3.1.1 第2课时 函数的概念(二)(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

052 第2课时函数的概念（二）】 教材梳理明要点 ●情境导入 生活中人们通过化妆使自己看起来更漂亮，也更自信.犯罪分子也利 用化妆躲避警察和人民的追捕.但是一个人的样貌无论如何改变，他的 DNA是改变不了的.于是在特殊情况下，通过检测DNA来确定是否是同 一个人.在数学中，如何判断两个函数是否是同一个函数呢？●[提示] [提示] 定文城相同，对应关 e新知初探 系也相同的函数就是 知识点一区间及有关概念 同一函数 1.一般区间的表示 设a,b∈R,且a<b,规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 x|a≤x≤b 闭区间 [知识点反思] xla<x<b 开区间 1.区间只能表示连续 |xla≤x<b 半闭半开区间 的数集，“开”不包 含喘点，·阁”包含 |xla<x≤b 半开半闭区间 佛点：用数轴表示区 间时，要特别注意实 2.特殊区间的表示 心点包含端点与空心 定义 R |xlx≥a xlx>a {xlx≤a xlx <a 点不包含端点的区 别：区间是实数集的 符号 一种表示形式，集合 知识点二 同一函数 的运算仍然成立： 相同 2,函数有定文城、对 前提条件 应关系和值域三要 完全一致 素，由西数的定义域 结论 这两个函数是同一函数 和对应关系可以求出 函数的值域，所以判 ●[知识点反思] 斯两个函数是否是同 知识点三 常见函数的定义域和值域 一个函数，只看定义 反比例 二次函数 城和对应关系，即使定 函数 一次函数 义域和值域相同的函 函数 数，也不一定是同一 孟数 对应关系 y=ax+b y=ax+bx+c y=ax+bx+c (a≠0) (k≠0) (a≠0) (a≠0) 定义域 R {xlx≠0 R R 值域 R yly≠0 y≥4c- 4ac -b2 4a yy≤4a ●053 目预习自测 1若函数y=x2-3x的定义域为-1,0,2,3，则其值域为 A.{-2,0,4 B.{-2,0,2,4 c≤- D.{y0≤y≤3 2.函数y=-x2+1,-1≤x<2的值域是 A.(-3,0] B.(-3,1] C.[0,1] D.[1,5) 题型探究提技能 题型一 同一函数的判断 例1(1)下列各组函数： ①f(x)=x-x [方法总结1] g(x)=x-1; 判断两个函数为同一 2f)=年g()=: 函数应注意的三点 I定义域、对应关系 ③f(x)=(x-1),g(t)=2-2t+1; 两者中只要有一个不 ④f(x)=x+1,g(x）=x+x°； 相同就不是同一函 ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)=801(0≤t≤5) 数，即使定义城与值 与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5) 城都相同，也不一定 其中表示同一函数的是 (填序号) 是同一函数： (2)试判断函数y=√x-1·√x+1与函数y=√(x+1)(x-1)是否 2.函数是两个数集之 间的对应关系，所以 为同一函数，并说明理由。 P[方法总结1] 用什么字母表示自变 量、因变量是没有限 制的， 3.在化简解析式时， 必须是等价变形. )跟踪训练1 f(x)与g(x)表示同一函数的是 [方法总结2] Af(x)=x,g(x)=√ B.f(x)=1,g(x)=(x-1)° 函数y=[gx]的定义 Cx)=-9 x+38(x)=x-3 D.f(x)=()2 (x)=x 城由y=ft)与t"9x (E)2 的定义城共同决定： 题型二复合函数、抽象函数的定义域 1,若已知函数于(x)的 例2（1)若函数/()的定义域为(-1,2)，则函数2x+1)的定义域为 定义城为数集A,则 函数f[gx门的定义域 由gx)∈A解出： (2)若函数f(2x+1)的定义域为(-1,2)，则函数f(x)的定义域为 2.