精品解析：河北省石家庄市第八十一中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题

初二数学81中第一次月考卷 一、选择题 1. 在式子：，，，，中，分式的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列命题中，是真命题的为（　　） A. 如果a＞b，那么|a|＞|b| B. 一个角的补角大于这个角 C. 平方后等于4的数是2 D. 直角三角形的两个锐角互余 3. 下列各式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在下列各组的条件中，不能判定和全等的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 已知，，那么的值为（ ） A. 2 B. C. 7 D. 0 6. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 缩小6倍 D. 不变 7. 计算：的结果为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 运动会上，初二（3）班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，D在上，E在上，且．补充下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 10. 若关于x的方程的解为，则a应取值（ ） A. 4 B. 3 C. D. 11. 下列各分式中与分式的值相等是（ ） A. B. C. D. 12. 若关于x的方程产生增根，则m的值是（ ） A. B. C. 2 D. 0 13. 如图，已知AC和BD相交于O点，AD∥BC，AD＝BC，过点O任作一条直线分别交AD，BC于点E，F，则下列结论：①OA＝OC；②OE＝OF；③AE＝CF；④OB＝OD，其中成立的个数是(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14. 已知，则（ ） A. B. C. D. 15. 如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 16. 如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x＜-2，那么符合条件的所有整数a的积是 （ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 9 二、填空题 17. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．若测得，则工件内槽宽为_______． 18. 在中，，则边上的中线的取值范围是________． 19. 如果，则的值为 _____． 20. 如图，在等边中，，与相交于点，则的度数是_____． 三、解答题（共6题） 21. 解下列分式方程 （1） （2） 22. 如图，已知，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 23. 先化简代数式，再从，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值． 24. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF； （2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？ 25. 某市对一段道路的提升改造工程进行招标，甲、乙施工一天的工程费用分别为万元和万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案： ①甲队单独做这项工程刚好如期完成． ②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天． ③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． （1）求甲、乙单独完成这项工程各需多少天? （2）在确保如期完成的情况下，你认为选择方案_____最节省工程款（请直接填①②③）． 26. 数学模型学习与应用： （1）学习：如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，BC⊥AC于点C，DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D；又∠ACB＝∠AED＝90°，可以通过推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝　 　，BC＝　 　．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． （2）应用：如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，A，E都在直线l上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．若DE＝a，BD＝b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）； （3）拓展：如图3，在（2）的条件下，若α＝120°，且△ACF是等边三角形，试判断△DEF的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学81中第一次月考卷 一、选择题 1. 在式子：，，，，中，分式的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，对应两个整式A、B，其中B中含有字母，那么形如的式子叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：在式子：，，，，中，分式有，，，共3个， 故选：C． 2. 下列命题中，是真命题的为（　　） A. 如果a＞b，那么|a|＞|b| B. 一个角的补角大于这个角 C. 平方后等于4的数是2 D. 直角三角形的两个锐角互余 【答案】D 【解析】 【详解】当b＜a＜0时，|a|＜|b|；当a、b互为相反数，且a＞0，b＜0时，|a|=|b|，故A选项错误； 当一个角为钝角时，这个角的补角小于这个角；当一个角为直角时，这个角的补角等于这个角，故B选项错误； 平方后等于4的数是2或－2，故C选项错误； 直角三角形的两个锐角互余，故D选项正确. 故选D. 3. 下列各式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案． 【详解】A、原式，所以A选项错误； B、原式=，所以B选项错误； C、原式=，所以C选项错误； D、，所以D选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了分式基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者同一个不为零的整式，分式的值不变． 4. 在下列各组的条件中，不能判定和全等的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法：，还有直角三角形的，是解题的关键．利用全等三角形的判定方法逐一进行判断． 【详解】解：如图， A、由，，，利用即可证明和全等； B、由，，，利用即可证明和全等； C、由，，，利用即可证明和全等； D、由，，无法证明和全等， 故选：D． 5. 已知，，那么的值为（ ） A. 2 B. C. 7 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法，乘法运算，平方差公式的应用．先计算出，将变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 6. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 缩小6倍 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】将x，y用3x，3y代入化简，与原式比较即可． 【详解】解：将x，y用3x，3y代入得 故分式的值不变． 故选D． 【点睛】本题考查分式的基本性质，熟悉掌握分式的性质是解题关键． 7. 计算：的结果为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键．原式利用除法法则变形，计算分式乘法，再计算加法即可得到结果． 【详解】解：原式 ， 故选：A． 8. 运动会上，初二（3）班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若设甲种雪糕的价格为x元，根据等量关系“甲种雪糕比乙种雪糕多20根”可列方程求解． 【详解】解：由题意可知：若设甲种雪糕的价格为x元，乙种雪糕价格是1.5x元，因为甲种雪糕比乙种雪糕多20根， 即甲种雪糕的根数-乙种雪糕的根数=20，甲种雪糕的根数为，乙种雪糕的根数为，所以列式为 故选B． 【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 9. 如图，D在上，E在上，且．补充下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴要使全等，只需要一组对应边对应相等即可， ∴当或或时，， 当时，三组对应角相等，不能判定， 故选B． 【点睛】本题考查添加条件证明三角形全等．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．注意不能判定三角形全等． 10. 若关于x的方程的解为，则a应取值（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解及解分式方程，根据方程的解的定义，把代入方程，即可得到一个关于a的分式方程，求解检验即可． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得：， 解得：． 经检验是原方程的解， ， 故选：A． 11. 下列各分式中与分式的值相等是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，知分式本身的符号、分子的符号、分母的符号中，只要改变其中两个符号，则分式的值不变，根据这一性质逐一分析． 【详解】解：A、在改变分母的符号时，分母应为，所以该选项与原分式的值不相等，故此选项不符合题意； B、在改变分母的符号时，分母应为，所以该选项与原分式的值不相等，故此选项不符合题意； C、同时改变了分子和分母的符号，与原分式的值相等，故此选项符合题意； D、同时改变了三个符号，所以该选项与原分式的值不相等，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了分式的基本性质，能够熟练运用分式的基本性质对分式中的符号进行改变． 12. 若关于x的方程产生增根，则m的值是（ ） A. B. C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根，分式方程的增根是使分母为0的未知数的值，根据方程有增根得到，将代入化简后的整式方程中即可求出答案． 【详解】解：将方程去分母得, ∵方程产生增根， ∴， 将代入，得， 故选：B． 13. 如图，已知AC和BD相交于O点，AD∥BC，AD＝BC，过点O任作一条直线分别交AD，BC于点E，F，则下列结论：①OA＝OC；②OE＝OF；③AE＝CF；④OB＝OD，其中成立的个数是(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件可得△AOD≌△CBO，△AOE≌△COF，根据这些三角形全等可以得出这四个结论. 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠A=∠C，∠B=∠D， 又∵AD=BC， ∴△ADO≌△CBO， ∴OA=OC，OB=OD， 而∠AOE=∠COF， ∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF，AE=CF． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与全等的性质；题目的难点在于根据前面得到的条件得到△AOE≌△COF，做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证． 14. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，由已知可得，再代入分式计算即可，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴原式， 故选：． 15. 如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】易证，可得，可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得，即③正确，根据③可求得④正确． 【详解】解：为的角平分线， ， 在和中， ， ，①正确； ， ， ， ， ， ，②正确， ， ， ， ， ， ，③正确； 过作，交的延长线于点， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和全等三角形对边角、对应边相等的性质是解题的关键． 16. 如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x＜-2，那么符合条件的所有整数a的积是 （ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】把a看作已知数表示出不等式的解集，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，将a的整数解代入整式方程，检验分式方程解为负分数确定出所有a的值，即可求出之积． 【详解】解：， 由①得：x≤2a＋4， 由②得：x＜−2， 由不等式组的解集为x＜−2，得到2a＋4≥−2，即a≥−3， 分式方程去分母得：a−3x−3＝1−x， 把a＝−3代入整式方程得：−3x−6＝1−x，即x＝−，符合题意； 把a＝−2代入整式方程得：−3x−5＝1−x，即x＝−3，不合题意； 把a＝−1代入整式方程得：−3x−4＝1−x，即x＝−，符合题意； 把a＝0代入整式方程得：−3x−3＝1−x，即x＝−2，不合题意； 把a＝1代入整式方程得：−3x−2＝1−x，即x＝−，符合题意； 把a＝2代入整式方程得：−3x−1＝1−x，即x＝−1，不合题意； 把a＝3代入整式方程得：−3x＝1−x，即x＝−，符合题意； ∴符合条件的整数a的取值为−3，−1，1，3，它们的积为9， 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 二、填空题 17. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．若测得，则工件内槽宽为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，连接，根据为和的中点，且即可判定，即可求得，即可解题． 【详解】解：连接，设是和的中点， 为和的中点， ， ， ， ∴， 故， 故答案为：． 18. 在中，，则边上的中线的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的不等关系；延长至E，使，连接，证明，再由三角形三边不等关系即可求解．倍长中线是关键． 【详解】解：延长至E，使，连接． 在和中， ， ∴， ∴． 在中，， 即， 故． 故答案为：． 19. 如果，则的值为 _____． 【答案】7 【解析】 【分析】此题考查的是分式运算和利用完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的变形是解题关键． 先将等式两边同时除以，并整理可得，然后利用完全平方公式的变形即可求出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为7． 20. 如图，在等边中，，与相交于点，则的度数是_____． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题利用等边三角形的性质来为三角形全等的判定创造条件，是中考的热点．根据题目已知条件可证，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解． 【详解】解：∵等边， ∴，， 在与中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共6题） 21. 解下列分式方程 （1） （2） 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】（1）方程两边同时乘以，即可把方程转化成整式方程，求得的值，然后进行检验即可求解； （2）方程两边同时乘以，即可把方程转化成整式方程，求得的值，然后进行检验即可求解． 【小问1详解】 解：去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 原分式方程无解； 【小问2详解】 解：方程两边同时乘以得：， 解得：， 检验：当时，， 则方程的解是：． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解法，解方程需要注意： （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要验根． （3）去分母时要注意符号的变化． 22. 如图，已知，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， 即， 在和中， ， ， ；. （2） 证明：由（1）知，， ， 在中，， 在中，， ． 【解析】 【分析】本题考查“手拉手”模型证全等，涉及三角形全等判定与性质、直角三角形性的判定与性质等知识，准确识别“手拉手”模型，掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由“手拉手”模型，结合两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）由（1）中三角形全等得到，在中，，从而在中，求得即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 先化简代数式，再从，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件确定的值，将字母的值代入求解． 【详解】解： ， ∵，， ∴当时，原式 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 24. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF； （2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？ 【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠CDF=90°， ∵， ∴△CBE△CDF（SAS）． ∴CE=CF． （2）成立 【解析】 【分析】（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB和△CFD全等，从而证出CE=CF． （2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG和△FCG全等，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立． 【详解】解：（1）略 （2）GE=BE+GD成立． 理由：∵由（1）得：△CBE△CDF， ∴∠BCE=∠DCF， ∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°， 又∵∠GCE=45°， ∴∠GCF=∠GCE=45°，CE＝CF． ∵∠GCE＝∠GCF， GC＝GC， ∴△ECG△FCG（SAS）． ∴GE=GF． ∴GE=DF+GD=BE+GD． 【点睛】本题考查了以下内容：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；解决本题的关键是理解题意，灵活运用全等三角形的性质与判定． 25. 某市对一段道路的提升改造工程进行招标，甲、乙施工一天的工程费用分别为万元和万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案： ①甲队单独做这项工程刚好如期完成． ②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天． ③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． （1）求甲、乙单独完成这项工程各需多少天? （2）在确保如期完成的情况下，你认为选择方案_____最节省工程款（请直接填①②③）． 【答案】（1）甲队单独完成需要天，乙队单独完成需要天 （2）③ 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，有理数乘法的实际应用，掌握了以上知识是解答本题的关键； （1）设工程期为天，则甲队单独完成用天，乙队单独完成用天，把工作总量看做单位1，根据甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成列出方程求解即可； （2）根据（1）所求分别求出对应方案的费用，比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：设工程期为天，则甲队单独完成用天，乙队单独完成用天， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队单独完成需要天，乙队单独完成需要天； 【小问2详解】 解：选择方案③最节省工程款； 方案①的费用为万元， 方案②的费用万元，但耽误工期，不符合题意（舍） 方案③的费用为万元． 综上所述：选择方案③最节省工程款． 26. 数学模型学习与应用： （1）学习：如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，BC⊥AC于点C，DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D；又∠ACB＝∠AED＝90°，可以通过推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝　 　，BC＝　 　．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． （2）应用：如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，A，E都在直线l上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．若DE＝a，BD＝b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）； （3）拓展：如图3，在（2）的条件下，若α＝120°，且△ACF是等边三角形，试判断△DEF的形状，并说明理由． 【答案】（1）DE，AE； （2）CE＝a﹣b； （3）△DEF是等边三角形，理由： 由（2）知：△ABD≌△CAE， ∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE， ∵△ACF是等边三角形， ∴∠CAF＝60°，AB＝AF， ∴△ABF是等边三角形， ∴∠ABD+∠ABD＝∠CAE+∠CAF， 即∠DBF＝∠FAE， 在△BDF和△AEF中， ， ∴△BDF≌△AEF（SAS）， ∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE， ∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝∠AFD+∠BFD＝60°， ∴△DEF是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△DAE，可得AC＝DE，BC＝AE； （2）由“AAS”可证△ABD≌△CAE，可得AD＝CE，BD＝AE，即可求解； （3）由“SAS”可证△BDF≌△AEF，可得DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，可得结论． 【详解】解：（1）∵∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°， ∴∠1＝∠D， 在△ABC和△DAE中， ， ∴△ABC≌△DAE（AAS）， ∴AC＝DE，BC＝AE， 故答案为：DE，AE； （2）∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝180°﹣α＝∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE， ∵DE＝a，BD＝b， ∴CE＝DE﹣BD＝a﹣b； （3）略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，根据题意找到全等三角形并证明是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $