6.3 角 讲义2024-2025学年人教版数学七年级上册

6.3 角 知识点1 角的概念 1.角的静态定义:有公共端点的两条 组成的图形叫做角,这个公共端点是角的 ,这两条射线是角的 . 2.角的动态定义:角也可以看作由一条射线绕着它的端点 而形成的图形,当射线的终止位置与起始位置成一条直线时,形成 角,继续旋转,当射线的终止位置和起始位置重合时,形成 角. 知识点2 角的表示方法 角的常用表示方法有四种: 1.用三个大写字母来表示 在这种表示法中,表示顶点的字母必须写在中间,另两个字母不分顺序.如图(1)中的角有 , , . 2.用一个大写字母来表示 在这种表示法中,表示角的大写字母必须是表示顶点的那个字母,且当两个或两个以上的角有同一个顶点时,不能用这种方法来表示其中的任何一个角.如图(2)中的∠EBC也可以表示为 ,∠ADC也可以表示为 ,但∠EAF,∠BAF都不能用∠A来表示. 3.用一个数字来表示 用数字表示角时,要在角的内部顶点加上弧线,弧线旁边写上数字如图(2)中的∠EAF也可以表示为 , 也可以表示为∠2. 4.用一个小写希腊字母 , 等来表示 这种方法同用数字表示角的方法类似,也是在角的内部顶点附近加上弧线,弧线旁边写上小写希腊字母.如图(3)中的∠AOB也可以表示为 . 知识点3 角的度量单位 1.角度制的概念:常用的角的度量单位是度、分、秒,这种角的度量制叫做角度制. 2.角的换算:1 = ',1'= ";1'= ,1"= '.1直角= ,1平角= ,1周角= . 知识点4 角的比较 1. 法:把要比较的两个角的顶点重合,把它们的一条边重合,另一条边位于重合边的同一侧,再比较另一条边的位置. 2. 法:用量角器量出角的度数,再根据度数比较角的大小. 知识点5 角的平分线 1.角的平分线:从一个角的 出发,把这个角分成两个 的角的射线,叫做这个角的平分线.若OC是∠AOB的平分线,则∠AOC= .反之,若,则OC是∠AOB的 . 2.角的n等分线:类似角的平分线,若从角的顶点引出的条射线,将这个角分成相等的 个角,则这条射线叫做这个角的n等分线. 知识点6 余角和补角 1.余角和补角:如果两个角的和等于 ,就说这两个角互为余角,简称“两个角互余”,即其中一个角是另一个角的 角.如果两个角的和等于 ,就说这两个角互为补角,简称“两个角互补”,即其中一个角是另一个角的 角. 2.余角和补角的性质:同角(等角)的补角 .同角(等角)的余角 . 知识点7 方位角 方位角:以正 、正 方向为基准,描述物体运动的方向,即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角. 重点 1、角的边是射线,我们画出的角的边是有限的,若不够用,可以随意延伸,不需要说“延长角的边”. 2、角的大小与角的边长(画出的部分)无关,只与两条射线张开的幅度有关. 3、平角的两边成一条直线,但不能说直线就是平角.周角两边重合成了同一条射线,但也不能说射线就是周角. 4、若没有特别说明,我们所研究的角指的是小于平角的角. 5、角的计数: (1)在观察计算图中有多少个角时,若没有特别说明,则只考虑小于平角的角. (2)同线段计数类似,进行角的计数时,进行分类计数也是一种好方法. 注意3 用阿拉伯数字表示角时,一定要在图中标出该角的位置,画出小弧线. 6、将度用度、分、秒来表示的方法:先将度的小数部分化为分,再将分的小数部分化为秒;将度、分、秒用度来表示的方法:先将秒化为分,再将分化为度大单位化为小单位乘进率,小单位化为大单位除以进率. 7、弄清角度单位的换算关系,防止与十进制单位混淆如不要误认为“14 15'=14.15 ”. 8、角平分线是射线,不是线段或直线. 9、角平分线必须满足三个条件:①是从角的顶点引出的射线;②在角的内部;③将已知角平分. 10、互余、互补是两个角之间的关系,若三个角的和等于90 或180 ,不能称为互余或互补. 11、互余、互补只与两个角的角度关系有关,与位置无关. 12、∠ 的余角可以记作90 -∠ ,∠ 的补角可以记作180 -∠ . 13、方位角在叙述时,一般先说南北,后说东西,如南偏西20 .当与南北方向夹角为45 时,常简称为东北、东南、西北、西南,如北偏东45 为东北方向. 14、叙述方位角时,不仅要先说南北,后说东西,而且要选好基准点,即在某一点的南(北)偏东(西)多少度. 课时1 角的认识 基础巩固 题型1 角的认识 1.下列说法正确的是( ) A.平角的终边和始边不一定在同一条直线上 B.角的边越长,角越大 C.大于直角的角叫做钝角 D.两个锐角的和不一定是钝角 2.如图,能用∠AOB,∠O,∠1三种方法表示同一个角的图形是( ) A. B. C. D. 3.如图所示,下列说法正确的是( ) A.∠ADE就是∠D B.∠ABC可以用∠B表示 C.∠ABC和∠ACB是同一个角 D.∠BAC和∠DAE不是同一个角 4.如图,图中总共有_个角. 5.请将图中的角用不同方法表示出来,并填写下表: ∠ABE ∠1 ∠2 ∠3 题型2 角的度量 6.如图所示,用量角器测量∠MON,可以读出∠MON的度数为( ) A.60 B.70 C.110 D.115 7.下列角度换算错误的是( ) A.10.6 =10 36" B.900"=0.25 C.1.5 =90' D.54 16'12"=54.27 8.凌晨3点整,钟表的时针与分针的夹角是( ) A.30 B.45 C.60 D.90 9.关于度、分、秒的换算. (1)56 18'用度表示; (2)12 32'24"用度表示; (3)12.31 用度、分、秒表示. 拓展培优 10.如图,在圆形钟面上,点O为钟面的圆心,以点O为顶点按要求画出符合下列要求的角(角的两边不经过钟面上的数字): (1)在图(1)中画一个锐角,使锐角的内部含有2个数字,且数字之差的绝对值最大; (2)在图(2)中画一个直角,使直角的内部含有3个数字,且所含3个数字之积等于这3个数字之和; (3)在图(3)中画一个钝角,使钝角的内部含有4个数字,且数字之和最小; (4)在图(4)中画一个平角,使平角的内部与外部的数字之和相等; (5)在图(5)中画两个直角,使这两个直角的内部含有的3个数字之和相等.(画出一种即可) 课时2 角的比较与运算 基础巩固 题型1 角的比较 1.已知∠A=25 12',∠C=25.2 ,下列结论中,正确的是( ) A.∠A<∠C B.∠A=∠C C.∠A>∠C D.两个角的大小不确定 2在∠AOB的内部任取一点C,作射线OC,则一定存在( ) A.∠AOB>∠AOC B.∠BOC=∠AOB C.∠BOC>∠AOC D.∠AOC>∠BOC 题型2 角的和差 3.如图所示,下列式子中错误的是( ) A.∠AOC=∠AOB+∠BOC B.∠AOC=∠AOD-∠COD C.∠AOD=∠AOB+∠BOD-∠BOC D.∠AOC=∠AOD-∠BOD+∠BOC 4.如图,已知点O在直线AB上,∠1=65 15',∠2=78 30',则∠1+∠2=_,∠3=_. 题型3 角的平分线 5.如图,∠AOB的平分线是( ) A.射线OB B.射线OE C.射线OD D.射线OC 6.[中]射线OC在∠AOB的内部,下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是( ) A.∠AOC=∠BOC B.∠AOC+∠BOC=∠AOB C.∠AOB=2∠AOC D. 题型4 角的运算 7.如图所示,已知∠AOC=∠BOD=70 ,∠BOC=30 ,则∠AOD的度数为( ) A.100 B.110 C.130 D.140 8.如图,∠AOB=120 ,∠BOC=30 ,OD是∠AOC的平分线,则∠BOD=_. 9.如图,已知,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC,∠EOF=65 ,求∠AOC的度数. 10.如图,已知∠AOB=40 ,∠BOC=3∠AOB,OD平分∠AOC,求∠BOD的度数. 易错点 对符合条件的角的位置情况考虑不周致错 11.已知∠AOB=40 ,∠BOC=20 ,则∠AOC的度数为( ) A.60 B.20 C.40 D.20 或60 巩固提升 1.若∠A=20 18',∠B=20 15",∠C=20.25 ,则有( ) A.∠A>∠B>∠C B.∠B>∠A>∠C C.∠A>∠C>∠B D.∠C>∠A>∠B 2.如图,∠AOB=90 ,∠AOC为∠AOB外的一个锐角,且∠AOC=40 ,射线OM平分∠BOC,ON平分∠AOC,则∠MON的度数为( ) A.45 B.65 C.50 D.25 3.如图,点O在AB上,∠AOC=120 ,OD,OE分别为∠AOC,∠BOC的平分线,图中大于0 小于180 的角中,相等的共有( ) A.6对 B.5对 C.4对 D.3对 4.∠ ,∠ 都是钝角,甲、乙、丙、丁计算的结果依次为50 ,26 ,72 ,90 ,其中有正确的结果,则计算正确的是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 5.把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起,其中A,B,D三点在同一直线上,BM为∠CBE的平分线,BN为∠DBE的平分线,则∠MBN的度数是( ) A.60 B.67.5 C.75 D.85 6.从点O引出三条射线OA,OB,OC,已知∠AOB=30 ,在这三条射线中,当其中一条射线是另两条射线所组成的角的平分线时,则∠AOC=_. 7.如图,将三个同样的正方形的一个顶点重合放置,那么∠1的度数为_. 8.如图,∠AOC:∠COD:∠BOD=2:3:4,且A,O,B三点在一条直线上,OE,OF分别平分∠AOC和∠BOD,OG平分∠EOF,求∠GOF的度数. 9.已知OC是∠AOB内部的一条射线,M,N分别为OA,OC上的点,线段OM,ON同时分别以30 /s,10 /s的速度绕点O逆时针转动,设转动时间为ts. (1)如图(1),若∠AOB=120 ,OM,ON逆时针转动到OM',ON'处. ①若OM,ON的转动时间t为2,则∠BON'+∠COM'=_; ②若OM'平分∠AOC,ON'平分∠BOC,求∠M'ON'的值. (2)如图(2),若∠AOB=4∠BOC,当OM,ON分别在∠AOC,∠BOC内部转动时,请猜想∠COM与∠BON的数量关系,并说明理由. 课时3 余角和补角 基础巩固 题型1 余角和补角的定义 1.已知∠A等于55 ,则∠A的补角等于( ) A.115 B.125 C.55 D.35 2.∠1,∠2互为补角,且∠1>∠2,则∠2的余角是( ) A.∠1+∠2 B.∠1-∠2 C.∠1-90 D.90 -∠1 3.若∠B的余角为57.12 ,则∠B=_ _'_''. 4.一个锐角的补角比它的余角的4倍小30 ,求这个锐角的度数和这个角的余角和补角的度数. 题型2 余角和补角的性质 5.如果∠1与∠2互余,∠2与∠3互余,那么∠1与∠3的关系为( ) A.互余 B.互补 C.相等 D.无法确定 6.如图,直线AB,CD相交于点O,因为∠1+∠3=180 ,∠2+∠3=180 ,所以∠1=∠2.其推理依据是( ) A.同角的余角相等 B.等角的余角相等 C.同角的补角相等 D.等角的补角相等 7.已知∠ 和∠ 互补,且∠ >∠ ,则有下列式子: ①90 -∠ ;②∠ -90 ;③;④;⑤.其中表示∠ 的余角的式子有_个. 8.如图,点A,O,B在同一直线上,∠1=∠2,则与∠1互补的角是_.若∠1=28 32'35",则∠1的补角为_. 9.如图所示,已知O是直线AB上一点,∠BOE=∠FOD=90 ,OB平分∠COD. (1)图中与∠DOE互余的角有_; (2)图中是否有与∠DOE互补的角?如果有,直接写出全部结果;如果没有,说明理由. 题型3 方位角 10.如图,甲从A点出发向北偏东60 方向走到点B,乙从点A出发向南偏西20 方向走到点C,则∠BAC的度数是( ) A.80 B.100 C.120 D.140 11.一艘海上搜救船借助雷达探测仪寻找到事故船的位置,雷达示意图如图所示,搜救船位于图中点O处,事故船位于距O点40海里的A处,雷达操作员要用方位角把事故船相对于搜救船的位置汇报给船长,以便调整航向,下列四种表述方式中正确的为( ) A.事故船在搜救船的北偏东60 方向 B.事故船在搜救船的北偏东30 方向 C.事故船在搜救船的北偏西60 方向 D.事故船在搜救船的南偏东30 方向 巩固提升 1.如果∠1的余角是∠2,并且∠1=2∠2,则∠1的补角为( ) A.30 B.60 C.120 D.150 2.如图,在 ABC中,∠BAC=90 ,点D,E分别在BC,CA边的延长线上,EH⊥BC于点H,EH与AB交于点F.则∠1与∠2的数量关系是( ) A.∠1=∠2 B.∠1与∠2互余 C.∠1与∠2互补 D.∠1+∠2=100 3.如图,把∠APB放置在量角器上,读得射线PA,PB分别经过刻度117和153,把∠APB绕点P逆时针方向转动到∠A'PB',下列三个结论: ①∠APA'=∠BPB'; ②若射线PA'经过刻度27,则∠B'PA与∠A'PB互补; ③若,则射线PA'经过刻度45. 其中正确的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 4.如图,某海域有三个小岛A,B,O,在小岛O处观测到小岛A在它北偏东62 的方向上,观测到小岛B在它南偏东38 12'的方向上,,则∠AOB的补角的度数是_. 5.如图,已知O是直线AB上的一点,OC平分∠AOB,∠DOE=90 ,图中相等的角有x对,互余的角有y对,互补的角有z对,则x+y+z=_. 6.如图,射线ON,OE,OS,OW分别表示以点O为中心的北,东,南,西四个方向,点A在点O的北偏东45 方向,点B在点O的北偏西30 方向. (1)画出射线OB,若∠BOC与∠AOB互余,请在图(1)或备用图中画出∠BOC; (2)若OP是∠AOC的平分线,直接写出∠AOP的度数.(不需要计算过程) 拓展培优 7.如图,将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起. (1)若∠BOC=70 ,如图(1),请求出∠AOD的度数; (2)若∠AOD=115 ,如图(2),请求出∠BOC的度数; (3)猜想∠AOD和∠BOC的关系.(直接写出答案即可) 课时4 与角平分线有关的计算问题 拓展培优 类型1 单角平分线问题 1.如图,已知点O为直线AB上一点,将一个直角三角板COD的直角顶点放在点O处,并使OC边始终在直线AB的上方,OE平分∠BOC. (1)若∠DOE=70 ,则∠AOC=_; (2)若∠DOE= ,求∠AOC的度数.(用含 的式子表示) 2.【发现猜想】 如图(1),若∠AOB=70 ,∠AOD=100 ,OC为∠BOD的平分线,则∠AOC的度数为_; 【探索归纳】 如图(1),∠AOB=m,∠AOD=n,OC为∠BOD的平分线.猜想∠AOC的度数(用含m,n的代数式表示),并说明理由. 【问题解决】 如图(2),已知∠AOB=20 ,∠AOC=90 ,∠AOD=120 .若射线OB绕点O以每秒20 的速度逆时针转动,射线OC绕点O以每秒10 的速度顺时针转动,射线OD绕点O以每秒30 的速度顺时针转动,三条射线同时转动,当一条射线与直线OA重合时,三条射线同时停止运动.运动几秒时,其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线? 类型2 双角平分线问题 3.已知∠AOB=90 ,OC为一条射线,OE,OF分别平分∠AOC,∠BOC,求∠EOF的度数. 4.如图,已知∠AOB=150 ,将一个直角三角形纸片(∠D=90 )的一个顶点放在点O处,现将三角形纸片绕点O任意转动,OM平分斜边OC与OA的夹角,ON平分∠BOD. (1)将三角形纸片绕点O转动(三角形纸片始终保持在∠AOB的内部),若∠COD=30 ,则∠MON=_; (2)将三角形纸片绕点O转动(三角形纸片始终保持在∠AOB的内部),若射线OD恰好平分∠MON,且∠MON=∠COD,求∠COD的度数; (3)将三角形纸片绕点O从OC与OA重合位置顺时针转动到OD与OA重合的位置,猜想在转动过程中∠COD和∠MON的数量关系,并说明理由. 答案 6.3 角 知识点1 角的概念 1.角的静态定义:有公共端点的两条 组成的图形叫做角,这个公共端点是角的 ,这两条射线是角的 . 2.角的动态定义:角也可以看作由一条射线绕着它的端点 而形成的图形,当射线的终止位置与起始位置成一条直线时,形成 角,继续旋转,当射线的终止位置和起始位置重合时,形成 角. 知识点2 角的表示方法 角的常用表示方法有四种: 1.用三个大写字母来表示 在这种表示法中,表示顶点的字母必须写在中间,另两个字母不分顺序.如图(1)中的角有 , , . 2.用一个大写字母来表示 在这种表示法中,表示角的大写字母必须是表示顶点的那个字母,且当两个或两个以上的角有同一个顶点时,不能用这种方法来表示其中的任何一个角.如图(2)中的∠EBC也可以表示为 ,∠ADC也可以表示为 ,但∠EAF,∠BAF都不能用∠A来表示. 3.用一个数字来表示 用数字表示角时,要在角的内部顶点加上弧线,弧线旁边写上数字如图(2)中的∠EAF也可以表示为 , 也可以表示为∠2. 4.用一个小写希腊字母 , 等来表示 这种方法同用数字表示角的方法类似,也是在角的内部顶点附近加上弧线,弧线旁边写上小写希腊字母.如图(3)中的∠AOB也可以表示为 . 知识点3 角的度量单位 1.角度制的概念:常用的角的度量单位是度、分、秒,这种角的度量制叫做角度制. 2.角的换算:1 = ',1'= ";1'= ,1"= '.1直角= ,1平角= ,1周角= . 知识点4 角的比较 1. 法:把要比较的两个角的顶点重合,把它们的一条边重合,另一条边位于重合边的同一侧,再比较另一条边的位置. 2. 法:用量角器量出角的度数,再根据度数比较角的大小. 知识点5 角的平分线 1.角的平分线:从一个角的 出发,把这个角分成两个 的角的射线,叫做这个角的平分线.若OC是∠AOB的平分线,则∠AOC= .反之,若,则OC是∠AOB的 . 2.角的n等分线:类似角的平分线,若从角的顶点引出的条射线,将这个角分成相等的 个角,则这条射线叫做这个角的n等分线. 知识点6 余角和补角 1.余角和补角:如果两个角的和等于 ,就说这两个角互为余角,简称“两个角互余”,即其中一个角是另一个角的 角.如果两个角的和等于 ,就说这两个角互为补角,简称“两个角互补”,即其中一个角是另一个角的 角. 2.余角和补角的性质:同角(等角)的补角 .同角(等角)的余角 . 知识点7 方位角 方位角:以正 、正 方向为基准,描述物体运动的方向,即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角. 答案 射线 顶点 两条边 旋转 平 周 ∠AOB ∠BOC ∠AOC ∠B ∠D ∠1 ∠ECD(∠FCD) ∠ 60 60 90 180 360 叠合 度量 顶点 相等 ∠BOC ∠AOB 平分线 n 90 (直角) 余 180 (平角) 补 相等 相等 北 南 重点 1、角的边是射线,我们画出的角的边是有限的,若不够用,可以随意延伸,不需要说“延长角的边”. 2、角的大小与角的边长(画出的部分)无关,只与两条射线张开的幅度有关. 3、平角的两边成一条直线,但不能说直线就是平角.周角两边重合成了同一条射线,但也不能说射线就是周角. 4、若没有特别说明,我们所研究的角指的是小于平角的角. 5、角的计数: (1)在观察计算图中有多少个角时,若没有特别说明,则只考虑小于平角的角. (2)同线段计数类似,进行角的计数时,进行分类计数也是一种好方法. 注意3 用阿拉伯数字表示角时,一定要在图中标出该角的位置,画出小弧线. 6、将度用度、分、秒来表示的方法:先将度的小数部分化为分,再将分的小数部分化为秒;将度、分、秒用度来表示的方法:先将秒化为分,再将分化为度大单位化为小单位乘进率,小单位化为大单位除以进率. 7、弄清角度单位的换算关系,防止与十进制单位混淆如不要误认为“14 15'=14.15 ”. 8、角平分线是射线,不是线段或直线. 9、角平分线必须满足三个条件:①是从角的顶点引出的射线;②在角的内部;③将已知角平分. 10、互余、互补是两个角之间的关系,若三个角的和等于90 或180 ,不能称为互余或互补. 11、互余、互补只与两个角的角度关系有关,与位置无关. 12、∠ 的余角可以记作90 -∠ ,∠ 的补角可以记作180 -∠ . 13、方位角在叙述时,一般先说南北,后说东西,如南偏西20 .当与南北方向夹角为45 时,常简称为东北、东南、西北、西南,如北偏东45 为东北方向. 14、叙述方位角时,不仅要先说南北,后说东西,而且要选好基准点,即在某一点的南(北)偏东(西)多少度. 课时1 角的认识 基础巩固 题型1 角的认识 1.下列说法正确的是( ) A.平角的终边和始边不一定在同一条直线上 B.角的边越长,角越大 C.大于直角的角叫做钝角 D.两个锐角的和不一定是钝角 1.D 【解析】平角的终边和始边一定在同一条直线上,故A错误;角的大小与边的长短无关,故B错误;钝角是大于直角且小于平角的角,故C错误.故选D. 2.如图,能用∠AOB,∠O,∠1三种方法表示同一个角的图形是( ) A. B. C. D. 2.D 【解析】A选项,以O为项点的角不止一个,不能用∠O表示,故A选项错误;B选项,以O为顶点的角不止一个,不能用∠O表示,故B选项错误;C选项,以O为顶点的角不止一个,不能用∠O表示,故C选项错误;D选项,能用∠AOB,∠O,∠1三种方法表示同一个角,故D选项正确.故选D. 3.如图所示,下列说法正确的是( ) A.∠ADE就是∠D B.∠ABC可以用∠B表示 C.∠ABC和∠ACB是同一个角 D.∠BAC和∠DAE不是同一个角 3.B 【解析】A选项,∠D在图中不能明确表示哪一个角,必须由三个字母表示,本选项不符合题意;B选项,∠ABC可以用∠B表示,正确,本选项符合题意;C选项,∠ABC和∠ACB不是同一个角,本选项不符合题意;D选项,∠BAC和∠DAE是同一个角,本选项不符合题意.故选B. 4.如图,图中总共有_个角. 4.10 【解析】题图中的角有∠AOC、∠COD、∠DOE、∠EOB、∠AOD、∠COE、∠DOB、∠AOE、∠COB、∠AOB,共10个. 5.请将图中的角用不同方法表示出来,并填写下表: ∠ABE ∠1 ∠2 ∠3 5.【解】(填表略)由题图可知,,∠1=∠ABC(或∠ABF),∠2=∠ACB(或∠ACE),∠3=∠ACF. 题型2 角的度量 6.如图所示,用量角器测量∠MON,可以读出∠MON的度数为( ) A.60 B.70 C.110 D.115 6.B 【解析】由题图知∠MON的度数为70 ,故选B. 7.下列角度换算错误的是( ) A.10.6 =10 36" B.900"=0.25 C.1.5 =90' D.54 16'12"=54.27 7.A 【解析】A选项,10.6 =10 36',错误;B选项,900''=0.25 ,正确;C选项,1.5 =90',正确;D选项,54 16'12''=54.27 ,正确.故选A. 8.凌晨3点整,钟表的时针与分针的夹角是( ) A.30 B.45 C.60 D.90 8.D 【解析】如图,凌晨3点整,时针指向3,分针指向12,每相邻两个数字之间的夹角为30 ,则其夹角为.故选D. 9.关于度、分、秒的换算. (1)56 18'用度表示; (2)12 32'24"用度表示; (3)12.31 用度、分、秒表示. 9.【解】(1)56 18'=56 +18'=56 +0.3 =56.3 . (2)12 32'24"=12 +32'+24"=12 +32.4'=12.54 . (3)12.31 =12 +0.31 =12 +18.6'=12 +18'+0.6' =12 +18'+36"=12 18'36". 拓展培优 10.如图,在圆形钟面上,点O为钟面的圆心,以点O为顶点按要求画出符合下列要求的角(角的两边不经过钟面上的数字): (1)在图(1)中画一个锐角,使锐角的内部含有2个数字,且数字之差的绝对值最大; (2)在图(2)中画一个直角,使直角的内部含有3个数字,且所含3个数字之积等于这3个数字之和; (3)在图(3)中画一个钝角,使钝角的内部含有4个数字,且数字之和最小; (4)在图(4)中画一个平角,使平角的内部与外部的数字之和相等; (5)在图(5)中画两个直角,使这两个直角的内部含有的3个数字之和相等.(画出一种即可) 10.【解】(1)~(4)如图(1)~图(4)所示; (5)如图(5)所示,答案不唯一. 课时2 角的比较与运算 基础巩固 题型1 角的比较 1.已知∠A=25 12',∠C=25.2 ,下列结论中,正确的是( ) A.∠A<∠C B.∠A=∠C C.∠A>∠C D.两个角的大小不确定 1.B 【解析】因为∠A=25 12',∠C=25.2 =25 +0.2 =25 +12'=25 12',所以∠A=∠C. 2在∠AOB的内部任取一点C,作射线OC,则一定存在( ) A.∠AOB>∠AOC B.∠BOC=∠AOB C.∠BOC>∠AOC D.∠AOC>∠BOC 2.A 【解析】如图是符合题意的∠AOB和射线OC,由图知一定存在∠AOB>∠AOC.故选A. 题型2 角的和差 3.如图所示,下列式子中错误的是( ) A.∠AOC=∠AOB+∠BOC B.∠AOC=∠AOD-∠COD C.∠AOD=∠AOB+∠BOD-∠BOC D.∠AOC=∠AOD-∠BOD+∠BOC 3.C 【解析】由题图可知,∠AOD=∠AOB+∠BOD,故C错误,符合题意;故选C. 4.如图,已知点O在直线AB上,∠1=65 15',∠2=78 30',则∠1+∠2=_,∠3=_. 4.143 45' 36 15' 【解析】因为∠1=65 15',∠2=78 30',所以∠1+∠2=65 15'+78 30'=143 45',. 题型3 角的平分线 5.如图,∠AOB的平分线是( ) A.射线OB B.射线OE C.射线OD D.射线OC 5.B 【解析】因为∠AOB=70 ,∠AOE=35 ;所以∠AOB=2∠AOE,所以∠AOB的平分线是射线OE.故选B. 6.[中]射线OC在∠AOB的内部,下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是( ) A.∠AOC=∠BOC B.∠AOC+∠BOC=∠AOB C.∠AOB=2∠AOC D. 6.B 【解析】若OC是∠AOB的平分线,则有如下结论:,或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.因为射线OC在∠AOB的内部,故A、C、D选项中的条件都能得出OC是∠AOB的平分线,而B选项中的条件不能.故选B. 题型4 角的运算 7.如图所示,已知∠AOC=∠BOD=70 ,∠BOC=30 ,则∠AOD的度数为( ) A.100 B.110 C.130 D.140 7.B 【解析】因为∠AOC=70 ,∠BOC=30 ,所以∠AOB=40 .同理可得,∠COD=40 .所以∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=40 +30 +40 =110 ,故选B. 8.如图,∠AOB=120 ,∠BOC=30 ,OD是∠AOC的平分线,则∠BOD=_. 8.75 【解析】因为∠AOB=120 ,∠BOC=30 ,所以∠AOC=90 .又因为OD是∠AOC的平分线,所以∠COD=45 ,所以∠BOD=45 +30 =75 . 9.如图,已知,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC,∠EOF=65 ,求∠AOC的度数. 9.【解】因为OE平分∠AOB,OF平分∠BOC,所以∠AOB=2∠BOE,∠BOC=2∠BOF.因为∠EOF=65 ,所以∠AOC=130 . 10.如图,已知∠AOB=40 ,∠BOC=3∠AOB,OD平分∠AOC,求∠BOD的度数. 10.【解】因为∠BOC=3∠AOB,∠AOB=40 , 所以∠BOC=120 . 所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=40 +120 =160 . 又因为OD平分∠AOC, 所以, 所以∠BOD=∠AOD-∠AOB=80 -40 =40 . 易错点 对符合条件的角的位置情况考虑不周致错 11.已知∠AOB=40 ,∠BOC=20 ,则∠AOC的度数为( ) A.60 B.20 C.40 D.20 或60 11.D 【解析】当射线OC在∠AOB的内部时,如图(1),∠AOC=∠AOB-∠BOC=20 ; 当射线OC在∠AOB的外部时,如图(2),∠AOC=∠AOB+∠BOC=60 . 易错警示 有些求角度的题目,题中没有给出图形,自己画示意图时要注意所求的角或符合条件的角有哪些情况.类似“OC可能在∠AOB内,也可能在∠AOB外”的常见情况,要分类讨论. 巩固提升 1.若∠A=20 18',∠B=20 15",∠C=20.25 ,则有( ) A.∠A>∠B>∠C B.∠B>∠A>∠C C.∠A>∠C>∠B D.∠C>∠A>∠B 1.C 【解析】因为∠A=20 18',∠B=20 15", 所以∠A>∠B.因为∠C=20.25 =20 15',所以∠B<∠C<∠A,所以∠A>∠C>∠B.故选C. 2.如图,∠AOB=90 ,∠AOC为∠AOB外的一个锐角,且∠AOC=40 ,射线OM平分∠BOC,ON平分∠AOC,则∠MON的度数为( ) A.45 B.65 C.50 D.25 2.A 【解析】因为∠AOB=90 ,且∠AOC=40 ,所以∠COB=∠AOB+∠AOC=90 +40 =130 .因为OM平分∠BOC,所以,所以∠AOM=∠AOB-∠BOM=25 .因为ON平分∠AOC,所以,所以∠MON=∠AOM+∠AON=45 .所以∠MON的度数是45 . 3.如图,点O在AB上,∠AOC=120 ,OD,OE分别为∠AOC,∠BOC的平分线,图中大于0 小于180 的角中,相等的共有( ) A.6对 B.5对 C.4对 D.3对 3.B 【解析】因为∠AOC=120,OD,OE分别为∠AOC,∠BOC的平分线, 所以∠AOD=∠COD=∠BOC=60 ,∠COE=∠BOE=30 ,所以∠AOC=∠BOD=120 ,所以图中相等的角共有5对,故选B. 4.∠ ,∠ 都是钝角,甲、乙、丙、丁计算的结果依次为50 ,26 ,72 ,90 ,其中有正确的结果,则计算正确的是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 4.A 【解析】因为,都是钝角,所以都大于90 ,且小于180 ,所以大于180 ,且小于360 ,所以大于30 ,且小于60 ,对比各结果,只有50 符合要求.故选A. 5.把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起,其中A,B,D三点在同一直线上,BM为∠CBE的平分线,BN为∠DBE的平分线,则∠MBN的度数是( ) A.60 B.67.5 C.75 D.85 5.C 【解析】因为∠CBE=180 -∠ABC-∠DBE=180 -30 -45 =105 .因为BM为∠CBE的平分线,BN为∠DBE的平分线, 所以, ; 所以∠MBN=∠MBE+∠EBN=52.5 +22.5 =75 .故选C. 6.从点O引出三条射线OA,OB,OC,已知∠AOB=30 ,在这三条射线中,当其中一条射线是另两条射线所组成的角的平分线时,则∠AOC=_. 6.15 或30 或60 【解析】①如图,当OC平分∠AOB时,; ②如图,当OA平分∠BOC时,∠AOC=∠AOB=30 ; ③如图,当OB平分∠AOC时,∠AOC=2∠AOB=60 . 故答案为15 或30 或60 . 7.如图,将三个同样的正方形的一个顶点重合放置,那么∠1的度数为_. 7.20 【解析】如图,因为∠BOD=90 -∠AOB=90 -30 =60 ,∠EOC=90 -∠EOF=90 -40 =50 ;∠1=∠BOD+∠EOC-∠BOE, 所以∠1=60 +50 -90 =20 . 8.如图,∠AOC:∠COD:∠BOD=2:3:4,且A,O,B三点在一条直线上,OE,OF分别平分∠AOC和∠BOD,OG平分∠EOF,求∠GOF的度数. 8.【解】设∠AOC=2x,∠COD=3x,∠BOD=4x. 因为∠AOC+∠COD+∠BOD=∠AOB=180 , 所以2x+3x+4x=180 ,所以x=20 , 所以∠AOC=40 ,∠COD=60 ,∠BOD=80 . 因为OE,OF平分∠AOC,∠BOD, 所以∠EOC=20 ,∠DOF=40 ,所以∠EOF=120 . 又因为OG平分∠EOF,所以∠EOG=∠GOF=60 , 所以∠GOF=60 . 9.已知OC是∠AOB内部的一条射线,M,N分别为OA,OC上的点,线段OM,ON同时分别以30 /s,10 /s的速度绕点O逆时针转动,设转动时间为ts. (1)如图(1),若∠AOB=120 ,OM,ON逆时针转动到OM',ON'处. ①若OM,ON的转动时间t为2,则∠BON'+∠COM'=_; ②若OM'平分∠AOC,ON'平分∠BOC,求∠M'ON'的值. (2)如图(2),若∠AOB=4∠BOC,当OM,ON分别在∠AOC,∠BOC内部转动时,请猜想∠COM与∠BON的数量关系,并说明理由. 9.【解】(1)①因为线段OM,ON分别以30 /s,10 /s的速度绕点O逆时针转动2s, 所以,, 所以∠BON'=∠BOC-20 ,∠COM'=∠AOC-60 , 所以∠BON'+∠COM'=∠BOC-20 +∠AOC-60 =∠AOB-80 . 因为∠AOB=120 , 所以∠BON'+∠COM'=120 -80 =40 .故答案为40 . ②因为OM'平分∠AOC,ON'平分∠BOC, 所以, , 所以 ,即∠M'ON'=60 . (2)∠COM=3∠BON.理由如下: 设∠BOC=x,则∠AOB=4x,∠AOC=3x. 因为转动t秒后,,, 所以,,所以∠COM=3∠BON. 课时3 余角和补角 基础巩固 题型1 余角和补角的定义 1.已知∠A等于55 ,则∠A的补角等于( ) A.115 B.125 C.55 D.35 1.B 【解析】因为∠A=55 ,所以∠A的补角等于180 -55 =125 . 2.∠1,∠2互为补角,且∠1>∠2,则∠2的余角是( ) A.∠1+∠2 B.∠1-∠2 C.∠1-90 D.90 -∠1 2.C 【解析】因为∠1,∠2互为补角,所以∠1+∠2=180 ,即∠2=180 -∠1.所以∠2的余角是. 3.若∠B的余角为57.12 ,则∠B=_ _'_''. 3.32 52 48 【解析】因为∠B的余角为57.12 ,所以∠B=90 -57.12 =32.88 =32 52'48". 4.一个锐角的补角比它的余角的4倍小30 ,求这个锐角的度数和这个角的余角和补角的度数. 4.【解】设这个锐角为x .由题意得 解得x=50.即这个锐角的度数为50 .90 -50 =40 ,180 -50 =130 . 答:这个锐角的度数为50 ,这个角的余角的度数为40 ,补角的度数为130 . 题型2 余角和补角的性质 5.如果∠1与∠2互余,∠2与∠3互余,那么∠1与∠3的关系为( ) A.互余 B.互补 C.相等 D.无法确定 5.C 【解析】因为∠1与∠2互余,∠2与∠3互余,所以∠1+∠2=90 ,∠2+∠3=90 ,所以∠1=∠3(同角的余角相等),故选C. 6.如图,直线AB,CD相交于点O,因为∠1+∠3=180 ,∠2+∠3=180 ,所以∠1=∠2.其推理依据是( ) A.同角的余角相等 B.等角的余角相等 C.同角的补角相等 D.等角的补角相等 6.C 【解析】因为∠1与∠2都是∠3的补角,所以∠1=∠2(同角的补角相等).故选C. 7.已知∠ 和∠ 互补,且∠ >∠ ,则有下列式子: ①90 -∠ ;②∠ -90 ;③;④;⑤.其中表示∠ 的余角的式子有_个. 7.3 【解析】因为与互补,所以,.表示的余角,所以①正确; ,所以②正确; ,不是的余角,所以③错误;,所以④正确;不是的余角,⑤错误.故表示的余角的式子有3个. 8.如图,点A,O,B在同一直线上,∠1=∠2,则与∠1互补的角是_.若∠1=28 32'35",则∠1的补角为_. 8.∠AOD 151 27'25" 【解析】因为∠1=∠2;所以与∠1互补的角是∠AOD.因为∠1=28 32'35",所以∠1的补角为151 27'25". 9.如图所示,已知O是直线AB上一点,∠BOE=∠FOD=90 ,OB平分∠COD. (1)图中与∠DOE互余的角有_; (2)图中是否有与∠DOE互补的角?如果有,直接写出全部结果;如果没有,说明理由. 9.【解】(1)图中与∠DOE互余的角有∠EOF,∠BOD,∠BOC.故答案为∠EOF,∠BOD,∠BOC. (2)与∠DOE互补的角有∠BOF,∠COE. 题型3 方位角 10.如图,甲从A点出发向北偏东60 方向走到点B,乙从点A出发向南偏西20 方向走到点C,则∠BAC的度数是( ) A.80 B.100 C.120 D.140 10.D 【解析】如图,由题意,可知∠BAD=60 ,所以∠BAF=30 .因为∠CAE=20 ,所以∠BAC=∠CAE+∠EAF+∠BAF=20 +90 +30 =140 .故选D. 11.一艘海上搜救船借助雷达探测仪寻找到事故船的位置,雷达示意图如图所示,搜救船位于图中点O处,事故船位于距O点40海里的A处,雷达操作员要用方位角把事故船相对于搜救船的位置汇报给船长,以便调整航向,下列四种表述方式中正确的为( ) A.事故船在搜救船的北偏东60 方向 B.事故船在搜救船的北偏东30 方向 C.事故船在搜救船的北偏西60 方向 D.事故船在搜救船的南偏东30 方向 11.B 【解析】如题图所示,事故船在搜救船的北偏东30 方向. 巩固提升 1.如果∠1的余角是∠2,并且∠1=2∠2,则∠1的补角为( ) A.30 B.60 C.120 D.150 1.C 【解析】因为∠1的余角是∠2;所以∠1+∠2=90 ,因为∠1=2∠2;所以2∠2+∠2=90 ,所以∠2=30 ,所以∠1=60 ,所以∠1的补角为180 -60 =120 .故选C. 2.如图,在 ABC中,∠BAC=90 ,点D,E分别在BC,CA边的延长线上,EH⊥BC于点H,EH与AB交于点F.则∠1与∠2的数量关系是( ) A.∠1=∠2 B.∠1与∠2互余 C.∠1与∠2互补 D.∠1+∠2=100 2.C 【解析】因为EH⊥BC,所以∠1+∠B=90 ,因为∠BAC=90 ,所以∠BCE+∠B=90 ,所以∠1=∠BCE.因为∠BCE+∠2=180 ,所以∠1+∠2=180 ,即∠1与∠2互补,故选C. 3.如图,把∠APB放置在量角器上,读得射线PA,PB分别经过刻度117和153,把∠APB绕点P逆时针方向转动到∠A'PB',下列三个结论: ①∠APA'=∠BPB'; ②若射线PA'经过刻度27,则∠B'PA与∠A'PB互补; ③若,则射线PA'经过刻度45. 其中正确的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 3.D 【解析】由题意可知∠APB=∠A'PB'=36 ,∠APA'=∠A'PB'+∠APB',∠BPB'=APB+∠APB', 所以∠APA'=∠BPB',故①正确;若射线PA'经过刻度27,则∠A'PO=27 ,则∠B'PA=117 -27 -36 =54 ,∠A'PB=36 +54 +36 =126 ,∠B'PA'+∠A'PB=180 ,即∠B'PA与∠A'PB互补,故②正确;若,则∠APA'=∠A'PB'+∠APB'=72 ,则∠OPA'=117 -∠APA'=45 ,所以射线PA'经过刻度45,故③正确.故选D. 4.如图,某海域有三个小岛A,B,O,在小岛O处观测到小岛A在它北偏东62 的方向上,观测到小岛B在它南偏东38 12'的方向上,,则∠AOB的补角的度数是_. 4.100 12' 【解析】因为OA是表示北偏东62 方向的一条射线,OB是表示南偏东38 12'方向的一条射线,所以∠AOB=180 -62 -38 12'=79 48',所以∠AOB的补角的度数是180 -79 48'=100 12'. 5.如图,已知O是直线AB上的一点,OC平分∠AOB,∠DOE=90 ,图中相等的角有x对,互余的角有y对,互补的角有z对,则x+y+z=_. 5.16 【解析】因为OC平分∠AOB,所以∠AOC=∠BOC=90 ,∠BOD+∠COD=90 ,∠AOE+∠COE=90 . 因为∠DOE=90 ,所以∠COE+∠COD=90 ,所以相等的角有∠AOC=∠BOC,∠AOC=∠DOE,∠DOE=∠BOC,∠BOD=∠EOC,∠DOC=∠AOE;互余的角有∠BOD与∠DOG,∠BOD与∠AOE,∠EOC与∠DOC,∠EOC与∠AOE;互补的角有∠AOC与∠BOC,∠AOC与∠DOE,∠DOE与∠BOC,∠AOD与∠BOD,∠EOC与∠DOA,∠BOE与∠AOE,∠COD与∠BOE,图中相等的角有5对,互余的角有4对,互补的角有7对,所以x+y+z=16. 6.如图,射线ON,OE,OS,OW分别表示以点O为中心的北,东,南,西四个方向,点A在点O的北偏东45 方向,点B在点O的北偏西30 方向. (1)画出射线OB,若∠BOC与∠AOB互余,请在图(1)或备用图中画出∠BOC; (2)若OP是∠AOC的平分线,直接写出∠AOP的度数.(不需要计算过程) 6.【解】(1)如图所示,∠BOC与∠BOC'即为所求. (2)∠AOP的度数为45 或30 .因为∠AON=45 ,∠BON=30 所以∠AOB=75 .因为∠BOC与∠AOB互余, 所以∠BOC=∠BOC'=15 ,所以∠AOC=90 ,∠AOC'=60 .因为OP是∠AOC的平分线,所以∠AOP=45 或30 . 拓展培优 7.如图,将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起. (1)若∠BOC=70 ,如图(1),请求出∠AOD的度数; (2)若∠AOD=115 ,如图(2),请求出∠BOC的度数; (3)猜想∠AOD和∠BOC的关系.(直接写出答案即可) 7.【解】(1)如题图(1),因为∠AOB=∠COD=90 ,∠BOC=70 ,所以∠AOD=360 -∠AOB-∠COD-∠BOC=110 . (2)如题图(2),因为∠AOB=∠COD=90 ,∠AOD=115 , 所以∠AOC=∠AOD-∠COD=115 -90 =25 , 所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=90 -25 =65 . (3)∠AOD和∠BOC的关系是∠AOD+∠BOC=180 . 理由如下: ①当两个三角板无重合角时,如题图(1),因为∠AOB=∠COD=90 ,∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360 ,所以∠AOD+∠BOC=180 . ②当两个三角板有重合角时,如图,延长DO至点E. 