对应边， 设点对应点为，连接 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴在以为弦，优弧所对圆周角为的圆周上， 设所在圆的圆心为，连接，作于点，交于点 劣弧所对圆周角为， ∴所对圆周角为， ∴，， ∴， ∴， ∴当面积最大时，四边形ABCD面积最小， 作于， 由图可知，在时，取得最大值 ∴最大值为 ∴四边形最小值为 故选A． 3．如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心、半径为1的圆上的一动点，连接、．则面积的最大值是（    ）    A．21 B．33 C． D．42 【答案】B 【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出，求出点C到的距离，即可求出圆C上点到的最大距离，根据面积公式求出即可． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 即，由勾股定理得：， 过C作于M，连接，    则由三角形面积公式得：， 即：， ∴， ∴圆C上点到直线的最大距离是：， ∴面积的最大值是； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理等知识，解此题的关键是求出圆上的点到直线的最大距离． 4．如图，中，，在的同侧作正，正和正，则四边形面积最大值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】过作于，过作，交于，根据等边三角形的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三线合一的性质，得出，进而得出，即点、、在一条直线上，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等量代换，得出，同理得出，再根据平行四边形的判定定理，得出四边形是平行四边形，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据平行四边形和三角形的面积，得出，再以为直径作圆，当最大时，的面积最大，此时为半径，再根据三角形的面积公式，结合二次根式的乘法，计算即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过作于，过作，交于， ，， ， 是正三角形，， ， ，即点、、在一条直线上， 在正、正和正， ，，，， ， ， ， ， 同理可得，   四边形是平行四边形， ， ， ， ，， 以为直径作圆，当最大时，的面积最大，此时为半径， ， 四边形面积的最大值是2． 故选：B 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三线合一的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理、含角的直角三角形、圆周角定理、二次根式的乘法，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 5．如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为 ．    【答案】/ 【分析】连接，由正方形的性质及等腰直角三角形的性质，易证四点共线，由圆周角定理得到恒等于，从而得到点P在正方形对角线上运动，证明，得到，由，得到为定值，当点三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值为，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，   四边形是正方形，是等腰直角三角形， ， ， 四点共线， 恒等于， 点P在正方形对角线上运动， ， ， ， ， 为定值， 当点三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值为， ， 的周长的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，四点共圆，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识点，正确作出辅助线，确定点P的运动轨迹是解题的关键． 6．如图，正方形的边长为4，点E为对角线上任意一点（不与B，D重合），连接，过点作，交线段于点，以，为邻边作矩形，连接．给出下列四个结论：①；②；③四边形的周长最小值为；④当时，的面积为3，其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】①连接，根据正方形的性质及圆周角定理可以判断；②连接，过点作于点，利用正方形的性质及线段的和差关系可得，假设，则，可得，即、是的三等分点，当点在上运动时由此可判断；③由正方形的判定与性质可得，再由全等三角形的判定与性质及最值问题即可判断；④连接，过点作于点，根据正方形的性质及勾股定理可得、的长，再利用三角形的面积公式答案． 【详解】解：①如图，连接， 四边形是正方形， ，， ， 、、、在以为直径的圆上， ，， ， ，故①正确； ②如图，连接，过点作于点， 四边形是正方形，点在上， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 假设，则， ，即、是的三等分点， 而当点在上运动时，点会在线段上运动，故②不正确； ③由①得，， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 随的增大而增大， 当时，最小，的值最小， 此时， 的最小值为，故③正确； ④如图，若设的中点为，则点在上时，连接，过点作于点， ，， ， 由③知四边形是正方形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ． ④正确； 综上所述，正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 7．如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆的半径，垂径定理，作的外接圆，连接，，，过点作于点，根据圆周角定理可得，则，设的半径为，则，，根据得出，求得半径的范围，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】作的外接圆，连接，，，过点作于点，   ， ， ， ， 设的半径为，则，， ， ， ， 解得：， ， ， 的面积的最小值为， 故答案为：. 8．在平面直角坐标系中，已知点，点，若点P是y轴正半轴上的点，且满足，则点P的坐标为 ；若点P是坐标平面内任一点，且满足，则面积的最大值为 ．    【答案】 【分析】本题考查隐圆问题，圆周角定理，勾股定理，圆上一点到直线的距离等．设中点为E，过点E在第一 象限作，构造等腰直角和，以点C为圆心，（或）长为半径作，得到点P的运动轨迹．（1）过点C作轴于点D，利用勾股定理解即可求解；（2）当点P与点C、点E在同一直线且位于x轴上方时，面积取最大值．得到点P的运动轨迹是解题的关键． 【详解】解：设中点为E， 点，点， ，， 过点E在第一 象限作，且，以点C为圆心，（或）长为半径作，与y轴的正半轴交于点P， 由作图知和为等腰直角三角形， ， ， ， 点P即为满足条件的点， 过点C作轴于点D，则，， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 点P的坐标为； 当点P与点C、点E在同一直线且位于x轴上方，即图中点位置时，的面积最大， 此时， ， 故答案为：；．      【经典例题六 圆中勾股定理型最值（含切线证明）】 1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线长PQ的最小值是（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】连接OP，OQ，由PQ为圆O的切线，利用切线的性质得到OQ与PQ垂直，利用勾股定理列出关系式，由OP最小时，PQ最短，根据垂线段最短得到OP垂直于AB时最短，利用面积法求出此时OP的值，再利用勾股定理即可求出PQ的最短值． 【详解】连接OP、OQ，如图所示， ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ， 根据勾股定理知：PQ2=OP2﹣OQ2， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短， ∵在Rt△AOB中，OA=OB=4， ∴AB==4， ∴S△AOB=OA•OB=AB•OP，即OP==2， ∴PQ= 故选B． 【点睛】本题圆的切线的性质，勾股定理，熟练掌握圆的切线性质及相关定理是本题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A（4，0）、B（0，4），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．2 ﹣1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】连接OP、OQ，根据勾股定理知 当PO⊥AB时，线段PQ最短，即线段PQ最小. 【详解】解：如图，连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ； 由勾股定理知， ∵当PO⊥AB时，线段PQ最短； 又∵A（4，0）、B（0，4）， ∴OA＝OB＝4， ∴， ∴， ∵OQ＝2， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题． 3．（2024·江苏宿迁·二模）如图，等边三角形的边长为4，的半径为，P为边上一动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，过点C作于H，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出，根据等边三角形的性质求出，根据垂线段最短解答即可． 【详解】解： 连接，过点C作于H， 是的切线， ， ， 当时，最小，取最小值， 为等边三角形， ， ， 的最小值为：， 故选：C． 4．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线，为切点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先连接根据勾股定理知可得当时，即线段最短，然后由勾股定理即可求得答案．本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意得到当时，线段最短是关键． 【详解】解：连接如图： ∵是的切线， 根据勾股定理知 ∴当时， 线段最短， ∵在中， 故选：C． 5．（23-24九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，．的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，点D为切点，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、垂线段最短、勾股定理，连接，，根据切线的性质和勾股定理推出，由于为半径是定值，则最小时，取最小值，由垂线段最短可知，当时，最小，利用三角形面积求得，即可求得线段长的最小值． 【详解】解：连接，，如图所示： 为的一条切线， ， ， 为半径是定值， 当最小时，取得最小值， 由垂线段最短可知，当时，最小， ，，． ， ， ，解得， ， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，是直线：上的一个动点，的半轻为1，过点作的切线，切点为，则长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先确定点坐标，利用勾股定理解得的长度；连接，，切线的性质可得，所以在中，由勾股定理可得，当时，取最小值，也取最小值，然后利用面积法解得的值，进而确定长度的最小值即可． 【详解】解：对于直线：， 令，则，即， 令，则，解得，即， ∴，， ∵， ∴， 连接，，如下图， ∵为的切线，的半轻为1，即， ∴， ∴在中，， 当时，取最小值，也取最小值， 此时可有， 即，解得， ∴， ∴长度的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与坐标轴交点问题、勾股定理、垂线段最短、切线的性质定理等知识，正确作出辅助线，结合切线的性质分析问题是解题关键． 7．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 【答案】 【分析】记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，则当最小时，最小，点P与点K重合，此时最小值为，由勾股定理求得的最小值，从而求得结果． 【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接， 当，，当，即， 解得：， 即； 而， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时即最小， ∴当时，取得最小值， 即点P与点K重合，此时最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键． 8．（2024·河南南阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，过点作的切线，切点为，则长度的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、切线的性质、勾股定理、三角形面积公式，连接，，求出，，由勾股定理得出，由切线的性质结合勾股定理得出，当最小时，的值最小，当时，的值最小，此时的值最小，由等面积法得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接，，    在中，令，则，故，， 令，则，解得：，故，， ， 是的切线， ， ， 的长度为不变， 当最小时，的值最小， 当时，的值最小，此时的值最小， ， ，此时， 长度的最小值为， 故答案为：． 【经典例题七 利用三角形的中位线求圆中最值】 1．如图，中，于点是半径为4的上一动点，连接，若是的中点，连接，则长的最大值为（    ）    A．8 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是点和圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理，明确当取最大值时，的长最大是解题的关键．连接，根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理得到，则当取最大值时，的长最大，求得的最大值，即可求得长的最大值． 【详解】解：连接，    ，， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 当取最大值时，的长最大， 是半径为2的上一动点， 当过圆心时，最大， ，， ， 的半径为4， 的最大值为， 长的最大值为， 故选：． 2．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先证点C在半径为1的⊙B上，可知，C在与圆B的交点时，最小，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：直线， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∵点C为坐标平面内一点，， ∴C在⊙B上，且半径为1， 如图，在x轴上取，连接， ∵M为线段的中点，， ∴是的中位线， ∴， 当最小时，即最小，而D，B，C三点共线时， 当C在线段上时，最小， ∵，， ∴由勾股定理， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点坐标和图形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识，掌握一次函数与坐标轴交点坐标和图形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，确定为最小值时点C的位置是关键． 3．如图，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点．当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】取的中点O、的中点E、的中点F，连接，如图，利用等腰直角三角形的性质得到，则，，再根据等腰三角形的性质得，则，于是根据圆周角定理得到点M在以为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形为正方得到，所以M点的路径为以为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长． 【详解】解：取的中点O、的中点E、的中点F，连接，如图， ∵在等腰中，， ∴， ∴在上， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴点M在以为直径的圆上， 点P在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，得四边形为正方形，， ∴M点的路径为以为直径的半圆， ∴点M运动的路径长． 故选：C． 【点睛】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆． 4．如图，点半径为2，，点M是上的动点，点C是的中点，则的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，作射线交于、，连接．因为，所以，所以当最大时，最大，可知当M运动到时，最大，由此即可解决问题． 【详解】如图，作射线交于、，连接， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴当最大时，最大， ∴当M运动到时，最大， 此时的最大值， 故选C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题． 5．如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，点与圆的位置关系，三角形的中位线定理等知识，确定为最小值时点C的位置是解题的关键．作点A关于x轴的对称点E，根据中位线的性质得到，求出的最小值即可． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点， 则点B是的中点， 又∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点C为坐标平面内一点，且， ∴点C在以O为圆心，5为半径的上运动， ∴当减去半径时，最小． ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值． 故答案为：． 6．在矩形中，，，且满足，点M是平面内一点，且满足N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，点和圆的位置关系等知识点，灵活运用所学知识点得出点N的运动轨迹是解本题的关键． 连接，取的中点O，连接，可知为的中位线，则可得，进而可知点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动，在矩形中，根据进而得出答案． 【详解】解：连接，取的中点O，连接， ∵N为的中点， 为的中位线， ∴， ∴点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动， 在矩形中，， 的取值范围为， 即， 故答案为：． 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，点M 为边上一点，以点M为圆心，为半径作， 交x轴于点 D， 连接交于点E， 连接， 点 F 为中点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】如图所示，连接，取中点H，连接，取中点G，连接，由矩形的性质得到，进而得到，，证明，则，再证明为的中位线，得到，则点F在以点G为圆心，半径为1的圆上运动，故当三点共线且点F在上时，有最小值，利用勾股定理得到，则． 【详解】解；如图所示，连接，取中点H，连接，取中点G，连接， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点F在以点G为圆心，半径为1的圆上运动， ∴当三点共线且点F在上时，有最小值， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，矩形的性质，三角形中位线定理，圆周角定理，直角三角形的性质，坐标与图形，勾股定理等等，正确作出辅助线推出点F的运动轨迹是解题的关键． 8．如图，中，，，，E是的中点，M、N分别是边上的动点，D也是边上的一个动点，以为直径作，连接交于F，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，根据圆周角定理可得，取的中点G，连接，可得，以为直径作圆G，可得点F在圆G上，将沿对折得到，过点G作于点，交于点M，交圆G于点F，此时最短，所以最小，延长，交于点P，可得，根据含30度角的直角三角形即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， 取的中点G，连接， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∴， 以为直径作圆G， ∴点F在圆G上， 将沿对折得到， 过点G作于点，交于点M，交圆G于点F，此时最短， ∴最小， ∵， ∴ ∴， 延长，交于点P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，最短距离问题，含30度角的直角三角形，圆周角定理，解决本题的关键是正确作出辅助线． 【经典例题八 圆中旋转最值问题】 1．如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】D 【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为6的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵点M为中点，点A为中点， ∴是的中位线， ∴； 在中，， ∴， ∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转， ∴点C在以O为圆心，半径为6的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，解直角三角形，三角形中位线定理，坐标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键． 2．如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点B旋转一周，连接，点M为的中点，点N为的中点连接，则线段的最大值是（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】点F在以B为圆心，以2为半径的圆上运动，根据直径是圆中最大的弦，得到当A、B、F三点共线时，AF最大，根据三角形中位线定理，得到MN=，MN的最值与AF的最值一致，计算AF的长即可，即AF=AB+BF． 【详解】根据题意，得点F在以B为圆心，以2为半径的圆上运动， 根据直径是圆中最大的弦，得到当A、B、F三点共线时，AF最大， ∴ AF=AB+BF， ∵，， ∴， ∴ AF=， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴ MN是△AEF的中位线， ∴ MN==， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握圆的性质，勾股定理是解题的关键． 3．如图，线段绕点旋转，线段的位置保持不变，在的上方作等边，若，，则在线段旋转过程中，线段的最大值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】首先构造以OB为边的等边△，再证明，证明AO=O’P，因为OA的长度不变，所以动点A在以O为圆心，半径为1的圆上运动，因为O’P的长度不变，O’不动，所以动点P在以O’为圆心，半径为1的圆上运动，当三点O,O’,P共线时，OP最大，即可求得． 【详解】如图，以OB为边作等边，连接O’P， ∴OB=O’B, ∵△PAB为等边三角形， ∴AB=BP,∠1+∠2==60°, ∴∠1=∠3， 在△OBA和中 ∴ ∴OA=O’P， 点A在以O为圆心，半径的1的圆上运动，P在以O’为圆心，半径为1的圆上运动， 当O,O’,P三点共线时，OP最大， 此时OP, 故选：B． 【点睛】本题考查构造手拉手全等三角形和求线段最大值，通过构造全等发现动点在圆上运动，进而求得线段最值，通过构造手拉手全等是解题关键． 4．如图，已知边长为2的正顶点A的坐标为，的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中的最小值为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】分析：首先得到当点E旋转至y轴上时最小，然后分别求得、的长，最后求得的长即可． 【详解】解：如图，连接， 根据，当D，E，O三点共线时，最小； ∵边长为2的是等边三角形，点A的坐标为，的中点D在y轴上， ∴，， ∴， ∵正六边形的边长为2， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正六边形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握性质和应用是解题的关键． 5．