专题2.3 圆与圆的位置关系（六个重难点突破）-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第一册）

专题2.3 圆与圆的位置关系 一、圆与圆的位置关系 四、圆系问题 二、由位置关系确定圆的方程 五、圆的公切线问题 三、圆的公共弦问题 六、两圆中的最值范围问题 知识点1 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表： 位置关系 几何法 代数法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 知识点2圆系方程 1.经过圆与直线的两个交点的圆的方程可设为: .整理得. 2.经过圆 与圆的两个交点的圆的方程可设为:. 注：当时,即两圆相减时,分为以下三种情况 （1）当两圆相交时, 它为公共弦所在直线方程; （2）当两圆相切时, 它为公切线方程; （3）当两圆相离或包含时，它为到两圆的切线段相等的点的集合; 显然, 当两圆相离且半径相等时, 它为两圆的对称轴. 重难点一 圆与圆的位置关系 1．圆：与圆：的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（多选）已知圆，圆，则下列结论正确的是（    ） A．若和外离，则或 B．若和外切，则 C．当时，有且仅有一条直线与和均相切 D．当时，和内含 3．已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是 ． 4．圆上总存在两个点到的距离为1，则a的取值范围是 . 5．已知圆与圆有3条公切线，则的最大值为 . 6．圆与圆的位置关系为 . 7．已知圆经过三点. (1)求圆的标准方程； (2)判断圆C：与圆的位置关系. 判断圆与圆的位置关系的一般步骤： （1）将两圆的方程化为标准方程；（2）分别求出两圆的圆心坐标和半径； （3）求两圆的圆心距d；（4）比较与的大小；（5）根据大小关系确定圆与圆的位置关系． 重难点二 由位置关系确定圆的方程 8．在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 9．与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 10．若圆C与直线相切，且与圆相切于点，写出一个符合要求的圆C的标准方程: . 11．已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 12．已知圆：． (1)若直线过定点，且与圆相切，求的方程； (2)若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程． 重难点三 圆的公共弦问题 13．若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 14．已知是圆与圆的公共点，则的面积为（    ） A．3 B． C． D． 15．已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（    ） A． B． C． D． 16．已知两圆和相交于，两点，则直线的方程是 . 17．圆与圆相交所得公共弦长为 ． 18．已知圆：和圆：的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为 ． 19．已知圆，若对于任意的，存在一条直线被圆所截得的弦长为定值，则 . 求两圆公共弦长的常用方法：先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解． 重难点四 圆系问题 20．圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 21．两相交圆与的公共弦所在的直线方程为 ，以公共弦为直径的圆的方程为 . 22．已知圆与直线交于，两点，则经过点，，三点的圆的标准方程为 ． 23．求过直线和圆的交点，且面积最小的圆的方程. 24．求过两圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程. 25．求经过直线与圆的交点，且经过点的圆的方程． 重难点五 圆的公切线问题 26．（多选）若圆：和：（）有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是（    ） A．圆与圆内切 B． C．公切线l的方程为 D．公切线l的方程为 27．已知圆系方程（，m为参数），这些圆的公切线方程为 . 28．已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． 29．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 30．已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 31．已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：. (1)求圆M的一般方程； (2)求圆M与圆O的公切线方程. 重难点六 两圆中的最值范围问题 32．如图，已知是圆上一点，，则的正切值的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 33．已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 34．（多选）设点为圆上一点，已知点，，则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．存在点使 D．过点作圆的切线，则切线长为 35．已知点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为 . 36．已知圆和圆，M、N分别是圆C、D上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值是 . 37．已知圆，直线是圆与圆的公共弦所在直线方程，且圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过点分别作直线，交圆于四点，且，求四边形面积的最大值与最小值． 一、单选题 1．已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 2．已知圆：和圆：，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 4．圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 5．若存在，使直线与的交点在圆：上，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆：（），圆：，若圆上存在点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知圆C：，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．圆C关于直线对称 D．圆：与圆C相交 8．在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（   ） A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B．的面积最大值为1 C．若原点始终在动弦上，则不是定值 D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为 9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足．设点P的轨迹为C，则以下结论正确的是（    ） A．轨迹C的方程为 B．在直线上存在且仅存在一对点D，E，使得 C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是的角平分线 D．在C上存在点M，使得 三、填空题 10．已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于 11．已知圆：，圆：，过圆上的一点P作圆的一条切线，切点为A，且，则实数m的取值范围是 . 12．圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线，切点分别为，则直线必过定点，那么定点的坐标为 ． 四、解答题 13．已知圆，圆，问：为何值时． (1)圆和圆外切？ (2)圆与圆内含？ 14．已知圆. (1)直线截圆的弦长为，求的值. (2)记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由. 15．已知直线：和圆：. (1)判断直线和圆的位置关系，并求圆上任意一点到直线的最大距离； (2)过直线上的点作圆的切线，切点为，求证：经过，，三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出该定点的坐标. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 圆与圆的位置关系 一、圆与圆的位置关系 四、圆系问题 二、由位置关系确定圆的方程 五、圆的公切线问题 三、圆的公共弦问题 六、两圆中的最值范围问题 知识点1 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表： 位置关系 几何法 代数法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 知识点2圆系方程 1.经过圆与直线的两个交点的圆的方程可设为: .整理得. 2.经过圆 与圆的两个交点的圆的方程可设为:. 注：当时,即两圆相减时,分为以下三种情况 （1）当两圆相交时, 它为公共弦所在直线方程; （2）当两圆相切时, 它为公切线方程; （3）当两圆相离或包含时，它为到两圆的切线段相等的点的集合; 显然, 当两圆相离且半径相等时, 它为两圆的对称轴. 重难点一 圆与圆的位置关系 1．圆：与圆：的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【详解】圆的标准方程为， 则圆心，半径， 圆的标准方程为， 则圆心，半径， 则两圆的圆心距， ， 所以两圆相交，此时有2条公切线. 故选：. 2．（多选）已知圆，圆，则下列结论正确的是（    ） A．若和外离，则或 B．若和外切，则 C．当时，有且仅有一条直线与和均相切 D．当时，和内含 【答案】ABC 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以， 若和外离，则，解得或，故A正确； 若和外切，则，解得，故B正确； 当时，，则和内切，故仅有一条公切线，故C正确； 当时，，则和相交，故D错误. 故选：ABC． 3．已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是 ． 【答案】3或 【详解】因为两圆有一条公切线，所以两圆内切． 圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 而两圆圆心距，即， 解得的值为3或． 故答案为：3或 4．圆上总存在两个点到的距离为1，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】圆上总存在两个点到的距离为1， 转化为：以为圆心1为半径的圆与已知圆相交， 可得，即， 解得或，即a的取值范围是. 故答案为：. 5．已知圆与圆有3条公切线，则的最大值为 . 【答案】/ 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 圆，可得圆心，半径为， 因为有3条公切线，则两圆外切，则， 即 根据基本不等式可得，解得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. 故答案为：. 6．圆与圆的位置关系为 . 【答案】外离 【详解】设圆的半径为，圆的半径为，则 圆的圆心的坐标为，半径为， 圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，，， 所以， 所以圆和圆外离. 故答案为：外离. 7．已知圆经过三点. (1)求圆的标准方程； (2)判断圆C：与圆的位置关系. 【答案】(1). (2)圆与圆相交. 【详解】（1）设圆的方程为， 则解得 故圆的方程为，标准方程为. （2）圆的圆心为，半径为4. 圆的圆心为，半径为3. 设两圆圆心的距离为，则. 因为，所以圆与圆相交. 判断圆与圆的位置关系的一般步骤： （1）将两圆的方程化为标准方程；（2）分别求出两圆的圆心坐标和半径； （3）求两圆的圆心距d；（4）比较与的大小；（5）根据大小关系确定圆与圆的位置关系． 重难点二 由位置关系确定圆的方程 8．在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆C平分圆C1等价于圆C与圆的公共弦是圆的直径． 同理圆C与圆的公共弦是圆的直径 设圆C的圆心为，半径为，则， 所以，即，解得 所以圆C的方程为． 故选：A 9．与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】因为，即， 可知圆心，半径， 则， 由题意可得圆的半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 10．若圆C与直线相切，且与圆相切于点，写出一个符合要求的圆C的标准方程: . 【答案】（或） 【详解】设圆C的半径为，圆心C到直线的距离为， 由题知两圆心连线过点， 圆，即，圆心为，半径为1， 故圆C的圆心C在x轴上. 若两圆内切，则， 由题意可得，解得， 所以圆C的标准方程为； 若两圆外切，则， 由题意可得，解得， 所以圆C的标准方程为； 故答案为：（或）.    11．已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得弦长为. （2）设， 则，解得，； 因为圆与圆相切于原点，且圆过点， 所以，， 两边平方整理可得，平方可求， 代入可得，所以圆的方程为. 12．已知圆：． (1)若直线过定点，且与圆相切，求的方程； (2)若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）由圆：得圆心，半径， 当直线斜率存在时，设：，即， 所以，解得， 所以切线为，即， 当直线斜率不存在时，直线为，易知也是圆的切线， 所以直线的方程为：或； （2）设，则， 解得，；或，， 故所求圆的方程为或. 重难点三 圆的公共弦问题 13．若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】圆，即， 所以圆心为，半径为， 圆，即， 所以圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为， 所以两圆相交，两圆方程作差得到，即公共弦方程为， 又圆的圆心到的距离为， 所以公共弦的长为. 故选：B 14．已知是圆与圆的公共点，则的面积为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，联立，两方程相减可得直线的方程为， 圆标准方程为，得，半径为， 所以到直线的距离为，线段的长度为， 所以的面积为． 故选：B. 15．已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，则以PQ为直径的圆的圆心坐标为，半径为4， 则PQ为直径的圆的方程为： .将两圆方程相减可得公共弦方程为：. 则圆Q圆心到公共弦方程距离为2，又圆Q半径为4，则公共弦长为：. 故选：D 16．已知两圆和相交于，两点，则直线的方程是 . 【答案】 【详解】可得， 联立两个圆的方程相减可得：， 即直线的方程为， 故答案为：. 17．圆与圆相交所得公共弦长为 ． 【答案】 【详解】记圆，圆， 两个方程作差可得，， 所以两圆公共弦所在直线方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：. 18．已知圆：和圆：的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为 ． 【答案】6 【详解】解：将两圆方程联立，得：， 得， 两式相减，得：， 则两圆的公共弦所在的方程为：， 因为公共弦所在的直线经过原点， 所以：， 得， 故答案为：6 19．已知圆，若对于任意的，存在一条直线被圆所截得的弦长为定值，则 . 【答案】/ 【详解】圆， 则，解得， 所以圆，即， 由题设，令可得，令可得， 显然两圆相交，则两圆方程作差可得， 当直线为时，圆心到直线的距离为， 弦长， 所以，则. 故答案为： 求两圆公共弦长的常用方法：先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解． 重难点四 圆系问题 20．圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 【答案】 【详解】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 21．两相交圆与的公共弦所在的直线方程为 ，以公共弦为直径的圆的方程为 . 【答案】 【详解】解：将与的方程相减，得， 即两圆的公共弦所在直线方程为：； 因为不在直线上， 所以设所求圆的方程为：， 即：， 其圆心， 因为圆心在直线上， 所以，解得， 故所求方程为， 即. 故答案为：； 22．已知圆与直线交于，两点，则经过点，，三点的圆的标准方程为 ． 【答案】 【详解】联立直线和圆，解得， 设圆的标准方程为，则有， 解得，所以圆的标准方程为. 故答案为：. 23．求过直线和圆的交点，且面积最小的圆的方程. 【答案】 【详解】设过直线和圆的交点的圆系方程， 可设为， 即， 可得圆的半径为， 故当时对应圆的半径最小，且最小半径为. 故所求圆的方程为. 24．求过两圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】 【详解】设圆的方程为， 则， 即，所以圆心坐标为， 把圆心坐标代入得，解得， 所以所求圆的方程为． 25．求经过直线与圆的交点，且经过点的圆的方程． 【答案】 【详解】法一：解方程组，得或， ∴直线与圆交于点． 设所求圆的方程为()， 将A，B，P的坐标代入，得，解得，满足， 故所求圆的方程为． 法二：设所求圆的方程为， 又在圆上，则，解得， 故所求圆的方程为，即．    重难点五 圆的公切线问题 26．（多选）若圆：和：（）有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是（    ） A．圆与圆内切 B． C．公切线l的方程为 D．公切线l的方程为 【答案】ABD 【详解】圆与圆有且仅有一条公切线l，两圆相切. 圆：的圆心为，半径为， 圆：（）， 即，圆心，半径为. A项，将代入方程左边得， 则圆心在圆内，故两圆不可能外切，所以与内切，故A正确； B项，圆， 由圆与内切，所以， 由，即，解得，故B正确； CD项， ，得，则公切线斜率为， 法一：联立方程和，解得， 所以切点的坐标为， 故所求公切线的方程为，即． 法二： ①；②， 两圆方程作差得，即． 设两圆切点，则点的坐标适合方程①②，则也适合方程， 又直线斜率为，即与两圆圆心连线垂直， 故直线是过点且垂直于的直线，即为两圆公切线. 故C错误，D正确． 故选：ABD．    27．已知圆系方程（，m为参数），这些圆的公切线方程为 . 【答案】 【详解】圆心坐标为，所以圆心在直线上， 设圆的切线为，即， 所以两直线间的距离为圆的半径，，所以直线方程为. 故答案为: . 28．已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【详解】由，设圆心为，半径为， 由，设圆心为，半径为1， 设直线l不存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以有，此时直线l的方程为， 当直线l存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以或， 所以此时切线方程为，或，即 ，或， 故答案为： ； 29．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 30．已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【答案】(1) (2)，． 【详解】（1）由题意，圆：，可化为： 圆：，可化为：， 可得圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆相外切时，可得， 即， 解得， 所以时，两圆外切； （2）由（1）知，圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆内切时，可得， 即， 解得， 因为， 可得两圆公切线的斜率是， 设切线方程为，即 则圆心到切线的距离等于圆的半径， 即，解得， 当时，直线与圆：相交，舍去， 故所求公切线方程为，即． 31．已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：. (1)求圆M的一般方程； (2)求圆M与圆O的公切线方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意设圆心为， ，得， 故圆心为，， 圆M的标准方程为：， 圆M的一般方程为：. （2） 由于圆M和圆O的半径均为2， 公切线与OM平行，则，设公切线方程为， 则，得或， 故公切线方程为或. 重难点六 两圆中的最值范围问题 32．如图，已知是圆上一点，，则的正切值的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】设过三点的圆的圆心为，且， 由于，故最大，则最大， 只需要圆与圆相切于点时，最大， 则有或（舍去），， 所以,易知此时四点共线， 此时进而，故， 故选：A. 33．已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知直线恒过定点， 直线恒过定点， 且，易知直线与互相垂直，即可得， 所以点轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点，半径为； 可得点轨迹方程为； 又因为点在圆上，所以可得圆与圆有公共点， 当两圆内切（圆在外）时，取得最大值； 此时满足，解得. 故选：D 34．（多选）设点为圆上一点，已知点，，则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．存在点使 D．过点作圆的切线，则切线长为 【答案】AD 【详解】对于A，设，则点到直线的距离， 解得，得的最大值为，故A正确； 对于B，令， 则点到直线的距离， 解得，得的最小值为，故B错误； 对于C，假设存在点使，设，则 ，化简得， 因此满足的点在圆上，此圆圆心为， 半径为，而，因此与圆外离，所以不存在点使，故C错误； 对于D，圆的圆心为，半径为，则过点作圆的切线， 则切线长为，故D正确. 故选：AD. 35．已知点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】12 【详解】设圆的圆心为，圆的圆心为， 所以，    如图，可知，的最大值是圆心距加两个圆的半径，即. 故答案为：12 36．已知圆和圆，M、N分别是圆C、D上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值是 . 【答案】 【详解】的圆心为，半径为1， ，圆心为，半径为2， 结合两圆位置可得，， 当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立， 设C关于x轴的对称点，连接，与轴交于点，此点即为所求， 此时， 故即为的最小值， 故的最小值为 故答案为： 37．已知圆，直线是圆与圆的公共弦所在直线方程，且圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过点分别作直线，交圆于四点，且，求四边形面积的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值14，最小值 【详解】（1）由，可得其圆心为，半径， 点到的距离为， 故， 圆的圆心在直线上，设圆心， 由题意得，所以，解得，即， 到的距离， 所以的半径， 所以圆的方程：； （2）假设点到的距离为，到的距离为， 则， 因为，所以， 所以， 所以，所以四边形面积的最大值14，最小值． 一、单选题 1．已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 【答案】C 【详解】圆，化为，圆心为，半径为； 圆，化为，圆心为，半径为． 则两圆心距离为， 因为，所以圆与圆相交． 故选：C． 2．已知圆：和圆：，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意圆：和圆：， 将两式作差得，圆与圆的公共弦所在的直线方程为，整理得. 故选：B. 3．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】C 【详解】圆，所以，半径为， 圆的圆心，半径为， 到直线的距离为， 由圆的弦长公式可得： ， 即，半径为， 因为，两圆半径和为， 所以两个圆外切， 故选：C 4．圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】由题意得圆的圆心为，半径为1， 圆的圆心为，半径为2， 则两圆圆心距为，而，即圆与圆相交， 故将和相减得， 即圆与圆的公共弦所在直线方程为， 令，则；令，则， 故与两坐标轴所围城的三角形面积为， 故选：C 5．若存在，使直线与的交点在圆：上，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线过定点，直线过定点， 线段的中点，显然，即直线， 因此的交点在以点为圆心，为半径的圆上，除点外， 则点的轨迹方程为圆且， 又圆的圆心，半径为1， 依题意，圆与圆有公共点，则有，而，即 因此，所以实数的取值范围为. 故选：A 6．已知圆：（），圆：，若圆上存在点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆：, 方程化为，， 则圆心坐标为，半径为5, 设关于直线的对称点为， 则,解得， 则， 所以圆关于直线的对称圆方程为， ， 由题中条件可知，圆与圆有交点， ,, 则，即， 解得， 故选：D. 二、多选题 7．已知圆C：，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．圆C关于直线对称 D．圆：与圆C相交 【答案】ACD 【详解】圆，圆心，半径， 对于A，圆C的半径，A正确； 对于B，点到点的距离，点在圆C外，B错误； 对于C，点在直线上，圆C关于直线对称，C正确； 对于D，圆的圆心，半径，而，因此圆与圆相交，D正确. 故选：ACD 8．在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（   ） A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B．的面积最大值为1 C．若原点始终在动弦上，则不是定值 D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 当圆和圆存在公共点时，， 所以，解得，所以实数的取值范围为，正确； 对于B，的面积为， 当时，的面积有最大值为1，正确； 对于C，当弦垂直x轴时，，所以， 当弦不垂直x轴时，设弦所在直线为， 与圆联立得，， 设， 则，， 综上，恒为定值，错误； 对于D，设，OP中点，该点也是AB中点，且， 又，所以， 化简得，所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 其周长为长度为，正确. 故选：ABD 9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足．设点P的轨迹为C，则以下结论正确的是（    ） A．轨迹C的方程为 B．在直线上存在且仅存在一对点D，E，使得 C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是的角平分线 D．在C上存在点M，使得 【答案】AC 【详解】解：，设， ，化简得，故A正确； 假设直线上存在两点，使得，设，， 则，化简得， 由轨迹的方程为，可得，， 解得，.一组解．，.为同一个点.故B错误； 当，，三点不共线时，， 可得射线是的平分线，故C正确； 若在上存在点，使得，可设， 则有，整理可得，与联立， 方程组无解，故不存在点，故D错误． 故选：AC. 三、填空题 10．已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于 【答案】或 【详解】圆：圆心为，半径为1， 圆：，圆心为，半径为； 又因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以两圆相切， 又由两圆的圆心距，则有或， 解得或． 故答案为：或. 11．已知圆：，圆：，过圆上的一点P作圆的一条切线，切点为A，且，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【详解】∵，，，∴， ∴点P在以为圆心，4为半径的圆上，可设其轨迹方程为C：. 由于点P在圆C，上，∴圆C，相切或相交， ∴，又，解得， ∴.实数m的取值范围是. 故答案为： 12．圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线，切点分别为，则直线必过定点，那么定点的坐标为 ． 【答案】 【详解】因为圆关于直线对称， 所以直线过圆的圆心，得， 故动点在直线上， 设， 因为，，所以四点共圆，该圆的圆心坐标为，半径为， 所以该圆的方程为，即， 又圆， 所以两圆公共弦所在直线的方程为， 所以直线过定点. 故答案为： 四、解答题 13．已知圆，圆，问：为何值时． (1)圆和圆外切？ (2)圆与圆内含？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 若圆与圆外切，则，解得. （2）解：若圆与圆内含，则，解得. 14．已知圆. (1)直线截圆的弦长为，求的值. (2)记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由. 【答案】(1) (2)有，公共弦长为 【详解】（1）圆心到直线距离为，故，解得； （2），设，由得， 化简得：，即， 所以动点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 圆心距，，两圆相交， 所以两圆有两个公共点， 由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为， 圆心到公共弦的距离为，则公共弦长为. 15．已知直线：和圆：. (1)判断直线和圆的位置关系，并求圆上任意一点到直线的最大距离； (2)过直线上的点作圆的切线，切点为，求证：经过，，三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)相离； (2) 【详解】（1）圆:的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离， 所以直线和圆相离； 因为直线和圆相离，如图：    过圆心作直线的垂线，垂足为， 要使圆上任意一点到直线的距离最大，则是线段的延长线与圆的交点， 点到直线的最大距离为； （2）因为点在直线上，可设，      过，，三点的圆即以为直径的圆， 圆心为，半径为， 所以圆的方程为， 整理得， 所以过，，三点的圆方程为：， 将方程与方程相减得两圆的公共弦方程：，即， 由得， 所以该定点的坐标为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$