因为∠AOB=∠COD=90 , 所以∠COE=90 , 所以∠AOE+∠AOC=∠AOC+∠BOC=90 , 所以∠AOE=∠BOC. 因为∠AOE+∠AOD=180 , 所以∠AOD+∠BOC=180 . 综上所述,∠AOD与∠BOC的关系是∠AOD+∠BOC=180 . 课时4 与角平分线有关的计算问题 拓展培优 类型1 单角平分线问题 1.如图,已知点O为直线AB上一点,将一个直角三角板COD的直角顶点放在点O处,并使OC边始终在直线AB的上方,OE平分∠BOC. (1)若∠DOE=70 ,则∠AOC=_; (2)若∠DOE= ,求∠AOC的度数.(用含 的式子表示) 1.【解】(1)因为∠DOE=70 ,∠COD=90 , 所以∠COE=90 -70 =20 . 因为OE平分∠BOC, 所以∠COE=∠BOE=20 , 所以∠AOC=180 -∠BOC=180 -2∠COE=140 . 故答案为140 . (2)因为,∠COD=90 , 所以. 因为OE平分∠BOC, 所以, 所以. 2.【发现猜想】 如图(1),若∠AOB=70 ,∠AOD=100 ,OC为∠BOD的平分线,则∠AOC的度数为_; 【探索归纳】 如图(1),∠AOB=m,∠AOD=n,OC为∠BOD的平分线.猜想∠AOC的度数(用含m,n的代数式表示),并说明理由. 【问题解决】 如图(2),已知∠AOB=20 ,∠AOC=90 ,∠AOD=120 .若射线OB绕点O以每秒20 的速度逆时针转动,射线OC绕点O以每秒10 的速度顺时针转动,射线OD绕点O以每秒30 的速度顺时针转动,三条射线同时转动,当一条射线与直线OA重合时,三条射线同时停止运动.运动几秒时,其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线? 2.【解】【发现猜想】 因为∠AOB=70 ,∠AOD=100 , 所以∠BOD=∠AOD-∠AOB=30 . 因为OC为∠BOD的平分线, 所以, 所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=85 , 则∠AOC的度数为85 . 故答案为85 . 【探索归纳】 .理由如下: 因为∠AOB=m,∠AOD=n, 所以∠BOD=n-m. 因为OC为∠BOD的平分线, 所以, 所以. 故∠AOC的度数为. 【问题解决】 设运动的时间为x秒, 因为∠AOB=20 ,∠AOC=90 ,∠AOD=120 , 所以在运动过程中,, , . 由题意可得,在转动过程中,当时,OD与OC重合;当x=2时,OD与OB重合;当时,OC与OB重合;当x=4时,OD与OA重合. ①当,OC为OB,OD夹角的平分线时, , , 有∠COD=∠BOC, 即30-20x=70-30x,解得x=4(舍去); ②当,OD为OC,OB夹角的平分线时, , , 有∠COD=∠BOD, 即-30+20x=100-50x,解得; ③当,OB为OC,OD夹角的平分线时, , , 有∠BOC=∠BOD, 即70-30x=-100+50x,解得; ④当,OC为OB,OD夹角的平分线时, , , 有∠BOC=∠COD, 即-70+30x=-30+20x,解得x=4. 答:经过或或4秒时,其中一条射线是另两条射线夹角的平分线. 类型2 双角平分线问题 3.已知∠AOB=90 ,OC为一条射线,OE,OF分别平分∠AOC,∠BOC,求∠EOF的度数. 3.【解】①如图,当OC在∠AOB内部时. 因为OE,OF分别平分∠AOC和∠BOC,所以,, 所以, 即. 又因为∠AOB=90 , 所以∠EOF=45 . ②如图,当OC在∠AOB外部时. 因为OE,OF分别平分∠AOC和∠BOC, 所以,, 所以. 综上所述,∠EOF=45 . 4.如图,已知∠AOB=150 ,将一个直角三角形纸片(∠D=90 )的一个顶点放在点O处,现将三角形纸片绕点O任意转动,OM平分斜边OC与OA的夹角,ON平分∠BOD. (1)将三角形纸片绕点O转动(三角形纸片始终保持在∠AOB的内部),若∠COD=30 ,则∠MON=_; (2)将三角形纸片绕点O转动(三角形纸片始终保持在∠AOB的内部),若射线OD恰好平分∠MON,且∠MON=∠COD,求∠COD的度数; (3)将三角形纸片绕点O从OC与OA重合位置顺时针转动到OD与OA重合的位置,猜想在转动过程中∠COD和∠MON的数量关系,并说明理由. 4.【解】(1)因为∠AOB=150 ,∠COD=30 , 所以∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=150 -30 =120 . 因为OM平分斜边OC与OA的夹角,ON平分∠BOD, 所以,, 所以, 所以, 故答案为90 . (2)因为∠MON=8∠COD, 所以设,则. 因为OD平分∠MON, 所以, 所以. 因为OM平分斜边OC与OA的夹角,ON平分∠BOD, 所以,. 因为, 所以, 所以∠COD=10 . (3)∠COD+150 =2∠MON或∠COD=210 -2∠MON. 理由:①当三角形纸片在∠AOB的内部时,如图(1). 因为OM平分斜边OC与OA的夹角,ON平分∠BOD, 所以,. 因为∠AOM+∠BON=150 -∠MON,, 所以, 所以∠COD+150 =2∠MON. ②当三角形纸片一部分在∠AOB内部,一部分在∠AOB外部时,如图(2),因为OM平分斜边OC与OA的夹角,ON平分∠BOD, 所以,. 因为∠AOM+∠DON=150 +∠BOD-∠MON, 所以∠AOM-∠DON=150 -∠MON. 因为, 所以, 所以∠COD+150 =2∠MON. ③当三角形纸片在∠AOB的外部时,如图(3). 因为OM平分斜边OC与OA的夹角,ON平分∠BOD, 所以, . 因为∠AOM+∠BON=360 -150 -∠MON,∠COD=∠AOM+∠BON-∠MON=360 -150 -∠MON-∠MON, 所以∠COD=210 -2∠MON, 综上所述,∠COD+150 =2∠MON或∠COD=210 -2∠MON. 学科网(北京)股份有限公司 $$