若已知函数儿gx刀 的定义城为数集A, (3)若函数f(2x+1)的定义域为(-1,2)，则函数f(x-1)的定义域为 则函数于(x)的定义域 为g)在A中的值域. ●[方法总结2] 054 )跟踪训练2 (1)已知函数f(x)的定义域为[-1,5]，求函数f(x-5)的定义域： [方法总结3] 求函数值城常用的5 (2)已知函数f(x-1)的定义域是[0,3]，求函数f(x)的定义域. 种方法 ,观察法：对于一些 比较简单的西数，其 值域可迪过观察 得到： 题型三求函数的值域 2配方法：当所给函 数是二次函数或可化 |3.求下列函数的值域： 为二次函数处理的函 (1)y=x-1; 数时，可利用配方法 (2)y=x2-4x+6,xe[1,5): 求其值城： (3)y=2x+4√1-x; 3.图象法：通过画出 函数的图象，由图形 (4)y=3x-1 [方法总结3] x+1 的直观性获得西数的 值城： 4,换元法：通过对函 数的表达式进行适当 换元，可将复染的函 数化归为简单的函 邈踪训练3 数，从而利用基本函 求下列函数的值域： 数自变量的取值范因 求函数的值城： （1y=-2-2x+3,-3≤x≤0：(2y=x+(3y=+v2x-. 5,分离常数法：此方 法主要是针对分式函园 数，即将分式西数转 化为·反比例函数· 的形式，使于求值城 随堂检测 重反馈 1.区间[5,8)表示的集合是 A.{xx≤5或x>8 B.{xl5<x≤8 C.{xl5≤x<8 D.{x|5≤x≤8 2.函数y=2x+1,x∈N°，且2≤x≤4，则函数的值域为 A.(5.9) B.[5,9] C.{5.7,9 D.15.6.7.8,9 3.(多选)下列式子表示同一个函数的是 ( Af(x)=lxl,p(t)=√F B.y=F,y=()2 Cy=1+x·V1-x,y=V1-x D.y=V(3-x)2,y=x-3 4.已知函数f(x)的定义域为[-2,3]，则函数(x+1)的定义域为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[17]+3=0.即(2a+3)(a+1)=0a=-号或a=-1,故 1--2=-3*f/(-2)1=f(-含） 选C. 13.ADA中，可构成函数关系：B中，对于集合A中元素1，在 1 集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系：C中，A 1( 中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应， 因此不是函数关系：D中，可构成函数关系 4.②对①，0eP,但101Q,所以对应关系f不能构成集合P4.(1)3579(2)4a+1(3)2x+1 上的函数.对②，Vx∈P,都有且只有唯一元素y在集合Q中 与之对应，所以能构成集合P上的函数.对③，P中的元素不 15.x-3 x-4 ≥3，且4g(x)=x-3)= x-3-1 是数，而函数是非空数集到非空数集的对应关系，故填②， R-3 练案[16] 子：解不等式细03，且4 1.ACD结合函数的定义可知.A、C,D均可能，只有B是有的 16.(1)由“eR,对应关系∫使方程的解与业对应n=一了， 一个x对应两个y,不满足函数的定义，故选ACD, 每一个∈R,都有唯一的≤0与之对应.故？=f()是 2.B由f(1)=-2得a+b=-2,由f(-1)=0得-a+b=0, 函数 .a=-1,b=-1,故选B (2)因为∈B={xx≤01，由r2+2m=0可得2=-2≥0， 3,D根据函数的概念可知对于定义域中的任意一个自变量x 此时存在，使得2个不同的u与之对应，故“=g()不是 都有唯一的函数值与之对应，当是定义域内的值时，有一个 函数 交点，当a不是定义域内的值时，直线x■a与函数图象没有 交点，故选D 第2课时函数的概念（二）】 4,A由对应关系y=-x2+2x得：当x=-1时，y=-(-1)2 +2×(-1）=-3;当x=0时，y=0:当x=1时，y=-12+2 教材梳理 明要点 ×1=1:当x=2时，y=-22+2×2=0:当x=3时，y=-32+ 新知初探 知识点一 2×3=-3.所以值城为-3.0,11： rx-3≠0. 1.[a,b](a,b)[a,b)(a.b] rx43, 2.(-g.+g)[a.+3）(a,+g）(-0.a](-g,a) 5.C由题意可知 x-20, x≥2，x>2,且x*3,故 知识点二 lx-2≠0. x≠2， 定义域对应关系 选C 6x0<x<1或1<x≤2}观察函数的图象，图象上所有点的 知识点三 :a>0a<0 横坐标构成的集合为x10<x<1或1<x≤2，即为定义域 预习自测 7.12f(a)=√a-3=3,解得a=12. 1.A 8.1-1.1,3,5.7x=1,2,3,4,5,且f(x）=2x-3,f(x) 2.B由y=-x2+1,xe[-1,2),可知当x=2时，y=-4+1= 的值域为-1,1,3,5,7引. -3;当x=0时，ym=1,因为x≠2，所以函数的值域为(-3， 9.:△4BC的底边长显然大于0，即y=10-2x>0, 11. x<5,又两边之和大于第三边， 题型探究提技能 24>10-2 例1：(1)③5(2)见解析 【解析】(1)①f(x)与g(x)的定义战不同，不是同一函数： 此函数的定义域为子<<5} ②(x)与(x)的对应关系不同，不是同一函致：③虽然表示自变 10.(1)使根式，：+5有意义的实数x的集合是{x1x≥-51， 量的字母不同，但f(x)与g()的定义提相同，对应关系相同，故 是同一个西数：④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数： 使分式有意义的实数x的集合是≠21。 5f()与g(x)的定义城，对应关系皆相同，故是同一函数. 所以这个函数的定义域是xx≥-5∩|x|x≠2={xx≥-5 (2)不相网.对于扇数y=V-可·中，由-1≥0解得 且x≠2. 1x+1≥0， 2-4)=/45+-+21-右= x≥1，故定义城为xlx≥1，对于函数y=√(x+1)(x-1) 6 6 由(x+1)(x-1)≥0解得x≥1或x≤-1，故定义战为xx≥ ()-√层5+2 173 【或x≤-1，显然两个函数定义城不同，故不是同一函数 跟踪训练1：D对于A,g(x)=√星=xl,与f(x)的对应关系 不同：对于B,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为xlx≠1： -3 对于CJ(x)的定义城为{xx≠-3}，g(x)的定义城为R:对 3 4 11.ABC根据题意，依次分析选项：对于A,y=1,是常数函数 于D)==1(x>0)g()==1(x>0),对应关系 是函数：对于B,y=x2,是二次函数，是函数；对于C,y=1- 与定义域都相同，故(x)与g(x)表示同一函数 x,是一次函数，是函数：对于D,y=x-2+1-x,有 任-20不等式组无解，x的取值范围为空集，不是函数 3:0(-1,3）(2(-15)(3)0,6 11-x≥0， 【分析】(1)∫(x)的定义域为(-1,2)，即x的取值范图为 12.Cf1)-12+a-1+2-a+2,ff(1)]=f(a+2)= (-1,2).(2x+1)中x的取值范围（定义域）可由2x+1e (a+2)2+(a-1)(a+2)+2=2a2+5a+4=1,.2a2+5a (-1,2)求得 333 (2)f(2x+1)的定义域为(-1,2)，即x的取值范围为(-1，随堂检测重反馈 2),由此求得2x+1的取值苑围即为f(x)的定义城. 1.C (3)先由f(2x+1)的定义域求得(x)的定义减，再由f(x)的2.C当2≤x≤4且x∈N时，x=2,3,4所以函数值域为5,79引. 定义域求f(x-1)的定义域. 3.ACA:(x)与()的定义城相同，又p(t)=√F=1l,即 【解折】()由-1<2x+1<2,得-1<x<分f(2+1) f(x)与(t)的对应关系也相同，∴.f(x)与()是同一个函 的定义线为(-1，) 数：B:y=√的定义域为R,y=()2的定义城为xx≥ 0,两者定义域不同，故y=√霍与y=()不是同一个函 (2)-1<x<2,-1<2x+1<5,f(x)的定义城为 数：C:y=个+x·个-x的定义城为{x1-1≤x≤1，y= (-1.5) (3)由f(2x+1)的定义域为(-1,2)得f(x)的定义城为 √个-x的定义域为x!-1≤x≤1|，即两者定义域相同.又 (-1,5),由-1<x-1<5得0<x<6,.f(x-1)的定义域为 y=√+x·一x=√1-x,“,两函数的对应关系也相 (0.6). 同.故y=√小+x·√个-x与y=√1-x是同一个函数： 跟踪训练2：(1)由-1≤x-5≤5，得4≤x≤10，所以函数f代x- D:y=√(3-x)=x-31与y=x-3的定义域相同，但对 5)的定义域是[4,10]. (2)由0≤x≤3，得-1≤x-1≤2，所以函数f(x)的定义域是 应关系不同，∴y=√(3-x)与y=x-3不是同一个函数 [-1,2. 4.[-3,2]由题意得-2≤x+1≤3，-3≤x≤2，故函数 fx+1)的定义域为[-3,2]， 例3：(1)（直接法）≥0，任-1≥-1， .y=√x-1的值域为[-1，+). 练案[17] (2)(配方法图象法)y=x-4x+6=(x-2)'1 1 +2 10 1.B要使函数f(x)= +有意义.则2≥8：部 /x+2 如图所示xe[15),∴.函数y的值域为[2， 得-2<x≤1，则函数f(x)的定义域为(-2.1].故选B 11). 6 (3)(换元法)令=√1-x(≥0)，则x=1 202+2≥20<女2≤分)的值设为0，引 -, 故选C. 则y=-2+4+2=-2(1-1)+4≥012345：3.ACe[L5]时.-1e[0,4,所以函数/)-： 0) [1,5]的值城是[0,4]，故A正确：因为-x2≤0，所以-x2+4 结合图象（图略）可得函数的值域为(-，4]. ≤4，所以函数值域是(-0,4]，故B错误：因为-x≤0，所以 (4)(分离常数法)y=3江-13江+3-4 x+1 16-x≤16，又16-x≥0.所以0≤√16-x2≤4，即函数值域 x+1 3 为[0,4]，故C正确：因为x>0,所以x+上≥2（当且仅当x= +70y3 1时取等号)，所以x+上-2≥0，故函数值域为[0，+x),故 y的值城为6R.且y3 D错误.故选AC 4.D对于A选项，函数(x)=的定义域为xx≠01，函数 跟踪训练3：(1)由y=-x2-2x+3得y=-(x+1)2+4, -3≤x≤0， g()=x二的定义城为xx≠1，则了(x)与g(x)不是 当x=-1时，yn=4。 x-I 当x=-3时，ym=0, 同一函数：对于B选项，函数(x)=x-I的定义域为R,函数 “y=-x2-2x+3,-3≤x≤0的值域为[0,4]. 8):的定义域为-1，则)与g)不是同 2(分离常数法：y高=1-女 x+1 一函数：对于C选项，函数f(x)=V与函数g(x)=的 1 且定义域为xr≠-1川心+0，即y 定义域均为R,且f(x)=√厘=x,g(x)=?=x,则f(x) 函数y=的值域为lyeR,且y1 与g()不是同一函数：对于D选项，函数()=+士与函 x+1 (3)方法一：（换元法）设u=V2r-,则u≥0x=1+四 数g(x)=出的定义城均为xx≠01，且g(x):=x 2 1+业2 +】,则∫(x)与g(x)是同一函数. y=2 1 +w=2(u+1)月 5.ABC由x2-2x+2=1,得x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,得x ≥0，小y≥2 1 =1.由x2-2x+2=2,得x2-2x=0,即x=0或x=2.设定义 域为[a,b],若a=0,则1≤6≤2，则A正确：若b=2,则0≤0 y=+V2x可的值碱为[}.+) ≤1，则B,C正确.故选ABC 6.(-,-4)U(-4.4)U(4,6]要使函数有意义，需满足 方法二2x-1≥0x≥2 4o.即4六定义线为-，-4u(-4 而当x增大时y也增大心空2 U(4.6]. 六子=+v2可的值城为[片，+） 7.②④①函数g(x)=2x-x°=2x-1,函数g(x)的定义域为 xx≠0：，两个函数的定义域不相同，不是同一函数：②f(x) 334