已知，均是边长为4的等边三角形，点D是边的中点． （Ⅰ）如图①，这两个等边三角形的高为 ； （Ⅱ）如图②，直线相交于点M，当绕点D旋转时，线段长的最小值是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查等边三角形的性质、勾股定理，圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，得到点M的运动路线是解答的关键． （Ⅰ）可根据等边三角形的性质和勾股定理求解即可；（Ⅱ）如图①中，连接、、，根据题意可得，，，分别证明和，利用全等三角形的性质和等腰三角形的判定与性质推导出，则点M在以为直径的圆上运动，进而得到当点M运动到时，最短，利用圆的基本知识求解即可． 【详解】解：（Ⅰ）如图①中，连接， ∵是边长为4的等边三角形，点D是边的中点， ∴，，， 在中， ∴ 故答案为：； （Ⅱ）如图①中，连接、、， 由题意，，，， ∴，， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点M在以为直径的圆上运动， 如图②中，当点M运动到时，最短， ∵，， ∴的最小值为， 故答案为：． 6．直线分别与轴、轴相交于点、，边长为2的正方形的一个顶点在坐标系的原点，直线与相交于点，若正方形绕着点旋转一周，则点到点长度的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】由题意可得，则有，由，，进而可得，旋转同理可证，则P在以为直径的圆上，可得圆心G为，半径为，由，可知当圆心G，点P，三点共线时，最小，由，进而可得最小值． 【详解】解：如图： ∵直线与轴、轴交于点、， ∴、， ∴， 在和中， ． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 在正方形旋转的过程中，同理可证，，可得，， ∴在以为直径的圆上， ∴圆心为，半径为，连接， ∵， ∴当圆心，点，三点共线时，最小， ∵， ∴， ∴点到点长度的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与几何变换、正方形的性质、三角形全等的判定与性质，圆的有关知识，解题的关键是发现点P在以为直径的圆上，确定点P的位置是解题的关键． 7．如图，已知正方形、正方形的边长分别为4，1，将正方形绕点A旋转，连接，点M是的中点，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，取的中点O，连接，则易得．由于O点时定点，的长为定值，由此可得M点的运动轨迹是以O点为圆心，以为半径的圆．当过圆心时，的值最大，求出的长，再加上的长，即可得的最大值． 【详解】 如图，连接，取的中点O，连接 ∵正方形的边长分别为1， ． ∵O是的中点，M是的中点， ， ∴M点的运动轨迹是以O点为圆心，以为半径的圆． 连接并延长交于H点， 当M点运动到H点时，的值最大． ∵正方形的边长分别为4， ， ， ， ， 即CM的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理、动点轨迹问题，以及圆外一点到圆上各点的最值问题．见中点，想中位线．找到M点的运动轨迹是解题的关键． 8．如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，，绕点A旋转过程中，的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题可知：点在以点为圆心，为半径的圆上，连接，，则：，当三点共线时，的值最大，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，， ∴ ∴，， ∵绕点A旋转， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴当三点共线时，的值最大， 即：； 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，以及借助圆，求线段的最值．解题的关键是确定点在以点为圆心，为半径的圆上． 【经典例题九 圆中翻折最值问题】 1．（23-24秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，设的长为，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先点是的中点，得，则点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，找到的最小和最大时的点，分别通过勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点是的中点， ， 将沿所在直线翻折得到△， ， 点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动（如图）， 此时即为最小值，过作，交的延长线于， ， ， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， 当与重合时，最大， 此时，， 在中，由勾股定理得： ， 当与重合时，不存在， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，勾股定理，圆的定义等知识，发现点的运动路径是解题的关键． 2．（23-24·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点D是边的中点，点E是边上的任意一点（点E不与点B重合），沿翻折使点B落在点F处，连接，则线段长的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】连接AD，以D为圆心，以CD为半径画圆，交AD于G，根据题意可知点F在上，当G和F重合时AF有最小值，然后利用勾股定理计算长度即可． 【详解】解：连接AD，以D为圆心，以CD为半径画圆，交AD于G，根据题意可知点F在上，当G和F重合时AF有最小值， ∵点D是边的中点， ∴, 在Rt△ACD中， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查圆的性质和勾股定理，能够找到点F的运动轨迹是解题的关键． 3．（2023·河北·模拟预测）如图，正方形的边长为4，E是边的中点，F是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当的长最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和勾股定理可得的长，再由翻折知，得点G在以B为圆心，4为半径的圆上运动，可知当点三点共线时，最小． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴ ， ∴点G在以B为圆心，4为半径的圆上运动， ∴当点三点共线时，最小， 连接，设， ∵ ∴ 解得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理以及辅助圆，确定当点三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度． 4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，四边形为矩形，，，点P为边上一点，以为折痕将翻折，点A的对应点为点，连接交于点M，点Q为线段上一点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据可知点M在以为直径的上，作点A关于的对称点点，连接交于M，交于点Q，此时的值最小，为的长，然后利用勾股定理求出，进而可得答案． 【详解】解：由折叠可知，，即， ∴点M在以为直径的上，如图， 作点A关于的对称点点，连接交于M，交于点Q，此时的值最小，为的长， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理以及圆外一点到圆上一点的最短距离问题，判断出点M的运动轨迹是解题的关键． 5．（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，，M是边上的一点，且，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】过点M作交延长线于点H，连接，根据菱形的性质和直角三角形的性质，求出，再由勾股定理求出的长，再由折叠的性质可得点在以M为圆心，为半径的圆上，从而得到当点在线段上时，长度有最小值，是解题的关键． 【详解】解：过点M作交延长线于点H，连接， 菱形中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴， ∴点在以M为圆心，为半径的圆上， ∴当点在线段上时，长度有最小值， ∴长度的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、折叠的性质，找到当点在上，的长度最小，是解题的关键． 6（23-24秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，则的长的最小值是 ． 【答案】8 【分析】先由折叠可知，则可得点在以为圆心，以的长为半径的圆上，然后结合已知条件求出、、的长度，最后求出的长的最小值． 【详解】解：由折叠可知， ∴点在以为圆心，以的长为半径的圆上，如图，连接，交圆于点，此时的长取最小值， ∵，，点为的中点， ∴，， 故答案为：8． 【点睛】本题考查矩形中的折叠问题，以及构造圆解决线段最值问题．熟练掌握折叠的性质，以及到定点等于定长的点在以定点为圆心，定长为半径的圆上，是解题的关键． 【经典例题十 运动路径长最值问题】 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，，动点分别从点同时出发，以相同的速度分别沿向终点移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，在这个移动过程中点经过的路径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出经过的路程长． 【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示： ， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， 在中，，则， 的轨迹为以为圆心，1为半径的圆弧，则 当与重合时，；当与重合时，与重合； 走过的路程为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轨迹长度的求解，涉及矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定的轨迹是本题解题的关键． 2．（2023·广东珠海·二模）边长为2的等边三角形中，于H，E为线段上一动点，连接．于点F，分别交于点D，G．①当E为中点时，；②；③点E从点B运动到点H，点F经过路径长为1；④的最小值．正确结论是（    ） A．②③ B．②④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质结合直角三角形的性质逐个分析即可． 【详解】①当时结合可得平分， 过作于， ∵E为中点， ∴， ∵ ∴不可能平分， ∴，故①错误； ②连接， ∵， ∴四点共圆， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴点F的运动轨迹是以中点为圆心，半径为的圆， ∴点E从点B运动到点H，点F经过路径长为，故③错误； ④取中点，连接，，则 ∵， ∴ ∵ ∴的最小值，故④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是准确处理，属于中考压轴题． 3．（2023·江苏镇江·一模）如图，菱形的边长为，，点为边的中点．点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，连接，过点作于点．当点到达点时，点也停止运动，则点的运动路径长是（    ） A． B．12 C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接、、，设、交于点，交于点，连接，设中点为，连接、，根据菱形及等边三角形得性质可得，，可得出，可得必经过点，根据，可得点在以为直径的圆上，根据、的速度及菱形性质可得当点达到点时，点达到点，，可得点点运动路径长是的长，利用勾股定理可求出的长，根据圆周角定理可得，利用弧长公式即可得答案． 【详解】如图，连接、、，设、交于点，交于点，连接，设中点为，连接、， ∵菱形的边长为，， ∴，是等边三角形， ∵点为边的中点， ∴，，， ∵点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴必经过点， ∵，， ∴点在以为直径的圆上，且、、、四点共圆， ∵当点达到点时，点达到点，， ∴点点运动路径长是的长， ∵，， ∴， ∴，即点点运动路径长是． 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆的证明、勾股定理、圆周角定理及弧长公式，正确得出点的运动轨迹是解题关键． 4．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点．当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】取的中点O、的中点E、的中点F，连接，如图，利用等腰直角三角形的性质得到，则，，再根据等腰三角形的性质得，则，于是根据圆周角定理得到点M在以为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形为正方得到，所以M点的路径为以为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长． 【详解】解：取的中点O、的中点E、的中点F，连接，如图， ∵在等腰中，， ∴， ∴在上， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴点M在以为直径的圆上， 点P在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，得四边形为正方形，， ∴M点的路径为以为直径的半圆， ∴点M运动的路径长． 故选：C． 【点睛】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆． 5．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在矩形中，，，动点为矩形边上的一点，点沿着的路径运动（含点和点，则的外接圆的圆心的运动路径长是 ． 【答案】 【分析】 本题考查轨迹、矩形的性质、三角形的外接圆等知识．如图，连接、交于点．当点与或重合时，的外接圆的圆心与重合，当时，设的外接圆的圆心为，的延长线交于，设，因为的外心在线段的垂直平分线上，观察图象可知，点沿着的路径运动，的外接圆的圆心的运动路径长是，由此即可解决问题． 【详解】 解：如图，连接、交于点． 当点与或重合时，的外接圆的圆心与重合， 当时，设的外接圆的圆心为，的延长线交于，则垂直平分，， 设， 中，， ， 解得， ， 在矩形中，， ， ， 的外心在线段的垂直平分线上， 观察图象可知，点沿着的路径运动，的外接圆的圆心的运动路径长是． 故答案为． 6．（23-24九年级下·黑龙江大庆·阶段练习）四边形中，，，且，．以为圆心，为半径作弧，交的延长线于点，若点为弧上的动点，过点作于点，设点I为的内心，连接，当点Q从点C运动到点E时，则内心I所经过的路径长为 ．    【答案】/ 【分析】三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，连接，由内心定义得，继而证明，再由全等三角形的对应角相等解得，接着计算的度数，得到，过、、三点作，求得的度数，求出，在等腰直角三角形中，利用勾股定理解得，最后根据弧长公式解题即可． 【详解】解：如图，连接，   是内心， ， ，， ， ， ， ， ， ， 过、、三点作，连接， ， 当点从点运动到点时，内心所经过的路径长为的长， 过点作，过作，垂足分别为M、N， ，， ，， ，． ，， ， 在等腰直角三角形中，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的综合，涉及圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形的内心性质、不共线三点确定一个圆、弧 长公式等知识，是重要考点，正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键． 7．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）如图，为的直径，且，点C在半圆上，，垂足为点O，P是 上任意一点，过P点作于点E，M是的内心，连接，当点P在弧上从点B运动到点C时，求内心M所经过的路径长 ． 【答案】 【分析】首先证明，推出当点P在弧上从点B运动到点C时，点M在以为弦，并且所对的圆周角为的劣弧上（ ），利用弧长公式计算即可解决问题． 【详解】∵的内心为M， ∴，， ∴， ∵，即， ∴． ∵，而， ∴， ∴， 所以当点P在弧BC上从点B运动到点C时，点M在以为弦， 并且所对的圆周角为的劣弧上（ ），点M在扇形内时， 过C、M、O三点作，连，在优弧取点D，连， ∵， ∴， ∴，而， ∴ ， ∴弧的长 = ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了弧长的计算公式、三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题． 8．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知点是第一象限内的一个定点，点是以为圆心、1个单位长为半径的圆上的一个动点，连接，以为边在右侧作等边三角形．当点在上运动一周时，点运动的路径长是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件得到点的运动轨迹也为圆，根据全等三角形的性质得到，即可求出路径长． 【详解】如图，连接、，将绕点逆时针旋转，得线段，连接、， ，， 为等边三角形， 为等边三角形， ，， ， ， 在与中， ， ， ， 即为动点运动的路径， 当点在上运动一周时，点运动的路径长是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了动点路径长，关键在于确定从动点的运动轨迹，考查了旋转、全等知识，“瓜豆原理”． 【经典例题十一 阿氏圆最值问题（含相似证明）】 1．（23-24·江苏常州·一模）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．延长到T，使得，连接，．利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．利用两点之间线段最短得到，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：延长到T，使得，连接，． ， ， 点D是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·浙江·专题练习）如图所示，，半径为的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ．    【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形；方法一，，作，，确定的最大值和最小值．方法二，延长交于点，求得，得到，，当与相切时，取得最大和最小，据此求解即可． 【详解】解：方法一，作于，作于，   ，， ， ， ， ， ， ， 当与相切时，取得最大和最小， 如图，    连接，，， 可得：四边形是正方形， ， 在中， ， ， 在中， ， ， ， 如图，    由上知：，， ， ， ， ． 故答案为：． 方法二：延长交于点，    ∵，，、分别垂直于的两边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当与相切时，取得最大和最小， 连接，作， 可得：四边形是正方形， ， 在中，，， ， ∴的最大值为， 同理，的最小值为．   ． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江·专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】取点，连接，．根据，有，即可证明，即有，进而可得，则有，利用勾股定理可得，则有，问题得解． 【详解】解：如图，取点，连接，． ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，（当B、P、T三点共线时取等号） 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 4．（23-24九年级·全国·专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ． 【答案】 【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形构造PB即可解答． 【详解】解：设⊙O半径为r， OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2， 取OB的中点I，连接PI， ∴OI＝IB＝， ∵， ， ∴ ，∠O是公共角， ∴△BOP∽△POI， ∴， ∴PI＝PB， ∴AP＋PB＝AP＋PI， ∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋PB最小， 作IE⊥AB于E， ∵∠ABO＝45°， ∴IE＝BE＝BI＝1， ∴AE＝AB−BE＝3， ∴AI＝， ∴AP＋PB最小值＝AI＝， ∵PA＋PB＝（PA＋PB）， ∴PA＋PB的最小值是AI＝． 故答案是． 【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形． 5．（23-24九年级·全国·专题练习）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，在上取一点，使得，进而证明,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得． 【详解】如图，连接，在上取一点，使得， ， 在△PDM中，PD-PM＜DM， 当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值， 四边形是正方形 在中， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键． 6．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ． 【答案】5 【分析】连接AC、AQ，先证明△BCP∽△ACQ得即AQ＝2，在AD上取AE＝1，证明△QAE∽△DAQ得EQ＝QD，故DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，求出CE即可． 【详解】解：如图，连接AC、AQ， ∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ， ∴∠ACB＝∠PCQ＝45°， ∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝，cos∠PCQ＝， ∴∠ACB=∠PCO， ∴△BCP∽△ACQ， ∴ ∵BP＝， ∴AQ＝2， ∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上， 在AD上取AE＝1， ∵，，∠QAE＝∠DAQ， ∴△QAE∽△DAQ， ∴即EQ＝QD， ∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE， 连接CE， ∴， ∴DQ+CQ的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够连接AC、AQ，证明两对相似三角形求解. 7．（23-24·广西·中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 ． 【答案】． 【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题． 【详解】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT． ∵PA＝2．AT＝1，AB＝4， ∴PA2＝AT•AB， ∴＝， ∵∠PAT＝∠PAB， ∴， ∴＝＝， ∴PT＝PB， ∴PB+CP＝CP+PT， ∵PC+PT≥TC， 在Rt中， ∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4， ∴CT＝＝， ∴PB+PC≥， ∴PB+PC的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键． 8．（23-24·江苏南京·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .    【答案】 【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证△DCE∽△ACD，将转化为DE，从而求得的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值． 【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4      ∵AC=9，CD=6，CE=4 ∴ ∵∠ECD=∠ACD ∴△DCE∽△ACD ∴ ∴ED= 在△EDB中，ED+DB≥EB ∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB ∴ 在Rt△ECB中，EB= ∴ ∴2AD+3DB= 故答案为：． 【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE∽△ACD． 学科网（北京）股份有限公司 $$