3.4 第1课时 和、差、倍、分问题（讲解课件）-【优翼·学练优】新教材2024-2025学年七年级数学上册同步备课（湘教版2024）

3.4 一元一次方程模型的应用 第 1 课时 和、差、倍、分问题 第3章 一元一次方程 ÷ 七年级上册数学（湘教版） 1. 分析实际问题中的数量关系，建立方程模型，解决实际问题. 2. 领悟数学来源于生活，服务于生活，会用方程的思想解决实际生活中的问题. 重点：找出等量关系，解决实际问题. 难点：根据等量关系列出正确的一元一次方程. 教学目标 探究 某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出 1000 张票，筹得票款 69500 元，其中成人票 80 元一张，学生票是 50 元一张，成人票与学生票各售出多少张？ 情境导入 和、差、倍、分问题 1 合作探究 某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出 1000 张票，筹得票款 69500 元，成人票与学生票各售出多少张？ 成人票 80元/张 学生票 50元/张 成人票数＋__________＝1000 张；　 ① __________＋学生票款＝__________．② 分析题意可得此题中的等量关系有： 学生票数 成人票款 69500 元 探究新知 设售出的学生票为 x 张，填写下表： 学生 成人 票数/张 票款/元 根据等量关系②，可列出方程： . 解得 x＝ . 因此，售出学生票 张，成人票 张 x 1000－x 50x 80(1000－x) 成人票款＋学生票款＝69500元 50x + 80(1000－x) = 69500 350 350 650 可不可以设其他未知量？ 设所得的学生票款为 y 元，填写下表： 学生 成人 票款/元 票数/张 根据等量关系①，可列出方程： . 解得 y＝ . 因此，售出成人票 张，学生票 张. y÷50 (69500－y)÷80 y 69500－y y÷50 + (69500－ y)÷80 = 1000 17500 650 350 成人票数＋学生票款数＝1000张 17500÷50 = 350 (张) 1. 当问题中含有两个未知量、两个等量关系时，可以把其中一个未知量设为未知数，另一个未知量 (根据其中一个等量关系) 用含未知数的代数式表示，而另一个等量关系则用来列方程. 2. 可以采用列表格的方法搞清较复杂问题中的各个量之间的关系. 方法总结 例1 某房间里有 4 条腿的椅子和 3 条腿的凳子共 16 把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为 60，试问：有几张椅子和几把凳子？ 【分析】本问题中涉及的等量关系有： 椅子数 + 凳子数 = 16，椅子腿数 + 凳子腿数 = 60. 典例精析 解：设有 x 张椅子，则有 (16 - x) 把凳子. 根据题意，得 4x + 3(16 - x) = 60. 移项、合并同类项，得 x = 12. 因此，凳子有 16 - 12 = 4 (把). 答：有 12 张椅子，4 把凳子. 去括号，得 4x + 48 - 3x = 60， 例2 某校七年级甲班有 45 人，乙班有 39 人. 现要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加“歌唱祖国”歌咏比赛，如果从甲班抽调的人比乙班多 1 人，那么甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的 2 倍. 请问：从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛? 【分析】本问题中涉及的等量关系有： (1) 甲班抽调的人数－乙班抽调的人数＝1； (2) 抽调后甲班剩余人数＝乙班剩余人数×2. 解：设从甲班抽调了 x 人，那么从乙班抽调了(x－1)人. 根据题意，得 45－x＝2[39－(x－1)]. 解得 x＝35. 于是，x－1＝35－1＝34. 答：从甲班抽调了 35 人，从乙班抽调了 34 人参加歌咏比赛. 1. 一只轮船载重量为 300 吨，容积为 1000 立方米. 现有甲、乙两种货物待装，已知甲种货物每吨体积 7 立方米，乙种货物每吨体积 2 立方米，问怎样安排货运，才能充分利用船的载重量与容积？ 载重量(吨) 容积(立方米) 甲 乙 总计 300 1000 【分析】 练一练 解：设甲种货物运载 x 吨，则乙种货物为 (300 - x) 吨，甲种货物所占容积为 7x 立方米，乙种货物所占容积为 2(300 - x) 立方米，总容积为 1000 立方米. 根据题意，得 7x + 2(300 - x) = 1000. 解方程，得 x = 80. 300 - x = 220. 答：甲种货物装运 80 吨，乙种货物装运 220 吨. 例2 三个作业队共同使用水泵排涝，如果三个作业队排涝的土地面积之比为 4∶5∶6，而这一次装运水泵和耗用的电力费用共计 120 元，三个作业队按土地面积比各应负担多少元？ 【分析】各个作业队应负担费用与排涝的土地面积成正比，且三个作业队各自应负担费用之和等于 120 元.由于共有土地 4 + 5 + 6 = 15 份，因而 120 元可由15份共同分担. 解：设每份土地排涝分担费用为 x 元，那么三个作业队应负担费用分别为 4x 元，5x 元，6x 元. 依据题意，得 4x + 5x + 6x = 120. 解方程，得 x = 8. 4x = 32，5x = 40，6x = 48. 答：三个作业队各应负担 32 元、40 元、48 元. 2. 质量为 45 克的某种三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料的比为 1∶2∶6，这种三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料分别是多少? 解：设咖啡色配料为 x 克，那么红色配料为 2x 克，白色配料为 6x 克. 依据题意，得 x + 2x + 6x = 45. 解方程，得 x = 5. 2x = 10，6x = 30. 答：咖啡色、红色和白色配料分别为 5克、10克、30克. 练一练 比例问题：就是把一个数按照一定的比分成若干份.一般需间接设元，设每一份为 x，再根据各部分之和等于总体列出方程. 方法总结 例3 某车间有 29 名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓 15 个或螺母 21 个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套(两个螺栓配三个螺母) ? 【分析】本题有两个等量关系值得关注， 一是总人数：生产螺母人数＋生产螺栓人数＝29； 二是零件的配套关系：螺栓数∶螺母数＝2∶3. 解：设安排 x 人生产螺栓，则 (29－x) 人生产螺母． 根据题意得 解得 x＝14. 29－x＝15. 答：安排 14 人生产螺栓，15 人生产螺母才能使螺栓 和螺母正好配套． 3. 七年级 (1) 班 43 人参加运土劳动，共有 30 根扁担，可两人用一根扁担抬土，也可一人用一根扁担挑土. (1) 要安排多少人抬土，多少人挑土，可使扁担和人数 相配不多不少？ (2) 如果参加劳动的人数不变，扁 担数为 20 根可以吗？为什么？ 答案：(1) 要安排 26 人抬土，17 人挑土. (2) 不可以. 因为挑土人数不能为负数. 注意检验，结果要符合实际意义！ 练一练 运用一元一次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 实际问题 建立方程模型 解方程 检验解的 合理性 分析等量关系 设未知数 议一议 一元一次方程的应用 比例问题 和、差、倍、分问题 步骤 方法：采用间接设元法，通常设每一份为 x. 1.设未知数；2.找等量关系；3.列方程；4.解方程；5.检验作答 方法：设其中一个未知量为 x，用含 x 的代数式表示另一个未知量 课堂小结 1. 甲、乙二人按照 2∶5 的比例投资开办了一家公司，约定除去各项支出外，所得利润按投资比例分成，第一个月盈利 3500 元，那么甲得 ，乙分别应得 . 2. 一个两位数，个位数字和十位数字的和为 7，如果把十位数字和各位数字对调，所得新数比原数大 45，则原两位数是 . 1000 元 2500 元 16 课堂练习 3. 父子两人今年年龄之和为 40 岁，已知两年前父亲年龄是儿子年龄的 8 倍，请问两年前父子各几岁？ 两年前 今年 儿子 父亲 总计 40 解：设两年前儿子为 x 岁. 依据题意，得 (8x + 2) + (x + 2) = 40. 解方程，得： x = 4. 8x = 32. 答：两年前父亲 32 岁，儿子 4 岁. x 8x x + 2 8x + 2 4. 甲、乙、丙三队合修一条公路，计划出 280 人，如果甲队人数是乙队的一半，丙队人数是乙队的 2 倍，问三队各出多少人？ 解：设乙队出 x 人，则甲队出 人，丙队出 2x 人， 三队共出 280 人. 依题意，得 x + + 2x = 280. 解方程，得 x = 80， = 40，2x = 160. 答：甲队出40 人，乙队出 80 人，丙队出 160 人. 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $$