3.1.2 第1课时 函数的表示法(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

055 3.1.2函数的表示法 新课程标准解读 学科核心素养 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表 数学抽象、直观想象 法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 数学抽象、数学运算 第1课时 函数的表示法 教材梳理明要点 ●情境导入 下图中使用数据、条状图、曲线的形式，具体、形象、直观的向群众表 达了我国国内生产总值增长情况.我们从生活实际中总结抽象出的函数 如何表示呢？ 2017一2023年中国GDP及增速 ■国内生严总值化元) 一增速% 49237210207 1928/98651510356 820754 6.7 (状期自标】 [提示] 8 函数有三种表示方 12 法：解析法、图象 3.0 法、列表法 20//201820í92020202120222023 数据来原：国家统什局 [提示] e新知初探 知识点一函数的表示法 解折法 就是用 表示两个变量之间的对应关系 西数的表 [知识点反思] 不法 图象法 就是用 表示两个变量之问的对应关利 并不是所有的函数都可 列长法 就是列出来表示两个变量之间的对应关系 以用解析式表示，不仅 如此，图象法也不适用 函数三种表示方法的优缺点 于所有函数，如Dx)= 解析法 列表法 图象法 0,x∈Q,列表法虽 1,x∈gQ. 一是简明、全面撕括了变 优 不需计算可以直 优 能形象、直观地 在理论上适用于所有函 点 量间的关系：二是利用解 接看出与自变量 表示西数的变化 析式可求任一函数值 对应的函数值 情况 数，但对于自变量有无 数个取值的情况，列表 不奶形象、直观 仅能表示自变量 只能近似求出自变量 法只能表示函数的一个 缺 而且并不是所有 取较少的有限值 缺 的值所对应的函数值 点 西敏郁有解析式 点 时的对应关系 点 而且有时误差较大 概况或片段」 ●[知识点反思] 056 预习自测 1.已知函数y=f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是 (） A.(-∞，1)U(1,+) B.R C.(-x,0)U(0,+) D.(-1,0) 2.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出： 3 1 3 f(x) 2 1 1 g(x) 3 2 则f[g(1)]的值为 ;当g[f(x)]=2时，x= 题型探究 提技能 题型一 函数的表示法 例 .某问答游戏的规则是：共答5道选择题，基础分为50分，每答错一道 [方法总结1] 题扣10分，答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参 用三神表示法表示函 与者的得分y与答错题目道数x(x∈10,1,2,3,4,5})之间的函数关 数时的注意点 1.解折法心须注明函 系y=f(x) ●[方法总结1] 数的定文城： 2.列表法心须罗列出 所有的自变量的值与 函数值的对应关系： 3.图象法心须清楚函 数图象是“点”还是 “线”. 瑰踪训练1 已知函数f(x)=-x-1,x∈{1,2,3,4}，试分别用列表法和图象法表示函 数y=f(x). .057 题型二与函数图象有关的问题 [方法总结2] 例2作出下列函数的图象并求出其值域 描点法作函数图象的 三个关注点 (1)y=2x+1,x∈[0,2]： (2y=2*e2,+=: /,画函数图象时首先 关注西数的定义域。 (3)y=x2+2x,x∈[-2,2]. 色[方法总结2] 即在定义城内作图： 2.图象是实线或实 点，定义域外的邮分 有时可用左线来利托 整个图象： 3,要标出某些关键 点，例如图象的顶 )】踉踪训练2 点、端点、与坐标抽 作出下列函数的图象，并指出其值域。 的交点等妻分清这些 (1)y=x2+x(-1≤x≤1)： 关键点是实心点还是 (2)y=2(-2≤x≤1，且x≠0). 空心圈 [方法总结3] 函数解析式的求法 1.待定系数法：若己 知函数的类型（如一次 函数、二次函数)，可 用待定系数法； 2.换元法：已知复合 题型三求函数解析式 函数于[g(x]的解析 角度1待定系数法求解析式 式，可用换元法，此 例3.()已知一次函数f()满足(x)]=4k+6,则了(x)的解析式为 时要注意新元的取值 设出函数解析式，求出参致即可 范田， (2)已知二次函数f(x)满足f(0)=1f(1)=2,f(2)=5,则该二次函 3.解方程组法：已知 数的解析式为 )与手（女）或 角度2换元法（或配凑法）求解析式 (一x)之间的关系 例4华则有 式，可根据已知条件 再构造出另外一个等 己知f[g(x)]求f(x)有两种思路：- A.f(x)=x2+1 式组成方程组，通过 是将g(x)视为一个整体，应用致学的 B.f(x)=x+x 解方程组求出x: 整体化思，想，换元求解：二是将函致解 Cf(x)=+x(x≠0)析式的右端凌成含g(x)的形式 4配凑法：已知复合 D.f(x)=x2+1(x≠0) 函数于[g(x】的解析 (2)已知函数f八x+1)=x2-2x,则f(x)的解析式为 式，将9x)视为一个 整体，在函数解析式 角度3方程组法求函数解析式 右端含x部分凑成含 例5.（①）已知函数f(x)满足f(x)+2)=x,则函数f(x)的解析式为 9x)代数式形式，用x 分别代替9x),从而得 指x接风8f+2(x)= 到(x)解析式，此时 注意9(x)苑田即f(x) (2)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2(-x)=1+2x,则f(x) 的定义城，此法多用 于较简单解析式，这 以-x代x可得f代-x)-2f代x)=1-2x ●[方法总结3] 类问题用换元法也可 058 盟踪训练3 (1)已知函数f(x)是二次函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x)的 解析式 (2)已知fx-)=+3,求x: (3)已知2()+3）=3x(x≠0)，求fx). 随堂检测重反馈 1.下表给出函数y=f(x),则f[f(1)]等于 1 2 3 4 5 4 5 2 A.1 B.2 C.4 D.5 2.如图，函数∫(x)的图象是折线段，其中点A,B,C的坐标分别是(0,4)，(2,0)， (6,4),则fLf(2)]= A.0 B.2 0123456x C.4 D.6 3.已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)= 4.一个面积为100cm2的等腰梯形，上底长为xcm,下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数 关系为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[18] 第2课时分段函数 教材梳理明要点 ●情境导入 国家电网是按不同的时间段来定电价的：居民用水是按用水量的多 少阶梯收费的.电价与时间的关系，水价与用水量的关系是函数关系吗？ [提示] 如何表示呢？ P[提示] 是函数关系，可用分 ⊙新知初探 段西数来表示。 知识点分段函数 如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，则称这样的函 数为分段两数像y一00这样的函数就是分段西数 分段函数是一个函数，而不是几个函数：定义域、值域分别是各段函数的定 义域、值域的并集：各段函数的定义域的交集是空集。=√(2x+1)7=12x+11与g(x)=2x+11的定义域和对应 关系相同，是同一函数：③fn)=2n+2(neZ)与g(n)=2n （2)依葛意，知/八3)1=8)=+-子 (neZ)的对应关系不相同，不是同一函数：④(x)-3x+2与 (t)=3t+2的定义域和对应关系相同，是同一函数 o1-器-片20 [0,1)由y=x)的定义域为[-1,1)，则-1≤2x-1<1,16)=)2-x+号=)(x-1)2+1的图象是一条抛物线 解得0≤x<1,所以f八2x-1)的定义城为「0.1)， 9.(1)1≤x≤5,2≤2x≤10.3≤2x+1≤11 它的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,1)，开口向上，若存 所以函数的值城为{y3≤y≤11， 在实数m,使该函数在x∈[1，m]时，f(x)的取值范围也是 (2)≥0，.在-1≥-1.函数y=-1的值域为 [1,m],则需m>1./八m)=m, [-1,+c). 即72-m+子=m,即m2-4n+3=0, (3)y=5r-1 （4r+2)-1-10 解得m=3或m=1(舍去m=1),故存在实数m=3满足 、4 4x+2 4x+2 条件 5 3.1.2函数的表示法 7 4x+2 42(4x+2) 242+2*0.y≠ 7 第1课时函数的表示法 教材梳理 明要点 函数-的值城为eR,且y学} 新知初探 知识点一 10.(1)y=(x+1)2-4,.y≥-4， 值域为[-4，+). 数学表达式 图象表格 预习自测 (2)y=x2+2x-3的图象如图 1.C由图象.知x*0.即x∈(-x,0)U(0.+, 所示， 5=+2x-3 当x=0时，y=-3, 2.11由g(x)对应表，知g(1)=3,所以f八g(1)]=f(3).由 当x∈[0，+)时，值域为[-3， f(x)对应表，得/(3)=1，所以f[g(1)]=f(3)=1.由g(x)对 +x)。 应表，得当x=2时，g(2)=2,又g[f(x)]=2,所以f八x)=2. (3)根据图象可得当x=-1时，y= 又由f(x)对应表，得x=1时(1)=2.所以x=1. -4: 题型探究提技能 当x=2时，y=5. 例1：(1)用列表法可将函数y=f八(x)表示为 当xe[-2,2]时，值域为-4,5] 0 2 4 5 (4)根据图象可得当x=1时，y=0: 当x=2时，y=5. 50 40 30 20 10 0 ∴当xe[1,2]时，值域为[0,5] (2)用图象法可将函数y=∫(x)表示为如下图： 11.B由2x2-1=1,得1=1，x2=-1:由2x2-1=7,得x1= 卡y -2,x=2,所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为 50* 3个元素的集合有4个，定义城为4个元素的集合有1个，因 4 30 此共有9个“李生函数”.故选B 2A要使g)有定义.则需满足侣4.解得0<2 10 012345 故选A (3)用解析法可将函数y=f(x)表示为y=50-10x,x∈0,1,2， 13.ABC选项A,因为函数f(x)的定义域为xIx≠-3}，函数 3.4.5 g(x)的定义城为xx≠-3，且/(x)=任+3)(-5= 跟踪训练1：用列表法表示函数y=∫(x).如 x+3 表所示 0 1234 -5,所以函数f(x)和函数g(x)是同一函数；选项B,因为 -1 -2 g(t)=F=t(teR),它与函数f(x)=x(xeR)不仅对应关 7 系相同，而且定义域也相同，所以函数∫(x)和函数g(:)是同 -2 -3 -4 -5 -4 一函数：选项C(x)=x2-1与g(x)=(x+1)2-2(x+1) 用图象法表示函数y=f(x),如右图所示. =x2-1,两个函数的定义域为R,对应关系也一样，所以函 例2：(1)列表 数代x)和函数g(x)是同一函数：选项D(x)=-L的定 0 Vx-1 2 义域为xx>1,g(x)=√x-1的定义域为xx≥1，则这 两个函数不是同一个函数，则D不选.故选ABC 当xe[0,2]时，图象是直线的一部分，观察图象（图1）可知， 4(0,2++1=(x+) 3 0< 其值域为[1,5] (2)列表 ≤子值域为0，引 1 2 5 15a)因为所以2)号-专 、 因为g(x)=x2-1,所以g(3)=32-1=8 335 当x[2,+0),图象是反比例函数y=2的一部分，观察图 跟踪测练3：(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)， 则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x 象（图2）可知其值域为(0,1]. -1)+c (3)列表 =2a2+2br+2a+2e=2x2-4x. 2 -1 0 2 r2a=2, a=1, 所以2b=-4,所以b=-2.所以f(x)=x2-2x-1. 0 -1 3 8 2a+2e=0,【c=-1. 画图象，图象是抛物线y=x+2x在-2≤x≤2之间的部分 由图3可得函数的值域是[-1,8]. 2-）-2+=(-）广+2. 令4=-0=f+2八=2+2 5 (3)2)+3(）=3. ① 用代特上得2对()+3)= ② ②×3-①×2有5f(x)= x -6x 电 图2 3 跟踪训练2：(1)用描点法可以作 随堂检测重反馈 出函数的图象如图① 1.B由题意可知(1)=4f(4)=2,ff(1)]=f(4)=2.故 由图可知y=x+x(-I≤≤ 选B. 1)的值域为[子，2斗 2.C由图象可得f几f(2)]=f(0)=4. (2)用描点法可以作出函数的 3.3x-1方法一（换元法）：令x+1=1,∴x=1-1,∴f()=3(0 图象如图② -1)+2=3-1,.f(x)=3x-1. 2 方法二（配凑法）：f(x+1)=3x+2=3(x+1)-1,.(x)= 由图可知y=2(-2≤x≤1， 3x-1. 且x≠0)的值域为(-，-1]U[2,+0) 4y=0(x>0)由梯形的面积公式有100=任+3.得y 例3：(1)f(x)=2x+2或f(x)=-2x-6(2)f(x)=x2+1 2 【解析】(1)设f(x)=ax+b(a0),别f几f八x)]=f(ar+b) =50(x>0). =a(a+b)+6=ax+ab+b=4+6,于是有g:4: 解 1ab+b=6, 练案[18] 得化子”我[8石：所以=2+2或到-2-6 (2)设二次函数的解析式为f(x)=ar+br+c(a≠0)，由题 LD设/)三r+6(a≠0).则有{6h0所以a=-1,6 rC=1, ra=1, 1,即f(x)=-x+1. 意得{a+b+r=2,解得{b=0,故f(x)=x2+1. 2.C2<3<4,∴由题中表格可知f(3)=3. 4a+2b+c=5, Lc=1, 3.B利用图象可知g(2)=1,所以f[g(2)】=f(1)=2.故 例4：(1)C(2)f(x)=x2-4x+3 选B. 【解析】 )南/）=士+有=2+0 4.Bg(x+2)=f(x)=2x+3,令x+2=1,∴x=1-2,∴g(1) =2(t-2)+3=21-1.g(x)=2x-1. 故选C 5.A因为3f(x)-2f(-x）=5x+1,所以3-x)-2f(x)= (2)方法一（换元法）：令x+1=t,别x=1-1,t∈R,所以f(1) -5x+1,解得f（x)=x+1, =(1-1)2-2(t-1)=2-4t+3,即f(x)=x2-4x+3. 3 方法二（配凑法）：因为x2-2x=(x2+2x+1)-(4x+4)+3 6. 4由题图可知f(-5)=号f(2)=0,f(0)=4.故 =(￥+1)2-4(x+1)+3,所以x+1)=(x+1)2-4(x+1) fLf(2)]=4. +3,即f(x)=x2-4x+3. 7.3x-2设f(x）=x+b(a≠0)，由题设有 :1)=-+0(2)号- 亿队88.解得2政f)= 【解析】（)在巴如等式中，将x换成子得/（仔）】 +2(x) -2 )+2(）= 831方法一：令号-1=6，解得x=14, =子与巴知方程联立，得 消去 (）+2)= f6)=(告-l）=2x14+3=31 f(任）得到-青+最 方法二：令7-1=，=21+2，f()=2(21+2)+3=4+ (2)由题意，在∫(x)-2(-x)=1+2x中，以-x代x可得 7.f八6)=4×6+7=31 --点可密嘴去 9(0函数y=支+1e1,23,4,5是由(1，号）(2.2)， 八-)可瑞)=子-山 (3.2）:(4,3),(5,)五个孤立的点构成，如图1 336