第2章 圆与方程章末检测卷-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第一册）

第2章 圆与方程章末检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知圆和圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 2．对于圆：，下列说法正确的为（ ） A．点圆的内部 B．点圆的外部 C．圆的圆心为 D．圆的半径为3 3．直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 4．圆与圆的公共弦恰为圆的直径，则圆的面积是（    ） A． B． C． D． 5．过点引圆的切线，其方程是（    ） A． B． C．或 D．或 6．已知曲线，设曲线上任意一点与定点连线的中点为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知点是圆上一点，点是圆上一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．已知圆，圆与轴交于，斜率存在且过原点的直线与圆相交于两点，直线与直线相交于点，直线､直线､直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分，若有三个正确选项，每对一个得2分。 9．判断下列命题正确的是（    ） A．方程表示圆心为，半径为的圆 B．若表示圆的一般方程，则的取值范围是 C．已知直线和直线垂直，则实数的值为 D．已知圆的方程为，过点作该圆的切线，只有两条 10．已知为直线上的一点，动点与两个定点，的距离之比为2，则（    ） A．动点的轨迹方程为 B． C．的最小值为 D．的最大角为 11．已知圆，，则（    ） A．在圆上存在点，使得 B．在圆上存在点，使得点到直线的距离为 C．在圆上存在点．使得 D．在圆上存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知圆：关于直线对称的圆为 . 13．已知圆，动点在圆上，则面积的最大值为 ． 14．设点，若A关于对称点为B，过B作圆两条切线，切点为M，N，那点到直线MN的最大距离是 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知点，且． (1)求点P的轨迹方程； (2)判断点P的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由． 16．已知直线和. (1)求与直线平行且经过圆心的直线的方程； (2)若直线与直线垂直且与圆相切，求直线的方程. 17．如图是一座圆拱桥的示意图，该圆弧拱跨度AB为500m，圆拱的最高点H离水面AB的高度为100m，桥面CD离水面AB的高度为50m． (1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程； (2)求桥面在圆拱内的部分CD的长度．（结果精确到0.1m） 18．已知圆O：，直线． (1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值； (2)若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值． 19．已知直线l过点，圆C：（C为圆心）． (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程． (2)若直线l与圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，直线l与直线的交点为Q，判断是否为定值？若是，求定值；若不是，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 圆与方程章末检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知圆和圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】D 【详解】的圆心为，半径为2， 的圆心为，半径为2， 则， 故两圆外离， 故选：D 2．对于圆：，下列说法正确的为（ ） A．点圆的内部 B．点圆的外部 C．圆的圆心为 D．圆的半径为3 【答案】A 【详解】对于A，B，将点代入圆C中，得，所以点圆C的内部，故A正确，B错误； 对于C，D，由得，所以圆的圆心为，半径为，故C，D错误. 故选：A. 3．直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为． 故选：C． 4．圆与圆的公共弦恰为圆的直径，则圆的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】两圆方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为， 因为公共弦为圆的直径， 所以圆的圆心在直线上， 由解得， 所以圆的面积为. 故选：D. 5．过点引圆的切线，其方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】根据题意，圆，即， 其圆心为，半径；过点引圆的切线， 若切线的斜率不存在，切线的方程为，符合题意； 若切线的斜率存在，设其斜率为，则有，即， 则有，解得，此时切线的方程为，即． 综上：切线的方程为和． 故选：C． 6．已知曲线，设曲线上任意一点与定点连线的中点为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，因为为的中点，所以，即， 又因为点在曲线上，所以，所以． 所以点的轨迹方程为即． 故选：B 7．已知点是圆上一点，点是圆上一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心， 半径， 在三角形中，， 根据正弦定理可得，，即， 所以， 因为，， 所以， 因为，所以是锐角， 所以的最大值为. 故选：B. 8．已知圆，圆与轴交于，斜率存在且过原点的直线与圆相交于两点，直线与直线相交于点，直线､直线､直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得直线，与圆方程联立，得， 可求出点，同理得点， 由于在直线上，因此，化简后得， 显然，否则点在圆上，两点重合，与题意矛盾，则， 再联立直线与直线，则点， 因此， 则，即，A选项正确，BD选项错误 ， ，即，C选项错误. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分，若有三个正确选项，每对一个得2分。 9．判断下列命题正确的是（    ） A．方程表示圆心为，半径为的圆 B．若表示圆的一般方程，则的取值范围是 C．已知直线和直线垂直，则实数的值为 D．已知圆的方程为，过点作该圆的切线，只有两条 【答案】BCD 【详解】对于A中，方程， 当时，方程表示圆心为，半径为的圆； 当时，方程表示点，所以A错误； 对于B中，若表示圆的一般方程， 则满足，即， 解得，所以B正确； 对于C中，由直线和直线垂直， 则，解得，所以C正确； 对于D中，由，可得点在圆外，所以过点作该圆的切线，只有两条，所以D正确. 故选：BCD. 10．已知为直线上的一点，动点与两个定点，的距离之比为2，则（    ） A．动点的轨迹方程为 B． C．的最小值为 D．的最大角为 【答案】ACD 【详解】设，依题意有，化简得， 所以动点的轨迹方程为，A选项正确； 方程表示圆心为半径为2的圆，圆心到直线的距离， 所以的最小值为，B选项错误； ，当三点共线时，有最小值， 最小值为点到直线的距离，C选项正确； 的最大时，与圆相切，此时，，，D选项正确； 故选：ACD 11．已知圆，，则（    ） A．在圆上存在点，使得 B．在圆上存在点，使得点到直线的距离为 C．在圆上存在点．使得 D．在圆上存在点，使得 【答案】AB 【详解】由可得，圆心，半径， 对于A.，因为， 所以，，所以在圆上存在点，使得，正确； 对于B，的方程为，即，到的距离为， 到直线的距离，而， 所以在圆上存在点，使得点到直线的距离为，正确； 对于C，以为直径端点的圆， 圆心，半径，，两圆外离，两圆没有交点， 所以在圆上不存在点．使得，错误； 对于D，垂直平分线方程为，直线与圆相交， 有两个交点，但是若为，时，，所以在圆上不存在点，使得，错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知圆：关于直线对称的圆为 . 【答案】 【详解】设圆：关于直线对称的圆的圆心为， 则，解得，即， 故圆关于直线对称的圆的方程为， 即, 故答案为： 13．已知圆，动点在圆上，则面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为圆化为标准方程为； 圆心，半径， 圆化为标准方程为； 圆心，半径， 可得，； 则面积； 当，即时， 的面积最大，其最大值为． 故答案为： 14．设点，若A关于对称点为B，过B作圆两条切线，切点为M，N，那点到直线MN的最大距离是 . 【答案】/ 【详解】由题意，点关于的对称点为， 则，则四点共圆，在以为直径的圆上， 则以为直径的圆的方程为：， 又也在圆， 则两圆方程相减得方程为： ， 则点到直线MN的距离为 当时，； 当时，， 令，设， 则当且仅当，即时，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知点，且． (1)求点P的轨迹方程； (2)判断点P的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，圆心坐标为，半径 【详解】（1）由题意得， 两边同时平方，化简得， 即点P的轨迹方程为． （2）解法一：由（1）得， 故点P的轨迹是圆，其圆心坐标为，半径为． 解法二：由（1）结合圆的一般方程得， 所以，故点P的轨迹是圆． 又，，所以圆心坐标为，半径． 16．已知直线和. (1)求与直线平行且经过圆心的直线的方程； (2)若直线与直线垂直且与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）即， 则圆心的坐标为，又直线的斜率为， 所以与直线平行且经过圆心的直线的方程， 即； （2）因为直线与直线垂直，设直线， 又直线与圆相切， 所以， 解得或， 所以直线的方程为或. 17．如图是一座圆拱桥的示意图，该圆弧拱跨度AB为500m，圆拱的最高点H离水面AB的高度为100m，桥面CD离水面AB的高度为50m． (1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程； (2)求桥面在圆拱内的部分CD的长度．（结果精确到0.1m） 【答案】(1)答案见解析 (2)367.4m 【详解】（1）设圆拱所在圆的圆心为，以为原点，方向为轴正方向， 中垂线向上为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系. 设与轴交于点，与轴交于点，连接 设圆的半径为， 则，，， 在直角中，， 所以，解得， 所以， 所以圆拱方程为；. （2）由题意得，， 令，得， 所以， 所以，所以. 所以桥面在圆拱内部分的长度约为367.4m 18．已知圆O：，直线． (1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值； (2)若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，由垂径定理得圆心到直线的距离为， 则， 解得； （2）当时，直线，即 由已知得 又， 所以的最小值为， 又因为四边形的面积的为，所以其最小值为 19．已知直线l过点，圆C：（C为圆心）． (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程． (2)若直线l与圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，直线l与直线的交点为Q，判断是否为定值？若是，求定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)或． (2)为定值2． 【详解】（1）若直线l的斜率不存在，即直l的方程为，符合题意； 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以，解得． 故直线l的方程为或． （2）因为直线l与圆C相交，所以直线l的斜率存在， 设直线l的方程为． 联立，解得，即． 因为P为线段MN的中点，所以直线CP与直线l垂直， 故直线CP方程为， 联立，解得，即． 则 ． 故为定值2． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$